Valutazione Economica del Progetto Corso del prof. Stefano Stanghellini Elementi di matematica Contributo didattico: prof. Sergio Copiello
Spostamento di capitali nel tempo Non è possibile addizionare, sottrarre o confrontare tra loro valori differiti nel tempo, se prima non sono resi omogenei, ovvero riferiti allo stesso momento temporale Pertanto, è necessario individuare le formule che consentono di anticipare o di posticipare ciascuna prestazione Un capitale Spostato in avanti nel tempo si trasforma in montante Spostato indietro nel tempo si trasforma in valore scontato
Interesse L interesse è il prezzo d uso del capitale Il saggio o tasso d interesse (r) può essere espresso in termini percentuali (r = 5%) o in termini unitari (r = 0,05) L interesse unitario è l interesse maturato da un euro in un anno Il saggio di interesse è direttamente proporzionale Al rischio (a rischio maggiore corrisponde un maggiore tasso di interesse) Alla durata dell investimento (a durata maggiore corrisponde un maggiore tasso di interesse)
Montante Il montante è la somma del capitale e dei relativi interessi Il montante unitario (q) è la somma del capitale unitario (un euro) e degli interessi maturati in un anno I = C 0 * r M = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r ) (1 + r) = q (es. r = 0,05 q = 1,05)
Interesse e Quando gli interessi maturati non generano a loro volta altri interessi Si usa quando si considera un periodo di tempo uguale o inferiore ad 1 anno Quando gli interessi maturati generano a loro volta altri interessi Si usa quando si considera un periodo di tempo superiore ad 1 anno
Interesse Per un periodo pari ad un anno Montante M = C 0 + I = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r) Valore scontato C 0 = M / q Esempio La somma di 1.000 euro viene depositata in banca all interesse del 5% Si vuol conoscere l ammontare a) degli interessi dopo un anno; b) del montante dopo un anno a) I = C 0 * r = 1.000 * 0,05 = 50 euro b) M = C 0 + I = C 0 * (1 + r) = 1.000 * 1.05 = 1.050 euro
Interesse Per un periodo inferiore ad un anno La durata (n) viene indicata come frazione di anno n = periodo/365 (oppure periodo/360) Es. per un periodo di un mese (30 gg), n = 30/360 I = C 0 * r * n Montante M = C 0 * (1 + r n) Valore scontato C 0 = M / (1 + r n) Esempio La somma di 1.000 euro viene depositata in banca all interesse del 5% Si vuol conoscere l ammontare a) degli interessi; b) del montante dopo 90 giorni a) I = C 0 * r * n = 1.000 * 0,05 * (90/360) = 12,50 euro b) M = C 0 + C 0 * r * n = C 0 * (1 + r * n) = 1.012,50 euro
Anticipazione e Per periodi di durata pari o inferiore ad un anno Coefficiente di (1 + r * n) Coefficiente di anticipazione 1 / (1 + r * n) Posticipo C 0 (1 + r n) M 0 1 / (1 + r n) n Anticipo
Interesse Determinazione del montante dopo n anni Dopo 1 anno C 1 = C 0 + C 0 * r = C 0 * (1 + r) Dopo 2 anni C 2 = C 1 + C 1 * r = C 1 * (1 + r) C 2 = C 0 * (1 + r) * (1 + r) C 2 = C 0 * q 2 In generale C n = C 0 * q n Esempio A quanto ammonterà, tra 10 anni, il capitale di 1.000 euro investito in titoli al saggio del 5%? M = C 0 * q n M = 1.000 * 1,0510 = 1.629,00 euro (se l interesse non fosse, cioè se gli interessi non maturassero altri interessi, il montante sarebbe inferiore: 1.500,00 euro)
Anticipazione e Per periodi di durata superiore ad un anno Coefficiente di (1 + r) n = q n Coefficiente di anticipazione 1 / (1 + r) n = 1 / q n Posticipo C 0 q n M 0 1 / q n n Anticipo
Anticipazione: un esempio Mille euro, in valore attuale, al variare del tempo e del tasso di interesse All aumentare del tempo diminuisce il valore attuale Al crescere del saggio diminuisce il valore attuale Tasso di interesse 1 anno 2 anni 3 anni 10 anni 20 anni 1% 990 980 971 905 820 2% 980 961 942 820 673 3% 971 943 915 744 554 4% 962 925 889 676 456 5% 952 907 864 614 377 6% 943 890 840 558 312 7% 935 873 816 508 258 8% 926 857 794 463 215 9% 917 842 772 422 178 10% 909 826 751 386 149
Anticipazione e Coefficiente di Coefficiente di anticipazione Periodo di durata pari o inferiore all anno (1 + r * n) 1 / (1 + r * n) Periodo di durata superiore all anno (1 + r) n q n 1 / (1 + r) n 1 / q n
Per approfondimenti Realfonzo A. (1994), Teoria e metodo dell estimo urbano, Nis, Roma Forte F. e De Rossi B. (1974), Principi di economia ed estimo, Etas, Milano