Roberto IMPERIALE (UNIVERSITÀ DELLA VALLE D AOSTA)

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1 DISTURBI, DIFFICOLTÀ E DINTORNI DELLA MATEMATICA COME AFFRONTARE LE DIFFICOLTÀ DI APPRENDIMENTO DELLA MATEMATICA Roberto IMPERIALE (UNIVERSITÀ DELLA VALLE D AOSTA) VICEPRESIDENTE NAZIONALE GRIMED GRUPPO RICERCA MATEMATICA E DIFFICOLTÀ roberto.imperiale@fastwebnet.it Testo di riferimento: A. Biancardi; E. Mariani; M. Pieretti, La discalculia evolutiva, Franco Angeli, Milano, /04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 1

2 ASSIOMA FONDAMENTALE OGNI RAGAZZO È UNICO 2

3 L IDENTITÀ COME INTRECCIO COMPLESSO TRA I PROFILI BIO PSICO NEUROLOGICO AFFETTIVO EMOZIONALE COMUNICATIVO RELAZIONALE SOCIO ECONOMICO CULTURALE COGNITIVO 3

4 UNA DIAGNOSI E LA DIA-GNOSIS NECESSITA DIUNA DIAGNOSI E DELLA DIA-GNOSIS 4

5 TEST DI VALUTAZIONE Test di I Livello: AC-MT (Cornoldi, Lucangeli, Bellina, 2002) Test di II Livello: per tutte le classi elementari fornisce uno screening di base ABCA (Lucangeli, Tressoldi, Fiore, 1998) BDE (Biancardi, Nicoletti, 2003) forniscono profilo di discalculia evolutiva 5

6 LA DIA-GNOSIS È LA CONOSCENZA ATTRAVERSO CIOÈ LA CONOSCENZA IN RELAZIONE 6

7 PRECISO SUBITO CHE 1. LA DISCALCULIA NON RIGUARDA LA MATEMATICA MA UNA PARTE ASSAI ESIGUA E STRUMENTALE DI ESSA IL CALCOLOE I DISTURBI DEL CALCOLO PERCHÉ LA MATEMATICA NON È IL (SOLO) CALCOLO E SOPRATTUTTO - IL CALCOLO NON È LA MATEMATICA NÉ IL DISTURBO DEL CALCOLO COINCIDE CON LE DIFFICOLTÀ DI CALCOLO 2. PER QUESTO LA DISCALCULIA SI MANIFESTA IN PERCENTUALI ASSAI MODESTE NELL UNIVERSO DISTURBO-DIFFICOLTÀ 7

8 INFATTI, SECONDO L AIRIPA ASSOCIAZIONE ITALIANA PER LA RICERCA E L INTERVENTO NELLA PSICOPATOLOGIA DELL APPRENDIMENTO ESPRIMENDOSI I GRADI DI COMPROMISSIONE DELLE ABILITÀ LUNGO UN CONTINUUM PRESTAZIONALE TRA DISTURBO E DIFFICOLTÀ VIENE ASSUNTO COME PARAMETRO STATISTICO CRITICO IL 5 PERCENTILE PERCHÉ IL DISTURBO PREVEDE UN LIVELLO DI ABILITÀ INFERIORE AL 5 PERCENTILE LA DIFFICOLTÀ PREVEDE UN LIVELLO DI ABILITÀ COMPRESO TRA IL 5 E IL 15 PERCENTILE. 8

9 SECONDO CHRISTINE TEMPLE LA DISCALCULIA È UN DISTURBO DELLE ABILITÀ NUMERICHE E ARITMETICHE CHE SI MANIFESTA IN BAMBINI DIINTELLIGENZA NORMALE, CHE NON HANNO SUBÌTO DANNI NEUROLOGICI. ESSA PUÒ PRESENTARSI ASSOCIATA A DISLESSIA, MA È POSSIBILE CHE NE SIA DISSOCIATA (La discalculia evolutiva, cit.) 9

10 SECONDO L ICD 10 E IN ACCORDO CON QUANTO DESCRITTO NEL DSM-IV I SINTOMI DELLE DIFFICOLTÀ ARITMETICHE SAREBBERO LE SEGUENTI QUANTUNQUE L ELENCO CONTENGA AFFERMAZIONI DUBBIE E/O EQUIVOCHE INCAPACITÀ DI COMPRENDERE I CONCETTI DI PARTICOLARI OPERAZIONI MANCANZA DI COMPRENSIONE DI TERMINI O DI SEGNI ARITMETICI MANCATO RICONOSCIMENTO DEI SIMBOLI NUMERICI DIFFICOLTÀ AD ATTUARE LE MANIPOLAZIONI ARITMETICHE STANDARD DIFFICOLTÀ NEL COMPRENDERE QUALI NUMERI SONO PERTINENTI AL PROBLEMA ARITMETICO CHE SI STA CONSIDERANDO DIFFICOLTÀ AD ALLINEARE CORRETTAMENTE I NUMERI DIFFICOLTÀ AD INSERIRE DECIMALI O SIMBOLI DURANTE I CALCOLI SCORRETTA ORGANIZZAZIONE SPAZIALE DEI CALCOLI INCAPACITÀ AD APPRENDERE LE TABELLINE DELLA MOLTIPLICAZIONE 10

11 BISOGNA INVECE -AVERE CONSAPEVOLEZZA CHE LA DISCACULIA VADA INQUADRATA E STUDIATA IN UN QUADRO DI RIFERIMENTO NEUROBIOLOGICO E NELLA SUA DIMENSIONE EVOLUTIVA CIOÈ NON COME PERDITA DI FUNZIONE PRECEDENTEMENTE ACQUISITA MA COME DIFFICOLTÀ AD APPRENDERE E/O AUTOMATIZZARE ALCUNI COMPITI NUMERICI E ARITMETICI 11

12 LA DIAGNOSI DI DISCALCULIA EVOLUTIVA SI PUÒ FARE SE SE NON ESISTONO DISTURBI SENSORIALI SE NON ESISTONO DISTURBI PSICHIATRICI CIOE SE NON ESISTE DISABILITA SE NON ESISTONO DISTURBI NEUROLOGICI SE L INTELLIGENZA E NELLA NORMA 12

13 L EZIOLOGIA DEI DISTURBI EVOLUTIVI SPECIFICI NON È NOTA MA SI SUPPONE CHE VISIA L INTERVENTO SIGNIFICATIVO DIFATTORI BIOLOGICI CHE INTERAGISCONO SIGNIFICATIVAMENTE CON FATTORI NON BIOLOGICI 13

14 CON L INCOSCIENZA DEI PROFANI IPOTIZZO CHE LA CAUSA SIA MULTIFATTORIALE E SIA DA RICERCARE NELL INTRECCIO AD INCIDENZA DIVERSIFICATA TRA DISTURBI DEL LINGUAGGIO DISTURBI DEL SISTEMA VISUO/PRASSICO DISTURBI DEL SISTEMA UDITIVO DISFUNZIONAMENTO DELLE MEMORIE DILAVORO E DELLA MEMORIA A LUNGO TERMINE DISTURBO DELLA RAPIDITÀ DIELABORAZIONE DELL INFORMAZIONE CAPACITÀ DI AUTOMATIZZAZIONE 14

15 ALCUNI AUTORI, E CON POSIZIONI DIVERSE, INDIVIDUANO LA CAUSE TRA I DISTURBI LINGUISTICI (61%) COME DISORDINI DI TIPO METAFONOLOGICO (46%) METALINGUISTICO (28%) MISTO (26%) I DISTURBI DEL SISTEMA VISUO/PRASSICO (11%) (V. LA DIASCALCULIA EVOLUTIVA, CIT.) 15

16 MENTRE ALTRI RITENGONO CHE LE DIFFICOLTÀ SIANO PRODOTTE DA UN SOLO FATTORE (SINGLE FACTOR EXPLANATION) DISFUNZIONAMENTO DELLA MEMORIA DI LAVORO DISTURBO DELLA RAPIDITÀ DIELABORAZIONE DELL INFORMAZIONE CAPACITÀ DI AUTOMATIZZAZIONE (V. LA DIASCALCULIA EVOLUTIVA, CIT.) 16

17 E CHE QUESTO DERIVI DALL INTRECCIO COMPLESSO DICONCAUSE ASCRIVIBILI -TRA GLI ALTRI -ALLA GENETICA NEURODIVERSITÀ COME CARATTERISTICA INDIVIDUALE ASIMMETRIA CEREBRALE FUNZIONE DEI NEURONI-SPECCHIO 17

18 DOVE LA NEURODIVERSITÀ È UN ATIPICO SVILUPPO NEUROLOGICO, MANIFESTAZIONE DELLA UNICITÀ E DELLA IRRIPETIBILITÀ DELLO SVILUPPO INDIVIDUALE E IN DEFINITIVA DELL IDENTITÀ INDIVIDUALE 18

19 CHE PUÒ DETERMINARE PARTICOLARI FUNZIONAMENTI CEREBRALI COME AD ESEMPIO QUELLO CHE ORGANIZZA E GOVERNA LA COPPIA OPPOSITIVA QUASI-TEMPORALE SINISTRA-DESTRA 19

20 I NEURONI-SPECCHIO SONO UN CIUFFO DI NEURONI MOTORI SCOPERTI ALL INIZIO DEGLI ANNI NOVANTA DEL SECOLO SCORSO CH CONSENTONO AL NOSTRO CERVELLO DI CORRELARE I MOVIMENTI OSSERVATI A QUELLI PROPRI E DI RICONOSCERNE IL SIGNIFICATO. (G. RIZZOLATTI, C. SINIGAGLIA; SO QUEL CHE FAI, R.CORTINA EDITORE, MILANO,

21 E LA LORO SCOPERTA CONSENTE DI ATTIVARE UN INNOVATIVA INDAGINE SULL EVOLUZIONE DI INTELLIGENZA ED EMOZIONE, DI PENSIERO E LINGUAGGIO. UN INDAGINE DESTINATA A TRASFORMARE IL NOSTRO MODO DI CONCEPIRE LE FUNZIONI DELLA MENTE E A INFLUENZARE PSICOLOGIA, ANTROPOLOGIA, ETICA ED ESTETICA. I NEURONI SPECCHIO SARANNO PER LA PSICOLOGIA QUELLO CHE IL DNA È STATO PER LA BIOLOGIA (V.R. RAMACHANDRAN) 21

22 SOSTANZIALMENTE LA DISCALCULIA RIGUARDA IL SISTEMA DI ELABORAZIONE E PROCESSAZIONE NUMERICA (SISTEMA DEI NUMERI) E IL SISTEMA DI CALCOLO TRA CUI ESISTE INDIPENDENZA FUNZIONALE 22

23 IL SISTEMA DEI NUMERI SI STRUTTURA SU TRE LIVELLI LIVELLO LESSICALE NOME DEI NUMERI LIVELLO SINTATTICO REGOLE DIGENERAZIONE DEI NUMERI VALORE POSIZIONALE DELLE CIFRE LIVELLO SEMANTICO REGOLE DICOMPRENSIONE DELLA QUANTITÀ 23

24 IL NOME DEI NUMERI È RAPPRESENTABILE ATTRAVERSO I CODICI: 1. ALFABETICO ORALE (ES. LA PAROLA/NUMERO DETTA SETTE ) 2. ALFABETICO SCRITTO (ES. LA PAROLA/NUMERO SCRITTA SETTE ) 3. IL CODICE ARABICO (ES. L IDEOGRAMMA 7 ) IL PASSAGGIO DA UN CODICE ALL ALTRO SI CHIAMA TRANSCODIFICAZIONE NUMERICA 24

25 PER ESEMPIO LA SCRITTURA SOTTO DETTATURA DEI NUMERI LA LETTURA AD ALTA VOCE DEI NUMERI IMPEGNANO LA TRANSCODIFICAZIONE NUMERICA VEDIAMO ALCUNI ERRORI COMPIUTI DURANTE LA SCRITTURA SOTTO DETTATURA DEI NUMERI SCRIVI CENTOTRE: 1003 SCRIVI MILLETRECENTOSEI: SCRIVI CENTOVENTIQUATTRO: SCRIVI CENTOSETTE:

26 IL SISTEMA DEI NUMERI ASSEMBLA GLI ELEMENTI LESSICALI (PRIMITIVI?) IN ITALIANO I NUMERI DALL UNO AL NOVE LE DECINE I NUMERI DALL UNDICI AL SEDICI CUI AGGREGA GLI ELEMENTI MISCELLANEI CENTO MILA MILIONE (.) CHE FUNGONO DA MOLTIPLICATORI 26

27 ELEMENTI LESSICALI DEL SISTEMA ITALIANO DEI NUMERI LESSICO DELLE CIFRE POSIZIONE UNITÀ DICI DECINE 9 NONA NOVE NOVANTA 8 OTTAVA OTTO OTTANTA 7 SETTIMA SETTE SETTANTA 6 SESTA SEI SEDICI SESSANTA 5 QUINTA CINQUE QUINDICI CINQUANTA 4 QUARTA QUATTRO QUATTORDICI QUARANTA 3 TERZA TRE TREDICI TRENTA 2 SECONDA DUE DODICI VENTI 1 PRIMA UNO UNDICI DIECI LA DISCALCULIA EVOLUTIVA, CIT. 27

28 LA COSTRUZIONE SINTATTICA DEI NUMERI PREVEDE PER LA LINGUA ITALIANA UNA COMPENENTE ADDITIVA ED UNA MOLTIPLICATIVA CHE SI POSSONO COMBINARE TRA LORO 28

29 ES RELAZIONE ADDITIVA x RELAZIONI ADDITIVA-MOLTIPLICATIVA 29

30 LA COSTRUZIONE SINTATTICA DEI NUMERI PREVEDE LE REGOLE DISCRITTURA DEI NUMERI SECONDO LA NOTAZIONE POSIZIONALE 30

31 IL SISTEMA DI CALCOLO RICEVE DAL SISTEMA DEI NUMERI L INPUT - IL NUMERO - LO ELABORA LO COMBINA E NE RESTITUISCE L OUTPUT - IL RISULTATO - 31

32 SECONDO ALCUNI AUTORI (McCLOSKEY& al.) L USO DEI NUMERI E L EFFETTUAZIONI DI CALCOLI PRESUPPONE LA LORO COMPRENSIONE MEDIANTE RAPPRESENTAZIONE INTERNA ASTRATTA MENTRE PER ALTRI (CAMPBELL) ESSA È POSSIBILE MA NON OBBLIGATA 32

33 CODICE McCLOSKEY Segni delle operazioni SISTEMA DEL CALCOLO Fatti aritmetici Procedure del calcolo RAPPRESENTAZIONE INTERNA ASTRATTA INPUT MECCANISMI COMPRENSIONE DEI NUMERI MECCANISMI PRODUZIONE DEI NUMERI OUTPUT 33

34 LA COMBINAZIONE FA SUPPORRE CHE IL SISTEMA DI CALCOLO SIA ORGANIZZATO SECONDO TRE LIVELLI (ATTIVATI DAL COMPITO) 34

35 CHE SONO 1. L ELABORAZIONE DELE INFORMAZIONI NUMERICHE CHE ATTRIBUISCE SENSO OPERATIVO AI SEGNI DELLE OPERAZIONI ( +, x, <, =..) 2. I COSIDDETTI FATTI NUMERICI O ARITMETICI (LE OPERAZIONI DI BASE) 3. LE PROCEDURE DICALCOLO OVVERO IL RISPETTO DELLE REGOLE DI ESECUZIONE DEGLI ALGORITMI (ORDINE DELLE OPERAZIONI, INCOLONNAMENTO, RIPORTI, PRESTITI) 35

36 CONTARE IN BREVE ED IN GENERALE, LA DISCALCULIA EVOLUTIVA SI DELINEA COME DIFFICOLTÀ NEI COMPITI NUMERICI ED ARITMETICI DIBASE GESTIRE LA LINEA DEI NUMERI COMPRENDERE, LEGGERE, SCRIVERE E RIPETERE I NUMERI EGUIRE CALCOLI A MENTE O PER ISCRITTO 36

37 OCCORRE, DUNQUE METTERE IN CAMPO PROGETTI RIABILITATIVI CHE TENGANO CONTO DEI RISULTATI DELLA VALUTAZIONE E DEI DATI QUOTIDIANI DELLA DIA-GNOSIS 37

38 PERCHÉ L INTERVENTO RIABILITATIVO IN PARTICOLARE DELLE DIFFICOLTÀ - PUÒ OTTENERE BUONI RISULTATI IN BREVE TEMPO MENTRE LA RIABILITAZIONE DEL DISTURBO SPECIFICO ASSUME UNA SPECIFICITÀ -PER TIPO E MODALITÀ - DELLA QUALE OCCORRE PARLARE CON ASSOLUTA PUNTUALITÀ E RICHIEDERNE L IMPIEGO ISTITUZIONALE CONTINUO E GRATUITO PER TUTTI (BAMBINI, ADOLESCENTI, ADULTI ) 38

39 BISOGNA DIRE CHE I PROGETTI DI RIABILITAZIONE DEI DSA SONO ANCORA POCHI AD ESSI TUTTAVIA RIMANDIAMO PER UNA CONOSCENZA PIÙ PUNTUALE DI ESSI E QUINDI PER POTER SUPPLIRE AD ALCUNE CARENZE ISTITUZIONALI E PER OTTEMPERARE AL COMPITO DI FACILITATORE (V. La discalculia evolutiva, cit.) 39

40 ANCHE SE TRA ESSI ED IL NOSTRO FAR MATEMATICA PER LE DIFFICOLTÀ ESISTONO DELLE INTERESSANTI INTERSEZIONI DI CUI STIAMO PER PARLARE 40

41 PRIMA CONSIDERAZIONE: Il metodo che consiste nel proporre e riproporre una negoziazione dei significati con la mediazione dell'interpretazione narrativa costituisce a mio avviso uno dei grandi risultati dello sviluppo umano in senso ontogenetico, culturale e filogenetico (J. BRUNER, LA RICERCA DEL SIGNIFICATO, BOLLATI BORINGHIERI, TORINO, 1992) 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 41

42 DA QUI DERIVA CHE FAR SCUOLA SIA TROVARE LE PAROLE E I MODI PER DIRLO 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 42

43 SECONDA CONSIDERAZIONE IL LINGUAGGIO CONTIENE E PRESENTA ALCUNI NODI CHE VANNO SCIOLTI DEL RESTO IL PENSIERO MATEMATICO ALTRO NON È SE NON UN MODO SPECIALIZZATO DI USARE LA NOSTRA PREDISPOSIZIONE PER IL LINGUAGGIO (K. Devlin, Il gene della matematica, Longanesi, Milano, 2002) 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 43

44 TERZA CONSIDERAZIONE UNA DELLE CAUSE CHE IMPEDISCE L IMPARARE STA NELLE INTERFERENZE DELLE EMOZIONI E DELL AFFETTIVITÀ SUL PROFILO COGNITIVO. LA PIÙ CONOSCIUTA È LA FAMOSA PAURA DELLA MATEMATICA (v. R. Imperiale, Chi ha paura della matematica? Io o forse no; in: Matematica e Difficoltà; Atti del Convegno Nazionale n 7, Pitagora Editrice, Bologna, 1998) 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 44

45 MATEMATICA La parola MATEMATICA deriva dal greco μάθημα(máthema), traducibile con i termini "scienza", "conoscenza"o "apprendimento μαθηματικός(mathematikós) significa dunque "incline ad apprendere" 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 45

46 Questa μάθημα(máthema) cioè questa scienza umana SI COSTRUISCE GRAZIE ALL USO DI ALCUNE CAPACITÀ/ABILITÀ CHE DICIAMO TRASVERSALI: 1. SAPERSI ORIENTARE NELLO SPAZIO/TEMPO 2. SAPER METTERE IN RELAZIONE (analogica, causale, implicativa ) 3. SAPER CLASSIFICARE E ORDINARE 4. SAPER COMBINARE OGGETTI 5. SAPER RISOLVERE PROBLEMI 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 46

47 SERVE A QUALCOSA INSEGNARE E IMPARARE MATEMATICA? ALLA CONQUISTA DELL AUTONOMIA: 1. DIGIUDIZIO 2. DIPRASSI 3. DICOMUNICAZIONE 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 47

48 DUNQUE SERVE A VALORIZZARE LA DIVERSITÀ DI CIASCUNO (E DI TUTTI) IN UN QUADRO DI UGUAGLIANZE SOSTANZIALI E PERCIÒ A GARANTIRE IL DIRITTO ALLA CITTADINANZA 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 48

49 Matematica: Perché? Cosa? La matematica ha uno specifico ruolo nello sviluppo della capacità generale di operare e comunicare significati [ ] per rappresentare e costruire modelli di relazioni fra oggetti ed eventi. In particolare, la matematica dà strumenti per la descrizione scientifica del mondo e per affrontare problemi utili nella vita quotidiana; inoltre contribuisce a sviluppare La capacità di comunicare e discutere, Di argomentare in modo corretto, di comprendere i punti di vista e le argomentazioni degli altri. (Indicazioni Nazionali 2007) La competenza matematica è la capacità di un individuo di identificare e comprendere il ruolo che la matematica gioca nel mondo reale, di operare valutazioni fondate e di utilizzare la matematica e confrontarsi con essa in modi che rispondono alle esigenze della vita di quell individuo in quanto cittadino che esercita un ruolo costruttivo, impegnato e basato sulla riflessione. (OCSE-PISA 2003) 49

50 A proposito di competenza : come facciamo a controllare che i muri siano tra loro perpendicolari senza tanti strumenti di misura? DI CHE COSA CI SIAMO SERVITI? PROCEDURA cm 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 50

51 PROBLEMA: CHISSA SE L ANNO VENTURO SARO GRANDE ABBASTANZA PER GIOCARE CON LE PAROLE DI 4 LETTERE A M VIGNETTA PEDAGOGICA 0 51

52 Quando si parte il gioco della zara, Colui che perde si rimandolente, Repetendole volte, e tristo impara (Purgatorio, canto 6, vv. 1-3) 52

53 LA ZARA È IL GIOCO DEI TRE DADI PERCHE CONVIENE PUNTARE SULl 11E SUL 10E NON SUL9? 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 53

54 ALLA DOMANDA RISPOSE GALILEO GALILEI 11 (m) 10 (m) 9 (m) /04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 54

55 ANALOGIA = PROPORZIONE L OROLOGIO ANALOGICO E LA STORIA DIUN ERRORE 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 55

56 IN PARTICOLARE OSSERVANDO IL CERCHIO DEL SOLE GLI ANTICHI SAPIENTI AVEVANO MISURATO IN 360 ALBE E 360 TRAMONTI IL TEMPO INTERCORRENTE TRA DUE PASSAGGI SUCCESSIVI DEL SOLE SULLA VERTICALE DIUN POZZO NEI PRESSI DIALESSANDRIA D EGITTO 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 56

57 CONCLUDENDO CHE IL SOLE IMPIEGANDO, APPUNTO, 360 GIORNI PER COMPIERE UN GIRO COMPLETO SALISSE UN GRAD(IN)O AL GIORNO (GRADIOR = IO SALGO) DA QUI IL GRADO COMEUNITÀ DI MISURA DELL ANGOLO GIRO E L ERRORE CHE ANCORA GIRA NEL TEMPO. 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 57

58 QUANT E ALTA QUESTA PIRAMIDE? chiesero a Talete, che era in viaggio in Egitto in un caldo giorno d estate ed egli rispose. sebbene non avesse altro su cui contare se non il suo bastone 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 58

59 LE METAFORE AL MARE HO VISTO UN BOSCO DI OMBRELLONI 08/04/2011 R. Imperiale, DISCALCULIA 59

60 IL PROBLEMA PORSI PROBLEMI E SOPRATTUTTO RISOLVERE PROBLEMI SI PUO CONSIDERARE L ATTIVITA PIU CARATTERISTICA DEL GENERE UMANO (G. Polya, Come risolvere i problemi di matematica, Feltrinelli, Milano, 1993) 60

61 ED ECCO IL PROBLEMA D UNA POVERA LUMACA UNA LUMACA DEVE SCALARE UN MURO ALTO 11 METRI. DIGIORNOSALE DI4 METRI, DINOTTESCENDE DI3 METRI. QUANTO IMPIEGHERÀ PER GIUNGERE IN CIMA AL MURO? UN PUNTO DIVISTA IMPONE L USO DELLA SOLUZIONE STANDARD UN ALTRO PUNTO DI VISTA IMPONE LA COSTRUZIONE DELLA SOLUZIONE PASSO DOPO PASSO, PROPRIO COME FA LA NOSTRA POVERA LUMACA. QUALE SARÀ IL PUNTO DI VISTA CORRETTO? 61

62 SOLUZIONE SOLUZIONE STANDARD SOLUZIONE NON-STANDARD (4-3)x11=11 Risposta non standard: 7 giorni e ½ e infine = 11 62

63 SOLUZIONE PASSO DOPO PASSO O EURISTICA dal greco: ευρισκω, scopro, trovo 63

64 IL CONTARE 64

65 PRIMA DI PROCEDERE BISOGNA TENER CONTO CHE L ACCESSO ALLA QUANTITÀ È ADDIRITTURA PRE-VERBALE E SI PENSA INNATO E CHE ESSO PRESIEDE ALL APPRENDIMENTO DELLA LETTURA E SCRITTURA DEI NUMERI E AI SISTEMI DI CONTEGGIO, DA CUI POSSONO AVERE ORIGINE I MECCANISMI DI CALCOLO E DI MANIPOLAZIONE DEL SISTEMA NUMERICO DI CUI ABBIAMO DETTO 65

66 E CHE L ACCESSO ALLA QUANTITÀ SI BASA ANCHE SU ALTRE CAPACITÀ/ABILITÀ SPECIFICHE CHIAMATE SUBITIZING CIOÈ IL RICONOSCIMENTO VISIVO INTUITIVO E IMMEDIATO DELLA QUANTITÀ/NUMEROSITÀ 66

67 IN COSA CONSISTE IL CONTARE? METTERE IN CORRISPONDENZA BIUNIVOCA GLI ELEMENTI DA CONTARE CON GLI ELEMENTI CHE CONTANO 67

68 DALLE TACCHE SUGLI ALBERI AI CALCULI 68

69 DAI CALCULI ALLEMANI

70 LA LINEA DEI NUMERI CONTARE VERSO DESTRA 2.CONTARE VERSO SINISTRA 70

71 ALCUNE PAROLE FONDAMENTALI ANTECEDENTE n -1 (SINISTRA PRIMA) CONSEGUENTE n + 1 (DESTRA DOPO) DI UN DATO NUMERO n 71

72 GESTIONE DELLE COPPIE 0PPOSITIVE QUASI-TEMPORALI SINISTRA-DESTRA TEMPORALI PRIMA-DOPO 72

73 CONTARE E NUMERARE IL LIVELLO SEMANTICO SUBITIZING

74 In ogni numero LE CIFRE OCCUPANO E VALGONO PER LA POSIZIONE CHE OCCUPANO NEL NUMERO STESSO 74

75 IL NUMERO SI LEGGE: TRE/MILA TRE/CENTO TRE/NTA TRE 75

76 TUTTAVIA LA NOTAZIONE POSIZIONALE COMPORTE MOLTE DIFFICOLTÀ QUANDO AD ESEMPIO UN DISCALCULICO DEVE SCRIVERE SOTTO DETTATO O LEGGERE UN NUMERO SOPRATTUTTO SE IN ESSO COMPARE LO ZERO AD ESEMPIO IL NUMERO TRENTAMILATRECENTOTRE O (PEGGIO ) TRENTAMILATRE 76

77 IL SISTEMA DI CALCOLO SE SI VUOL CONOSCERE IL NUMERO TOTALE DI ELEMENTI CONTENUTI UN UN INSIEME OTTENUTO UNENDO DUE ALTRI INSIEMI SI SCOPRE CHE IL SEMPLICE CONTARE NON BASTA PIÙ. SUPPONIAMO INFATTI DI VOLER CONOSCERE QUANTI ELEMENTI CONTIENE UN CONTENITORE TRASPARENTE NEL QUALE VENGANO INTRODOTTI PRIMA 5 ELEMENTI E POI ALTRI 3 AD ES. 5 PALLINE ROSSE E 3 BLU 77

78 PROCEDEREMO COSÌ C 1. CONTEREMO QUELLE CHE ERANO LE PALLINE DIA (ROSSE ) E PROSEGUENDO 2. CONTINUEREMO A CONTARE LE PALLINE DIB (BLU ) AGGIUNGENDOLE DIFATTO A QUELLE DIA 78

79 Così facendo ABBIAMO OTTENUTO LA RISPOSTA: 8 PALLINE ATTRAVERSO L OPERAZIONE DI ADDIZIONE 79

80 IN SIMBOLI RIFACENDOCI ALL ESEMPIO DI PRIMA = 8 RISULTATO OTTENUTO ATTRAVERSO UN AZIONE DEL GENERE

81 QUESTO CI PORTA A PRECISARE CHE L ADDIZIONE E IL CONTINUARE A CONTARE VERSO DESTRA 81

82 INFATTI, COM E NOTO 0 LA RETTA DEI NUMERI INTERI E ORIENTATA DA SINISTRA A DESTRA ESSENDO LO ZERO UNA SORTA DI MURO INSUPERABILE A DESTRA CHE PERO PRIMA O POI SGRETOLEREMO 82

83 MA RICORDANDO CHE NON ESSENDO CONCETTUALMENTE POSSIBILE METTERE INSIEME OGGETTI TRA LORO DISOMOGENEI ( PERE CON MELE ) O GRUPPI DI DIVERSA DENOMINAZIONE ( ES. DECINE CON MIGLIAIA ) COM PRIMO INELUDIBILE ATTO DELL OPERAZIONE I NUMERI DA SOMMARE VANNO INCOLONNATI (UNITÀ CON UNITÀ, DECINE CON DECINE, ECC ) 83

84 ESEMPIO VOGLIAMO SOMMARE 13 E 18. INCOLONNIAMO I NUMERI CIFRA PER CIFRA 1 RIPORTO =

85 DI SEGUITO LA SOTTRAZIONE E IL CONTINUARE A CONTARE VERSO SINISTRA 85

86 ESEMPIO VOGLIAMO SOTTRARRE 18 DA 34. INCOLONNIAMO I NUMERI CIFRA PER CIFRA 2 1 PRESTITO =

87 SE SI INTRODUCE LA MOLTIPLICAZIONE COME SOMMA RIPETUTA 87

88 AD ESEMPIO SI PUÒ SCRIVERE 3 x 4 LEGGENDO: AGGIUNGERE IL NUMERO 3 A SE STESSO PER 4 VOLTE E TRASFORMANDO POI LA PAROLA PER NEL NOME DELLA NUOVA OPERAZIONE CHE DIREMO ANCHE MOLTIPLICAZIONE 88

89 SE NE PUÒ COSTRUIRE LA TABELLA CHE COM È NOTO È DETTA ANCHE TAVOLA PITAGORICA O TABELLINA 89

90 X

91 CHE SI PUÒ USARE SIA PER MOLTIPLICARE (4 x 3 = 3 x 4) X

92 CHE PER DIVIDERE (20 : 4) X

93 ALLORA: CONTIAMO ALL INDIETRO? 93

94 A PASSEGGIO SUL ROSSOE SUL BLU 94

95 CONTARE IN AVANTI-DESTRA È PIÙ FACILE CHE NON CONTARE IN INDIETRO-SINISTRA PERCHÉ IL CERVELLO È ASIMMETRICO E LO SPAZIO È ORIENTATO DA SINISTRA A DESTRA E QUINDI OCCORRE PER COSÌ DIRE RISIMMETRIZZARLO 95

96 PRENDIAMO SPUNTO DA UN GIOCO CHE ORA VI RACCONTO 96

97 Così i passi avanti / indietro diventarono la parte BLU e la parte ROSSA di qualsiasi cammino sul quale è la stessa cosa muoversi in un verso o nell altro. 97

98 QUINDI (dopo aver colorato il cammino di blue di rosso) individuato su di esso un punto di partenza P P ci si poteva muovere andando a DESTRAo a SINISTRA seguendo ad es. istruzioni del tipo:

99 Ottenendo il seguente effetto: 3 P e poi, RIPARTENDO da P in definitiva, questo: 3 P P 99

100 Fin qui niente di nuovo anzi, banale e facile da fare. Per andare avanti bisogna fare un salto logico chiedendo ai bambini di eseguire DI SEGUITO le istruzioni a frecce del tipo appena esaminato. 100

101 La richiesta si esaudisce abbastanza facilmente quando le istruzioni sono per es. del tipo: 3 2 oppure 2 3 Infatti, i percorsi si eseguono così P oppure P 101

102 Il problema sorge quando si chiede ai ragazzi di eseguire istruzioni con frecce di colore diverso 102

103 chiedendo loro di eseguire DI SEGUITO un percorso del tipo: 2 4 che porterebbe al risultato seguente P 103

104 Ma, tutto ciò non è affatto facile. Perché si chiedono i ragazziun istruzione ROSSA si deve eseguire sulla parte BLU? 104

105 Si evidenzia così il contrasto tra la facilità di esecuzione di un percorso costituito da istruzioni DELLO STESSO COLORE e la difficoltà di esecuzione di un percorso costituito da istruzioni di COLOREDIVERSO 105

106 Allora... ricordando che nel gioco ripartivi da dove eri arrivato il turno prima si chiede di negoziare l ulteriore definitivo salto logico : 106

107 Quando le istruzioni hanno DIVERSO COLORE il colore della seconda istruzione IN PIU SIGNIFICA : PRIMA DIESEGUIRMI RICORDATI DIFARE MEZZO GIRO SU TE STESSO E POI DIFARE IL NUMERO DIPASSI CHE DEVI 107

108 Superato questo scoglio si può cominciare a far notare ciò che accade in questo caso. 108

109 Dopo aver effettuato, supponiamo, il percorso 2 4 il punto di arrivo viene a trovarsi nella zona rossa a 2 passi (ROSSI) dal punto di partenza P 109

110 Da qui in avanti il lavoro può ampliarsi. Si sdoppia per così dire la retta orizzontale bi-orientata: SINISTRA-DESTRA se ne fa ruotare la sua gemella di 90 antiorari, inducendo il bi-orientamento ALTO-BASSO 110

111 Ottenendo questo effetto P 111

112 Per i nostri scopi è importante ora costruire un quadrettato (come nei giochi: battaglia navale,ecc ) su cui poter effettuare percorsi a frecce P 112

113 Per esempio,il percorso seguente:

114 O il percorso seguente:

115 Dei due percorsi visti il PRIMO possiamo definirlo C H I U S O perché il punto d arrivo coincide col punto di partenza mentre il SECONDO lo diremo A P E R T O perché i due punti non coincidono. 115

116 DOMANDA: E possibile -in modo univoco - assegnare ad ogni percorso un numero magari colorato che come un etichetta - lo descriva e che ne descriva le caratteristiche? 116

117 PRIMA RISPOSTA: Nei percorsi CHIUSI punto d arrivo e punto di partenza coincidono. Inoltre i passi ROSSI (sinistra-basso) sono esattamente quanto i passi BLU (destra-alto). alto). In modo quasi naturale diciamo che il numero-etichettaetichetta dei percorsi CHIUSI è lo ZERO. 117

118 SECONDA RISPOSTA: Nei percorsi APERTI punto d arrivo e punto di partenza non coincidono e i passi ROSSI (sinistra-basso) sono in numero diverso dai passi BLU (destra-alto). alto). Vedremo che il numero-etichettaetichetta dei percorsi APERTI varia a seconda della posizione del punto di arrivo sul piano. 118

119 Diremo che Per individuare il numero-etichetta etichetta di ogni percorso bisogna eseguire in orizzontale-verticale il percorso minimo che porti dal punto di partenza P al punto d arrivo di quel percorso e poi SOMMARE ALGEBRICAMENTE i passi/colore. (che in seguito chiameremo COORDINATE del punto) 119

120 Per mostrare quello che intendiamo Fissiamo sul piano alcuni punti di arrivo di percorsi aperti ed assumiamoli come PUNTI-EMBLEMA 120

121 Ad esempio i seguenti 8 PUNTI-EMBLEMA P avranno ovviamente colore diverso 121

122 proprio perché Ogni punto del piano si raggiunge da P attraverso un percorso minimo orizzontale-verticale (cioè dei passi-colore che caratterizzano quel punto) quale che sia l effettivo percorso che vi termini P

123 Infatti, ad esempio, costruito il quadrettato Il punto 1 si raggiunge col percorso minimo 2 2 Il punto 5 col percorso 3 2 Cosa vuol dire? Quali sono gli altri percorsi minimi? P

124 Vediamo Il punto 7 si raggiunge col percorso minimo 3 3 Il punto 3 col percorso 4 4 Cosa vuol dire tutto ciò? 3 P 7 124

125 E ancora Il punto 2 si raggiunge col percorso minimo 2 4 Il punto 4 col percorso 4 1 Cosa vuol dire? Cosa accade ai punti 6 e 8? P

126 Domanda fondamentale I punti del 1 quadrante son tutti BLU? I punti del 3 quadrante son tutti ROSSI? Cosa succede -invece -nel 2 e 4 quadrante? P

127 Un altra domanda fondamentale C è per caso relazione tra i punti 1, 2 e 8? E tra i punti 3 e 7? E tra 4, 5 e 6? P

128 Possiamo costruire il diagramma seguente (incompleto) P eccetera eccetera eccetera 128

129 E infine appiattendo le rette su quella orizzontale eccetera eccetera eccetera 129

130 GRAZIE A CIÒ FORSE- QUALCHE DIFFICOLTÀ, QUALCHE DISTURBO QUALCHE SEMPLICE DISAGIO SARANNO STATI SUPERATI E I NOSTRI RAGAZZI CI RINGRAZIERANNO SUBITO O MEGLIO- DOPO TANTI ANNI DA ADULTI AD ADULTI QUANDO LA RELAZIONE EDUCATIVA SEMPRE RECIPROCA - SI SARÀ DEFINITIVAMENTE SIMMETRIZZATA PROPRIO COME ADESSO ABBIAMO FATTO CON LO SPAZIO FISICO E COME ABBIAMO SEMPRE FATTO CON QUELLO DEGLI AFFETTI GRAZIE! 130