ABILITA DI CALCOLO. Maria Carmela Valente Laura Landi Mortara 21 giugno 2012

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1 ABILITA DI CALCOLO Maria Carmela Valente Laura Landi Mortara 21 giugno 2012

2 I contributi di ricerca nell ambito della lettura e della scrittura dei numeri portano a concludere che: I meccanismi di riconoscimento preverbale delle quantità PRESIEDONO all apprendimento della lettura e scrittura dei numeri e ai sistemi di conteggio da cui possono avere origine i meccanismi di calcolo e di manipolazione del sistema numerico.

3 Il sistema di elaborazione del numero ed il sistema del calcolo sono moduli indipendenti. (Mc Closkey ) Sistema di comprensione Sistema di calcolo Trasforma la struttura superficiale dei numeri (diversa a seconda del codice, verbale o arabo)in una rappresentazione astratta di quantità Manipola questa rappresentazione attraverso: i segni delle operazioni, i fatti aritmetici e le procedure del calcolo; Sistema di produzione Rappresenta l output del sistema del calcolo, fornisce cioè le risposte numeriche. I tre sistemi adoperano: - codice uditivo (fonologico) - codice visivo (arabico e grafemico)

4 I tre sistemi funzionano in base a: Meccanismi Semantici (regolano la comprensione della quantità) Meccanismi Lessicali (regolano il nome del numero) (1 11) (3 = ) Meccanismi Sintattici (Grammatica Interna = Valore Posizionale delle Cifre) Esempio da u la posizione cambia nome e semante

5 Possiamo quindi concludere che: La cognizione di quantità (semantica del numero) consente l accesso: ai meccanismi di conteggio al sistema di transcodifica dei numeri (lessico) in simboli regolati da una grammatica interna (sintassi del numero) La conoscenza numerica è dominio specifica I bambini già a 5 anni sanno riconoscere diversi aspetti implicati nel numero (i numeri si scrivono, si dicono, servono per.) La didattica della matematica deve tener conto di questi aspetti innati e cercare di potenziarli

6 Conoscenze di base sui numeri: Conoscenze semantiche (rappresentazioni di quantità, confronto fra grandezze, stime, ) Conoscenze lessicali (conoscere i nomi dei numeri e saperli leggere e scrivere) Conoscenze sintattiche (conoscenza della grammatica del numero, valore posizionale delle cifre, numeri decimali, frazioni, potenze, ) Counting (enumerare avanti e indietro)

7 Abilità di base del calcolo: Conoscenze procedurali del calcolo scritto (procedure delle operazioni, meccanismi del prestito e del riporto, ) Strategie di calcolo a mente (n+1, arrotondamenti alla decina, combinazioni di numeri, raggruppamenti, scomposizioni, ) Memorizzazione di fatti numerici (processo automatizzato di recupero di semplici combinazioni di numeri e tabelline)

8 Conoscenza numerica Insieme delle capacità che consentono a un bambino di capire le quantità e le loro trasformazioni (Lucangeli, 1999) Implica la comprensione semantica delle quantità ovvero saper trasformare l etichetta numerica nella quantità che essa sta a rappresentare

9 Comprensione: componenti dell abilità di calcolo aritmetico - comprensione simboli (+, -, <, =); - saper ordinare numeri per valore quantitativo da + a e viceversa; - saper confrontare numeri quantitativamente; - conoscere il valore posizionale dei numeri. Produzione: - saper numerare in avanti e all indietro; - saper scrivere numeri sotto dettatura; - ricordare tabelline; - saper incolonnare; - ricordare combinazioni e fatti numerici. Procedure calcolo scritto: - dell addizione; - della sottrazione; - della moltiplicazione; - della divisione. Abilità di calcolo aritmetico

10 ERRORI NEL RECUPERO DI FATTI ARITMETICI Effetto confusione tra il recupero di fatti aritmetici di addizione e quelli di moltiplicazione. Es: = 9 (Ashcraft e Battaglia, 1978) Effetto inferenza : la semplice presentazione di due cifre può produrre un attivazione automatica della somma. Es. 2 e 4 6 (Le Fevre, Bisanz, McKonjic, 1988) Effetto di interferenza : errori dovuti al lavoro parallelo dei due meccanismi di attivazione indispensabili per il recupero diretto: da parte dei due operatori e da parte dell operazione nel suo complesso. (Campbell, 1987) ERRORI NEL MANTENIMENTO E RECUPERO DI PROCEDURE Non utilizzo delle procedure di conteggio facilitanti Es partire a contare da 5 per aggiungere 3 Confusione tra semplici regole di accesso rapido (Svenson e Broquist, 1975) Es. n x 0 = n e n + 0 = n Incapacità di tenere a mente i risultati parziali (Hitch, 1978) Sovraccarico del sistema di memoria dispendio di energia decadimento mnestico

11 DIFFICOLTA VISUOSPAZIALI (Rourke e Strang, 1978) difficoltà nel riconoscimento dei segni di operazione difficoltà nell incolonnamento dei numeri difficoltà nel seguire la direzione procedurale ERRORI NELL APPLICAZIONE DELLE PROCEDURE (Badian,1983; De Corte e Verschaffel, 1981; Brown e Burton, 1978) difficoltà nella scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle quattro operazioni (incolonnamento o meno, posizione dei numeri, ) difficoltà nella condotta da seguire per la specifica operazione e nel suo mantenimento fino alla risoluzione Es = 71 dimenticata regola direzione difficoltà nell applicazione delle regole di prestito e riporto Es. 75 unità 5 8 = 0 58 = decine 7 5 = 2 20 difficoltà nel passaggio ad una nuova operazione perseverazione nel ragionamento precedente difficoltà nella progettazione e nella verifica spesso il bambino svolge immediatamente l operazione senza soffermarsi ad individuare difficoltà e strategie da usare

12 ESEMPI DI ERRORI INTELLIGENTI (USO DI PROCESSI CORRETTI MA APPARTENENTI AD ALTRI DOMINI) Scrivi centotrè: 1003 Scrivi milletrecentosei: Scrivi centoventiquattro: Scrivi centosette: x 27 x 27 x = 15 = 3 = 36 = = = = 43 = : 5 = : 4 =

13 Scrivi centotrè: sintattica) 1003 (errore di produzione a base Scrivi milletrecentosei: (errore dovuto a difficoltà di M di L e non a disturbo. Il bambino che riesce a scrivere correttamente i numeri entro le centinaia regge lo span 3. Se l errore invade anche le decine il segno è infausto perché solo i bimbi a rischio vanno sotto lo span 3.) Scrivi centoventiquattro: (errore tutto verbale) Scrivi centosette: 1007 (errore tutto verbale)

14 Come procedi per eseguire le moltiplicazioni a mente? Paolo: Se i numeri sono piccoli e corti, uso le tabelline. Se sono lunghi, le scrivo. Luca: Faccio che se il numero è difficile, per esempio 24 x8, prendo il 4 e lo moltiplico, poi il 2 e lo moltiplico. Marta: Se è più difficile non ci riesco, e dunque scrivo.

15 Buone abilità aritmetiche sono garantire da: Conoscenza numerica Abilità di calcolo Conoscenza procedurale

16 Tale trasformazione implica l uso di: - meccanismi lessicali Riconoscimento del nome del numero arabo (es. 15 -> quindici) - meccanismi sintattici Grammatica interna al numero (valore posizionale delle cifre) Prove che indagano le capacità lessicali e sintattiche - Dettato di numeri - Composizione del numero scritto partendo dalle cifre presentate secondo le categorie posizionali (h da u )

17 Abilità di calcolo Insieme dei processi che consentono di operare sui numeri tramite operazioni aritmetiche (Lucangeli, 1999) Elaborati e riconosciuti i dati dell operazione ed il segno, il sistema cognitivo può attivare le procedure specifiche per l operazione data

18 Conoscenza procedurale uso di strategie di composizione e scomposizione routine operazionali (procedure automatizzate di esecuzione) +

19 Nel CALCOLO A MENTE si utilizzano strategie costruttive La conoscenza procedurale consente di operare scomposizioni sui numeri per ottenere operazioni intermedie più semplici Nel CALCOLO SCRITTO è richiesta l applicazione di procedure (più o meno automatizzate) La conoscenza procedurale ordina la forma grafica dell operazione, l incolonnamento dei numeri e la direzione spazio/temporale delle azioni

20 Difficoltà di calcolo Suddivisione in base a: - Conoscenza numerica (sistema dei numeri) - Conoscenza procedurale (sistema del calcolo)

21 Errori nel sistema del calcolo (Lucangeli, Tressoldi 2001) 1) Errori procedurali 2) Errori nel recupero di fatti numerici (tabelline e combinazioni di numeri < 10) 3) Errori dovuti a difficoltà visuo-spaziali

22 Difficoltà : Errori procedurali - Scelta delle prime cose da fare per affrontare l operazione (incolonnamento, posizione dei numeri ecc.) - Sequenza procedurale da seguire e mantenimento della stessa fino a risoluzione ultimata - Applicazione di regole di riporto o prestito - Passaggio a una nuova operazione (perseverazione) - Monitoraggio e verifica

23 Errori nel recupero di fatti numerici Difficoltà di memoria a lungo termine Inutile imparare a memoria Strategie: conteggio in avanti e indietro Difficoltà di memoria di lavoro Obiettivo principale: non sovraccaricare Strategie: supporti cartacei, annotazione dei passaggi intermedi ecc..

24 Errori dovuti a difficoltà visuo-spaziali - Difficoltà nella rilevazione di un dettaglio visivo (es.riconoscimento dei segni dell operazione) - Rappresentazione semantica (quantità) - Rappresentazione della linea dei numeri - Incolonnamento - Organizzazione spaziale degli elementi dell operazione (collocazione degli operandi, posizionamento di riporto e prestito)

25 PROVE che indagano le abilità di calcolo - operazioni scritte - comparazione di numerosità (qual è il più grande) - trasformazione in cifre (valore posizionale) - ordinamento di numerosità PROVE che indagano le componenti implicate nelle abilità di calcolo - calcolo a mente - enumerazione in vanti e indietro - dettato di numeri - recupero fatti numerici

26 come indagare le abilità di calcolo Calcolo scritto Indagare la capacità di applicazione delle procedure di calcolo e gli automatismi coinvolti Giudizio di numerosità Indagare la capacità di comparazione di valori numerici (comprensione semantica) che richiede anche la capacità di saper leggere correttamente i numeri Trasformazione in cifre Indagare la capacità di elaborazione della struttura sintattica del numero (valore posizionale delle cifre) Ordinamento di numerosità Indagare la capacità di saper confrontare quantità e ordini diversi (rappresentazione semantica dei numeri)

27 Elementi indicativi delle componenti implicate nel calcolo Calcolo a mente Utile osservare oltre alla correttezza, la velocità nel calcolo di semplici operazioni ed inoltre importante individuare le strategie utilizzate. Calcolo scritto Importante individuare le strategie e le modalità di esecuzione Enumerazione Importante per capire se è stata appresa la sequenza dei numeri e se è stata effettivamente compreso il ruolo di ciascun numero nel contare Dettato di numeri Fornisce importanti informazioni sul funzionamento dei meccanismi sintattici e lessicali di produzione dei numeri. Recupero fatti numerici Indaga la memorizzazione di tabelline e combinazioni di numeri, senza eseguire procedure di calcolo.

28 Grazie per l attenzione

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