La radiazione di corpo nero - I Edoardo Milotti CdS Fisica A. A. 2007-8
Il flusso lavico che scende dal cratere del vulcano Stromboli verso il mare (6 marzo 2007, foto di M. Fulle, http://www.swisseduc.ch/stromboli/).
foto dal sito http://www.powning.com/jake/home/j_homepg.shtml
Corpo nero a temperatura ambiente luce visibile luce infrarossa assorbimento pareti a temperatura T 300 K emissione
il colore di un corpo nero a diverse temperature
Onde elettromagnetiche
Onde elettromagnetiche in una cavità 1D pareti della cavità
Ciò significa che la cavità può contenere solo un numero intero di mezze lunghezze d onda, così che se L è la lunghezza della cavità, allora il campo stazionario contenuto nella cavità deve avere una lunghezza d onda tale che dove n è un intero > 0 L = n /2
le frequenze permesse del campo elettrico sono date da = n c 2L = n 0 e il numero di semionde all interno della cavità è dato da n = 2L c
Le onde elettromagnetiche possono essere assimilate a oscillatori: ci sono due gradi di libertà, elettrico e magnetico, e tenendo conto anche della polarizzazione ogni frequenza contribuisce con 2kT all energia media totale, quindi l energia totale è U = n= n=1 2kT È forse sbagliata l approx. 1D??? Proviamo a fare il calcolo in 3D!!!
Premessa al calcolo in 3D y posizioni successive dello zero dell ampiezza dell onda direzione di propagazione dell onda piana l y l x x l x = cos periodo in direzione x 1 l y = sin periodo in direzione y l x 2 + 1 l y 2 = 1 2
consideriamo ora una scatola con lati L x, L y, L z la condizione di periodicità deve valere separatamente per ciascuna direzione z 2L x l x = n x ; 2L y l y = n y ; 2L z l z = n z y n x 0; n y 0; n z 0; x
2L x l x = n x ; 2L y l y = n y ; 2L z l z = n z 1 l x = n x 2L x ; 1 l y = n y 2L y ; 1 l z = n z 2L z 1 l + 1 2 x l + 1 2 y l = 1 2 z 2 2 2 n x 2 L + n y 2 x L + n z 2 y L = 4 2 z = 4 2 2 c 2
conteggio del numero dei modi di oscillazione permessi: sono quelli contenuti nell ottante di ellissoide con assi 2L x c,2l y c,2l z c questo guscio contiene i modi di oscillazione permessi
Volume dell ottante di ellissoide in cui gli indici n non sono negativi = 1 8 4 3 8 3 L x L y L z c 3 = 4V 3c 3 3 (V = volume della cavità) Quindi d = 4V c 3 2 d
n = 1 per ciascun indice, allora il volume occupato da ( n) 3 = 1 ciascun modo nello spazio dei modi è, allora d = 4V c 3 2 d è anche il numero di modi nell intervallo di frequenza, e quindi la densità di energia è energia media di singolo modo u()d = 2kT d 4 = 2kT V c 2 d 3 = 8kT 2 d c 3 eq. di Rayleigh e Jeans
La densità di energia u() = 8kT c 3 2 diverge alle alte frequenze, quindi il passaggio a 3D non ha risolto il problema. Sperimentalmente non si osserva nessuna divergenza. Come si può fare?
... e se il teorema di equipartizione in realtà non fosse sempre valido? Il teorema si deriva classicamente facendo l ipotesi che l energia sia una quantità continua.... e se l energia fosse in realtà una quantità discreta?
Supponiamo ora che gli oscillatori elettromagnetici che entrano nel calcolo possano avere solo energie discretizzate n = nh
Se il sistema è in equilibrio a temperatura T la sua energia media vale ( = 1 kt è la temperatura inversa) = n= n=0 n= n=0 n e n e n = d d ln n= n=0 = e n d d = d d ln 1 1 e h = h e h 1 n= n=0 n= n=0 e n e n = d d ln n= n=0 enh
= h e h 1 energia media se h = h / kt << 1 = h e h 1 h 1 + h 1 = kt e quindi ad alta temperatura si ritrova l energia media di un singolo oscillatore
Nuova formula per la densità di energia energia media di singolo modo u()d = 2 = 8h c 3 h e h 1 d V = 2 3 e h 1 d h e h 1 4 c 3 2 d La costante h introdotta da Planck è una delle costanti fondamentali della fisica, e vale circa 6.6 10-34 J s.
Angoli in 3D: l angolo solido questa regione copre l area A sulla superficie di una sfera di raggio R l angolo solido corrispondente è definito dalla formula: = A R 2 l intera superficie della sfera corrisponde a sfera = 4 R2 R 2 = 4
Elemento di angolo solido in termini di angolo azimutale e angolo zenitale quest area vale approssimativamente A ( Rsin ) ( R )= R 2 sin l angolo solido elementare si può scrivere nella forma d = d sind = d d cos
Potenza irraggiata da una cavità a temperatura T 1. frazione della radiazione all interno della cavità che si muove in una direzione che copre l angolo solido d tutte le direzioni sono equivalenti, quindi dp = d 4
2. la radiazione che riesce ad uscire da un foro di sezione A con angolo di uscita nel tempo t è data dal calcolo seguente: altezza del cilindro = volume del cilindro = ct cos Act cos energia contenuta nel cilindro e che si muove in direzione, Act cos d 4 u ( )d ( )
quindi l irradianza (potenza irradiata per unità di superficie) è I(,)dd = 1 At d A ct cos 4 u()d = ccos d 4 u()d
Integrando sugli angoli di uscita si ottiene l irradianza in funzione della frequenza in seguito all integrazione sugli angoli resta solo la dipendenza dalla frequenza I()d = cos d cu()d = 1 /2 4 2 1 0 cosd(cos) cu()d = c 4 u()d ovviamente si integra solo su metà dell angolo solido totale...
Integrando su tutte le frequenze si trova l irradianza del corpo nero I = c 4 + 0 = 2h c 2 u()d = 2k 4 T 4 c 2 h 3 = 2h c 2 + 0 + 1 x 3 (h) 4 e x 1 dx 0 + 0 x 3 e x 1 dx 3 e h 1 d
si può dimostrare che + x 3 e x 1 dx = 4 15 0 quindi I = 2k 4 T 4 c 2 h 3 4 15 = 2 5 k 4 15c 2 h 3 T 4 = T 4 = 2 5 k 4 15c 2 h 3 5.67 108 W m 2 K 4 costante di Stefan-Boltzmann