Prova scritta finale del Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. orenzo Marrucci Tempo a disposizione ore e 55 minuti 1) Un elettrone si trova in una buca di potenziale 1D come quella in figura, che ha una parete infinita per x e l altra parete alta U 15 ev per x 1Å. Nella buca il potenziale è U(x), mentre per x> si ha il potenziale costante U(x)U. elettrone occupa uno degli stati stazionari possibili della buca, corrispondente ad una energia E 7.5 ev. Determinate: (a) la lunghezza d onda di De Broglie dell elettrone all interno della buca; (b) la distanza x dalla buca (nella regione x>) per la quale la densità di probabilità P(x) di trovare l elettrone nel punto x si è ridotta di un fattore e 7.4 rispetto alla densità P() che si ha per x (in altre parole, dovete determinare la lunghezza caratteristica di decadimento dell onda evanescente); (c) la funzione d onda φ(x) dentro e fuori la buca; (d) la probabilità complessiva di trovare l elettrone dentro (x<) oppure fuori (x>) della buca. (e) Determinate infine quanti elettroni al massimo possono essere contenuti nella buca sfruttando anche gli altri livelli energetici esistenti (considerando lo spin e trascurando le interazioni tra gli elettroni). [Punti: a3, b3, c, d1.5, e.5] U(x) U(x) per x< E U(x)U per x> x ) Una buca di potenziale infinita 3D di forma cubica ( scatola ), di lato 3.55 Å, contiene 13 elettroni. Tenendo conto dello spin e trascurando le interazioni tra gli elettroni, determinate: (a) la configurazione elettronica dello stato fondamentale e la corrispondente energia (in ev); (b) la configurazione elettronica del primo stato eccitato e la corrispondente energia (in ev); (c) la lunghezza d onda della luce emessa o assorbita nella transizione tra i due livelli energetici determinati ai punti precedenti; (d) la degenerazione dei due stati determinati ai punti precedenti; (e) la pressione complessiva che gli elettroni esercitano sulle pareti della scatola quando il sistema è nello stato fondamentale (suggerimento per questo ultimo punto: la seguente relazione termodinamica lega la pressione p alla dipendenza dell energia totale E del sistema dal volume V: p E/ V ). [Punti: a 3; b3; c3; d.5; e.5] 3) Completate almeno uno dei seguenti due temini (max mezza pagina ciascuno) [se invece li fate entrambi, prenderò il punteggio del migliore dei due; il valore totale è comunque max 1 punti]: a. Descrivete il modello di Bohr dell atomo di idrogeno, discutendo i suoi successi e le questioni che invece lasciava irrisolte. b. Discutete la connessione tra la periodicità delle proprietà chimiche degli elementi e la configurazione elettronica degli atomi. Carica dell elettrone e 1.6 1-19 C Costante di Planck ridotta ħ 1.5 1-34 J s Massa dell elettrone m 9.11 1-31 kg ATTENZIONE: la prova continua alla pagina seguente...
seconda pagina - Prova scritta finale /6/ - Istituzioni di Fisica della Materia - Prof. orenzo Marrucci 4) TEST (vale 1 punto per ogni domanda) COGNOME: NOME: MATRICOA: a) Citate due esperimenti classici i cui risultati hanno contribuito alla scoperta dei quanti: b) Scrivete le due relazioni di De Broglie: c) Enunciate il principio di indeterminazione di Heisenbergh: d) Scrivete l equazione di Schroedinger dipendente dal tempo per una particella soggetta ad una energia potenziale U(r): e) Come varia nel tempo la funzione d onda per uno stato stazionario di energia E? f) Scrivete la funzione d onda ψ(r,t) associata ad una particella di massa m, che si muove con velocità v, nota perfettamente: g) Quali sono le energie possibili per un oscillatore armonico quantistico di frequenza angolare ω? h) Scrivete tutti i numeri quantici che determinano i diversi stati elettronici dell atomo di idrogeno, specificando anche i valori possibili di ciascun numero quantico: i) Scrivete la configurazione elettronica dell atomo di carbonio (simbolo C, Z 6) j) Scrivete la configurazione elettronica dell atomo di Gallio (simbolo Ga, Z 31)
Soluzioni degli esercizi Esercizio 1 Dalla relazione di de Broglie λ h/p e dalla relazione E p /(m) tra quantità di moto p ed energia (cinetica) E, dove m è la massa dell elettrone, otteniamo immediatamente risposta (a): λ h me.3 nm a stessa risposta si può trovare ovviamente a partire dal numero d onde k π/λ determinato risolvendo l equazione di Schroedinger nella regione della buca <x< come vedremo ora. Risolviamo l equazione di Schroedinger indipendente dal tempo nelle varie regioni del problema. equazione di Schroedinger in generale si scrive come segue: d φ + U ( x) φ( x) Eφ( x) (1) m Nella regione x<, dove U, la (1) implica che debba essere semplicemente φ(x) per x< () Nella regione <x< interna alla buca di potenziale, U(x) e l equazione (1) si riduce alla forma d φ + k φ (3) identica a quella di un oscillatore armonico, dove abbiamo introdotto la costante p k 1 me (4) e soluzioni della (3) sono in generale della forma (usando le soluzioni esponenziali complesse) φ ) ikx ikx ( x ae + b per <x< (5) e quindi corrispondono ad onde armoniche (la parte spaziale) con numero d onde k e quindi lunghezza d onda λ π/k. Infine nella regione x>, si ha U(x) U (con U >E) e l equazione (1) può essere messa nella forma d φ χ φ (6) dove si è introdotta la costante 1 χ m ( U E) (7) e soluzioni della (6) sono in generale della forma seguente
φ ) χx χx ( x ce + de per x> (8) Dei due termini che appaiono nella (8) il primo diverge per x, dove però l equazione non si applica (essendo limitata alla regione x>), mentre il secondo diverge per x dove l equazione si applica. Quindi la condizione aggiuntiva di validità fisica delle soluzioni che richiede che non vi siano divergenze impone che il secondo termine si debba annullare, cioè d. Il termine residuo è quindi il seguente: φ(x) ce χx per x> (9) Il modulo quadro della funzione d onda φ fornisce la densità di probabilità, che quindi osserva la seguente legge di decadimento esponenziale: P(x) φ(x) c e χx per x> (1) In base alla (1) il rapporto tra P() e P(x) per x> è quindi dato dalla seguente espressione: P(x)/P() e χ(x ) (11) Questo rapporto diventa pari a 1/e e quando χ(x ) 1, da cui otteniamo risposta (b): 1 x χ ( E) m U.18 nm (Nota: questa risposta poteva essere data anche senza discutere tutta la risoluzione dell equazione di Schroedinger, come ho fatto per maggiore chiarezza, ma invece utilizzando direttamente la posizione (7), che definisce la costante caratteristica esponenziale della funzione d onda nelle regioni in cui l energia della particella è inferiore al potenziale) a funzione d onda φ(x) dentro e fuori la buca è data dalle espressioni (), (5) e (9). Questo potrebbe anche bastare per la risposta (c). Tuttavia per una risposta più completa (e per poter rispondere alla domanda successiva) è opportuno iniziare a considerare anche le condizioni di raccordo, che legano tra loro le costanti a, b e c. Nel punto x, essendoci un salto infinito di potenziale, vale l unica condizione di raccordo φ( ) φ( + ), dove e + rappresentano il limite x da sinistra (dove vale l espressione ()) e da destra (dove vale la (5)). In pratica dobbiamo uguagliare la φ() calcolata con la () e la φ() calcolata con la (5). Quindi otteniamo la seguente condizione: a + b (1) Introducendo per comodità la costante A ia, la condizione (1) permette di ridurre la (5) alla forma seguente: φ(x) A sin(kx) per <x< (13) (dove abbiamo usato la formula sin(α)(e iα e iα )/i). Ora consideriamo il punto x. Qui abbiamo solo un salto finito di potenziale, per cui dobbiamo imporre le due condizioni di raccordo: φ( dφ ( ) φ( + ) dφ ) ( + ) (14) a prima delle (14), applicata alle espressioni (13) e (9), fornisce la seguente equazione sui coefficienti:
Asin(k) ce χ (15) da cui otteniamo c in funzione di A. In tal modo possiamo scrivere la funzione d onda nelle tre regioni nella seguente forma (in cui compare solo la costante A, da definire mediante la condizione di normalizzazione, come vedremo più avanti): φ(x) per x< risposta (c) φ(x) A sin(kx) per <x< φ(x) A sin(k) e χ(x ) per x> a seconda condizione delle (14) fornisce, dopo pochi passaggi, la seguente equazione trascendente: k tan k χ (16) e soluzioni di questa equazione sono quelle che determinano le energie possibili del sistema per E<U, ossia gli stati stazionari legati. Ma nel nostro problema il valore dell energia è assegnato, per cui non abbiamo bisogno di risolvere questa equazione [anche se più avanti dovremo analizzarla per ricavare l ultima risposta (e), dove è necessario stabilire anche il numero degli altri livelli di energia]. a probabilità P 1 di trovare l elettrone all interno della buca, ossia per <x< si calcola come segue: A A sin k A χ P1 φ( x) A sin kx 1 cos( kx) 1 k ( k + χ ) (17) dove nell ultima espressione abbiamo sfruttato la (16) per dare un espressione equivalente del sin(k) in termini di k e χ. a probabilità di trovare l elettrone all esterno della buca, ossia per x> (la probabilità per la regione x< si annulla), è la seguente: A sin k A k P x A k e A k e χ( x ) χx φ( ) sin sin (18) χ χ ( k + χ ) dove di nuovo abbiamo usato la (16) per ricavare un espressione equivalente del sin k. Per determinare la costante A bisogna imporre la condizione di normalizzazione, che corrisponde a 1 sin k sin k k χ P1+ P 1 A 1 + + k χ χ( k + χ ) 1 (19) Sostituendo la (19) nelle (17) e (18) troviamo l espressione finale delle probabilità:
risposta (d) ( k ) ( ) χ + χ χ P1.961 96.1% χ k + χ + k χ k P 1 P 1.39 3.9% χ k + χ + k χ ( ) Per determinare quanti elettroni possono essere contenuti nella buca di potenziale è necessario stabilire quanti stati legati ci sono. A questo scopo dobbiamo studiare l equazione (16) graficamente, plottando su uno stesso grafico le funzioni tan(k) e k/χ k/[u (k) ] in funzione di k nell intervallo [,u], dove abbiamo introdotto la grandezza adimensionale u mu 6.3 () I punti in cui queste due funzioni si incrociano (escluso il punto iniziale k che corrisponde ad una funzione d onda nulla e quindi non valida) forniscono gli stati stazionari possibili: 3.5 1.5 1.5 -.5-1 1 3 4 5 6 k Una analisi generale del problema può essere fatta ragionando sulle caratteristiche qualitative delle due funzioni da incrociare. Da tale ragionamento si ottiene per il numero N di soluzioni l espressione generale seguente: N int(u/π+1/) (1) dove l espressione int() rappresenta qui l intero ottenuto troncando i decimali (senza arrotondamento). Nel caso nostro sia questa espressione che il grafico mostrano che le soluzioni sono N. Pertanto il numero di elettroni che possono essere intrappolati è risposta (e): numero elettroni N 4
Esercizio Gli stati quantistici stazionari della buca di potenziale cubica sono descritti dai tre numeri quantici (n 1, n, n 3 ), che sono tutti e tre interi positivi (ossia 1,, 3...). o spin introduce un altro numero quantico m s che può valere ±1/. energia di un elettrone associata a ciascuno stato stazionario è data dalla seguente formula: E E (n 1 +n +n 3 ) (1) dove E π m 4. ev () Avendo 13 elettroni, lo stato fondamentale (SF) si realizza ponendo due elettroni nello stato (1,1,1) (sfruttando i due stati di spin m s ±1/), sei elettroni negli stati (,1,1), (1,,1) e (1,1,), e cinque elettroni negli stati (,,1), (,1,) e (1,,). Un modo per rappresentare la configurazione elettronica analogo a quello che si fa con gli atomi potrebbe essere il seguente: risposta (a) prima parte: SF (1,1,1) (,1,1) 6 (,,1) 5 dove la terna di numeri rappresenta in questo caso tutti gli stati che hanno la medesima energia di quello indicato (ad esempio (,1,1) rappresenta anche (1,,1) e (1,1,)) e il numero posto ad apice rappresenta il numero di elettroni presenti in quel livello di energia. energia corrispondente si calcola sommando le energie di ciascun elettrone, ciascuna calcolata usando la (1), per cui si ha risposta (a) seconda parte: E SF 3E +6 6E +5 9E 87 E 348 ev a configurazione elettronica del primo stato eccitato (SE1) si ottiene spostando un elettrone dal livello (,,1) al livello (3,1,1), il che comporta un aumento di energia pari a E. Perciò, si ha risposta (b) prima parte: SE1 (1,1,1) (,1,1) 6 (,,1) 4 (3,1,1) 1 e risposta (b) seconda parte: E SE1 3E +6 6E +4 9E +11E 89 E 356 ev a lunghezza d onda della luce emessa o assorbita per la transizione SF SE1 si ottiene imponendo la legge di conservazione dell energia del sistema e del fotone emesso o assorbito (legge di Bohr), cioè: hν E SE1 E SF (3) Questa equazione ci fornisce la frequenza della luce. Per ottenere la lunghezza d onda basta usare λc/ν, che fornisce: risposta (c): λ hc/( E SE1 E SF ) 155 nm a degenerazione si ottiene contando il numero di modi possibili di mettere gli elettroni in una data configurazione. Per lo stato fondamentale, abbiamo un solo modo di mettere due elettroni identici nei due stati del livello (1,1,1), un solo modo di mettere 6 elettroni identici nei 6 stati del livello (,1,1), ma i 5 elettroni nei 6 stati del livello (,,1) possono essere messi in vari modi. Per contarli è più semplice fare riferimento al buco, ossia a dove NON si mette l elettrone. Avendo 6 stati il buco può essere messo in 6 stati diversi e quindi la degenerazione è
risposta (d) prima parte: deg SF 6 Per lo stato eccitato la cosa si complica un po. Se fossero numerati, i 4 elettroni nei 6 stati del livello (,,1) potrebbero essere messi in 6 5 4 3 6!/! modi diversi. Dato che ci sono 4! 4 3 1 modi diversi di numerare i 4 elettroni e che tutti questi modi diversi vanno contati una sola volta perché gli elettroni sono identici, otteniamo che ci sono 6!/(!4!) 15 modi diversi di posizionare gli elettroni (il ragionamento era in effetti più rapido con i due buchi). Per ciascuno di questi ci sono anche 6 modi diversi di posizionare l unico elettrone nei 6 stati del livello (3,1,1), per cui in totale la degenerazione complessiva è risposta (d) seconda parte: deg SE1 15 6 9 Per determinare la pressione degli elettroni sulle pareti della scatola basta considerare l espressione dell energia totale nello stato fondamentale (risposta a) scritta in funzione del volume della scatola V 3, ossia: E(V) 87E 87 π ħ /(m ) 87 π ħ /(m) V /3 (4) In base ad una relazione termodinamica (che viene suggerita nel testo dell esercizio), la pressione p è allora data da risposta (e): E p V 87π m V 3 5 3 87π 5 3m E 3 3 E 3V.13 npa (Nota bene: il Pa 1N/m è l unità SI di pressione; le unità qui sopra sono il nano-pascal)