Esercizio 1 Esame Scritto Fisica Generale T-B (dl Ingegneria ivile) Prof. M. Sioli VI Appello A.A. 2014-2015 - 11/09/2015 Soluzioni Esercizi Tre cariche positive Q 1, Q 2, Q 3 = 5 µ sono disposte sui vertici di un triangolo rettangolo di cateti pari a L = 10 cm, giacente nel piano xy. P z q Q 1 L Q 3 O L Q 2 y x a) Determinare il campo elettrico nel punto P = (0, 0, L/ 2); Lungo l asse z, verso l origine O del sistema di assi, si muove una carica puntiforme q = 1 µ di massa m = 10 g. alcolare: b) la velocità minima v min che la carica in moto q deve possedere per raggiungere O quando si trova nel punto P ; c) la densità di energia elettrostatica in O nello stesso istante. Soluzione 1 a) La distanza tra ciascuna carica Q 1, Q 2, Q 3 ed il punto P è L (teorema di Pitagora). Visto che le cariche sono uguali (da qui in poi il valore sarà indicato con Q), si nota che le componenti di E nel piano xy generate dalle 1
cariche Q 1, Q 2 nel punto P si annullano. Scomponendo il vettore campo elettrico in componenti e sommando i contributi delle tre cariche si ottiene: E x (P ) = E y (P ) = E z (P ) = Q 8πε 0 L 2 Q 8πε 0 L 2 3Q 4πε 0 L 2 2 Il modulo del campo elettrico in P risulta: b) E(P ) = E 2 x + E 2 y + E 2 z = Q 2 4πε 0 L 2 = 6.4 106 V/m Si impone la conservazione dell energia totale, per cui U = K. La velocità minima affinché la carica q raggiunga O (con velocità nulla) è dunque data da: U ini (P ) + 1 2 m v2 min = U fin (O) L energia potenziale della carica puntiforme, per il principio di sovrapposizione, è data dalla somma dei potenziali generati dalle cariche Q i moltiplicata per la carica in moto q: U ini (P ) = q V (P ) = 3 q Q 4πε 0 L U fin (O) = q V (O) = 3 q Q 2 4πε 0 L Si ottiene: c) v min = 2q(V (O) V (P )) m = 11 m/s La densità di energia elettrostatica in O è: u E = 1 2 ε 0E 2 (O) Il campo elettrico in O è dato dalla sovrapposizione dei contributi delle tre cariche Q 1, Q 2, Q 3 e della carica puntiforme q posizionata nel punto P. I contributi delle cariche sui vertici del triangolo sono nel piano xy e quelli generati da Q 1 e Q 2 si annullano. Rimangono dunque il contributo della carica Q 3 nel piano xy ed il contributo della carica q lungo z. Il modulo del campo elettrico in O risulta: E(O) = Exy 2 + Ez 2 = 2 Q 2 + q 2 4πε 0 L 2 = 9.2 10 6 V/m 2
La densità di energia elettrostatica quindi è: Esercizio 2 u E = 1 2 ε 0E 2 = 375 J/m 3 Nel circuito mostrato in figura i tre condensatori sono uguali ed inizialmente scarichi. È nota la f.e.m. del generatore E = 7 V. Al tempo t = 0 l interruttore è chiuso e successivamente è raggiunta una nuova situazione di equilibrio. Ricavare la d.d.p. V A V B a regime. T A E R B Soluzione 2 A regime non circola più corrente nel circuito. I due condensatori nella maglia di destra sono in parallelo in quanto la d.d.p. tra le armature è la stessa (due armature sono in corto circuito, le altre due sono collegate da una resistenza in cui non circola corrente e dunque non vi è caduta di tensione). Il condensatore equivalente ha dunque una capacità doppia rispetto ai singoli: par = + = 2. Tale condensatore parallelo è in serie con il condensatore vicino all interruttore, a formare una capacità equivalente: serie = ( 1 + 1 ) 1 = 2 2 3 La d.d.p. ai capi della serie è data dalla f.e.m. del generatore: E = V serie = Q serie = 3Q serie serie 2 da cui si può esprimere la carica sulla serie: Q serie = 2E 3 Ricordiamo che la carica in una serie di condensatori (siano essi singoli o costituiti a loro volta da combinazioni di altri condensatori) è la stessa su ogni componente. Questo vuol dire che sia sul primo condensatore (singolo) sia sul secondo (coppia in parallelo) la carica totale è sempre Q serie. La 3
d.d.p. V A V B della coppia in parallelo risulta quindi uguale al rapporto tra la carica nel parallelo (Q par = Q serie per quanto appena detto) e la capacità del parallelo par : Esercizio 3 V A V B = V par = Q par = Q serie par 2 = E 3 = 2.3 V Un solenoide toroidale, dotato di resistenza R = 6 Ω, è costituito da N = 2000 spire di raggio r = 3 mm. Il raggio medio del toroide è r tor = 20 cm. Un filo indefinito passa per il centro del toroide perpendicolarmente al piano che lo contiene. Nel filo circola una corrente i = kt, con k = 10 A/s. a) alcolare la f.e.m. indotta nel toroide; b) alcolare esplicitamente il coefficiente di autoinduzione del solenoide; c) Determinare l andamento della corrente indotta in funzione del tempo. (Suggerimento: dato che r r tor, il campo magnetico all interno del toroide può essere considerato uniforme.) Soluzione 3 a) Dalla I legge di Laplace si ricava il campo magnetico generato dal filo (legge di Biot-Savart): B filo ( r) = µ 0 i 2π r ûθ dove û θ è il versore tangente alle circonferenze centrate sul filo. Data la direzione del campo B, il suo flusso attraverso il solenoide è pari al flusso attraverso l area di una spira moltiplicato per il numero di spire: Φ( B filo ) = µ 0 i N π r 2 La f.e.m. indotta nel toroide è dunque: E = dφ dt = µ 0N π r 2 k = 5.6 10 7 V b) Il coefficiente di autoinduzione, o induttanza, è definito come la costante di proporzionalità fra il flusso del campo magnetico e la corrente elettrica: Φ( B tor ) = L i tor 4
dove B tor è il campo generato all interno del solenoide dalla corrente i tor che circola nelle spire: Si ricava dunque l induttanza: c) Φ( B tor ) = Nπr 2 B tor = µ 0N 2 πr 2 i tor L = Φ( B tor ) i tor = µ 0N 2 πr 2 = 1.1 10 3 H L equazione del circuito dato dall induttanza e dalla resistenza del toroide, alimentate dalla f.e.m. indotta, è: E L di tor dt = i tor R Risolvendo l equazione di maglia si ricava la corrente i tor, che ha un andamento esponenziale dovuto all autoinduzione nel solenoide: i tor (t) = E R (1 e t τ ) dove τ è la costante di tempo τ = L/R = 1.9 10 4 s. 5