SANDRO RONCA. Correnti alternate. I concetti, il formalismo matematico, le reti e la potenza elettrica in corrente alternata

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1 SANDRO RONCA Correnti alternate I concetti, il formalismo matematico, le reti e la potenza elettrica in corrente alternata

2 2012 Sandro Ronca Tutti i diritti riservati Prima edizione: febbraio 2012 ISBN:

3 INDICE 1 GRANDEZZE ELETTRICHE SINUSOIDALI La corrente alternata Sinusoide Differenza di potenziale alternata sinusoidale Generare una fem sinusoidale: spira rotante in un campo magnetico Valore massimo della fem sui lati attivi Forza elettromotrice indotta e forza di Lorentz Casi particolari: fem massima, fem nulla Massima differenza di potenziale ai capi della spira Da e = Blv sin( ωt) alla legge di Faraday con il calcolo differenziale Da e = Blv sin (ωt) alla legge di Faraday senza il calcolo differenziale Quantità di carica elettrica e valor medio di una corrente alternata Media sul semiperiodo Valor medio della corrente alternata sul semiperiodo Valore efficace di una corrente o tensione alternata sinusoidale Ricavare il valore efficace dalla definizione Il fattore di forma Correnti alternate non sinusoidali Valore medio, efficace e fattore di forma per funzioni non sinusoidali Valore medio di y(t) Valore efficace di y(t) Fattore di forma di y(t) Fase di una corrente o tensione alternata 17 Problemi 18 2 SINUSOIDI, VETTORI E NUMERI COMPLESSI Operazioni con correnti e tensioni alternate sinusoidali Vettori rotanti e sinusoidi. Diagramma vettoriale Utilità della rappresentazione vettoriale delle sinusoidi Prodotto e divisione tra sinusoidi Effetti sulla fase delle sinusoidi Fasori Dai fasori ai numeri complessi Numeri complessi Corrispondenza tra numeri complessi e sinusoidi Forma esponenziale di un vettore rotante e forma polare di un fasore Utilità della rappresentazione esponenziale o polare Significato geometrico di 32 Problemi 33

4 3 IMPEDENZA E REATTANZA Legge di Ohm per un resistore percorso da corrente alternata sinusoidale Nel resistore tensione e corrente sono in fase Componenti reattivi Induttore e induttanza Induttore percorso da una corrente alternata Induttanza e autoinduzione, richiami teorici Significato fisico dell anticipo della tensione sulla corrente nell induttore Induttore ideale in regime sinusoidale La potenza reattiva induttiva istantanea La reattanza induttiva è un numero immaginario Condensatore sottoposto ad una tensione alternata Il condensatore è un componente reattivo La reattanza capacitiva è un numero immaginario La potenza istantanea capacitiva è di tipo reattivo Reattanze senza il calcolo differenziale L impedenza Impedenza di un resistore R e un induttore L collegati in serie Triangolo delle tensioni e il triangolo dell impedenza Resistore R e condensatore C in serie Resistore R, induttore L e condensatore C in serie (RLC serie) 67 Problemi 70 4 AMMETTENZA E RETI IN CORRENTE ALTERNATA Resistore R, induttore L e condensatore C in parallelo Ammettenza e impedenza equivalenti del parallelo R-L Ammettenza e impedenza equivalenti di due impedenze in parallelo Versi convenzionali delle correnti e delle tensioni I metodi di soluzione sono gli stessi dei circuiti in corrente continua Esempio di soluzione applicando i principi di Kirchhoff Thévenin, Norton, Millman in corrente alternata Thévenin Norton Considerazioni a conclusione del capitolo 89 Problemi 90 5 RISONANZA Risonanza Risonanza e frequenza di oscillazione propria Velocità di variazione del secondo ordine di una grandezza Velocità di variazione del secondo ordine di cos(ωt) Conservazione della carica elettrica e considerazioni sui segni Risonanza serie o di tensione Fattore di merito dell induttore e del condensatore Frequenze di taglio e banda passante Il decibel Risonanza parallelo, di corrente o antirisonanza Risonanza per due rami qualsiasi in parallelo 109 Problemi 112 II

5 6 POTENZA E RIFASAMENTO Definizione di potenza La potenza elettrica La potenza istantanea con tensioni e correnti sinusoidali Il segno della potenza istantanea: significato fisico La potenza media Espressione del valor medio della potenza La potenza apparente La potenza reattiva e il triangolo delle potenze Il segno della potenza reattiva Sintesi Esempi La potenza complessa Potenza nel caso di più utilizzatori Additività delle potenze Esempi di calcolo con più utilizzatori Rifasamento degli impianti utilizzatori Conseguenze del rifasamento sul funzionamento degli utilizzatori La formula della caduta di tensione industriale Rifasamento totale Sovratensione all arrivo di una linea con carico capacitivo (Effetto Ferranti) 142 Problemi 142 Simboli e abbreviazioni Le grandezze complesse o vettoriali sono indicata con lettere in grassetto: es.,,, ecc. Le stesse lettere in carattere normale indicano i moduli: L unità immaginaria è indicata con ( ), es.. Un numero complesso in forma polare è indicato con la notazione, in cui è il modulo, il segno precede il simbolo dell angolo. Il complesso coniugato è indicato con l asterisco:,. I valori massimi delle grandezze (ampiezze) sono indicati con il pedice M :,, ecc. Valori continui o efficaci sono rappresentati da lettere senza pedici,, ecc. Abbreviazioni comunemente usate ddp fem cdt fdp differenza di potenziale forza elettromotrice caduta di tensione fattore di potenza III

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7 PRESENTAZIONE L argomento correnti alternate è parte irrinunciabile della base di conoscenze necessaria per affrontare lo studio delle tecnologie elettriche: dall Elettrotecnica all Elettronica, alle Telecomunicazioni, all Automazione industriale. La valenza formativa, per i concetti fisici e matematici coinvolti, è altrettanto rilevante e da questo punto di vista si è cercato di insistere su alcuni aspetti particolarmente significativi, privilegiando appunto l aspetto formativo rispetto a quello semplicemente informativo. Per alcuni argomenti si è svolta una trattazione pre-differenziale, se è consentita l espressione, nel senso che si è evitato di ricorrere sempre e comunque al comodo e potente strumento delle derivate e degli integrali, per ripercorrere con pazienza gli istruttivi passaggi che portano, da un lato a concepire le tecniche del calcolo differenziale stesso, dall altro a renderne più concrete e comprensibili le conclusioni. Il testo è stato quindi pensato per chi ha necessità di comprendere, rivedere approfondire i concetti che stanno alla base del funzionamento dei circuiti elettrici in corrente alternata sinusoidale al livello di formazione tecnica superiore, riunendo e sviluppando i concetti necessari, nella forma più agile possibile. Si considera prerequisito per affrontare questo testo la conoscenza dei concetti relativi alle reti in corrente continua e il possesso di nozioni elementari di elettromagnetismo, ma per quanto riguarda l argomento correnti alternate il testo è sostanzialmente autosufficiente. Vi è per ogni capitolo un certo numero di esempi e per tutti sono presenti problemi di verifica.. Febbraio 2012 Sandro Ronca V

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9 1 GRANDEZZE ELETTRICHE SINUSOIDALI 1.1 La corrente alternata La corrente elettrica è generata dallo spostamento di cariche elettriche mobili, che nei conduttori sono gli elettroni. La quantità di carica Q che fluisce attraverso una certa superficie, osservata per un intervallo tempo t, permette di definire l intensit{ della corrente elettrica come: Questo flusso di cariche può essere unidirezionale e costante nel tempo, nel qual caso si ha una corrente continua. Se invece l insieme delle cariche mobili oscilla attorno ad una posizione di equilibrio, si parla di corrente alternata. In tal caso le cariche, mediamente, non si spostano significativamente dalla posizione originale. Se l oscillazione delle cariche può essere globalmente descritta in termini di moto armonico, si dice che la corrente alternata è sinusoidale dal momento che può essere matematicamente descritta da una sinusoide. 1.2 Sinusoide La sinusoide è la rappresentazione grafica della funzione seno di un angolo α al variare dell angolo stesso. Se l angolo dipende linearmente dal tempo, ad esempio secondo la relazione: con ω costante, la sinusoide si presta molto bene a descrivere le oscillazioni armoniche. Per questo motivo una corrente alternata sinusoidale può essere espressa da una funzione del tipo: dove la funzione seno è moltiplicata per una costante A, l ampiezza, in modo da poter rappresentare grandezze anche con valori superiori a 1 o inferiori a 1. La grandezza ω prende il nome di pulsazione. Essendo ω concettualmente una velocità angolare si ha, detto T il periodo (tempo necessario per compiere un giro o per una oscillazione completa):

10 1.3 Differenza di potenziale alternata sinusoidale Le cariche elettriche, come ogni sistema fisico, si muovono se, tra la posizione nello spazio in cui si trovano e quella che occuperanno in un istante successivo, esiste una differenza di energia potenziale. Le cariche positive si spostano verso regioni a energia (potenziale) minore, le cariche negative verso regioni a energia (potenziale) maggiore. Per spostare cariche elettriche è allora necessario creare una differenza di energia potenziale E P tra due posizioni nello spazio. Invece di E P, misurata in joule, si preferisce usare una grandezza ad essa correlata e direttamente misurabile: la differenza di potenziale elettrico, indicata genericamente con la lettera V (oppure U) e a volte anche con la lettera E, quando ci si riferisce ad una caratteristica dei generatori detta forza elettromotrice (fem). Se si indica con E P la differenza di energia potenziale tra due punti e con Q la quantità di carica che viene spostata tra quei due punti, la differenza di potenziale, misurata in volt, è: Se la differenza di potenziale ha andamento sinusoidale: anche il moto delle cariche sarà di tipo oscillatorio sinusoidale. 1.4 Generare una fem sinusoidale: spira rotante in un campo magnetico Un moto relativo tra un conduttore e un campo magnetico è all'origine della differenza di potenziale o forza elettromotrice (fem) indotta che si manifesta sul conduttore stesso. Rispetto a un dato sistema di riferimento è del tutto indifferente chi sia a muoversi. Ciò che importa è che esista una velocità relativa tra campo e conduttore. L esempio che segue offre una buona partenza per comprendere i meccanismi di formazione della forza elettromotrice, le sue caratteristiche e alcuni aspetti teorici. Una spira rettangolare ABCDEF aperta, di dimensioni BC =40 cm, CD = 50 cm, ruota attorno all'asse parallelo al lato minore, con una frequenza di 50 Hz all'interno di un campo magnetico costante di intensità B = 0.8 T (fig.1.1). Fig Spira rotante in un campo magnetico 2

11 1.4.1 Valore massimo della fem sui lati attivi Con il termine lati attiv indichiamo quelle parti della spira, nel nostro caso i conduttori BC e DE, che diventano sede di forza elettromotrice (fem) indotta. Le altre parti della spira non danno alcun contributo alla fem poiché il loro moto nel campo magnetico avviene senza tagliare linee di campo, ovvero non ha nessuna componente della velocità che sia trasversale al campo magnetico. La fem indotta in ciascuno dei lati attivi può essere calcolata applicando la legge: nella quale ωt è l angolo che la spira forma con un asse x di riferimento e ω coincide quindi con la velocità angolare della spira. Nell esempio: rad/s La velocità periferica, essendo r il raggio del moto circolare, è data da: Per ogni lato attivo si ha una fem indotta: m/s Concludiamo che su ogni lato attivo è presente una fem sinusoidale: Fig Scomposizione della velocità periferica del lato attivo che assume il valore massimo di 25,2 V per quando., ovvero Forza elettromotrice indotta e forza di Lorentz L'espressione della fem indotta deriva dalla particolare struttura della forza di Lorentz, espressa dal prodotto vettoriale: (1.4) Questa forza agisce sulle cariche elettriche che attraversano un campo magnetico velocità. Il suo modulo, per definizione di prodotto vettoriale è: con (1.5) se è l angolo formato dai due vettori e. 3

12 Per effetto della forza di Lorentz, le cariche mobili, cioè gli elettroni, vengono spinti lungo il conduttore attivo, provocando un accumulo ad una delle due estremità. All'altra estremità restano scoperte cariche positive (fisse) in quantità corrispondente a quelle negative spostate, realizzando di fatto una separazione tra cariche di segno opposto. La separazione delle cariche produce un campo elettrico, che, all'equilibrio, genera una forza: (1.6) uguale ed opposta alla forza di Lorentz. Da qui il segno meno che compare nella formula. Il vettore campo elettrico e il suo modulo avranno allora espressione: (1.7) (1.8) e supponendo per semplicità che le due distribuzioni di carica siano concentrate agli estremi del conduttore di lunghezza, possiamo calcolare la differenza di potenziale dovuta all'esistenza del campo elettrico: (1.9) Si può poi facilmente dedurre dalla figura 1.2 che per gli angoli l'asse x. Poiché, prendendo come riferimento si conclude che: (1.10) Data la geometria del sistema (fig. 1.2), si individua la componente secondo l asse x della velocità (componente trasversale rispetto al campo magnetico): (1.11) Il confronto con la (1.10) permette di affermare che solamente la componente della velocità perpendicolare alle linee di campo ha effetto ai fini della produzione di fem indotta Casi particolari: fem massima, fem nulla Da quanto precedentemente detto si deduce che la fem indotta assume il massimo valore quando è massima la componente trasversale della velocità: cosa che avviene quando l angolo che la spira forma con l asse x assume i valori: 4

13 Fig. 1.3 La fem è massima Fig.1.4 La fem è nulla. La fem indotta è nulla negli istanti in cui la componente trasversale della velocità ha valore zero. Ciò avviene quando: Si osservi che in questa situazione la velocità periferica dei lati attivi è parallela o antiparallela rispetto alle linee del campo magnetico Massima differenza di potenziale ai capi della spira Tra i terminali A ed F della spira si misura una differenza di potenziale che, istante per istante, è la somma delle fem indotte nei singoli lati attivi. Il valore dipende dai versi delle fem. I versi sono determinabili empiricamente con la regola della mano destra (pollice velocit{, indice campo, medio fem). In figura 1.3 sono rappresentati i versi istantanei delle fem nella situazione in cui si hanno i valori massimi: la fem è uscente (verso il lettore) per il lato attivo superiore, entrante per quello inferiore. Percorrendo la spira si osserva che i versi sono concordi e quindi i valori vanno sommati. Poiché le due fem sono uguali, e M1 = e M2, ai terminali della spira si avrà una fem doppia rispetto ad una qualsiasi delle due: dove abbiamo usato gli indici 1 e 2 per distinguere le due fem. Su ogni lato attivo la fem si invertirà 2 volte per ogni rotazione, ma i versi reciproci non cambieranno e le due fem andranno quindi sempre sommate. V Da e(t) = Blv sin(ωt) alla legge di Faraday con il calcolo differenziale L espressione della legge di Faraday dell induzione elettromagnetica è: (1.12) 5

14 Ora vediamo se, trasformando opportunamente la formula, se ne possa dedurre la discendenza dalla legge di Faraday. Intanto osserviamo che la spira possiede due lati attivi e quindi per tutta la spira: (1.13) Alla velocità possiamo sostituire:, ottenendo: Notiamo però che il prodotto 2rl è la superficie S della spira, allora: Fig Flusso massimo, fem nulla Fig. 1.6 Flusso nullo, fem massima ma è il massimo valore del flusso concatenato, che si ha quando la spira è in posizione orizzontale (fig. 1.5), quindi: (1.14) Il massimo valore del flusso si ha quando la fem indotta è nulla, (fig. 1.5) invece il flusso è nullo quando la spira è in posizione verticale, fig.1.6, situazione in cui la fem è massima. Il flusso che attraversa la spira è determinato dalla sezione retta ( fig. 1.7),, proiezione della superficie su un piano perpendicolare alle linee di campo. Essendo quindi, concludiamo che anche il flusso ha andamento sinusoidale: (1.15) Si riconosce subito nell espressione rispetto al tempo t della funzione : la derivata Fig Per il calcolo del flusso 6

15 Moltiplicando a destra e a sinistra per l ampiezza del flusso e cambiando segno: Alla fine, a seguito delle equazioni (1.14) e (1.15), otteniamo proprio l espressione della legge di Faraday: Da e(t) = Blv sin(ωt) alla legge di Faraday senza il calcolo differenziale Una dimostrazione rigorosa richiede necessariamente il calcolo differenziale, tuttavia si possono comprendere le conclusioni precedenti con ragionamenti che comportano un certo grado di approssimazione. La legge di Faraday può essere espressa in forma approssimata come equazione alle differenze finite: in cui il simbolo Δ ha il significato di variazione delle grandezza. Ad esempio se t rappresenta un istante di tempo e t un istante successivo, avremo: Se il flusso varia nel tempo, nel passare dall istante t al successivo t, vi è stata una variazione: la dipendenza dal tempo della funzione flusso è data (1.15) da: quindi, essendo costante: e ci possiamo dunque occupare solamente della variazione di : e del rapporto: anzi, per maggiore generalità, possiamo porre da cui e quindi: 7