RIGIDEZZA ED UNITA DI MISURA

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1 RIGIDEZZA ED UNITA DI MISURA Se si fa riferimento ad una retta rigida, su di essa può essere scelto un segmento, anch esso rigido, che può essere definito come unità di misura. Tramite di esso si potrà, appunto, misurare per sovrapposizione e confronto, anche con i suoi multipli e sottomultipli, un qualsiasi secondo segmento rettilineo. In particolare, se sulla retta i punti vengono messi in corrispondenza ordinata e biunivoca con i numeri reali, si potrà scegliere come unità di misura il segmento unitario, i cui estremi corrispondono ai valori reali zero ed uno. Infine, se riportando il segmento unitario su di una qualsiasi posizione sulla retta si individuano sempre segmenti i cui estremi corrispondono a valori reali che differiscono dell unità, allora la corrispondenza biunivoca è metricamente autocoerente. Una tale retta metricamente autocoerente può essere utilizzata come un righello su cui sono rintracciabili tutti i multipli e sottomultipli dell unità di misura, e su cui le misure si possono effettuare anche per differenza tra i valori dei numeri reali corrispondenti ai punti sovrapposti agli estremi del segmento da misurare. Passando dai segmenti agli angoli, si passa da una relazione più semplice, a due punti, ad una più complessa ed asimmetrica a tre punti. Uno di essi, il vertice, assume la caratteristica di centro dell angolo, mentre la direzione individuata da uno degli altri due rispetto al vertice è quella di origine o di misura zero dell ampiezza dell angolo. Inoltre si assume un verso positivo standard, quello antiorario, per poter mettere in relazione i numeri reali con le ampiezze (distanze angolari) degli angoli. La corrispondenza non sarà biunivoca, ma solo suriettiva (ed additiva) perché dopo un giro completo attorno al vertice l angolo ricoprirà nuovamente la stessa porzione di piano. Per poter efficacemente mettere in corrispondenza gli angoli con i numeri reali, si fa di solito riferimento ad un cerchio di raggio unitario con centro nel vertice dell angolo. Facendo riferimento ad un punto di misura zero, quello di intersezione con l asse orizzontale sul piano cartesiano se il centro è posto nell origine degli assi, si fanno corrispondere i numeri reali ai punti sulla circonferenza, facendo in modo che il valore uno corrisponda ad un arco detto radiante lungo quanto il raggio, e cioè di lunghezza unitaria, oppure facendo in modo che un giro completo che percorre l intero piano corrisponda a 360 unità di misura dette gradi. Naturalmente considereremo che tale cerchio di raggio unitario sia rigido e che, se riportando l arco unitario su di una qualsiasi posizione sul cerchio unitario si individuano sempre archi i cui estremi corrispondono a valori reali che differiscono dell unità, allora la corrispondenza suriettiva è metricamente autocoerente Un tale cerchio di raggio unitario metricamente autocoerente può essere utilizzato come un goniometro su cui sono rintracciabili tutti i multipli e sottomultipli dell unità di misura, e su cui le misure si possono effettuare anche per differenza tra i valori dei numeri reali corrispondenti ai punti sovrapposti agli estremi dell arco da misurare (corrispondenza a tre tra numeri reali, archi ed angoli). 8

2 LO SPAZIO, IL PIANO ED I TERMINI PRIMITIVI Se si vogliono approfondire le proprietà fondamentali della spazio geometrico, specialmente dopo avervi introdotto una metrica lineare, è opportuno non ignorare i risultati ottenuti da Riemann. Egli ha teorizzato degli spazi astratti, non-euclidei in senso molto generale e ad n- dimensioni, dove non si parla di linee rette ma di geodetiche, nel senso di linee di minor percorso, ed acquista fondamentale importanza la regola per determinare la distanza tra due punti indefinitamente vicini, al fine di procedere al calcolo delle distanze finite, per integrazione lungo i percorsi. Limitandoci alle tre dimensioni, la regola più generale per la distanza, ovvero la sua metrica, si esprime nella forma: ds 2 = g 11 dx 2 + g 12 dxdy + g 13 dxdz + g 21 dydx + g 22 dy 2 + g 23 dydz + g 31 dzdx + g 32 dzdy + g 33 dz 2 dove i termini g ij sono dei termini costanti nel caso più semplice, ma essi stessi funzioni delle variabili x, y, z, nel caso più generale. 9

3 Una tale metrica è non-euclidea, proprio perché non corrisponde al Teorema di Pitagora che, in uno spazio euclideo tridimensionale fornisce la nota espressione ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 ovvero ds 2 = dx 2 + dy 2 sul piano cartesiano. L approccio di Riemann ha assunto importanza dopo essere stato utilizzato da Einstein per la teoria della Relatività, con la sua metrica quadridimensionale ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 - c 2 dt 2 dove il tempo ha caratteristiche spaziali e si parla di spazio-tempo. Esprimendoci intuitivamente, per gestire gli oggetti geometrici nello spazio tridimensionale euclideo, si utilizzano tre rette tra di loro perpendicolari e con un unico punto in comune detto origine degli assi; tali rette avranno i loro punti in corrispondenza biunivoca con i numeri reali e saranno metricamente autocoerenti, cioè rigide e non deformabili nel senso della loro lunghezza. All interno dello spazio geometrico il piano viene individuato da due dei tre assi cartesiani, generalmente chiamati asse x ed asse y. 10

4 In senso classico, cioè senza far riferimento ad alcuna metrica, il piano può essere generato in alcuni modi. Ad esempio, si può pensare ad una retta r e ad un punto fuori di essa e dire: piano è il luogo geometrico dei punti appartenenti a tutte le linee rette passanti per ciascun punto Q n di una linea retta data e per un punto P fuori di essa. Ma si può anche pensare a tutte le rette ortogonali ad una retta data p per un suo punto P, o ad altri modi di generarlo. E non è necessario definire in senso negativo, come fa Euclide, una linea come una lunghezza senza larghezza, una superficie come lunghezza e larghezza senza spessore, per poi definire retta e piano attraverso caratteristiche di simmetria, cioè come giacenti ugualmente rispetto ai loro punti. Retta e piano, più che termini indefiniti o primitivi, possono, piuttosto, essere costruiti, la prima come luogo geometrico basato sul concetto di direzione (unica) individuata dalle posizioni occupate da due punti distinti; il secondo si costruisce come appena fatto sopra. Anche lo stesso spazio geometrico non è un oggetto geometrico indefinito, ma viene costruito: nel senso più classico, pensandolo ad esempio come generato da un piano che ruota attorno ad una sua retta, o più strettamente logico, come generato direttamente dall esistenza del punto geometrico in se stesso e dall esistenza della molteplicità di punti distinti e quindi dalla molteplicità delle posizioni che essi occupano. Dei termini indefiniti, come ente geometrico classico rimarrebbe solamente il punto, gli altri enti essendo tutti costruibili. Ma per costruire un ente che si può pensare sia ben definito come il più semplice possibile, composto solo da se stesso, potrebbe essere sufficiente individuarne solamente la posizione. Se si pensa ad un luogo geometrico di enti che occupano tutti la stessa unica, singola posizione, ne resta logicamente individuato solo il punto o, il che è lo stesso, una molteplicità di punti tutti coincidenti, proprio perché è l unico ente così semplice da occupare una singola posizione: un segmento occupa una molteplicità di posizioni. Un luogo geometrico non deve essere necessariamente costituito di singoli punti: si può pensare per esempio al luogo geometrico dei quadrati complanari con i vertici a due a due in comune e con ciascun lato in comune con un quadrato contiguo, per descrivere una griglia senza limiti e perfettamente simmetrica e regolare, composta da rette parallele ed ortogonali. Tuttavia, dato che tutti gli enti geometrici sono alla fin fine composti da punti, anche ogni luogo geometrico lo è, e quindi l ente punto deve essere logicamente antecedente al concetto di luogo geometrico. Per evitare un circolo vizioso, potrebbe essere comunque convieniente considerare il punto come ente non costruito e quindi non definito. Oltre l unico ente geometrico non definito, che rimane il punto, restano indefiniti e quindi primitivi degli oggetti geometrici che non sono dei veri e propri enti 11

5 geometrici, ma sembrano essere un substrato indispensabile alla loro esistenza; sembrano far parte della struttura stessa dello spazio geometrico. Essi sono la posizione (dell ente punto relativamente ad altri enti, e degli enti punto in quanto appartenenti ad un medesimo ente esteso), la direzione (tra un punto ed un altro), la distanza (come differenza tra posizioni), la distanza angolare. Seguono infine delle entità che più che oggetti geometrici sono delle relazioni logiche: relazione di stare su (di incidenza od appartenenza), relazione di stare tra (d ordine), congruenza (uguaglianza) di segmenti, congruenza (uguaglianza) di angoli. Per ultime le strutture logiche complesse che permettono di descrivere ed individuare i luoghi geometrici. Spesso esse includono le relazioni logiche più semplici appena elencate; altrettanto spesso includono gli enti strutturali dello spazio geometrico: posizione, direzione, distanza lineare e distanza angolare; sempre includono l ente punto geometrico. Ad esempio, il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto dato, che descrive l ente geometrico cerchio (o meglio la circonferenza) coinvolge direttamente gli enti strutturali di posizione, direzione e distanza lineare, poi in prima istanza la relazione di congruenza (uguaglianza) di segmenti e solo indirettamente la relazione di stare su (incidenza od appartenenza) in quanto i punti individuati apparterranno alla circonferenza; e naturalmente l ente punto geometrico. Prima di riassumere in un breve elenco i termini non definiti, occorre ancora osservare che anche le relazioni logiche di congruenza di segmenti e di congruenza di angoli sono in realtà definibili a partire dagli enti strutturali dello spazio geometrico di posizione, distanza lineare e distanza angolare. Ad esempio due segmenti possono essere congruenti se i loro estremi presentano la medesima distanza lineare, ma identici o coincidenti se i loro estremi occupano anche le medesime posizioni nello spazio geometrico. E dalla combinazione tra gli enti strutturali di posizione, distanza lineare e distanza angolare e la relazione logica di stare tra, derivano, nel caso di differenti distanze, le relazioni di disuguaglianza (non congruenza) di lunghezza lineare o di ampiezza angolare, nei due sensi di maggiore e minore. Riassumendo, avremo come termini non definiti ENTI GEOMETRICI: il punto geometrico. ENTI STRUTTURALI: posizione, direzione, distanza lineare, distanza angolare. CARATTERISTICHE STRUTTURALI: molteplicità (dei punti geometrici), unicità (di posizione e di direzione). CARATTERISTICHE RELAZIONALI semplici: stare su, stare tra ; complesse: luogo geometrico (inteso come struttura logica). 12

6 LE FIGURE SUL PIANO CARTESIANO Come abbiamo accennato sopra, per gestire gli enti sul piano cartesiano basta individuare due rette tra di loro perpendicolari e metricamente autocoerenti, cioè rigide e non deformabili nel senso della loro lunghezza. Esse vengono generalmente chiamate asse x ed asse y, e sarà valida la metrica euclidea riemanniana per due dimensioni ds 2 = dx 2 + dy 2. Sarà qui valida la geometria euclidea e quindi considereremo dimostrati tutti i relativi teoremi, in particolare quello di Pitagora e quelli sulla proporzionalità e sulla similitudine, in particolare la proposizione VI.4: triangoli simili (cioè con gli angoli corrispondenti uguali) hanno lati corrispondenti proporzionali. Il punto geometrico sarà completamente individuato da una coppia di coordinate individuate sui due righelli-assi cartesiani tracciando le parallele, o se si vuole le perpendicolari, rispetto agli assi stessi, passanti per tale punto. Allora, per rappresentare sul piano cartesiano un luogo geometrico di punti tale da coincidere con una data linea retta, è necessario e sufficiente che la direzione individuata da due punti qualsiasi sia sempre la medesima, cioè sia sempre uguale l angolo a formato dalla linea retta r con l asse x considerato come linea di misura zero per le ampiezze degli angoli. Per ottenere questo, i triangoli ALM, ABB, AXX dovranno essere, oltre che rettangoli, simili tra di loro, essendo tutti individuati, oltre che dalla retta r, da rette 13

7 parallele agli assi cartesiani, proprio al fine della corretta rappresentazione dei punti A, X e B tramite le loro coordinate. I lati corrispondenti saranno proporzionali e, notoriamente, sarà AM/LM=BB /AB =XX /AX, da cui (y 1 - y o )/(x 1 -x o )=(y - y o )/(x - x o ) e le equazioni in forma implicita ed esplicita ax + by + c = 0, y = mx + q dette lineari proprio perché rappresentano una linea retta. Come si vede, gli oggetti geometrici, od almeno le parti più semplici delle figure geometriche, sono rappresentate sul piano cartesiano da equazioni algebriche; eventualmente disequazioni algebriche o loro combinazioni se si vogliono rappresentare delle aree. Un altro oggetto geometrico di semplice rappresentazione è il cerchio, per il quale basta imporre, sfruttando direttamente il Teorema di Pitagora, la costanza della distanza dal centro: per il centro nell origine degli assi e raggio unitario, avremo semplicemente x 2 + y 2 = 1, per essere precisi, tale equazione rappresenta i punti sulla circonferenza, mentre i punti che rappresentano il cerchio con tutta la sua superficie sono individuati dalla disequazione x 2 + y