Fisica II - Ingegneria iomedica - A.A. 07/08 - Appello del 4/6/08 ) onsideriamo le 3 cariche in figura con q = -q, q = -q, q3 = -q, q = ; le loro distanze dall origine sono r = 3 cm, r = r3 = cm, e l angolo = 30 o a) alcolare le componenti E, Ey del campo elettrico totale generato dalle 3 cariche nel punto ( = 0, y = 0) b) alcolare l angolo che il campo forma con l asse. c) Disegnare con una freccia il campo in figura, indicando approssimativamente direzione e verso. k 4 0 90 9 Nm N a) E 3.50 E.6470 7 7 y N b) 6.9 I campi generati dalle 3 cariche elettriche sono: q q E k ˆ E q o q o k yˆ E k sin(30 ) ˆk cos(30 ) yˆ 3 r r r r o 3 3 q q o q q o Il campo totale è dato da: E k sin(30 ) ˆ k cos(30 ) yˆ r r3 r r3 E 9 Nm 7 N 90 0.5 3.5 0 (3 cm) ( cm) E y 9 Nm 7 N 90 0.866.647 0 ( cm) ( cm) Ey.647 tan( ) 0.507 6.9 E 3.5 o -------------------------------------------------------------------------------------------
) Una carica puntiforme q = è posta al centro di un guscio sferico conduttore carico, con carica qs = -3, raggio interno a = 4 cm ed esterno b = 8 cm. a) Determinare la carica Q accumulata sulla superficie interna ed esterna del guscio b) alcolare il valore del campo elettrico ad una distanza dal centro uguale a r = cm, r = 6 cm, r =0 cm c) Assumendo nullo il potenziale all infinito, calcolare il potenziale elettrostatico alla distanza r = cm, r = 0 cm a) Sup. interna Q = - Sup. esterna Q = - Nella cavità agisce solo il campo della carica puntiforme, mentre all esterno del guscio sia la carica puntiforme ed il guscio agiscono come cariche puntiformi nel centro del guscio; campo e potenziale sono quindi quelle di una carica puntiforme data dalla somma delle due cariche: q = nella cavità, q+ qs = - all esterno 9 Nm 7 r cm E 9 0 4.5 0 ( N / ) 4 40 m b) r 6cm E 0 9 Nm 6 r 0cm E 9 0 0.9 0 ( N / ) 4 0 0 m 9 Nm 5 r cm V 9 0 9 0 V 0 m c) 9 Nm 4 r 0cm V 90 90 V 00 m ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3) Una batteria con forza elettromotrice E = V viene connessa a 3 condensatori con capacità = 0 pf, = 8 pf, 3 = 4 pf. Alla chiusura del circuito: a) alcolare le cariche q, q, q3 sui 3 condensatori b) alcolare le d.d.p. V, V, V3 ai piatti dei 3 condensatori. c) alcolare l'energia elettrostatica U, U, U3 nei 3 condensatori. d) Ricalcolare le cariche q, q, q3, dopo che è stato interamente riempito di una sostanza di costante
dielettrica relativa r = 5, e 3 riempito di una sostanza con r3 = 8. e) Ricalcolare V, V, V3 dopo l'inserimento dei dielettrici f) Ricalcolare l'energia elettrostatica U, U, U3 dopo l'inserimento dei dielettrici e sono condensatori in serie per cui la loro capacità equivalente è: Essendo in serie, i due devono avere la stessa carica, che si ricava facilmente considerando che la d.d.p. ai capi di è la f.e.m. della batteria: a carica su 3 è ovviamente: Dalle cariche si ricavano immediatamente le d.d.p.: Infine le energie: / 4.444 pf 5.33330 q U.40 0 pf U.7770 J U.880 J 0 0 3 q q q E 4.444 pf V 53.3333 p q E 4 pf V 48 p V E V 3 3 3 q 5.3330 q 5.333 0 V 5.3333V V 6.6666V 0 pf 8pF Dopo l inserimento dei dielettrici, la d.d.p. ai capi di e 3 NON AMIA, poiché è fissata dalla batteria; ripetiamo quindi lo stesso procedimento, tenendo conto del cambiamento delle capacità: r r 0 ( ) / (400 / 50) pf 8pF J q q E 8pF V 96 p q ( ) E 3 pf V 384 p 3 r3 3 q 96 p q 96 p V 9.6V V.4V 0 pf 5 40 pf 96 p q 96 p q 0 0 4.608 0.5 0 0 pf 5 40 pf U J U J 0 U3 3V3 3.040 J
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4) a figura mostra un circuito con 3 batterie di f.e.m. E = 8 V, E = 5 V, E3 = 4 V, R = 0, R = 5 a) alcolare la corrente i che attraversa la resistenza R, la corrente i che attraversa R, la corrente i3 che attraversa il ramo della batteria 3 b) Indicare con frecce in figura il verso delle correnti i i i3 c) alcolare le d.d.p. V e V ai capi delle resistenze R ed R, e la d.d.p. VaVb tra i punti a e b del circuito Supponiamo che le correnti abbiano il verso indicato in figura; su questa ipotesi, scriviamo le leggi di Kirchoff per le maglie superiore e inferiore: Maglia superiore (si notino i versi delle 3 diverse batterie: quelle che favoriscono il verso della corrente sono f.e.m. positive, quella di verso contrario è una f.e.m. negativa): V E E3 E ir i 0.A 5 Maglia inferiore: E 4V i R i 0.4A 0 3 Applichiamo la legge dei nodi: per come abbiamo ipotizzato scorrere le correnti, è chiaro che deve essere: Infine le d.d.p.: i3 i i 0.6A V E 4 V; V i R V; V V E E 9V 3 a b 3 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5) onsideriamo tre fili conduttori perpendicolari alla pagina con correnti i =5 A, i = 0 A, i3 = 5 A; sia a = 3 cm. Il verso delle correnti è indicato in figura. a) alcolare le componenti cartesiane del campo magnetico totale generato dai 3 fili nell origine del riferimento (=0, y=0). b) Disegnare con una freccia in figura il campo totale nell origine c) onsideriamo un quarto filo, percorso da corrente i4 = A, posto nell origine di verso entrante (dunque orientato nel verso dell asse z negativo). alcolare le componenti cartesiane della forza che agisce su una sezione =.5 m di questo filo. d) Disegnare con una freccia la forza in figura 7 Tm 0 4 0 A
I campi magnetici generati dai 3 fili sono: 0i 0 0i 0 ˆ ˆ cos(45 ) sin(45 ) y a a 0i 0 0i 0 ˆ ˆ cos(45 ) sin(45 ) y a a i a 03 ˆ 3 Il campo totale: y 0 0 0 3 0 i i i3 i i i 4 a 4 a a 4 a 7 0 ( Tm / A) 5A 50 3cm 7 0i 0 ( Tm / A) 5A 0i 5 4 a 4 a 3cm T 5 0 5 T alcoliamo la forza agente sul filo 4 (si noti che il verso della corrente i4 è entrante, per cui la direzione del vettore è lungo l asse z negativo): ˆ yˆ zˆ F i i 0 0 i ˆ i yˆ 4 4 4 y 4 y 0 5 3 F A.5m50 T 0.90 N 5 3 Fy A.5m50 T 0.90 N --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6) Una bobina con resistenza R = 5, N = 0 spire e diametro d = 8 cm è coassiale con un solenoide ideale (sia l asse comune); il solenoide ha n=5 spire/cm e raggio r = cm; nel solenoide scorre una corrente alternata is = i0 sin(t), con i0 = 4 A, = 00 rad/s (il verso di i0 è indicato in figura).
a) alcolare il campo magnetico generato dal solenoide agli istanti t = 3 ms, t = 4 ms, t = 36 ms b) alcolare l intensità della corrente indotta iin nella bobina negli stessi istanti; indicare per ciascun istante se i versi di iin ed is sono concordi o discordi. Il campo magnetico generato dal solenoide all interno è: ni ni t sin 0 s 0 0 7Tm 5 3 0ni0 4 0 4A 4 0 T A 0 m t 3 ms : 4sin(0.3 rad) mt 4 0.955 mt 3.7mT t 4 ms : 4sin(.4 rad) mt 4 0.675mT 8.49 mt t 36 ms : 4sin(3.6 rad) mt 4 ( 0.445) mt 5.56 mt a f.e.m. indotta nella bobina dalla variazione del flusso magnetico è (si noti che il flusso è concatenato alle N spire della bobina): E i d dt N N r ni t 0 0 cos a corrente indotta nella bobina è quindi: alcoliamo prima il fattore non dipendente dal tempo: i in Ei R N r ni 0 0 cos R t N r 0ni0 R 7 04 ( ) 0 ( / ) 5400 cm Tm A A 6.36 ma 5cm s t 3 ms : i 6.36 cos(0.3 rad) ma 6.034 ma in t 4 ms : i 6.36 cos(.4 rad) ma 4.657 ma in t 36 ms : i 6.36 cos(3.6 rad) ma 5.664 ma in Poiché il segno di è concorde col segno della corrente is, ne segue che quando iin e hanno lo stesso segno iin ed is sono concordi; quando iin e hanno segni opposti, iin ed is sono discordi. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 7) onsideriamo il circuito in figura con E = V, = H, R =, R = 6
limite di tempo lungo a) Alla chiusura dell interruttore calcolare le correnti i, i, i b) Nello stesso istante calcolare le d.d.p. V, V ai capi di R, R, la d.d.p. V ai capi dell'induttore, e l energia magnetica U immagazzinata in. c) All istante t = s calcolare la corrente i(t) nel ramo della batteria, la d.d.p. V(t) capi di e l energia magnetica U(t) d) Ricalcolare i, i, i nel limite di tempo lungo e) Ricalcolare le d.d.p. V, V, V e l energia U nel Istante iniziale: la tensione ai capi dell induttanza compensa la batteria: la corrente nel ramo della batteria è nulla; la d.d.p. ai capi delle resistenze è nulla: a) i 0 i 0 i 0 b) V 0 V 0 V V U 0 Tempo lungo: l induttanza è un cortocircuito E V R.5 i 8A R.5 V V d) i 8A i 6A i A 6 e) V V V V V 0 U 64 J Il tempo caratteristico del circuito R è dato da: Al tempo t = s: Per definizione, la d.d.p. ai capi dell induttore è data da: H.333 s R.5 E t/.5 is ( t) e 8 A e 80.777 A 6.A R () di() t V t dt
Sostituendo la derivata della corrente rispetto al tempo si ottiene: E V t e e V e V V t/ t/.5 ( ) =E 0.3.68 R Infine l energia ad un istante qualsiasi è data da: U ( t) i ( t) H (6. A) 38.56 J ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 8) Un condensatore con = 6 F viene caricato da una batteria con E = 80 V; il condensatore carico viene connesso ad un induttore con = 5 mh, con la configurazione di carica sui piatti mostrata in figura; questa configurazione genera una carica oscillante sinusoidale q(t) = Q cos(t) a) alcolare la frequenza angolare, la carica massima sul condensatore Q, la corrente massima nel circuito I, e l energia immagazzinata nel circuito U b) alcolare all istante t = 5 ms l intensità della corrente nel circuito i, e la d.d.p. ai piatti del condensatore V = Va Vb c) Disegnare con una freccia nel grafico il verso della corrente all istante t = 5 ms a frequenza caratteristica del circuito è: 4 0.33330 Hz 8 5mH 6F 90 s a carica massima sui piatti: Q E 6F 80V 480 a corrente massima nel circuito: 0 4 480.6 I Q Hz A 3 energia del circuito è conservata nel tempo, e periodicamente trasferita dal condensatore all induttore e viceversa; possiamo egualmente calcolarla come energia massima immagazzinata nel condensatore o come energia massima immagazzinata dall induttore; Q U I 7.5 mh (.6 A) 9. mj
Per definizione, la corrente è la derivata della carica rispetto al tempo, per cui: dq() t i( t) Q sin( t) I sin( t) dt Al tempo t = 5 ms 4 3 i.6asin 0.3330 50 rad.6 Asin(6.66666 rad).6 A( 0.88).3A Essendo la corrente a t=5 ms POSITIVA, essa scorre in senso orario; infatti dalla formula per i(t) si vede che la corrente è NEGATIVA per t appena maggiore di zero, ovvero subito dopo l accensione del circuito; sappiamo che a t=0 il condensatore è completamente carico con la faccia superiore carica positivamente, per cui la corrente negativa deve scorrere in senso antiorario; a d.d.p. ai piatti del condensatore ad un istante di tempo qualsiasi è data da: q() t Q V cos( t) E cos( t) Al tempo t = 5 ms V 80V cos(6.66666 rad) 80V 0.575 45.97V