corso TOPOGRAFIA modulo 1a ABILITANTI alla LIBERA PROFESSIONE di GEOMETRA sessione 2018 Collegio Geometri di Trento geometra Walter Iseppi

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1 corso TOPOGRAFIA ABILITANTI alla LIBERA PROFESSIONE di GEOMETRA sessione 2018 Collegio Geometri di Trento modulo 1a 26 settembre 2018

2 Codice etico - professionale del TOPOGRAFO Grande nemica del Topografo è la FRETTA e l EMOTIVITA. Nel rilevare o tracciare un'opera anche se è provvisoria operare sempre come se fosse un opera DEFINITIVA. A breve termine tutti dimenticano il tempo impiegato ma nessuno MAI dimenticherà un vostro ERRORE. La qualità del rilievo topografico resta sempre IMPRESSO nella opera che verrà realizzata a posteriori. Il processo formativo di un Topografo non si ESAURISCE; si protrae nel corso della sua vita professionale, attraverso nuove esperienze e diverse situazioni, così come nello STUDIO di nuove tecnologie e soluzioni sempre più innovative per effettuare al meglio il proprio lavoro. Questi elementi devono far parte di quello STIMOLO e CURIOSITA professionale che mai dovrebbero abbandonare un professionista.

3 3 alcune definizioni etimologiche cosa è la TOPOGRAFIA: dal greco TOPOS = luogo e GRAPHEIN = scrivere, é la scienza che studia i metodi operativi e gli strumenti, sia di misura, di calcolo e di disegno per ottenere una RAPPRESENTAZIONE GRAFICA di una porzione di superficie terrestre riferita ad un piano orizzontale La TOPOGRAFIA ha carattere applicativo e trae la sua base teorica dalle scienze pure della: - MATEMATICA - GEOMETRIA - FISICA 2

4 4 cenni storici Lo sviluppo della topografia, ricalca lo sviluppo della geometria, in questo furono maestri precursori gli Egiziani con l' applicazione delle regole nella costruzione dei loro monumenti e nella divisione dei terreni, ecco un esempio famoso : il PAPIRO DI RHIND, riporta precise regole di matematica e di geometria con le loro applicazioni pratiche (rettangolo/triangolo/trapezio). Molti sono stati nell'antichità gli studiosi di geometria ricordo alcuni nomi : Pitagora,Talete, Euclide, Erone, Archimede, Tolomeo... nomi che ritroveremo nella pratica applicazione delle relative : formule e metodi di calcolo in ambito topografico 3

5 5 il GEOMETRA: cenni storici dal greco GEO = terra e METRON = misuratore, é la figura che sin dalle origini rivela la sua vocazione di misuratore AGRIMENSORE - ancora nell'antica Roma, i Romani grandi conquistatori di territori, nella loro pianificazione urbanistica utilizzavano la figura del MENSOR ossia del misuratore - basti ricordare le metodologie di tracciamento dell'accampamento romano Castra sulle cui traccie venivano successivamente realizzati i nuovi insediamenti abitativi e tutte le altre grandi opere annesse ( strade,acquedotti, anfiteatri, templi, terme, ecc.) - gli insediamenti venivano sempre posizionati con i due assi principali ortogonali tra di loro ed il mensor individuava sul terreno le linee principali di tracciamento : - il cardo maximus ossia l'asse NORD/SUD - il decumanus maximus ossia l'asse EST/OVEST 4

6 6 la centuriazione romana La centurazione era il processo di suddivisione del territorio conquistato ai nemici od anche alla natura con opere di bonifica dei terreni. I lotti di terreno venivano assegnati ai legionari o ai coloni. L'orientamento secondo i punti cardinali poteva essere modificato rispetto ai convezionali assi N/S E/O in modo da poter inserire la centuriazione su una grande via di transito esistente o un'elemento geografico importante (es. : un fiume). In origine sull'intersezione del Decumano con il Cardo ossia il centro della centuriazione veniva eretta la tenda del Comandante della Legione Praetorius e successivamente nel momento della dismissione dell'accampamento, se veniva ritenuto conveniente la realizzazione di un centro abitato, veniva qui edificata la piazza principale ovvero il Foro da cui si espadeva la successiva edificazione della città. Da alcuni accampamenti posti in luoghi strategici sono nate delle importanti citta. (es. Aosta, Torino, Pavia, Verona, Trento, Vienna) 5

7 7 traccie e presenze ancora riscontrabili sul territorio della centuriazione romana impianto reticolato del cardo e decumano su pianta di VERONA es. colonizzazione di aree agricole odierna foto aerea 6

8 il tracciamento della città di Trento con la tipica configurazione a griglia romana dell urbe Tridentum con il cardo da Nord a Sud ed il decumano da Est ad Ovest

9 individuazione del Cardo e Decumano sulla rete viaria ancora visibile nel centro storico sotteraneo di Trento S.A.S.S. spazio archeologico sotto il Teatro Sociale atn spazio archeologico sotto il Palazzo Lodron a TN

10 utilizzo della GROMA per il tracciamento assi delle città ossia per l individuazione dell asse N/S CARDO e del E/O DECUMANO NORD EST SUD OVEST - GEOMETRI

11 collegio geometri e geometri laureati della provincia di trento ed ecco un MENSOR o meglio... un GROMATICO ossia il predecessore del GEOMETRA che traccia sul territorio delle direzioni perpendicolari con la groma CAT - Geometri by walter iseppi

12 12 i GROMATICI Il mensor romano era inquadrato in un corpo aggregato alle Legioni militare romane di conquista dei territori : il corpo dei GROMATICI Il termine deriva dallo strumento da loro utilizzato la : GROMA. Nell'immagine la ricostruzione di una GROMA: strumento che permetteva la definizione di allineamenti ortogonali. Dalla Groma nasce il moderno SQUADRO AGRIMENSORIO SQUADRI AGRIMENSORI moderni fessure di collimazione 7

13 13 conclusioni : perchè conoscere la TOPOGRAFIA? Da queste alcune premesse di ordine storico sulla nascita della figura del GEOMETRA ora andiamo a definire quella del moderno TOPOGRAFO che utilizza sofisticate strumentazioni di misura e di calcolo ma che fondamentalmente esplica i compiti effettuati dagli antichi gromatici antico teodolite anni 1800 stazione Totale odierna strumentazione GPS Oggi sia per l'utilizzo dei software informatici che delle strumentazioni topografiche moderne ( livelli e teodoliti elettronici GPS laser Scanner ecc.) occorrono delle : solide basi di conoscenza teorica 8

14 14 finalità : perchè conoscere la teoria? nelle prossime ore insieme andremo a ripercorrere le principali formule e/o teoremi della TOPOGRAFIA al fine di ripassare alcune fondamentali e necessarie nozioni teoriche di base utili per la sessione scritta dell esame per lo svolgimento di alcune esercitazioni pratiche si prega di portare in aula calcolatrice scientifica non programmabile righello e rapportatore angolare con graduazione centesimale 9

15 15 ora alcune esercitazioni pratiche per meglio conoscere le strumentazioni di misura 9

16 16 inizio 2a parte MODULO 1 il ripasso dei fondamentali formulari utili per esame scritto 9

17 17 i formulari di base 9

18 18 unità di misura delle DISTANZE L'unità di misura è il metro internazionale conservato presso l'ufficio Internazionale di Sevrès in Francia. Ogni nazione aderente alla Convenzione Internazionale conserva pure un prototipo campionato su questo. Il campione è in invar (una lega ferro/nichel) ed ha una lunghezza definita e nominale di 100 cm. Il metro internazionale si differenzia pochissimo al valore di 1/ del Meridiano Terrestre. Multipli : - decametro = 10 m - ettometro = 100 m - chilometro = 1000 m Sottomultipli : - decimetro = 0,10 m - centimetro = 0,01 m - millimetro = 0,001 m 10

19 19 unità di misura ANGOLI I sistemi di misura adottati per gli angoli sono diversi, dai più antichi (sessagesimale presente già nelle civiltà mesopotamiche) ai più moderni (centesimale e millesimale) : Angolo giro diviso in : - sessagesimale 46 11' parti (1 = 60' e 1'= 60 ) - sessadecimale 46, parti (sottomultipli = decimali) - centesimale 98 g 11 c 78 cc 98 g, parti (sottomultipli = decimali) - radiante 0 r, millesimale 1223, parti (sottomultipli = decim.) - orario 5 h 15 m 32 s 24 parti (1 h = 60 m e 1 m = 60 s ) Il sistema centesimale è ormai utilizzato universalmente nelle strumentazioni topografiche civili, il sistema millesimale è usato in ambito militare nei goniometri, nei telemetri e nei binocoli distanziometrici. n.b. : sulle ETS moderne (stazioni totali elettroniche) è possibile settare vari sistemi angolari a scelta dell'operatore in quanto i cerchi non sono più fisicamente graduati ma sono di tipo codificato (simili al sistema del codice a barre ) 11

20 20 rappresentazione GRAFICA delle misure angolari nell'angolo giro e segni (+/-) delle coordinate X=E / Y=N nei relativi quadranti topografici con la indicazione tra i vari sistemi angolari 360 / 400 g N = Y 6400 /2 0 / 0 g 0 / 0 r IV -/+ I +/+ 270 / 300 g 4800 O E = X 90 / 100 g 1600 / /2 r III -/- II +/- S 180 / 200 g 3200 / r la relazione intercorrente tra i vari sistemi angolari per le trasformazioni: :360 = g :400 = :6400 = r :2 = h :24 12

21 21 la conversione tra i vari sistemi angolari da sessagesimale sessadecimale da sessadecimale sessagesimale esempio : 47 45' 18 esempio : 47, = = 47 45' = 45/60 = 0,75 0,7550x60 = 45,30 = 45' 18 = 18/3600 = 0,005 0,30 x 60 = 18 = 18 47, ' 18 da sessadecimale centesimale da centesimale al sessadecimale g = 10/9 = 9/10 g esempio : esempio : 47,7550 x 10/9 = 53 g, g,0611 x 9/10 = 47,

22 22 la conversione tra i vari sistemi angolari da sessadecimale radiante da radiante sessadecimale r = 0, = 57,29578 r esempio : esempio : 47,7550 x 0, = 0 r, r, x57,29578 = 47, 7550 da centesimale radiante da radiante centesimale r =0, g g = 63, r esempio : esempio : 53 g,0611 x 0, = 0, , x 63, = 53 g,

23 23 la conversione angolare con software Fino ad un decennio or sono le conversioni angolari venivano effettuate con le apposite tavole di conversione angolare con lunghe e macchinose operazioni di interpolazione delle cifre decimali Oggi con le normali calcolatrici scientifiche l'operazione risulta di rapida e facile attuazione In alternativa esistono pure routine informatiche per PC che effettuano dette conversioni con grande rapidità, si allega a titolo dimostrativo il file conversioni angolari.xls per piattaforma Ms_Excel e conversioni angolari.ods per pacchetto OpenOffice vers.3 o sup. 15

24 24 i formulari di base ARCO L r R L = r x R applicazioni pratiche : - determinare lo sviluppo (lunghezza) di una curva stradale - individuare la lunghezza di archi sottesi da piccoli angoli (*) es. : un'angolo di 10 cc a 1000 m. corrisponde ad un arco di 15,7 mm. un'angolo di 1 cc a 1000 m. corrisponde ad un arco di 1,6 mm. (*) esempio utile al fine di rapportare fisicamente la precisione angolare dichiarata di uno strumento topografico al relativo scarto di puntamento 16

25 25 i formulari di base FUNZIONI GONIOMETRICHE o TRIGONOMETRICHE Le funzioni goniometriche sono le relazioni fra un angolo e certi rapporti di elementi lineari, tali che il loro valore varia quando varia l'ampiezza dell'angolo, perciò sono sue funzioni Y = N x P circonferenza goniometrica di raggio unitario = 1 y R P1 sen = x/r csc = R/x X = E cos = y/r sec = R/y tan = x/y cot = y/x fare esempio analitico pratico su lavagna 17

26 26 i formulari di base TRIANGOLO RETTANGOLO c b applicazione pratica : tracciare un angolo in SQUADRA con i n.ri Pitagorici o multipli e con l'ausilio di una sola corda metrica e n 3 paline A/B/C metodo comunemente usato in Edilizia dal muratore fare es.- operativo in aula con 3 paline e nastro da mt. 20 A B a C + + = 180 / 200 g = 90 / 100 g ang. retto + = 90 / 100 g Formule trigonometriche b/a = sen c/a = cos b/c = tan c/b = cot Pitagora : a = b 2 + c 2 palina A palina C palina B m. 3 m. 4 m. 5 18

27 27 tracciamento manuale di una squadratura edificio in queste immagini la pratica applicazione del metodo utilizzando valori multipli dei n.ri Pitagorici ossia 6 / 8 / 10 gli assi da tracciare le modine m. 8 m. 6 m

28 28 i formulari di base TRIANGOLO qualunque b A C + + \ = 180 / 200 g FORMULA dei SENI c a dati noti : 2 lati e i 2 angoli opposti B a/b = sen /sen b/c = sen /sen applicazione pratica : c/a = sen / sen in un TRIANGOLO qualunque determinare il valore di un lato o di un'angolo noti gli altri tre elementi (fare esercitazioni con calcolo numerico con calcolatrice) 20

29 29 i formulari di base TRIANGOLO qualunque A b C + + = 180 / 200 g FORMULA di CARNOT c a dati noti : 2 lati e l' angolo compreso B a 2 = b 2 + c 2 2bc cos b 2 = a 2 + c 2 2ac cos applicazione pratica : c 2 = a 2 + b 2 2ab cos form. CARNOT determina il valore di un lato noti altri due lati e l' angolo compreso 21

30 30 i formulari di base TRIANGOLO qualunque b A c a B C + + = 180 / 200 g FORMULE DI BRIGGS (espresse con la tang.) n.b. : p = (a+b+c)/2 è il semiperimetro tan ½ = (p-b) * (p-c) p * (p-a) (p-a) * (p-c) applicazione pratica : tan ½ = p * (p-b) form. BRIGGS determinare valore angoli noti i lati es. : valore dell'angolo interno di un vecchio edificio rilevato per semplice trilaterazione tan ½ = (p-a) * (p-b) p * (p-c) 22

31 31 i formulari di base TRIANGOLO qualunque : la superficie C b A FORMULA classica a S = ½ a * b * sen c FORMULA di ERONE B S = p * (p-a) * (p-b) * (p-c) applicazione pratica : form. ERONE : determinare la superficie di una pavimentazione tipo bitumatura o cubettatura di un piazzale scomponendo in figure triangolari e rilevando le misure per trilaterazione n.b. : p = (a+b+c)/2 è il semiperimetro

32 32 i formulari di base QUADRILATERO qualunque : la superficie A a B S1 d b S2 D C c scomporre sulla diagonale la figura originale in due triangoli e quindi applicare la relativa Formula del triangolo S tot = S1+S2 applicazione pratica : determinare la superficie di un lotto di terreno noti : 3 lati e 2 angoli compresi 24

33 33 i formulari di base QUADRILATERO qualunque : la superficie A a B d b D C c La somma degli angoli interni di un poligono è = (n-2) angoli piatti quindi per il quadrilatero si ha: = 360 /400 c FORMULA del CAMMINAMENTO applicazione pratica : determinare la superficie di un lotto di terreno noti : 3 lati e 2 angoli compresi S = ½ [ab sen + bc sen - ac sen(+)] 25

34 34 i formulari di base QUADRILATERO inscrittibile in un cerchio a B b c C Dalla Geometria analitica è noto che in un quadrilatero inscrittibile nel cerchio gli angoli opposti sono supplementari per cui : + = 180 /200 c + = 180 /200 c A d D FORMULA di Brahmegupta applicazione pratica : S = (p-a)*(p-b)*(p-c)*(p-d) n.b. : p = (a+b+c+d)/2 è il semiperimetro determinare la superficie di un quadrilatero quando sono noti i 4 lati (N.B. : per applicare questa formula fare la verifica della iscrittibilità nel cerchio ossia che gli angoli opposti siano supplementari) 26

35 calcolo AREE per coordinate cartesiane : area GAUSS con formula a doppio termine Con l'avvento informatico e le elaborazioni effettuate con i sistemi CAD, l'area GAUSS è diventata una metodologia di uso comune. Nel particolare analizziamo lo sviluppo della formula valida per un qualsiasi poligono di n i vertici : 2 S = ½ (Y i + Y i+1 ) * (X i+1 X i ) es. per un quadrilatero: S = 1/2*(Y 1 +Y 2 )*(X 2 -X 1 ) S = 1/2*(Y 2 +Y 3 )*(X 3 -X 2 ) S = 1/2*(Y 3 +Y 4 )*(X 4 -X 3 ) S = 1/2*(Y 4 +Y 1 )*(X 1 -X 4 ) O S = area Gauss quadrilatero geometra Walter Ise

36 Area GAUSS formula semplificata sul 1 termine Esempio di calcolo a doppia formula con solo il primo termine in Y i e in X i Nel particolare : 2S = Y i (X i+1 X i -1 ) sviluppo in Y della formula per quadrilatero: S = Y 1 *(X 2 - X 4 ) S = Y 2 *(X 3 - X 1 ) S = Y 3 *(X 4 - X 2 ) S = Y 4 *(X 1 - X 3 ) = 2S = area Gauss del quadrilatero 2S = ½ X i (Y i -1 Y i+1 ) sviluppo in X della formula per quadrilatero: S = X 1 *(Y 4 - Y 2 ) S = X 2 *(Y 1 - Y 3 ) S = X 3 *(Y 2 - Y 4 ) S = X 4 *(Y 3 - Y 1 ) = 2S = area Gauss del quadrilatero n.b. : essendo la sommatoria = 2S ricordarsi dividere per 2 geometra Walter Ise

37 Esempio di sviluppo area GAUSS tabellare N.B. : essendo le coordinate vertici dotate di segno +/- le operazioni s'intendono eseguite in senso algebrico geometra Walter Ise

38 38 Collegio dei Geometri di Trento corso TOPOGRAFIA ABILITANTI alla LIBERA PROFESSIONE di GEOMETRA sessione 2018 fine modulo 1a Geometra Walter Iseppi