1.6 MODELLI DI CODE CON DISCIPLINA DELLA CODA BASATA SU CRITERI DI PRIORITÀ

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1 82 TEORIA DELLE CODE.6 MODELLI DI CODE CON DISCIPLINA DELLA CODA BASATA SU CRITERI DI PRIORITÀ Nella realtà si possono presentare situazioni in cui in un sistema di servizio la disciplina della coda è basata su criteri di priorità, ovvero l ordine rispetto al quale gli utenti in coda vengono selezionati è basato sulla priorità ad essi assegnata. Situazioni reali in cui questo può accadere sono molteplici: si pensi, ad esempio, all esigenza in un pronto soccorso di intervenire prima sui pazienti più gravi, oppure a situazioni in cui utenti importanti hanno la precedenza su altri. L analisi è piuttosto complicata e in questo paragrafo ci limiteremo a considerare modelli nei quali si assume che, per ogni classe di priorità, gli arrivi siano poissoniani e che i tempi di servizio siano esponenziali; inoltre, per semplicità, assumeremo che il valore atteso del tempo di servizio è lo stesso per ogni classe di priorità (indicheremo con µ il tasso di servizio), mentre la frequenza media degli arrivi può differire a seconda delle classi di priorità ed indicheremo con λ k la frequenza media degli arrivi degli utenti appartenenti alla classe k. Indicheremo, inoltre, con nc il numero delle classi di priorità, intendendo che la classe è quella con la più alta priorità; la selezione dalla coda avviene scegliendo un utente nella classe di priorità più alta e, all interno della classe, con il criterio FIFO. Esistono due tipologie di questi sistemi di code: sistemi con priorità con interruzione del servizio (priorità con diritto di prelazione), sistemi con priorità senza interruzione del servizio (priorità senza diritto di prelazione). Priorità interruttiva Priorità non interruttiva Nel caso di sistemi con interruzione del servizio può accadere che ad un utente sia interrotto il servizio (facendolo ritornare in coda) per l arrivo nel sistema di un altro utente con priorità superiore rispetto a quella dell utente che sta usufruendo del servizio, ovvero il servente è tenuto ad iniziare immediatamente il servizio al nuovo utente con priorità più elevata. Al termine del servizio, verrà effettuata un altra selezione dalla coda. Se l utente prescelto è uno di quelli ai quali era stato precedentemente interrotto il servizio, ci sono due possibilità: viene eseguita soltanto la parte mancante per il completamento del servizio (preemptive resume systems), oppure il servizio deve ricominciare dall inizio (preemptive repeat systems). Poiché il tempo di servizio è distribuito esponenzialmente, da un punto di vista probabilistico, non è rilevante che il servizio interrotto riprenda dal punto in cui era cessato oppure dall inizio per la proprietà di assenza di memoria della distribuzione esponenziale. Nel caso di sistemi con priorità senza interruzione del servizio il servizio non può essere interrotto, ma deve essere portato a termine.

2 MODELLI DI CODE CON DISCIPLINA DELLA CODA BASATA SU CRITERI DI PRIORITÀ 83 Per entrambi i modelli la distinzione tra i clienti in differenti classi non influenza la distribuzione degli arrivi di tutti gli utenti, ovvero degli arrivi aggregati senza tenere conto delle classi; infatti, per la Proposizione.3.6, un processo risultante dall aggregazione di processi di Poisson è ancora un processo di Poisson. Inoltre, poiché tutti i tempi di servizio sono distribuiti esponenzialmente, i due modelli (con priorità con o senza interruzione del servizio) sono identici al modello M/M/s fatta eccezione per l ordine in cui vengono serviti gli utenti, e quindi continuano a valere le espressioni per N, N q, T e T q ottenute per quel modello. Si osservi, però, che T q potrebbe non essere più il valore atteso del tempo passato in coda se il servizio viene interrotto con conseguente ulteriore permanenza in coda. Inoltre cambia la distribuzione dei tempi di attesa che era stata ottenuta in riferimento ad una disciplina di selezione dalla coda di tipo FIFO. Con la disciplina della coda basata su criteri di priorità, questa distribuzione ha una varianza più grande perché i tempi di attesa degli utenti in classi di priorità alta tendono ad essere più brevi di quelli con una disciplina di tipo FIFO, mentre quelli degli utenti in classi di priorità più basse tendono ad essere più lunghi. Analogamente, l insieme degli utenti presenti nel sistema tenderà ad essere per la maggior parte composto da utenti delle classi di priorità più basse, in accordo con lo spirito dei sistemi di code con priorità, ovvero con l intento di migliorare le misure di prestazione per gli utenti delle classi di priorità più alte a scapito, eventualmente, delle prestazioni per gli utenti nelle classi più basse. Per analizzare sistemi di questo tipo dobbiamo introdurre misure di prestazione relative ad ogni classe; faremo ciò inserendo un pedice alle notazioni già adottate per indicarne la classe di riferimento; quindi T k indicherà il valore atteso del tempo passato nel sistema dagli utenti della k-esima classe di priorità e notazioni analoghe si adotteranno per N k, T q k e Nq k. Consideriamo un sistema con s serventi supponendo che velocità media di servizio sia pari a µ indipendente dalla classe di priorità, mentre per quanto riguarda il processo degli arrivi, indicheremo con λ i, i =,...,nc, la frequenza media di arrivo per gli utenti della classe i-esima. Per la Proposizione.3.6 dei processi di Poisson, aggregando i vari processi di arrivo, ovvero non distinguendo tra le classi di priorità, si ottiene ancora un processo di Poisson di parametro nc λ = λ i. i= Inoltre si assume che k i= λ i < sµ in modo che il sistema possa raggiungere condizioni di stazionarietà. Si riportano di seguito le espressioni delle misure di prestazione (relative a ciascuna classe di priorità) nelle due tipologie di sistemi di code con disciplina della coda basata su criteri di priorità.

3 84 TEORIA DELLE CODE Sistemi con priorità senza interruzione del servizio Consideriamo il caso in cui non sono consentite interruzioni di un servizio. In questo caso, l espressione per T q k è la seguente T q k = ab k b k, k =,...,nc, dove a = s! sµ λ ( λ µ b =, ) s s j= j! b k = ( ) λ j +sµ, µ k i= λ i sµ. (.6.) Ad ogni singola classe di priorità si applica il Teorema di Little e si ha N q k = λ kt q k, k =,...,nc. Risulta inoltre T k = T q k + µ N k = λ k T k. Sistemi con priorità con interruzione del servizio Consideriamo ora un sistema in cui si prevede l interruzione di un servizio per l arrivo di un utente con priorità più alta di quella dell utente che sta usufruendo del servizio. Nel caso si singolo servente, ovvero s =, si ha la seguente espressione per T k : T k = µ b k b k, k =,...,nc, dove le b k sono già state definite in (.6.). Nel caso multiservente, ovvero s >, per determinare T k si usa una procedura iterativa che esula dallo scopo di queste note.

4 SISTEMI A CODA CON DISTRIBUZIONI NON ESPONENZIALI 85.7 SISTEMI A CODA CON DISTRIBUZIONI NON ESPONENZIALI Fino ad ora abbiamo considerato modelli di code basati su processi di nascita e morte, con tempi di interarrivo e tempi di servizio distribuiti esponenzialmente e abbiamo analizzato le importanti proprietà di tali modelli e il loro efficace uso nel rappresentare situazioni reali. Tuttavia, esistono casi reali in cui le assunzioni fino ad ora fatte non sono soddisfatte. Ad esempio, sappiamo che gli arrivi secondo Poisson approssimano bene gli arrivi casuali che rappresentano una ragionevole assunzione in moltissime situazioni; tuttavia in alcuni casi, si possono invece avere situazioni di arrivi programmati e non più casuali. Analogamente, non sono infrequenti situazioni in cui i tempi di servizio sono regolati da schemi prestabiliti che non sono approssimati bene da una distribuzione esponenziale. Per queste ragioni, in questo paragrafo verrano esaminati sistemi a coda che utilizzano distribuzioni diverse da quella esponenziale. L analisi di questi modelli risulta, in genere, molto più difficile dell analisi compiuta fino ad ora sui sistemi basati su distribuzioni esponenziali in quanto il processo corrispondente ad un tale modello non è più, in generale, un processo di nascite e morte. Inizieremo questa trattazione rimuovendo la sola assunzione di avere una distribuzione esponenziale dei tempi di servizio e quindi considerando modelli generali M/G/s elaloroparticolarizzazione aimodellim/d/sem/e k /s. Successivamente considereremo modelli che non abbiano arrivi poissoniani..7. Sistemi M/G/ Consideriamo sistemi di code in cui gli arrivi sono di tipo poissoniano e i tempi di servizio siano indipendenti, identicamente distribuiti, supponendo che non ci sia alcuna assunzione sulla distribuzione di probabilità di tali tempi di servizio t s i. Osserviamo innanzitutto che la proprietà PASTA vista nel paragrafo.5. valida per ogni sistema con arrivi poissoniani, ovviamente, continua a valere anche nel caso che stiamo esaminando. Passiamo ora allo studio analitico dei sistemi M/G/. Esistono diversi metodi di analisi; utilizzeremo, nel seguito, quello basato sui tempi residui del servizio. Assumeremosolamente diconoscerelamedia/µelavarianzaσ 2 delladistribuzione dei tempi di servizio. Nonostante non sia stata fatta alcuna assunzione sulla distribuzione dei tempi di servizio, esiste un risultato generale che fornisce il valore per il tempo medio di attesa nella coda T q. Tale risultato è noto come formula di Pollaczek Kintchine Formula di ed esprimela T q in funzione del momento secondo del tempo di servizio E ( (t s i )2). Naturalmente, vale E ( (t s i) 2) = Var(t s i)+[e(t s i)] 2 = σ 2 +/µ 2. (.7.) Riportiamo tale formula nel teorema che segue. Pollaczek Kintchine

5 86 TEORIA DELLE CODE Teorema.7. Si consideri un sistema M/G/ in condizioni di stazionarietà. Sia λ la frequenza media degli arrivi e siano /µ e σ 2 rispettivamente la media e la varianza dei tempi di servizio. Allora si ha T q = λ σ2 +/µ 2 2( ρ). Dimostrazione: Supponiamo che la disciplina della coda sia di tipo FIFO. Indichiamo con R i il tempo residuo al completamento del servizio visto dall i-esimo utente quando arriva (ovvero, se un utente j sta usufruendo del servizio quando arriva l utente i arriva, R i è il tempo necessario affinché sia completato il servizio sull utente j). Indichiamo, inoltre, con n q i il numero degli utenti trovati nella coda dall i-esimo utente quando arriva. Naturalmente risulta t q i = R i + i t s j. (.7.2) j=i n q i Prendendo il valore atteso 3 ad entrambi i membri della (.7.2), si ha E(t q i ) = E(R i)+e(t s j)e(n q i ) = E(R i)+ µ E(nq i ). (.7.3) Si osservi che la R i e la n q i sono quantità viste dall utente che arriva, ma, poiché gli arrivi sono poissoniani, tali quantità coincidono con le corrispondenti quantità viste da un osservatore esterno che osserva il sistema in un istante arbitrario. Passando al limite per i nella (.7.3), assumendo che questi limiti esistano, si ha T q = R+ µ Nq, (.7.4) dove R è il tempo residuo medio (a regime) definito da R = lim i E(R i ). Ora, poiché risulta N q = λt q, dalla (.7.4) si ha T q = R+ λ µ Tq 3 Si utilizza un noto risultato di teoria della probabilità secondo il quale, avendo X,...,X m variabili aleatorie indipendendenti, identicamente distribuite, con media comune E(X) ed m è una variabile aleatoria che può assumere valori,,..., allora E(X + +X m) = E(X)E(m)

6 SISTEMI A CODA CON DISTRIBUZIONI NON ESPONENZIALI 87 R(τ) s t s t 2 s t s t 2 t τ Figura.7. Grafico del tempo residuo da cui si ottiene T q = R ρ. (.7.5) Per completare la dimostrazione rimane da calcolare il valore di R. Effettueremo questo calcolo con l ausilio di un grafico. Riportiamo, infatti, in Figura.7. il grafico del temporesiduo del servizio R(τ) in funzionedel tempo τ, ovvero il tempo che rimane per il completamento del servizio del cliente che sta usufruendo del servizio al tempo τ, assumendo R() =. Ovviamente, quando un nuovo servizio di durata t s i inizia, R(τ) ha valore t s i, poi decresce linearmente. Consideriamo, ora, un istante di tempo t per il quale risulti R(t) = e indichiamo con il numero di arrivi (ovvero di partenze) nell intervallo [, t]. La media temporale di R(τ) nell intervallo [,t] è data da Poiché t R(τ)dτ. R(τ)dτ rappresenta l area della superficie racchiusa tra la funzione R(τ) e l asse delle ascisse, tale area è anche uguale alla somma delle aree dei

7 88 TEORIA DELLE CODE triangoli, ovvero da i= 2 (ts i )2. Risulta quindi t R(τ)dτ = t i= 2 (ts i) 2. (.7.6) Ora, moltiplicando e dividendo per al secondo membro della (.7.6) si ha t R(τ)dτ = 2 t (t s i )2 i= (.7.7) e passando al limite per t nella (.7.7) (assumendo che i limiti esistano) si ha lim t t R(τ)dτ = 2 lim t t lim t i= (t s i )2. (.7.8) Ora, poiché per t sufficientemente grande vale l uguaglianza tra media temporale e valore atteso, si ha lim t t R(τ)dτ = lim i E(R i ) = R, ed inoltre lim = λ. t t Infine, per la legge forte dei grandi numeri, si ha Quindi la (.7.8) diventa lim t (t s i )2 i= = E ( (t s i) 2). R = 2 λe( (t s i) 2) e sostituendo questo valore di R ora ottenuto nella (.7.5), utilizzando la (.7.) la dimostrazione è completata. Osservazione.7. Abbiamo derivato la formula di Pollaczek Kintchine assumendo che la disciplina della coda sia di tipo FIFO, ma la formula rimane valida in generale comunque si scelga la disciplina della coda purché essa sia indipendente dal tempo di servizio richiesto. Non è invece valida se l ordine con cui si accede al servizio dipende dal tempo di servizio.

8 SISTEMI A CODA CON DISTRIBUZIONI NON ESPONENZIALI 89 Una volta determinato il valore di T q dalla formula di Pollaczek Kintchine, si possono determinare i valori delle altre misure di prestazione, ovvero N q = λt q = λ2 σ 2 +ρ 2 2( ρ) N = N q +ρ = λ2 σ 2 +ρ 2 2( ρ) +ρ T = N λ = λσ2 +λ/µ 2 2( ρ) + µ. Osservazione.7.2 Se consideriamo un sistema di code M/M/ come caso particolare di un sistema M/G/, si ha σ 2 = /µ 2 e quindi l applicazione della formula di Pollaczek Kintchine fornisce per T q il valore T q = λ/[µ(µ λ)] che naturalmente coincide con l espressione di T q già determinata nel caso di sistema M/M/. Osservazione.7.3 Osservando le espressioni delle misure di prestazione ora ottenute, si vede che a parità di λ e µ, queste grandezze aumentano all aumentare della varianza del tempo di servizio σ 2. Da questo punto di vista, la situazione ideale (ovvero quella che minimizza queste grandezze) si otterrebbe con σ 2 = che si ha con tempi di servizio costanti, ovvero per sistemi di tipo M/D/. Si tenga presente che, a parità di valore atteso, si può intervenire sui tempi di servizio per renderli più regolari possibile (ovvero rendendo la varianza piccola). Questo è molto importante perché mostra che la regolarità del servizio assume una grande importanza da questo punto di vista, e che quindi non è sufficiente considerare la velocità media del servizio. La grande flessibilità dei modelli M/G/ li rende molto utili, ma il prezzo da pagare per questa loro generalità sta nel fatto che, purtroppo, non sono disponibili, nel caso generale, risultati per sistemi multiservente, ovvero per sistemi M/G/s con s >. Nel seguito esaminiamo due casi particolari importanti: i sistemi M/D/s e i sistemi M/E k /s. Sistemi M/D/s I sistemi di code M/D/s assumono tempi di servizio costanti; essi forniscono un Sistemi buon modello per situazioni in cui il servizio è effettuato sempre attraverso una M/D/s medesima procedura. Naturalmente risulta σ 2 =. Per quanto riguarda il caso singolo servente (s = ), i valori delle misure di prestazione si ottengono dal caso generale di sistemi M/G/ ponendo σ 2 =. In particolare, si avrà: T q = 2 λ µ(µ λ)

9 9 TEORIA DELLE CODE N q = λ 2 2 µ(µ λ) ρ 2 N = 2( ρ) +ρ T = λ/µ 2 2( ρ) + µ. Soffermandoci ad osservare i valori di T q e di N q si vede che essi risultano pari esattamente alla metà dei valori corrispondenti per un sistema di code M/M/ (dove σ 2 = /µ 2 ). Questo evidenzia il fatto che una diminuzione di σ 2 porta ad un notevole miglioramento (diminuzione) di T q e di N q. Per quanto riguarda il caso multiservente, (s > ) esiste un metodo per determinare la distribuzione di probabilità del numero degli utenti nel sistema, in condizioni di stazionarietà, ma esso esula dallo scopo di queste note perché molto tecnico e particolare. Esistono anche in questo caso risultati tabulati e grafici dell andamento di N in funzione di ρ = λ/(sµ). Sistemi M/E k /s Sistemi M/E k /s In termini di deviazione standard (σ), i sistemi M/D/s e M/M/s rappresentano due situazioni estreme: i primi assumono che non ci siano variazioni nei tempi di servizio, (σ = ), mentre i secondi assumono tempi di servizio distribuiti esponenzialmente con una variazione che può essere anche molto grande (σ = /µ). Tra questi due casi estremi si colloca una distribuzione importante per la quale risulta < σ < /µ e che rappresenta bene i tempi di servizio in molte situazioni reali: si tratta della distribuzione di Erlang (E k ) di parametri k e µ a media /µ, la cui densità di probabilità è data da f(t) = (µk)k (k )! tk e kµt, t. Una tale distribuzione di probabilità ha varianza pari a /(kµ 2 ) e deviazione standard σ pari a /( kµ) e quindi se i tempi di servizio seguono questa distribuzione, il parametro k rappresenta una sorta di grado di variabilità dei tempi di servizio. Richiamiamo il fatto che la sua importanza deriva da due punti fondamentali: è una famiglia di distribuzioni a due parametri e quindi con scelte opportune si riesce ad approssimare bene un tempo di servizio reale ed inoltre per k = si ottiene la distribuzione esponenziale e per k essa tende alla distribuzione degenere (σ ); dalla Proprietà E5 della distribuzione esponenziale richiamata nel paragrafo.3., si ha che la somma di k variabili indipendenti, identicamente distribuite esponenzialmente ciascuna con media /(kµ), ha distribuzione

10 SISTEMI A CODA CON DISTRIBUZIONI NON ESPONENZIALI 9 di Erlang E k. Quindi se un servizio si compone di k operazioni successive a ciascuna delle quali è associato un tempo di servizio distribuito esponenzialmente con media /(kµ), allora il tempo di servizio complessivo segue la distribuzione di Erlang E k. Per quanto riguarda il caso singolo servente (s = ) dalle formule generali per un sistema M/G/ si ottengono i valori delle misure di prestazione per sistemi M/E k / ponendo σ 2 = /(kµ 2 ), ovvero T q = +k 2k N q = +k 2k λ µ(µ λ) λ 2 µ(µ λ) T = T q + µ = +k 2k N = λt = +k 2k λ µ(µ λ) + µ λ 2 µ(µ λ) + λ µ. Si osservi che ovviamente, per k, i valori di T q e di N q tendono ai corrispondenti valori ottenuti nel caso M/D/. Per quanto riguarda il caso multiservente (s > ), non è possibile ottenere analiticamente la distribuzione di probabilità del numero degli utenti presenti nel sistema in condizioni di stazionarietà. Tuttavia, anche in questo caso sono disponibili valori tabulati e grafici di N al variare di ρ = /(sµ)..7.2 Sistemi con arrivi non poissoniani Concludiamo questo paragrafo con alcuni cenni ai sistemi di code che non presentano arrivi secondo Poisson. Infatti, come abbiamo già visto per quanto riguarda i tempi di servizio, anche il processo degli arrivi potrebbe non essere casuale, ma essere programmato in una qualche forma. Possiamo pertanto considerare modelli dei seguenti tipi: GI/M/s : non impongono restrizioni sul processo degli arrivi; D/M/s : gli arrivi sono ad intervalli regolari; E k /M/s : gli arrivi seguono la distribuzione di Erlang E k. Per tutti i tre tipi ora menzionati si è assunto che i tempi di servizio sono distribuiti esponenzialmente. Tuttavia è possibile considerare anche modelli ancora più generali come E m /E k /s, E k /D/s, D/E k /s. La trattazione di questi modelli esula dallo scopo di queste note e pertanto essi non verranno trattati.