Elettrostatica. . Ponendo a zero il potenziale a distanza infinita dalle sfere, il potenziale nel punto P è: [1 livello 2016] D k q 1 a k q 2

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1 Elettrostatica 1. Un guscio sferico conduttore ha una superficie interna di raggio a e una superficie esterna di raggio b. Una carica elettrica +Q viene posta al centro del guscio e una carica q viene posta sul guscio stesso (vedi figura). Come si è distribuita la carica nel guscio sferico una volta raggiunto l equilibrio? [1 livello 2017] A Carica nulla sulla superficie interna, carica q su quella esterna B Carica Q sulla superficie interna, carica q su quella esterna C Carica Q sulla superficie interna, carica q + Q su quella esterna D Carica +Q sulla superficie interna, carica q Q su quella esterna E La carica q si distribuisce sulle due superfici in modo proporzionale ai quadrati dei rispettivi raggi 2. Si esegue la seguente esperienza in una regione dove la gravità può essere trascurata. Due sferette uguali, uniformemente cariche, sono in posizione fissa a una distanza di 28.0 mm; la loro massa e la loro carica valgono rispettivamente m=4.18 kg e q=8 µc. Una terza sferetta, uguale alle precedenti, inizialmente ferma in prossimità del punto medio del segmento ai cui estremi sono le prime due, viene lasciata andare. Qual è la velocità di questa sferetta a grande distanza dal punto di partenza? A 0 B 6.28 m s 1 C 8.87 m s 1 D 12.6 m s 1 E 27.8m s 1 3. In figura sono mostrate due cariche puntiformi tenute in posizione fissa a distanza d =0.2 m una dall altra; le cariche valgono q 1 = 1 µc e q 2 = 4 µc. In quale punto il campo elettrico è [1 livello 2017] nullo? [1 livello 2017] A A 0.40 m a destra di q 1. B A 0.13m a destra di q 1. C A 0.10 m a destra di q 1. D A m a sinistra di q 1. E A 0.20 m a sinistra di q Due gusci conduttori sferici sono concentrici e isolati. La sfera più interna ha raggio a 1 e carica netta q 1 ; la sfera più esterna ha raggio a 2 e carica netta q 2. Si consideri un punto P posto a distanza a dal centro delle due sfere, con a 1 a a 2. Ponendo a zero il potenziale a distanza infinita dalle sfere, il potenziale nel punto P è: [1 livello 2016] A k q 1 k q 2 B k q 1 k q 2 a 1 a 2 a 1 a C k q 1 a D k q 1 a k q 2 E k q 1 a 2 a k q 2 a 5. Una carica è distribuita uniformemente in tutto il volume di un cilindro infinitamente lungo, non conduttore, di raggio R. Quale dei seguenti grafici rappresenta meglio l intensità E del campo elettrico in funzione della distanza r dall asse del cilindro? [1 livello 2016]

2 6. L unità di misura V m 1 equivale a: [1 livello 2016] A J V 1 B J C 1 C N A 1 m 1 D N m 2 C 2 E N C 1 7. Un condensatore piano è costituito da due armature metalliche piane e parallele, tenute a una distanza fissa. Quale grafico rappresenta meglio la relazione tra l intensità E del campo tra le armature e la differenza di potenziale V tra le stesse? [1 livello 2015] 8. Uno studente scrive le seguenti affermazioni circa i campi elettrici. 1 In un campo elettrico viene esercitata una forza su una carica. 2 Quando un campo elettrico è applicato ad un conduttore le cariche libere nel conduttore si muovono. 3 Quando una carica si muove in un campo elettrico viene compiuto lavoro sulla carica. Quali delle precedenti affermazioni sono sempre corrette? [1 livello 2015] A Solo la 1. B Solo la 2. C Solo la 1 e la 2. D Solo la 1 e la 3. E Tutte e tre. 9. Il diagramma mostra l energia potenziale di un sistema costituito da due molecole in funzione della distanza, r, tra di esse. Quali delle seguenti affermazioni sono vere? 1 L energia potenziale è nulla per r=r 1. 2 L energia potenziale diminuisce costantemente all aumentare di r. 3 La forza tra le molecole è attrattiva per r r 2 e repulsiva per r r 2. [1 livello 2015] A Solo la 1. B Solo la 3. C La 1 e la 2. D La 1 e la 3. E La 2 e la Viene applicata una differenza di potenziale tra le piastre di un condensatore piano, distanti 0.10 m; una particella di carica +2.0 µc, inizialmente ferma, viene lasciata libera di muoversi partendo dalla piastra positiva, come mostrato in figura. Si supponga non vengano esercitate altre forze sulla

3 particella ad esclusione di quella elettrostatica. Quanto vale l energia cinetica della carica immediatamente prima che urti la piastra negativa del condensatore? [1 livello 2014] A J B J C J D J E J 11.Due sfere metalliche, uguali e molto piccole rispetto alla loro distanza, sono sostenute da due supporti isolanti. Le sfere sono caricate rispettivamente con una carica di +1.0 µc e +3.0 µc. Avendo cura di toccare solamente i sostegni, le due sfere vengono portate a contatto e poi riportate nella posizione di partenza. Come effetto di questa operazione la forza elettrostatica agente tra di esse cambia dal valore iniziale 27 mn al valore... [1 livello 2014] A 14 mn B 18 mn C 20 mn D 36 mn E 140 mn 12.L elettroscopio a foglie è un dispositivo usato per rivelare cariche elettriche. E` formato da un pomello metallico ed un asta metallica al fondo della quale sono appese due foglioline metalliche che possono oscillare liberamente. La figura mostra un elettroscopio a foglie caricato con cariche elettriche positive. Se una bacchetta di vetro carica positivamente viene avvicinata al pomello, senza toccarlo,... [1 livello 2013] A la carica elettrica del pomello diminuisce e così pure la separazione tra le foglioline metalliche. B la carica elettrica del pomello diminuisce mentre aumenta la separazione tra le foglioline metalliche. C la carica elettrica del pomello aumenta e così pure la separazione tra le foglioline metalliche. D la carica elettrica del pomello aumenta mentre diminuisce la separazione tra le foglioline metalliche. E non cambia nulla. 13.Le cariche elettriche che si trovano alla base di una nuvola distano dal terreno 1.0 km. L intensità del campo elettrico (supposto uniforme e diretto verticalmente) tra la base della nuvola e il terreno è di N C 1. Qual è la differenza di potenziale tra la base della nuvola e il terreno? [1 livello 2013] A V B V C V D V E V 14.Un condensatore da 3.0 µf è collegato in serie con uno da 6.0 µf. Se si applica una differenza di potenziale di 300 V al blocco formato dai due condensatori, qual è l energia totale immagazzinata? A 0.09 J B 0.18 J C 0.27 J D 0.41 J E 0.81 J [1 livello 2012] 15.Una carica elettrica è uniformemente distribuita all interno di una sfera di raggio a. Quale dei seguenti grafici meglio rappresenta l intensità del campo elettrico in funzione della distanza dal centro della sfera? [1 livello 2012]

4 16.La carica elettrica su un oggetto potrebbe assumere uno tra i seguenti valori. Quale? A C B C C C D C E C [1 livello 2011] 17.Due punte di plastica sono uguali ed entrambe ugualmente cariche con carica negativa; esse sono disposte ad uguale distanza da una sferetta carica positivamente, come mostrato in figura. Quale dei seguenti vettori rappresenta meglio la forza elettrostatica agente sulla sferetta? [1 livello 2011] 18.Il grafico mostra la relazione che si è trovata tra la carica di un corpo e il lavoro compiuto da una forza esterna, quando il corpo viene spostato tra due punti fissati A e B, in un campo elettrostatico (in assenza di altri tipi di interazione). Che cosa rappresenta la pendenza di questo grafico? A La potenza B La corrente elettrica C Il modulo della forza elettrica D L intensità del campo elettrico E La differenza di potenziale [1 livello 2011] 19.Una zona di spazio vuoto è occupata dal campo elettrico generato da due piastre parallele uniformemente cariche. Un protone p e un elettrone e vengono lasciati andare nello stesso istante, in prossimità delle due piastre, come mostrato in figura. Le due particelle accelerano da parti opposte, rimanendo abbastanza lontane da non risentire l'una della presenza dell'altra. Una volta che le particelle hanno completato il loro moto e stanno per raggiungere la piastra opposta, hanno velocità v p e v e ed energia cinetica E p ed E e. Quali relazioni tra le grandezze sono corrette? [1 livello 2010] Velocità Energia cinetica A v e v p E e E p B v e =v p E e E p C v e v p E e E p

5 Velocità Energia cinetica D v e =v p E e =E p E v e v p E e =E p 20.Un condensatore a facce piane parallele viene caricato asoperando una batteria da 12 V. In assenza di dielettrico tra le armature, il condensatore ha una capacità di 4.8 pf. La batteria viene staccata e lo spazio tra le armature del condensatore viene riempito di vetro Pyrex avente costante dielettrica relativa 4.7. Di quanto varia l'energia immagazzinata nel condensatore? A 0 pj B 272 pj C 346 pj D 544 pj E 1280 pj [1 livello 2010] Soluzioni 1. RISPOSTA C Preliminarmente si osserva che, all equilibrio, la carica posta sul guscio conduttore si può distribuire solo sulle due superfici, interna ed esterna di questo, e che nei punti interni dello stesso materiale conduttore il campo elettrostatico è nullo. In presenza di una carica elettrica +Q al centro del guscio sferico (o anche in un punto non centrale, purché posto all interno), sulla parete interna del guscio si avrà necessariamente una carica indotta; infatti, fissata una superficie chiusa (sferica per esempio) tutta contenuta all interno del materiale conduttore, attraverso la quale il flusso del campo elettrostatico è nullo, il teorema di Gauss assicura che la carica totale interna alla stessa superficie è nulla: Q q int =0 q int = Q. Dovendo poi essere, per la conservazione della carica, q int q est = q risulta: q est = q q int = q Q. 2. RISPOSTA B Ponendo, come d abitudine, V =0, l energia potenziale iniziale della terza sferetta è: U 1 =qv 1 =2 q k q el d /2 = 4 k el q2 d e la sua energia cinetica è zero. (d è la distanza tra le sferette fisse e k el = ) A grande distanza la sua energia potenziale è U f =q V =0 e la sua energia cinetica è K f =1/2 mv f 2 (dove v f è la sua velocità finale). Per il principio di conservazione dell energia: U i =K f 3. RISPOSTA E 4 k el q2 = 1 d 2 m v 2 f v f =2 q 2 k el dm =6.28 m s 1.

6 Le cinque alternative proposte si riferiscono tutte a punti della retta su cui si trovano le due cariche; è immediato osservare che in nessun altro punto dello spazio il campo elettrico si potrebbe annullare dato che i due campi prodotti separatamente dalle due cariche in questi punti hanno direzioni diverse e la loro risultante non può essere nulla. Analizzando i versi dei campi prodotti dalle due cariche lungo la retta su cui sono poste si vede che essi sono discordi solo nei punti a sinistra della prima e a destra della seconda, ma nel secondo caso l intensità dei due campi è sempre diversa; questo fatto esclude automaticamente le prime tre alternative. Detta poi a la distanza a 0 del punto di campo nullo dalla carica q 1, poiché il rapporto dei moduli delle cariche è 1/4, occorre che il rapporto dei quadrati delle distanze sia ancora 1/4, cioè che a= a d /2 da cui a=d =0.20 m. In alternativa l equazione da risolvere è: kq 1 a = k q 2 q 2 a d 2 2 q 1 a 2 2 dq 1 a d 2 q 1 =0 che porta allo stesso risultato, avendo scartato la soluzione non compresa nell intervallo considerato a 0. La condizione a 0 (che implica a d 0 ) consente di risolvere l equazione precedente anche in modo più immediato: considerando le radici quadrate dei due membri si ottiene: q q 2 a= q 1 a d a= 1 d =d. q 2 q 1 4. RISPOSTA D Il potenziale di un guscio sferico di raggio R e carica Q, ponendo uguale a zero il suo valore a distanza infinita, è uguale a k Q/r all esterno del guscio, ed è costante e pari a k Q/ R in tutti i punti interni. Nel punto P dunque il potenziale prodotto dal guscio esterno vale V 2 =kq 2 /a 2, mentre quello prodotto dal guscio interno vale V 1 =k q 1 /a. Per il principio di sovrapposizione, i due contributi si sommano: V =V 1 V 2. In figura i grafici dei due potenziali separati (nel caso q 1 q 2 5. RISPOSTA A ) e la loro somma. Per risolvere il quesito è necessario applicare il teorema di Gauss. Sia ρ la densità di carica del cilindro. Per calcolare il campo elettrico in un punto P interno al cilindro a distanza r dall asse r R si consideri una superficie gaussiana cilindrica S con asse coincidente con l asse del cilindro, raggio r e altezza h. Per questioni di simmetria il campo elettrico avrà una direzione radiale, e sarà costante in tutti i punti della superficie laterale del cilindro S. Il flusso sarà quindi Φ E =2 πrh E r, essendo nullo il flusso sulle basi di S. La carica Q all interno della superficie S è Q= ρ πr2h. Per il teorema di Gauss: 2 πrhe r = ρ πr2 h 0 da cui segue E r = ρ 2 0 r.

7 Questo mostra che all interno del cilindro il campo è direttamente proporzionale a r, e quindi si possono escludere i casi B, D ed E. Il campo elettrico in un punto esterno P a distanza r R può essere determinato allo stesso modo; il flusso sarà ancora Φ E =2 πrhe r, mentre questa volta la carica è Q= ρ πr2h, per cui il campo elettrico è: E r = R r. Questo mostra che all esterno del cilindro il campo elettrico è inversamente proporzionale alla distanza dall asse. In definitiva l unico grafico che mostra correttamente l andamento del campo elettrico sia all interno che all esterno è quello in A. 6. RISPOSTA E Se si ricorda che 1V m 1 è l unità di misura del campo elettrico e che questo è, per definizione, una forza per unità di carica (e dunque si può misurare anche in N C 1 l alternativa corretta. ) si trova direttamente Soluzione alternativa: per confrontare le unità di misura è necessario ricondurle tutte a prodotti di potenze delle unità fondamentali: il metro (m) per la lunghezza, il chilogrammo (kg) per la massa, il secondo (s) per il tempo e l ampere (A) per la corrente elettrica. Serve qui ricordare le unità di forza, di lavoro e di carica elettrica: N =kg m s 2 ; J =N m=kg m 2 s 2 ; C=A s dove per brevità si è omesso il valore numerico 1 (per es. 1 J =1 N 1 m ). Ricordando poi che una d.d.p. rappresenta un lavoro per unità di carica elettrica si trova V =kg m 2 s 3 A 1. Per l unità data nel testo e per le cinque alternative si possono quindi scrivere queste equivalenze: V m 1 = kg m 2 s 3 A 1 m 1 =kg m s 3 A 1 A: J V 1 = kg m 2 s 2 kg m 2 s 3 A 1 1 =A s B: J C 1 = kg m 2 s 2 A s 1 =kg m 2 s 3 A 1 C: N A 1 m 1 = kg m s 2 A 1 m 1 =kg s 2 A 1 D: N m 2 C 2 = kg m s 2 m 2 A s 2 =kg m 3 A 2 s 4 E: N C 1 = kg m s 2 A s 1 =kg m s 3 A 1 7. RISPOSTA C Il campo tra le armature di un condensatore piano è uniforme (trascurando gli effetti di bordo). Per un campo uniforme, la relazione tra la differenza di potenziale e l intensità del campo è E=V / d dove d è la distanza misurata parallelamente alle linee di campo. Di conseguenza, fissata la distanza, E e V sono direttamente proporzionali e il grafico che esprime la relazione tra di loro è una retta passante per l origine.

8 8. RISPOSTA C La terza affermazione non è necessariamente vera: si consideri per esempio il caso di una carica in moto in direzione perpendicolare al campo elettrico. La prima è legata alla definizione di campo elettrico mentre la seconda è di fatto la definizione di conduttore. 9. RISPOSTA D Dal grafico si deduce immediatamente che la 1 è vera, mentre la 2 è falsa ( U r cresce per r r 2 ). Per esaminare l affermazione 3 si può osservare che un sistema che si evolve liberamente tende sempre a stati di energia minore; di conseguenza per r=r 2 (minimo di energia potenziale) si avrà uno stato di equilibrio. Per valori di r diversi, il sistema tende spontaneamente a portarsi verso r 2 e quindi per r r 2 la distanza tra le molecole tende a crescere mentre per r r 2 tende a decrescere. Questo significa che nel primo caso la forza risentita dalle molecole è repulsiva mentre nel secondo caso è attrattiva. In conclusione anche l affermazione 3 è vera. 10.RISPOSTA D Per la conservazione dell energia del sistema, qv i =qv f K f tenuto conto del fatto che K i =0. Da qui: K f =q V i V f =10 mj. 11. RISPOSTA D, dove K è l energia cinetica e si è Poiché le sfere sono piccole rispetto alla loro distanza possono essere trattate come cariche puntiformi e quindi la forza elettrostatica è proporzionale al prodotto Q 1 Q 2 delle due cariche. Portando a contatto le due sferette, esse si divideranno in maniera uguale - poiché sono identiche - la carica totale Q T =Q 1 Q 2, acquistando ciascuna una carica Q '=QT /2. Il prodotto tra le cariche diventerà quindi: Q ' 2 = Q 1 Q e l intensità F ' della forza risulterà F '= Q 1 Q 2 2 4Q 1 Q 2 F =36 mn. 12.RISPOSTA B Quando si avvicina la bacchetta di vetro carica positivamente, gli elettroni liberi dentro il metallo vengono attirati verso la bacchetta e quindi tendono a spostarsi dalle foglioline verso il pomello che è più vicino alla bacchetta. Pertanto, nella situazione di equilibrio (che si raggiungerà quando tutta la parte metallica - pomello, asta, foglioline - dell elettroscopio è tornata allo stesso potenziale), la carica elettrica positiva del pomello risulta ridotta, mentre aumenta l eccesso di cariche positive sulle foglioline, che di conseguenza si allontanano ulteriormente. 13. RISPOSTA D

9 Per un campo uniforme, V =Ed, dove E è il modulo del campo elettrico, e d è la distanza, misurata parallelamente al campo, tra i punti tra i quali sussiste la differenza di potenziale V. Effettuando il calcolo si ha: V = V. 14.RISPOSTA A In un collegamento in serie di condensatori, il reciproco della capacità equivalente è uguale alla somma dei reciproci delle capacità dei vari condensatori collegati. Nel nostro caso la capacità equivalente risulta C e =2.0 µf. L energia immagazzinata, U, sarà quindi: U =1/2C e V 2 =0.09 J. 15.RISPOSTA D Il sistema fisico in esame ha una simmetria sferica e in tal caso, applicando la legge di Gauss, l intensità del campo elettrico in un punto a distanza r dal centro è pari a quello di tutta la carica contenuta all interno della sfera di raggio r, come se fosse una carica puntiforme posta al centro. Pertanto per distanze superiori al raggio della sfera si ricava che il campo elettrico dipende dall intera carica contenuta nella sfera di raggio a e diminuisce con l inverso del quadrato della distanza r dal centro della sfera (alternative B ed E errate); invece all interno della distribuzione di carica, il campo elettrico dipende solamente dalla carica contenuta in una sfera di raggio r, e risulta quindi proporzionale alla distanza stessa (alternative A, B e C errate). La D è l unica alternativa che riporta un grafico corretto per entrambe le situazioni. 16.RISPOSTA A La carica elettrica è quantizzata, per cui può assumere soltanto valori che sono multipli interi (positivi o negativi) della carica elettrica elementare: e= C. Tra le alternative fornite, la prima equivale a 20 e, la seconda a 1.5 e, la terza a e, la quarta a 0.5 e e infine la quinta a 0.1 e. 17.RISPOSTA D Le due punte eserciteranno entrambe una forza attrattiva sulla sferetta, uguale in modulo, se le punte sono ugualmente cariche e poste alla stessa distanza. La risultante di queste due forze sarà pertanto una forza applicata sulla carica positiva della sferetta in direzione 45 in basso a sinistra. 18.RISPOSTA E La relazione trovata è lineare e la pendenza è quindi il rapporto costante tra il lavoro compiuto sulla carica dalla forza esterna e il valore della carica stessa. In assenza di indicazioni diverse si deve presumere che il corpo sia inizialmente fermo nel punto A e alla fine sia fermo in B, per cui non si ha variazione di energia cinetica, cosicché il lavoro totale della forze (forza esterna e forza elettrostatica) è nullo. Ne segue che il lavoro della forza e.s. è opposto a quello della forza esterna e quest ultimo risulta uguale alla differenza di energia potenziale e.s. tra i due punti A e B. Il rapporto cercato è dunque la d.d.p. tra gli stessi punti (alternativa E).

10 Circa le altre alternative, la potenza è il rapporto tra il lavoro compiuto ed il tempo impiegato, la corrente elettrica è il rapporto tra la carica elettrica che attraversa una sezione di un conduttore in un certo tempo ed il tempo considerato, l intensità del campo elettrico è data dal rapporto tra l intensità della forza elettrica e il valore della carica su cui agisce. 19.RISPOSTA E Le due particelle percorrono un tratto uguale in un campo elettrico uniforme e portano ciascuna la stessa carica, in valore assoluto. Esse acquisiscono entrambe l'energia E=eV, dove e indica la carica del protone e V la differenza di potenziale attraversata. Il protone ha una massa quasi 2000 volte più grande di quella dell'elettrone, perciò alla fine del tragitto avrà una velocità inferiore a quella dell'elettrone. 20.RISPOSTA B Detta Q 0 la carica presente sul condensatore che è stato caricato alla d.d.p. V 0 (quindi: Q 0 =CV 0 =57.6 pc ), l'energia immagazzinata nel condensatore prima di inserire il dielettrico e quella dopo averlo inserito valgono rispettivamente: U 0 = Q 0 Q 0 C e U = 1 2 kc dato che la carica non cambia, mentre la capacità del condensatore aumenta di un fattore k pari alla costante dielettrica relativa. La variazione di energia è quindi: Q 0 2 U =U U 0 = 1 2 C 1 k 1 = 272 pj.