ANNO SCOLASTICO SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO

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1 ANNO SCOLASTICO 9 - SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO INDIRIZZO: SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO PROBLEMA Sia P un punto dell arco AB quarta parte di una circonferenza di raggio OA = OB = a. Siano M ed N i punti medi dei raggi OA e OB. a) Posto AO ˆ P = x, si trovi l espressione del volume V(x) della piramide con base OMPN e altezza OQ uguale alla distanza PK di P dal raggio OB e si determini quella di volume massimo. b) Si calcoli il rapporto fra la piramide che ha il massimo volume e quella che ha la massima area di base. c) Indipendentemente dal problema geometrico, posto a =, si studi la funzione V(x) e se ne disegni il grafico. d) Si calcoli l area della regione finita di piano delimitata dall asse y, dal grafico di V(x) e dalla retta tangente al grafico nel punto di ascissa π. e) Si effettui una traslazione di vettore a (; - ) del grafico di V(x) e si indichi con y = V (x) l equazione della curva traslata. Si determini il volume del solido ottenuto in una rotazione completa intorno all asse x del grafico di V (x) nell intervallo ; π. Risoluzione a) Volume Il volume di una piramide è dato dalla formula: V = A base h. Area di base Rappresentiamo la base. Copyright Zanichelli MATutor (66)

2 Tracciato il quadrante AOB, consideriamo il punto P sull arco AB e congiungiamo P con i punti medi N e M dei raggi OB e OA. L area del quadrilatero OMPN si ottiene come somma delle aree dei triangoli OMP e ONP: A base = A(OMP) + A(ONP). Poiché l area di un triangolo è data da ab senα, dove a e b sono le misure di due lati e α è l angolo da essi compreso, scriviamo: Casi limite: A base = OM OPsen PO ˆ M + OP ONsen NO ˆ P. A base = a a senx + a a sen π x = = a senx + a cos x = = a ( senx + cos x), con < x < π. x = A base = a ; x = π A base = a Dunque si ha: x π. Altezza della piramide Copyright Zanichelli MATutor (66)

3 Tracciamo le proiezioni di P, PH e PK, sui raggi OA e OB. h = PK = OH = acos x. Quindi il volume della piramide è: V (x) = a cos x(cos x + senx) = a (cos x + cos x senx). Volume massimo Determiniamo ora il massimo della funzione V(x) nell intervallo Calcoliamo la derivata prima di V(x): ; π. V (x) = a ( cosx senx sen x + cos x). Con le formule di duplicazione otteniamo: V (x) = a (cosx senx). Studiamo il segno di V (x): V (x) > a (cosx senx) > cosx senx > Risolviamo la disequazione cosx > senx con il metodo grafico. Copyright Zanichelli MATutor (66)

4 Si ha: cosx > senx se x < π π < x π. In alternativa possiamo risolvere algebricamente la disequazione cosx senx >, π moltiplicando e dividendo per cosx ( cos x per x ) e studiando il segno dei fattori ottenuti: cos x senx (cos x ) > (cos x) ( tgx) > cosx Utilizziamo circonferenze goniometriche concentriche per studiare il segno di cosx e ( tgx). Copyright Zanichelli MATutor (66)

5 La disequazione (cos x )( tgx) > è verificata per: x < π 5 π < x π, con x π Dividendo per, e osservato che π x, concludiamo che le soluzioni sono: x < π 8 5 π < x π, con x π. 8 Analizziamo ora il segno di V (x), tenendo conto delle limitazioni di x, attraverso lo schema della figura. Deduciamo che il volume V(x) è massimo per x = π 8. b) Rapporto fra i volumi delle due piramidi Trasformiamo la funzione V (x) = a (cos x + cos x senx) con le formule di bisezione del coseno e duplicazione del seno: V ( x) = + cos a x senx + = a ( + senx + cosx). Per x = π 8 otteniamo il volume massimo, che chiamiamo V. V = V π = a = a ( + ).. Troviamo ora il volume della piramide cha ha area di base massima. Calcoliamo il valore massimo di: A = (sen + cos ), ; π base a x x x. Copyright Zanichelli MATutor (66)

6 Trasformiamo la funzione con il metodo dell angolo aggiunto: A base = a sen(x + π ). Dunque il valore massimo si ottiene quando x + π = π x = π. Per tale valore il volume della piramide diventa: V = a ( +) = a. Il rapporto tra V e V vale: V V = a ( + ) + =. a c) Studio della funzione V(x) con a = V (x) = (+ cosx + sen x) Possiamo trasformare l equazione con il metodo dell angolo aggiunto. π V ( x) = + sen x + = sen x + π +. Si tratta di una funzione sinusoidale, con periodo T = π = π e ampiezza, traslata secondo il vettore π v ; 8. Copyright Zanichelli MATutor (66)

7 d) Determiniamo l ordinata del punto T di ascissa π e l equazione della retta tangente. y = ( +) = T π ; Calcoliamo il coefficiente angolare della retta con la derivata: V π =. La retta ha equazione: y = x π y = x + π 6 +. Disegniamo la retta ed evidenziamo la zona di cui dobbiamo calcolare l area. Calcoliamo l area con l integrale: π A = x + π 6 + senx + π dx = π x π = π sen x + dx = = x + π 6 x + x + cos x + π π = Copyright Zanichelli MATutor (66)

8 π π π = = π 8 + π. e) Equazione di V (x) Le equazioni della traslazione sono: x = x y = y x = x y = y + Sostituiamo nell equazione di y = V (x) ed eliminiamo gli apici: y + = sen x + π + y = sen x + π. Il grafico è rappresentato in figura. Il volume richiesto si calcola con l integrale: I = π sen x + π π dx. Risolviamo l integrale per sostituzione ponendo: x + π = t x = t π dx = dt. Copyright Zanichelli MATutor (66)

9 Se x = t = π ; se x = π t = π. Si ha allora: π π π I = sen tdt 9 Calcoliamo l integrale indefinito: sen tdt che con le formule di bisezione si trasforma in cost dt = t sent +c. Dunque: π π π π π π I = sent 9 t =. 9 π + = π PROBLEMA Data la funzione di equazione f (x) = ax + x + x : a) si determini il valore di a per cui f (x) ammette un flesso F di ascissa. b) Si studi e si rappresenti il grafico γ della funzione che si ottiene per il valore di a trovato e si dimostri che F è il centro di simmetria di γ. c) Considerata la parabola con l asse parallelo all asse y, con il vertice nell origine del sistema di riferimento e passante per il punto P del primo quadrante in cui γ ha come tangente la retta di equazione 5x + y =, si calcoli l area della regione finita di piano delimitata dalla parabola, dal grafico γ e dalle rette di equazione y = e x =. d) La parte di piano delimitata dalla parabola, dall asse x e dalla retta di equazione x = è la base di un solido S le cui sezioni su piani perpendicolari all asse x sono triangoli equilateri. Si determini il volume di S. e) Fra le circonferenze passanti per P, tangenti a γ si determini quella che ha il centro di ordinata. Copyright Zanichelli MATutor (66)

10 Risoluzione a) Consideriamo la funzione f (x) = ax + x + x. Se x è un punto di flesso per f (x), allora se esiste in x la derivata seconda di f deve essere necessariamente f (x ) =. Calcoliamo allora la derivata prima e seconda di f (x). f a( x + x) ( ax + )(x + ) ( x) = = ax + ax ax ax 8x ( x + x) = ax 8x (x + x). (x + x) = f (x) = ( ax 8)(x + x) + (ax + 8x + )(x + x)(x +) (x + x) Se x = è flesso, allora deve essere: f = (a 8) = a = 8 Per tale valore la funzione diventa: f (x) = 8x + x + x. b) Studiamo f (x). Dominio D = R -{, }. Studio del segno 8x + x + x >. Compiliamo lo schema con lo studio del segno del numeratore e del denominatore. Copyright Zanichelli MATutor (66)

11 Deduciamo che f ( x) > per < x < e per x >. Intersezioni con gli assi L asse x è intersecato in ;. Non ci sono intersezioni con l asse y. Limiti agli estremi del dominio 8x + lim = : l asse x è asintoto orizzontale. x ± x + x 8x + 8x + lim = e lim = : le rette di equazioni x = e x = sono asintoti x x + x x x + x verticali. Studio della derivata prima Poiché abbiamo calcolato f '( x) al variare di a nel punto precedente, sostituiamo a=8 e otteniamo: Essendo f '(x) = 8x 8x (x + x) = (x + x +) (x + x). x +x +> e ( x +x ) > x D allora f '( x) è sempre negativa, quindi la funzione è decrescente in tutto il suo dominio. Tralasciamo lo studio della derivata seconda e disegniamo il graficoγ. Copyright Zanichelli MATutor (66)

12 Per dimostrare che F ; è centro di simmetria di γ, scriviamo le equazioni della simmetria centrale di centro F, ricordando che le formule della simmetria centrale di centro (a; b) sono: x' = a x y' = b y Abbiamo: x' = x y' = y x = x' y = y' Sostituiamo nell equazione di f (x) ed eliminiamo gli apici: y'= 8( x' ) + ( x' ) + ( x' ) y'= 8x + y = x + x 8x' x' ++ x' x' L equazione ottenuta coincide con quella di f (x), quindi F è il centro di simmetria di γ. c) La parabola con il vertice nell origine e asse parallelo all asse y ha equazione y = ax. Copyright Zanichelli MATutor (66)

13 Cerchiamo il punto P in cui γ ha come tangente la retta di equazione5x + y =. Poiché tale retta ha coefficiente angolare -5, deve essere: y (x) = 5 8x 8x = 5 (x + x) 8x + 8x + (x + x) = 5 Per x e x si ha: 8x + 8x + = 5(x +x +x ) 5x +x x 8x = Applichiamo la regola di Ruffini: L equazione diventa: (x )(5x +5x +x + ) =. Poiché il secondo polinomio ha tutti i coefficienti positivi i suoi zeri devono essere negativi. L equazione ha quindi come unica soluzione positiva x =, che è l unica da considerare in quanto il punto corrispondente deve trovarsi nel primo quadrante. Sostituendo il valore x = nell equazione di f (x) troviamo y = 6, dunque otteniamo: P(; 6). Poiché P deve appartenere alla parabola, allora sostituendo le coordinate di P otteniamo l equazione y = 6x. Rappresentiamo la parabola ed evidenziamo la regione di cui dobbiamo calcolare l area A. Copyright Zanichelli MATutor (66)

14 A = 6x dx + 8x + dx = x + x = 6 x +[ ln x + x ] = + ln6 ln = + ln 6 = + ln. d) Disegniamo il solido che ha come sezione un triangolo equilatero perpendicolare al piano xoy. Copyright Zanichelli MATutor (66)

15 Se indichiamo con A(x) l area del triangolo equilatero di lato x, per determinare il volume calcoliamo l integrale: V = A(x)dx Ricordando la formula dell area del triangolo equilatero di lato l: A triang.equil. = l scriviamo: V = (6x ) dx = 9 x 5 x dx = 9 5 = 9 5. e) Troviamo l equazione della retta r perpendicolare in P alla retta di equazione 5x + y = tangente a γ in P. La retta r ha coefficiente angolare, quindi la sua equazione è: 5 y 6 = (x ). 5 A tale retta deve appartenere il centro C della circonferenza, con ordinata. Sostituiamo y = nell equazione e troviamo: 6 = (x ) 5 x = 9. Determiniamo il raggio della circonferenza calcolando la distanza PC : PC = ( 9 ) + ( 6) = + =. L equazione della circonferenza è: ( x + 9) + ( y ) = x + 8+8x + y +6 8y = x + y +8x 8y 7 =. QUESTIONARIO. In un gruppo di ragazzi, fra i quali ci sono anche Marco e Angela, si deve scegliere una delegazione di 5 rappresentanti. Angela non vuole partecipare senza Marco, invece Marco è Copyright Zanichelli MATutor (66)

16 disposto ad entrare nella delegazione anche senza Angela. In quanti modi si può formare la delegazione? Risoluzione Si devono formare gruppi di 5 persone scelte fra, in cui l ordine non conta. Si tratta allora di combinazioni semplici. Consideriamo le diverse possibilità: numero di gruppi in cui Marco e Angela non sono presenti: poiché Marco e Angela restano fuori, i gruppi di 5 si formano con le rimanenti persone. Dunque dobbiamo calcolare C,5. numero di gruppi in cui Marco e Angela sono entrambi presenti: dobbiamo formare dei gruppi di 5 persone in cui due sono fissate, mentre le altre sono scelte tra le rimanenti. Calcoliamo allora C,. numero di gruppi in cui è presente solo Marco: dobbiamo calcolare il numero di gruppi di 5 persone in cui una è fissata e le altre quattro sono scelte tra persone (perché Angela resta fuori), quindi C,. Sommiamo i tre valori: C + +.,5 C, C, Ricordando che C n, k Dn, k n( n )...( n k + ) = = otteniamo: k! k! !!! = = 58.. Una sfera e un cono equilatero hanno la stessa superficie. Qual è il rapporto tra i loro volumi? Risoluzione Indichiamo con S la superficie della sfera e del cono, con r il raggio della sfera, e r il raggio del cono, e ricordiamo che un cono è equilatero se la sezione perpendicolare alla base passante per il vertice è un triangolo equilatero. Copyright Zanichelli MATutor (66)

17 Le formule per determinare la superficie della sfera e del cono sono: S sfera = πr, S cono = A base + A laterale = πr + πra, dove con r indichiamo la misura del raggio e con a quella dell apotema. Possiamo scrivere che: S = πr per la sfera, mentre per il cono è: S = πr + πr r = πr essendo l apotema congruente al doppio del raggio, perché il cono è equilatero. Uguagliamo i secondi membri: πr = πr r = r. Calcoliamo i volumi con le formule: V sfera = πr e V cono = πr h e otteniamo: V sfera = πr = π r = π 8 r = π r ; V cono = πr r = π r. Il rapporto tra i due volumi è: V sfera V cono = π r π r =. x + costdt. Si determini, se esiste, il limite: lim. x + ln(x +) Risoluzione Copyright Zanichelli MATutor (66) Il numeratore è una funzione continua e derivabile, in quanto la funzione y = cos x è continua in R, quindi esiste ed è derivabile ogni sua funzione integrale, in particolare quella di punto iniziale. x

18 La funzione y = ln( x +) è continua e derivabile x ; + Il limite dato si presenta nella forma indeterminata ; infatti: ] [ e diversa da zero se x. + costdt = e ln =. Per quanto osservato, il numeratore e il denominatore verificano le ipotesi del teorema di De L Hospital per x >, quindi possiamo studiare il limite del rapporto delle derivate: D x + lim + x D ( ln( x ) ) x + costdt. Applichiamo la regola di derivazione delle funzioni composte: + x cosx lim x + x + = Dunque esiste anche il limite dato ed è uguale a. 5. Si dimostri che la funzione f ( x) = x + x + x è invertibile. Detta g (x) la funzione inversa, si determini l equazione della tangente a g(x) nel suo punto di ascissa. Risoluzione Dimostriamo che f è invertibile. f è un polinomio quindi è continua e indefinitamente derivabile in R. Analizziamo il segno della derivata prima per studiare la crescenza: f '( x) = 5x + x + >. La disequazione, biquadratica con Δ = < e a >, è verificata x R : la funzione f è monotòna crescente e perciò invertibile. Tangente alla funzione inversa. Sia Q il punto del grafico di g (x) di ascissa ; a esso corrisponde il punto P di ordinata nel grafico di f (x) per il quale vale la relazione: 5 x + x + x =. È immediato riconoscere la soluzione x = (unica a motivo della biunivocità). Pertanto al punto P (;) di f corrisponde il punto Q (;) di g. Copyright Zanichelli MATutor (66)

19 o I metodo: derivata della funzione inversa. Per il teorema della derivata della funzione inversa se f ( x ) = y f '( x ) ) allora g '( y ) =. Nel caso in questione: f '( x ) ( f '() = g'() g '() = = =. f '() La tangente richiesta avrà pertanto la seguente equazione: y = g'()( x ), y = ( x ) x 9 y + 6 =. 9 o II metodo: simmetria assiale. Determiniamo l equazione della tangente t a f nel punto P: y = f '()( x ), y = 9( x ) 9 x y 6 =. Il grafico di g è simmetrico a quello di f nella simmetria che ha per asse la bisettrice del I e III quadrante. La tangente a g in Q, simmetrico di P, sarà la retta s simmetrica di t. Scriviamo le equazioni della simmetria: x' = y y' = x y = x' ; x = y' sostituiamo nell equazione di t: 9 y ' x' 6 = x 9 y + 6 =. 5. Si calcoli il valore medio della funzione y = x x + funzione assume tale valore. nell intervallo [-; ] e i valori di x in cui la Risoluzione Il valore medio di una funzione f(x) in un intervallo [a; b] si calcola con la formula: f b f ( x) dx a x) = b a (. Nel nostro caso dobbiamo calcolare: Copyright Zanichelli MATutor (66)

20 Calcoliamo: x dx x + f ( x) =. x dx = x + x + x + dx dx x + = [ x arctgx]. = dx Si ha allora: f ( x) = [ x arctgx] π π = [ arctg++ arctg( ) ]= = π = π. Calcoliamo ora i valori di x in cui si ha: x f (x) = π = π x = x + πx π x + πx = π x = π π π x = ±. π x dz 6. E data la funzione: F( x) =, x [ ;+ [. Si stabilisca se ammette flessi e se è biunivoca. + z Si determini l equazione dell eventuale tangente nel punto di ascissa x =. Risoluzione La funzione f ( z) + z = è continua [ ; + [ punto iniziale è derivabile su tutto l intervallo [ ;+ [ f [ ; + [ z, quindi la sua funzione integrale F (x) di con: F'( x) = f ( x) =. + x ( x) > x F (x) è monotòna crescente e dunque biunivoca. F ( ) =, F '() = f () = ; tangente: y = ( x ), x y =. x F ''( x) = f '( x) = < x [ ; + [ non esistono flessi. ( + x ) Copyright Zanichelli MATutor (66)

21 7. In un riferimento cartesiano ortogonale si rappresenti l insieme Σ dei punti ( x ; y) per i quali risulta e x y >. Risoluzione L espressione e x y ha significato solo se x ; quindi è definita in tutti i punti del piano esclusi quelli dell asse y. L asse y è pertanto parte del contorno, o frontiera, di Σ. La rimanente parte del contorno è data dalla curva di equazione e x y =. Esplicitiamo la y: e x y x = e x y = ± = ± e. Il grafico della curva è l unione di quello della funzione rispetto all asse x. x y e = con quello della sua simmetrica Studio di x y e =. Dominio: E = R { } x ; segno: e > x E; nessuna intersezione con gli assi. Comportamento agli estremi del dominio e asintoti. lim e x x ± + x = e ± = : la retta di equazione = y è asintoto orizzontale per x ± ; x lim e = +, lim x e = : l asse y è asintoto verticale a destra. x x Derivata prima: y ' = e < x E. x La funzione è decrescente per x < e per x > ; non ha massimi né minimi. x x x x Derivata seconda: y + '' e e e = x x = + x. x Per stabilire il segno di y '' è sufficiente analizzare il fattore ( + x) perché gli altri sono positivi. Copyright Zanichelli MATutor (66)

22 Dal diagramma dei segni deduciamo la concavità e l unico flesso in x =. Grafico: Disegniamo il grafico della curva x y ± e = sfruttando la sua simmetria. Copyright Zanichelli MATutor (66)

23 Il contorno di Σ divide il piano in sei parti; per decidere quali appartengono a Σ scegliamo alcuni punti e vediamo se le corrispondenti coordinate verificano la disequazione e x y >. D ( ;) e : la regione (I) non appartiene a Σ ; A ( ;) e : la regione (II) appartiene a Σ ; B (;) e : la regione (V) appartiene a Σ ; C (;) e : la regione (VI) non appartiene a Σ ; per simmetria anche le regioni (III) e (IV) non appartengono a Σ. L insieme Σ è formato dalle parti di piano evidenziate esclusi l asse y e la curva e x y =. Copyright Zanichelli MATutor (66)

24 8. Si inscriva in un cono di raggio a e altezza b il cilindro che ha massimo volume. Tale cilindro ha anche massima superficie laterale? Risoluzione Disegniamo la sezione del cono e del cilindro inscritto perpendicolare al piano di base passante per il centro del cerchio di base. Il volume del cilindro si calcola con la formula: V cil = π PH QP. Posto PH = x, con x a determiniamo QP considerando la similitudine dei triangoli APQ e AHC. Si ha: AH : AP = CH : QP a :( a x)= b : QP QP = Sostituiamo e otteniamo: V cil b(a x). a b( a x) b ( x) = π x. = π ( ax x ) con x a. a a Calcoliamo V (x) e studiamo il segno: b V ( x) = π (ax x a ) ( ax x ) > x(a x) > < x < a b V ( x) > π. a Copyright Zanichelli MATutor (66)

25 Poiché la derivata prima di V(x) è positiva per x < a e negativa per x > un massimo in x = a. Per tale valore di x l altezza del cilindro diventa: b b QP = a a = a = b. a a a, allora V (x ) presenta Dunque il cilindro di volume massimo è quello con l altezza uguale a di quella del cono. Determiniamo ora la superficie laterale del cilindro. Deve essere: e sostituendo: S( x) = π PH QP b b S( x) = π x ( a x) = π ( ax x ) con x a. a a Calcoliamo la derivata e studiamo il segno: b S' ( x) = π a ( a x) b a S ( x) > π ( a x) > x <. a Poiché S ( x) > per x < a e S ( x) > per x > a, S(x) assume valore massimo per x = a e dunque: S max = b a π a = ab π. Il valore S max è diverso dalla superficie S che si ottiene nel caso del volume massimo. Infatti: S = π a b = 9 abπ. 9. Per quali valori di h l equazione x x + h = ammette solo una soluzione? Risoluzione Sdoppiamo l equazione in un sistema equivalente: h = x x y = h y = x x Copyright Zanichelli MATutor (66)

26 Studiamo per via grafica le intersezioni delle rette del fascio improprio di equazione funzione y = x x. y = h con la Analizziamo la funzione y = x x. Dominio: R; la funzione è continua. x x se x Segno. y = x + x se x < Derivata prima. x se x > y ' = + x se x < Poiché lim ( x ) = lim ( x ) = x + + x la funzione è derivabile in x = e y () =. x = = è l unico punto di massimo relativo e assoluto e il corrispondente valore della funzione è y = 9. 6x se x > Derivata seconda. y '' = 6x se x < Poiché lim 6x = lim ( 6x) =, y''() ed è uguale a y '' x R. Grafico: x x + Copyright Zanichelli MATutor (66)

27 Discutiamo l equazione. Rappresentiamo il fascio di rette evidenziando la tangente nel punto di massimo della funzione. h < 9 h = 9 h > 9 ogni retta interseca il grafico della funzione in due punti; la retta è tangente al grafico della funzione nel punto di massimo; nessuna retta interseca il grafico della funzione. Copyright Zanichelli MATutor (66)

28 L equazione data ammette un unica soluzione solo per h =.. Si considerino la curva γ di equazione y = x e la retta r di equazione y = k(x ). x Determinati i punti A e B di intersezione di γ e r si scriva l equazione del luogo geometrico descritto dal punto medio M del segmento AB al variare di k e si rappresenti il grafico corrispondente. Risoluzione L equazione y = x x x =, y =. rappresenta una iperbole equilatera γ di centro (; ) e asintoti di equazioni L equazione y = k(x ) rappresenta un fascio di rette di centro (; ). Rappresentiamo nella figura γ e la retta r. Determiniamo i punti di intersezione A e B delle due curve con il sistema: Copyright Zanichelli MATutor (66)

29 y = x x y = k(x ) k(x ) = x x y = k(x ) Risolviamo la prima equazione: k(x )(x ) = x con x k + ( x )( kx k ) = x = x =, con k k Sostituiamo nella seconda equazione. Per x =, si ha y = ; per x = k + k, si ha y = k k + k = k + k = k +. k + Dunque i punti di intersezione sono A(; ) e B ; k +. k Calcoliamo le coordinate del punto medio M del segmento AB. k + k + k + k + M + ; ; con k k k. Per determinare il luogo geometrico descritto da M al variare di k, scriviamo il sistema: x = k + k y = k + Eliminiamo il parametro k: k + x = k k = y (y ) + x = (y ) k = y Svolgiamo i calcoli nella prima equazione e ricaviamo y in funzione di x: xy x = 6y + con y y = x x 6 y = x x. Copyright Zanichelli MATutor (66)

30 L equazione rappresenta il luogo geometrico richiesto e il suo grafico è un iperbole equilatera di centro ; e asintoti di equazioni x = e y =. Copyright Zanichelli MATutor (66)