APPUNTI DI FISICA AMBIENTALE PARTE TERZA ENERGIA ELETTROMAGNETICA

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1 APPUNTI DI FISICA AMBIENTALE PARTE TERZA ENERGIA ELETTROMAGNETICA Prof. Ing. Riccardo Fanton A.S

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3 Premessa Nella parte precedente del corso abbiamo analizzato i problemi che hanno portato alla necessità di redigere, per gli edifici, la certificazione al fine di promuovere il risparmio energetico e quindi di ridurre l inquinamento che deriva dall uso nel riscaldamento dei combustibili fossili. Risulta chiaro che la realizzazione di edifici tecnologicamente avanzati non elimina l uso per il riscaldamento del gas e dei derivati dal petrolio. Tenendo presente che i combustibili fossili hanno un orizzonte di vita che non supera il mezzo secolo (si esauriranno indipendentemente dalla nostra volontà.) è opportuno fino da adesso cercare di trovare delle soluzioni alternative a questa fonte energetica. Da quanto detto all inizio del corso l energia alternativa che più si addice alla nostra collocazione geografica risulta quella solare nelle sue forme termica e fotovoltaica. Durante l anno affronteremo approfonditamente il modo in cui funzionano e vanno progettati gli impianti solari. Per farlo è necessario avere idee chiare su come viene fornita l energia solare e quindi conoscere in maniera esauriente il modello che descrive le onde elettromagnetiche e, per quanto concerne la tecnologia fotovoltaica, il modello corpuscolare quantistico che si applica nel fotovoltaico in alternativa a quello ondulatorio. Oltre a questo vedremo gli effetti dell inquinamento elettromagnetico che l energia solare produce in vari ambiti della nostra vita. MODULO N.1 1) ELETTRICITA E MAGNETISMO Le onde elettromagnetiche sono prodotte da oscillazioni di cariche elettriche che, spostandosi, generano campi elettrici e magnetici a loro volta oscillanti. Per capire il significato della frase precedente risulta necessario rivedere, molto sinteticamente, alcuni concetti di elettrologia studiati nel biennio accompagnandoli con nuove nozioni relative al magnetismo. 1.1) ELETTROSTATICA Definizione di forza elettrica (o di Coulomb): forza con la quale si attraggono o respingono due masse dotate di una carica non nulla. Tipo di grandezza: vettoriale. 3

4 Modulo della forza: F = 1 4πε 0 q 1q 2 r 2 [1] cariche dello stesso segno attrattivo (fig. 1b) Verso: { cariche di segno opposto repulsivo (fig. 1a) Unità di misura: C (coulomb) = As (ampere x secondi) Figura 1 Rappresentazione vettoriale delle forze elettriche 1.1.1) CAMPO ELETTRICO STATICO Il concetto di CAMPO è estremamente complesso. Oggi si fa uso del concetto di campo per evitare il concetto di azione a distanza. Se abbiamo una certa carica Q in un punto P, per la legge di Coulomb, questa è influenzata da tutte le altre cariche che si trovano nelle vicinanze: la forza agisce a distanza. Questo è ciò che si pensava tra il 1832 e il Ma già nel 1864, il concetto di campo, attraverso le equazioni di Maxwell, arriva alla sua maturità. Tali equazioni decretano un nuovo modo di rappresentare il mondo, non più attraverso la descrizione di una forza che agisce tra due corpi bensì attraverso la perturbazione dello spazio tra due i due corpi, quello sorgente e quello test. Il campo diventa interpretazione di leggi fisiche; mentre le leggi della fisica classica seguono l andamento dei corpi, cioè ci dicono istante per istante dove si trova il corpo, con l introduzione del concetto di campo, invece, le leggi fisiche non seguono più il corpo ma descrivono, nello spazio e nel tempo, la storia del campo stesso. Così scrive Einstein: La definizione quantitativa, ovvero matematica del campo, si riassume nelle equazioni che portano il nome di Maxwell [.]. la formulazione di queste equazioni costituisce l avvenimento più importante verificatosi in fisica dal tempo di Newton 4

5 e ciò non soltanto per la dovizia del loro contenuto (perché permettono di prevedere le onde elettromagnetiche, permettono di verificare l ottica, l elettromagnetismo, l elettricità in un colpo solo ma soprattutto perché hanno fornito un nuovo modello di legge che prima non si conosceva). Le equazioni di Maxwell definiscono la struttura del campo elettromagnetico, sono leggi valide nell intero spazio (non soltanto lungo la linea di moto descritta dalla particella, come accadeva per le leggi di Newton) e non soltanto nei punti in cui materia e cariche elettriche sono presenti. Rammentiamo come stanno le cose in meccanica. Conoscendo posizione e velocità di una particella in un dato istante e conoscendo le forze agenti su di essa è possibile prevedere l intero futuro percorso dalla particella stessa. [ ]. Nelle equazioni di Maxwell invece basta conoscere il campo in un dato istante per poter dedurre dalle equazioni omonime in quale modo l intero campo varierà nello spazio e nel tempo. Le equazioni di Maxwell permettono di seguire le vicende del campo, così come le equazioni della meccanica consentono di seguire le vicende delle particelle materiali. Un passo essenziale che condusse alle equazioni di Maxwell consiste nel riconoscere il campo come qualcosa di reale, una volta creato il campo elettromagnetico sussiste, agisce e varia in conformità alle leggi di Maxwell [ ] Noi vedremo inizialmente una forma semplificata delle equazioni di Maxwell e utilizzeremo la seguente definizione operativa di campo elettrico STATICO. Date due cariche che esercitano una sull altra una forza elettrica, una viene definita carica generatrice del campo (q), l altra carica di prova (q0). Il campo elettrico prodotto dalla carica generatrice è l insieme dei vettori che rappresentano, in ogni punto dello spazio, la forza che vi subirebbe la carica di prova per unità di carica. In formule: Figura 2 campo vettoriale di una carica generatrice negativa Vettore campo elettrico: 5 E = F q 0 [2] Nell esempio indicato in fig.2 è rappresentata la regione di spazio che circonda la carica generatrice negativa in cui sono raffigurati qualitativamente i vettori di campo calcolati con la [2] (N.B. si tratta di una figura bidimensionale che rappresenta la sezione della realtà tridimensionale). Il modulo del

6 campo generato dalla carica q si ottiene combinando le [1] e [2] ottenendo : E = u r q 4πε 0 r 2 [3] Nella [3] si evidenzia che il verso del vettore campo è puntato dalla parte della carica generatrice se è negativa come in fig.2 o radiale uscente se la carica generatrice è positiva. La costante dielettrica vale: o= C 2 /Nm 2. Spesso si usa k= Nm2 C 2. L unità di misura del campo risulta dalla [2] essere N/C. 1 4πε 0 = Sovrapposizione degli effetti: se in una regione dello spazio esistono due o più cariche separate FERME, ognuna di esse produce una perturbazione dello spazio (campo) quindi ad ogni punto sono associati più vettori che, essendo dello stesso genere, seguono le regole dell algebra vettoriale sommandosi e producendo così un nuovo e unico campo (un solo vettore) per ogni punto. Linee di forza: Linee tangenti ai vettori campo elettrico. Il verso delle linee di forza è quello indicato localmente dai vettori di campo, quindi le linee di forza sono uscenti da cariche positive ed entranti in cariche negative. Figura 2a linee di forza di un campo generato da quattro cariche elettriche 6

7 ESEMPIO N.1 Nel modello di Bohr dell atomo di idrogeno, l elettrone ruota attorno al protone su un orbita di raggio m. Si calcolino la forza di legame che agisce sull elettrone e la velocità di rotazione supponendo l orbita circolare. Dati: r = m; e = C; k = Nm 2 /C 2 ; m= kg Velocità periferica Figura 3 - atomo di idrogeno La forza di attrazione (di legame) esercitata dal protone vale in modulo: F = k e2 r 2 = N N.B. la forza gravitazionale dell elettrone attirato dalla massa del protone risulta dell ordine di N quindi non significativa rispetto alle forze elettriche in tutti i problemi di natura microscopica (chimica e fisica nucleare). La forza di legame è centripeta e quindi produce un accelerazione centripeta collegata alla velocità nel modello di moto circolare dalla formula: Da cui: a = k e2 r 2 m = v2 r 7

8 v = e k mr = m/s Che è la velocità dell elettrone dell atomo di idrogeno riscontrata sperimentalmente ) ENERGIA POTENZIALE ELETTRICA La forza elettrica (come quella gravitazionale) è associata ad una forma di energia potenziale. Infatti le formule matematiche della forza di Coulomb e della forza di Newton sono concettualmente identiche quindi, se dalla forza peso si risale all energia potenziale gravitazionale,con lo stesso procedimento si può arrivare alla formula dell energia potenziale elettrica che infatti, come ricorderete, risulta: E pe = q 1q 2 4πε 0 r [4] Dove q 1 è il generatore di campo e q 2 la carica che ne subisce gli effetti. L energia esiste, come la forza elettrica, solamente quando una seconda carica entra nel campo prodotto dalla prima. Ricordiamo però che il campo è invece una perturbazione dello spazio prodotto da q 1 che esiste anche quando non si hanno forze perché non sono presenti altre cariche. Si definisce quindi una nuova grandezza fisica, il potenziale elettrico, che come il campo esiste nello spazio circostante il generatore anche in assenza di altre cariche: V = E pe q 2 = q 1 4πε 0 r [5] Che ha come unità di misura il volt: [V]=[J/C] Ne deriva quindi che oltre al campo vettoriale esiste anche un campo scalare che associa ad ogni punto dello spazio un valore di potenziale. L energia e il potenziale risultano collegate dalla: ESEMPIO N. 2 E pe = q 2 V [6] Nell esempio n.1 abbiamo ricavato la velocità a cui ruota l elettrone nell atomo di idrogeno utilizzando il modello di Bohr (fig.3). Utilizzando i dati dell esempio 1 vogliamo calcolare : - Il potenziale elettrico generato dal protone sull equipotenziale costituita dall orbita dell elettrone. 8

9 - L energia totale dell elettrone. - L energia di ionizzazione dell elettrone. Dati: r = m; e = C; k = Nm 2 /C 2 ; m= kg; 10 6 m/s. v=2.18 Il potenziale elettrico dell equipotenziale a distanza r vale: V = k e r = +27.2V L energia di legame dell elettrone è la somma di quella cinetica e di quella potenziale elettrica (quella gravitazionale è non significativa) e, ricordando che la carica elettrica dell elettrone è negativa, misura: E = 1 2 mv2 + e V = J = 13.6 ev N.B. L elettronvolt è definito nel seguente modo: 1eV= J L elettrone si ritiene libero quando la sua energia diventa positiva (l energia cinetica è maggiore del valore assoluto dell energia potenziale elettrica) o al minimo nulla quindi per ionizzare l atomo è necessario fornirgli, come minimo, 13.6 ev di energia. Linee equipotenziali - usando la stessa logica con cui si sono costruite le linee di forza possono ora costruirsi delle superfici equipotenziali che contengano tutti i punti di un campo elettrico allo stesso potenziale. Figura 4 linee di forza ed equipotenziali 9

10 Lavoro di una forza elettrica: quando una forza è associata ad una forma di energia potenziale il lavoro risulta indipendente dal percorso ma dipende solo dal punto di partenza e da quello di arrivo secondo la formula: ESEMPIO N. 3 L = E pe = q 2 V [7] Una particella (nucleo di elio quindi 2 protoni e 2 neutroni) è in moto verso il nucleo di un atomo d oro (il cui nucleo è composto da 79 protoni e 118 neutroni). A causa della forza repulsiva che esercitano i protoni dei due nuclei la particella a subisce un rallentamento che la porta a fermarsi ad una distanza di m dal centro del nucleo d oro (N.B. il raggio del nucleo è minore di questa distanza) per poi rimbalzare indietro lungo lo stesso cammino (urto elastico). Considerando non significativa la forza gravitazionale e il movimento di rimbalzo del nucleo d oro ( ha una massa di molto superiore a quella del nucleo di elio) calcolare l energia cinetica della particella α quando è al di fuori della zona d influenza dell oro. Dati: Carica particella : q a =2e, carica nucleo oro: q Au =79e, e = C, r= m, k= Nm 2 /C 2. Il campo elettrico generato dal nucleo dell oro è conservativo quindi l energia totale di un oggetto che si muove al suo interno rimane costante. Quanto la particella alfa si trova fuori dall influenza del campo del nucleo d oro (la distanza è tale che l energia potenziale elettrica non è significativa rispetto a quella cinetica) la sua energia totale risulta: E Ti = E Ci Giunta alla distanza di arresto la sua velocità è nulla e quindi la sua energia è solo potenziale elettrica e vale: E Tf = E Pe = k 2e 79e r Per il principio di conservazione dell energia, l energia cinetica iniziale risulta: E Ci = k 2e 79e r = J = 24.6MeV 10

11 1.1.3) CIRCUITAZIONE DI UN CAMPO ELETTRICO STATICO ( terza equazione di Maxwell per l elettrostatica) In base alla [7] se all interno di un campo elettrico si percorre una linea chiusa e si calcola il lavoro, essendo coincidenti il punto di partenza e quello di arrivo, si ottiene sempre come risultato zero (V i =V f implica V = 0). D altra parte il lavoro totale si può calcolare, suddividendo la linea in piccoli spostamenti Δs, con la: n L = F i i=1 n s i = q 2 E i s i = q 2 V i = 0 i=1 n i=1 Tale formula prende il nome di circuitazione del campo elettrico e si indica con n n i=1 i=1 [8] Γ(E): Γ(E )= E i s i = V i = 0 Il fatto che la circuitazione sia nulla su un qualsiasi percorso implica che la forza e quindi il campo che la genera siano conservativi e pertanto al suo interno vale il principio di conservazione dell energia. Ne segue poi che per ogni singolo tratto il modulo del campo risulta: E = ΔV Δs [9] ESEMPIO N.4 Un campo elettrico (non elettrostatico) ha linee di forza circolari. L intensità del vettore campo elettrico è di 150 V/m e il raggio della circonferenza che si esamina è di 4.00 cm. Calcola la circuitazione del campo lungo questa circonferenza e stabilisci se si tratta di un campo conservativo oppure no. Dati: E = 150 V/m, r = m Si può suddividere la circonferenza in un numero grandissimo di intervalli l tali che non ci siano differenze significative tra gli archi e le corde che li sottendono. In questa condizione i vettori di campo, che sono tangenti alla circonferenza possono essere considerati paralleli ai l ( angolo zero, coseno uguale ad uno) e quindi la circuitazione del campo risulta: 11

12 Γ(E )= n E i l i=1 i = E n i=1 l i La quantità rappresentata dalla sommatoria è pari alla lunghezza della circonferenza quindi: Γ(E ) = E(2πr) = 37.7V Essendo la circuitazione su un percorso chiuso diversa da zero significa che il lavoro dipende dal percorso e quindi non possiede una funzione di potenziale e pertanto il campo in esame non è conservativo. Questo è vero in generale: campi con linee di forza chiusi non sono conservativi ) FLUSSO ELETTRICO Figura 6 - flusso di un campo attraverso una superficie S Definizione: Dato un campo elettrico E e una superficie di area S (identificata attraverso un versore ortogonale alla stessa) il flusso del campo attraverso la superficie vale: (E) = E u N S = EScos(α) [10] Legge di Gauss del campo elettrico ( prima equazione di Maxwell per l elettrostatica). [N.B. Non si deve confondere il flusso elettrico con quello termico anche se il simbolo Φ è lo stesso.] Il flusso generato da una carica q attraverso una superficie ideale chiusa qualsiasi che la contenga vale: Φ(E) = q [11] ε 0 Figura 7 - flusso attraverso una superficie sferica ideale 12

13 Dimostrazione della legge di Gauss per il campo elettrico Condizioni iniziali: Il campo elettrico è generato da una singola carica puntiforme positiva q (fig.7). La superficie attraverso cui si calcola il flusso del campo è una sfera di raggio r con il centro nel punto in cui si trova q. Suddividendo la superficie sferica in una quantità così grande di aree A da poterle considerare, senza errori significativi, piane e tangenti alla superficie stessa si ottiene che: Tutti i vettori di campo elettrico e i versori ortogonali alle superfici sono paralleli e radiali. Con queste considerazioni per ognuna delle superfici DA è possibile scrivere la [8] con angolo pari a zero e coseno uguale ad 1ottenendo: (E) = E n u N i=1 A n = E A i=1 La somma di tutti i A rappresenta la superficie della sfera e vale 4 r 2 : (E) = E4pr 2 = q 4πε 0 r 2 4πr2 = q ε o ESEMPIO N. 5 Data una sfera di raggio R uniformemente caricata sulla sua superficie esterna da una carica totale Q, calcola il campo elettrico all interno della sfera e all esterno ad una distanza r dal centro molto maggiore di R. Figura 8 - sfera con carica uniformemente distribuita sulla superficie 13

14 Per determinare il modulo del campo all interno della sfera si calcola il flusso totale attraverso una superficie teorica interna di raggio R 1 appena minore di R. Suddividendo questa sfera di flusso in aree elementari A come nella dimostrazione del teorema di Gauss si ottiene con la [10] che il flusso totale del campo all interno risulta: Φ(E ) = E4πR 1 D altra parte con il teorema di Gauss, non essendoci carica all interno di questa superficie, si ottiene: Φ(E ) = 0 Quindi uguagliando le due formule ed esplicitando il campo si ha: E=0 Ne consegue che all interno della distribuzione di carica superficiale il campo elettrico è nullo. Questa soluzione è generalizzabile a qualsiasi forma abbia un corpo carico superficialmente. Utilizzando ora una superficie sferica con r>r si ripetono i passaggi visti per la soluzione precedente solo che ora il flusso vale per il teorema di Gauss: Φ(E) = Q ε 0 Che uguagliato alla Φ(E ) = E4πR porta a: E = Q 4πε 0 r 2 Che appare identica alla formula del campo di una carica puntiforme. Va però ricordato che in questo caso la distribuzione di carica non è per niente puntiforme ma può essere su una superficie macroscopica qualsiasi. Ne segue che la superficie della sfera è una equipotenziale. Questo risultato è generalizzabile cioè: la superficie esterna di un oggetto carico è la prima equipotenziale del campo che genera ed ha la forma dell oggetto stesso. 14

15 1.1.5) CAMPO ELETTRICO DI UNA LASTRA SOTTILE CARICA Consideriamo una lastra metallica sottile (spessore non significativo rispetto alle altre due dimensioni) di area A, sulla quale esista una carica totale Q = e +. Con queste premesse si può considerare che la carica sia distribuita uniformemente sulle due facce esterne, mentre (visto lo spessore non significativo) sia trascurabile la parte di essa disposta sulle superfici laterali. Le due superfici sono delle equipotenziali e pertanto il campo Figura C1 - SEZIONE DI UNA LASTRA SOTTILE CARICATA POSITIVAMENTE flusso è quella della lastra stessa si ha: Φ(E) = 2AE E generato sarà ortogonale alla lastra stessa. Utilizzando la [10] in cui la superficie attraverso cui calcolare il (ricordare che si può considerare non significativo il flusso uscente dalle aree laterali di piccolo spessore). D altra parte la seconda equazione di Maxwell, essendo la superficie chiusa, porta a: Φ(E) = Q ε 0 Uguagliando i due risultati si ha: 2AE = Q ε 0 A cui segue che il campo della lastra è costante e vale: E = Q 2ε 0 A [11b] le direzioni e il verso del quale sono indicate in figura ) CONDENSATORE PIANO 15

16 Figura C2 - CAMPO DI UN CONDENSATORE Un condensatore è un componente di circuiti elettrici atto ad accumulare al suo interno una certa quantità di carica elettrica. Esistono vari tipi di condensatori ma a noi interessa capire il funzionamento del più semplice di essi: quello costituito da due lamine metalliche identiche, piane e parallele, disposte come in figura C2. Sulla piastra 1 è disposta una carica Q + che ripete la situazione studiata nel paragrafo precedente il cui risultato è visualizzato in figura C1. Essa genera un campo costante le cui linee di forza, uscenti, sono indicate in rosso nella figura C2. La piastra 2 è caricata da una carica uguale in modulo a Q, ma di segno negativo. Essa genera un campo dello stesso modulo della piastra uno, ma con linee di forza come quelle indicate in blu. Il valore dei due campi è costante e vale ognuno: E = Q 2ε 0 A Se si considera un punto qualsiasi P nella zona a sinistra della piastra 1 si vede che i due vettori, aventi lo stesso modulo e direzione ma verso opposto, sommandosi,si annullano; pertanto in un punto qualsiasi a sinistra della lastra 1 il campo si annulla. Ragionando nello stesso modo per un punto qualsiasi T a destra della piastra 2 si giunge allo stesso risultato: il campo si annulla. Ne segue che all esterno delle due piastre il campo non esiste (ricordare che sopra e sotto è non significativo a causa del piccolo spessore delle piastre). Se si considera, invece, un qualsiasi punto R tra le due piastre si nota che i due vettori di campo sono uguali sia in modulo che direzione e verso e che pertanto tra le piastre il campo si rafforza : 16

17 E c = 2E = Q ε 0 A [11c] Nei circuiti elettrici il simbolo di condensatore è indicato in figura C3 per le tipologie più comuni. Figura C3 - Simboli circuitali di un condensatore - DIFFERENZA DI POTENZIALE DI UN CONDENSATORE In figura C4 è rappresentato un condensatore con le piastre distanziate di s e caricate con carica Q uguale in modulo ma di segno opposto. Da quanto precedentemente visto risulta che il Figura C4 - DIFFERENZA DI POTENZIALE TRA LE PIASTRE campo è diretto dall alto verso il basso. Una carica positiva q posta nei pressi della piastra superiore viene agganciata dal campo e spinta dalla forza elettrica F = qe, verso il basso. Il lavoro fatto dalla forza risulta: L = F s = Fs = qes = qs Q Dalla ε 0 A [7] sappiamo che: L = q V = qs Q Semplificando si ha: V = Qs [11d] ε 0 A dalla quale risulta che la tensione diminuisce all aumentare della distanza dalla piastra positiva. ε 0 A - CAPACITA DI UN CONDENSATORE Di solito si considera il valore assoluto della tensione e pertanto la [11d] può essere riscritta nella forma: Q = ε 0A V = C V s Dato che i termini frazionari del secondo membro sono delle costanti per un dato condensatore questa quantità è una caratteristica intrinseca dello stesso è viene definita CAPACITA. Per un condensatore a piastre piane vale quindi: C = ε 0A s [11e] 17

18 L unità di misura della capacità è: C V = F (farad) Condensatori di tipo diverso da quello descritto hanno formule differenti per calcolare la loro capacità ma, dato che tale valore è stampato sui pezzi, basta sapere cosa rappresenta. Generalmente i valori di C sono dell ordine dei F o pf. 1.2) CORRENTE ELETTRICA Definizione: la corrente elettrica è un flusso ordinato di cariche che SI MUOVONO NELLA STESSA DIREZIONE E VERSO. I Figura 9 flusso ordinato di elettroni in un conduttore metallico prodotto da un campo elettrico esterno ) INTENSITA DELLA CORRENTE ELETTRICA Definizione: è il valore del rapporto tra la quantità di carica ( q) che attraversa una sezione del conduttore e l intervallo di tempo impiegato: I = q = dq t dt [C/s]=[A] [12] Si misura in ampère : [A]=[C/s] Verso della corrente: dato che nei conduttori metallici sono gli elettroni ( negativi) che formano la corrente e il loro moto è diretto verso il polo positivo del campo generatore il verso dovrebbe essere dal polo negativo verso quello positivo. Per motivi storici però è previsto che sia il contrario cioè dal polo positivo a quello negativo (fig.9) PRIMA LEGGE DI OHM Come ricordate dal biennio, detta R la resistenza di un conduttore si ha: ΔV = RI [12a] Figura 10- simboli di resistenza 18

19 1.2.3) SECONDA LEGGE DI OHM Detto la resistività di un conduttore, A l area della sezione trasversale dello stesso ed l la sua lunghezza si ha: R = ρ l A [ ]=[V/A] [12b] 1.2.4) POTENZA ELETTRICA P = E = de = IΔV = t dt RI2 = ΔV2 R [W]=[J/s]=[VA] [12c] 1.2.5) EFFETTO JOULE La potenza dissipata da una corrente a causa dei microurti elettrici tra gli elettroni e gli atomi del reticolo cristallino, produce un aumento di temperatura del conduttore. In altri termini l energia elettrica consumata dalla resistenza al passaggio della corrente si trasforma in energia termica. Questo processo chiamato effetto Joule è quantificabile nel seguente modo: P = E = IΔV = t RI2 = ΔV2 = Q = cm T/ t [12d] R t Dove Q è il calore generato, c il calore specifico del resistore, m la sua massa e T la variazione di temperatura subita. ESEMPIO N. 6 L elettrone che ruota attorno al nucleo nell atomo d idrogeno percorre una traiettoria chiusa ripassando periodicamente per lo stesso punto e muovendosi nella stessa direzione. Utilizzando i valori ricavati nel esempio n.1, calcola l intensità della corrente elettrica prodotta dalla rotazione dell elettrone. r = m; e = C; m= kg; v= m/s. Il periodo di rotazione dell elettrone vale: Essendo q = e si ha: v = 2πr T T = 2πr v = t I = q = ev = t 2πr 2π = 1.05 ma 19

20 ESEMPIO N. 7 Un parallelepipedo di platino ha le seguenti dimensioni degli spigoli : a= 2.00 cm, b=3.00 cm, c=10.00 cm; la resistività del platino misura 10, m. Quanto vale la resistenza incontrata da una corrente elettrica che percorra il parallelepipedo nei seguenti modi: - I) nella direzione dello spigolo più lungo - II) nella direzione dello spigolo più corto - III) nella direzione dello spigolo di lunghezza intermedia. Dati: a= 2.00 cm, b=3.00 cm, c=10.00 cm, = m. I) l area ortogonale alla direzione della corrente in questo caso misura: A = a b Quindi applicando la [12.b] si ha: R = ρ c = a b = Ω II) l area ortogonale alla direzione della corrente in questo secondo caso misura: Quindi applicando la [12.b] si ha: R = ρ A = c b a = c b = Ω III) l area ortogonale alla direzione della corrente in questo caso misura: Quindi applicando la [12.b] si ha: R = ρ A = a c b = a c = Ω Notare la variazione nell ordine di grandezza della resistenza nei tre casi esaminati. ESEMPIO N. 8 Quale differenza di potenziale deve esserci tra le due facce opposte del parallelepipedo esaminato nell esempio n.7 per generare una corrente che parta da una delle due e raggiunga l altra con un intensità di 1.00 ma nei tre casi studiati? 20

21 Dati: R I = ; R II = Ω; R III = Ω, I = A. - Corrente parallela allo spigolo c V I = R I I = = V - Corrente parallela allo spigolo a V II = R II I = = V - Corrente parallela allo spigolo b V III = R III I = = V ESEMPIO N. 9 Calcola la potenza generata da una resistenza di 100 attraversata da una corrente continua di 10,0 A. Dati : R = 100, I = 10.0 A. Per la 12c) si ha: P = RI 2 = W 1.2.6) CIRCUITI ELETTRICI: MAGLIE NODI RAMI I circuiti elettrici sono formati da insiemi di componenti elettrici di vario tipo collegati tra di loro da fili di materiale conduttore. Nella figura sottostante sono indicati alcuni dei simboli che si trovano negli schemi circuitali. La maggior parte di essi non sarà usata nel nostro corso, ma è utile avere almeno idea della loro esistenza. Figura E1 - Componenti elettrici: simbologia E importante conoscere l esatto significato dei termini: maglia, nodo, ramo. 21

22 - Maglia: si intende un qualsiasi poligono formante un percorso chiuso all interno di un circuito elettrico. Ad esempio in figura E2 si può vedere un applicazione di tale definizione. VA VC V 2 VB V Figura E2 - Circuito elettrico: maglie e nodi - Nodo: è un punto in cui convergono tre o più fili elettrici (rami) come i punti b ed f della figura E2. - Rami: sono i fili elettrici, comprensivi degli utilizzatori, che congiungono due nodi ad esempio in figura E2 ci sono tre rami: il primo dal nodo f lungo il tratto ga per arrivare a b, ramo che contiene una pila e una resistenza; il secondo dagli stessi nodi lungo il tratto ce; anche questo ramo contiene una pila e una resistenza; il terzo congiunge direttamente i nodi f e b e contiene una sola resistenza. In ogni ramo gira una sola corrente elettrica. Nel circuito che stiamo analizzando sono presenti tre rami distinti quindi tre correnti distinte i 1, i 2, I. Esistono due importanti regole utili per calcolare le correnti e le cadute di potenziali nei circuiti: le leggi di Kirchhoff: - 1^ legge di Kirchhoff (legge dei nodi) Ricordando che la corrente elettrica è costituita da un certo numero di cariche in moto nella stessa direzione segue che se si considera un nodo al quale convergono tre o più rami allora: La somma algebrica tra le correnti entranti (considerate positive) e quelle uscenti (considerate negative) deve risultare sempre uguale a zero. 22

23 Ad esempio in figura E2, nel nodo b, convergono tre rami nei quali scorrono le correnti di intensità i 1, i 2,I; le prime due sono entranti mentre la terza è uscente quindi si ha: I = i 1 + i 2 I = 0 [I] La 1^ legge di K. può essere scritta per un dato circuito avente n nodi, n-1 volte permettendo così di costruire più equazioni indipendenti contenenti le correnti incognite. Come si vede però nel circuito che stiamo analizzando i nodi sono 2 e quindi si può ottenere una sola equazione che colleghi le tre intensità ed è quindi insufficiente per risolvere il problema. Inoltre nel circuito in figura E2 si possono ritenere come dati iniziali noti i valori delle due tensioni V 1 e V 2 e le tre resistenze di valore R 1,R 2 ed R 3. Risultano allora in totale sei incognite: le tre correnti e le tensioni consumate dalle tre resistenze che indicheremo nell ordine V A, V B e V C. In definitiva per risolvere il circuito è necessario costruire un sistema a sei equazioni e sei incognite. Ricordando la 1^ legge di Ohm se ne possono costruire tante quante sono le resistenze nel circuito, in questo caso 3: V A = R 1 i 1 { V B = R 2 i 2 V C = R 3 I [II] Che con la [I] portano a quattro le equazioni utilizzabili. Per trovare le altre due è necessario utilizzare la seconda legge di Kirchhoff la quale è un applicazione della circuitazione di un campo elettrico lungo un percorso chiuso: Γ(E )= V i = 0-2^ legge di Kirchhoff (legge delle maglie) Fissato un verso di percorrenza (orario o antiorario), valido per tutte le maglie, si considerano positivi i potenziali crescenti in verso concorde a quello prescelto per la maglia e negativi quelli decrescenti, l enunciato della legge è: La somma algebrica dei potenziali presenti lungo i rami che costituiscono la maglia è uguale a zero. Anche la seconda legge di K. può essere scritta n-1 volte (n = numero di maglie) e devono comprendere tutti i generatori Tornando all esempio del circuito di figura E2 si vede che il numero di maglie è tre quindi si può scrivere la 2^ legge di K. due volte ottenendo le equazioni sufficienti a risolvere il sistema. Fissato il verso orario come positivo per le maglie si possono scegliere la (abfg) e la (bcef) ottenendo: 23

24 { V 1 V A V B = 0 V B + V C V 2 = 0 [III] Facendo un unico sistema tra le [I], [II] e [III] si possono calcolare le sei incognite ) RESISTENZE IN SERIE Dato il grande numero di incognite presenti nei circuiti elettrici complessi, per evitare di risolvere sistemi ad un grande numero di equazioni (anche se ora esistono programmi che li risolvono automaticamente) si è soliti suddividere il circuito completo in sottosistemi formati da maglie e rami con determinate caratteristiche in Figura E3 - Resistenze in serie modo da ridurre il sistema che ne deriva. V Il primo caso che consideriamo è quello che corrisponde ad un ramo di una maglia che presenta una di seguito all altra (in serie) più resistenze localizzate. Si trova così una resistenza equivalente teorica che produce lo stesso effetto sulla corrente di quelle reali presenti nel ramo. Per raggiungere la formula che permette di calcolare questa resistenza equivalente consideriamo il circuito rappresentato in figura E3. Il circuito è composto da un unica maglia con un generatore di tensione e tre resistenze, essendoci un solo ramo che si chiude su se stesso (non ci sono nodi) è presente una sola corrente elettrica. Noti i valori di V, R 1, R 2, R 3 si hanno quattro incognite cioè la intensità di corrente I e le cadute di potenziale V 1, V 2, V 3. Servono quindi quattro equazioni di cui una può essere ottenuta dalla 2^ legge di Kirchhoff: V V 1 V 2 V 3 = 0 Mentre le altre tre si ottengono applicando la 1^ legge di Ohm ad ogni resistenza: V 1 = R 1 I { V 2 = R 2 I V 3 = R 3 I 24

25 Sostituendole nella prima equazione si ha: V = R 1 I + R 2 I + R 3 I [IV] D altra parte la resistenza equivalente, R S, deve essere tale da consumare tutta la tensione V quando è attraversata dalla corrente I cioè: V = R S I [V] Sostituendo la [V] nella [IV] si ha: R S I = (R 1 + R 2 + R 3 )I Semplificando I si ottiene: R S = R 1 + R 2 + R 3 Nel caso che le resistenze siano un numero N qualsiasi si può generalizzare la formula per le resistenze in serie nel seguente modo: N R S = R i i=1 [VI] 1.2.8) RESISTENZE IN PARALLELO Quando un circuito è composto di più rami, convergenti su due soli nodi, non contenenti il generatore, lungo ognuno dei quali è presente una sola resistenza (effettiva o derivante da una serie) è possibile determinare una resistenza equivalente R P, che produca lo stesso effetto nel circuito reale del blocco di rami sopradescritti. Un collegamento di questo tipo è definito in parallelo. Per raggiungere la formula che permette di calcolare questa resistenza equivalente consideriamo il circuito rappresentato in figura E4. V V AB Figura E4 - Resistenze in parallelo In questo caso il circuito è costituito da quattro rami collegati a due nodi A e B. In base alla descrizione precedente vanno considerati in parallelo i tre rami contenenti le 25

26 resistenze che partono tutti dal nodo A e finiscono al nodo B mentre non risulta in parallelo (neanche se contenesse a sua volta una resistenza) il ramo che contiene la pila. Considerando noti i valori di V, R 1, R 2, R 3, si hanno cinque incognite: I TOT, I 1, I 2 e I 3 oltre alla tensione V AB che è la stessa per ogni ramo (ricorda la 2^legge di K.). La 1^ legge di K. può essere applicata una sola volta (n=2 nodi) al nodo A, porta a: I tot I 1 I 2 I 3 = 0 [VII] Si può poi scrivere tre volte la 1^ legge di Ohm ottenendo: Che sostituite nella [VII] danno: I 1 = V AB R 1 I 2 = V AB R 2 I 3 = V AB R 3 I tot = V AB R 1 + V AB R 2 + V AB R 3 = ( 1 R R R 3 ) V AB [VIII] La resistenza teorica equivalente deve soddisfare a sua volta la 1^ legge di Ohm quindi: I tot = V AB R P Sostituendo quest ultima nella [VIII] si ottiene: V AB R P = ( 1 R R R 3 ) V AB Semplificando ed esplicitando R p si ha: 1 R P = ( 1 R R + 1 ) 2 R 3 Nel caso che le resistenze i parallelo siano N si generalizza la formula nel seguente modo: R P = 1 [IX] 1 N i=1r i 26

27 1.3) MAGNETISMO Il fenomeno del magnetismo è generato dal moto di cariche elettriche singole o in gruppo (correnti elettriche). NON esistono cariche magnetiche ) LEGGE DI AMPERE Il modulo della forza magnetica che agisce su un tratto, lungo l, di uno dei due fili percorsi da corrente elettrica disposti come in figura 11, vale: F 1 = F 2 = μ 0I 1 I 2 2πd l [13] Se le correnti procedono in verso opposto le forze sono repulsive, nel caso in cui le correnti procedano nello stesso verso le forze magnetiche che si scambiano i fili sono attrattive. La costante diamagnetica vale: o= N/A 2 Figura 11 - fili percorsi da correnti discordi ESEMPIO N. 10 Due fili paralleli di rame, di sezione A= 3.00 mm 2 e lunghezza l = 1.20 m si trovano ad una distanza d = m come in figura 11. Ai capi di ciascun filo viene applicata una differenza di potenziale di 20,0 V ma con polarità invertita. Calcola il modulo della forza magnetica che agisce sui due fili.( Cu = m) Dati : A= 3.00 mm 2, l = 1.20 m, d = m, Cu = m, DV = 20.0 V La resistenza di ciascuno dei due fili vale : R = ρ l A = = Ω L intensità delle due correnti che li percorre IN SENSO OPPOSTO è: I = ΔV R = = A Le forze repulsive, che si scambiano per effetto magnetico i due fili sono: F 1 = F 2 = μ 0I 1 I 2 2πd l = 4π 10 7 ( ) 2 = 4.02 N 2π

28 1.3.2 VETTORE INDUZIONE MAGNETICA Come per il campo elettrico si può considerare uno dei due generatori di forza, I 1 oppure I 2, come sorgente di un campo Magnetico per unità di lunghezza del filo in cui scorre la corrente generando un vettore di modulo: B 1 = F 2 = μ 0I 1 I 2 l 2πd [14] Questo vettore prende il nome di induzione magnetica (anche se alcuni lo chiamano campo magnetico nome che, in realtà, è riferito ad un'altra parte della formula). L unità di misura dell induzione magnetica è: N Am = T [15] unità chiamata: tesla Il campo vettoriale prodotto da un filo genera linee di forza che si possono rilevare con piccoli magneti dando luogo ad immagini del tipo evidenziato in figura 12. Figura 12 - linee di forza del campo B di un filo Figura 13- verso delle linee di forza Più in generale per stabilire il verso delle linee di forza si può, idealmente, prendere con la mano destra il filo mettendo il pollice diretto dalla parte in cui scorre la corrente in questo caso le altre dita indicano il verso delle linee di forza come in figura 12. Come si vede le linee di forza sono chiuse attorno alla corrente generatrice. Si può dimostrare (vedi esempio n.4) che quando le linee di forza di un campo vettoriale sono chiuse il campo NON è conservativo quindi la forza magnetica NON genera energia potenziale. 28

29 ESEMPIO N.11 Un filo di rame è percorso da una corrente continua di 10.0 A. Calcola il valore dell induzione magnetica su linee di campo lontane d 1 = 1.00 cm, d 2 = 10.0 cm e d 3 = 1.00 m. (figura 13) Dati: I = 10.0 A, d 1 = 1.00 cm, d 2 = 10.0 cm e d 3 = 1.00 m. Applicando la [14] alle tre distanze si ha: B = μ 0I 2πd B d1 = T; B d2 = T; B d3 = T Come si vede il campo decresce rapidamente già ad un metro è non significativo rispetto al valore che ha ad un centimetro dal filo. ESEMPIO N. 12 Consideriamo ora i due fili rappresentati in figura 14. In questo caso però le due correnti valgono I 1 = 10.0 A e I 2 = 5.0 A mentre la distanza tra i fili è d= 6.0 cm e la lunghezza l=1.0 m. Calcolare il valore del vettore induzione magnetica nel punto P posto a metà distanza tra i due fili. Risolvere il problema nel caso le correnti siano equiverse. P 1) Come si vede le linee di campo risultano orientate con verso opposto e quindi i moduli dei due vettori di campo nel punto P centrale si sommano. Dati: I 1 = 10.0 A, I 2 = 5.0 A, d= 6.0 cm, l=1.0 m Figura 14- linee di campo Cioè: Quindi: B P = B 1 + B 2 B 1 = μ 0I 1 2πd/2 = = T B 2 = μ 0I 2 2πd/2 = = T

30 B P = B 1 + B 2 = T 2) quando le correnti sono equiverse i due vettori di campo hanno verso opposto quindi i moduli non cambiano e si ha: B P = B 1 B 2 = T 1.3.3) COLLEGAMENTO VETTORIALE CAMPO -FORZA Inserendo le linee di forza generate da uno dei due fili di figura 14 si ottiene l immagine 15 Figura 15 - campo B e forza da esso generata Come si vede le due correnti indicate sono questa volta equiverse e quindi la forza magnetica è attrattiva. Si osserva inoltre che la forza magnetica, che è radiale, forma 90 con il vettore induzione magnetica che è invece tangenziale, mentre la corrente elettrica, che subisce l effetto della forza, è a sua volta a 90 con il piano in cui si trovano F e B. Se si conosce il valore dell induzione magnetica la [13] nel caso più generale diventa: F 2 = u I I 2 l B 1 [16] Dove u I indica un versore concorde con la corrente I 2. Il modulo risulta: F 2 = I 2 lb 1 sin(90) = I 2 lb 1 [17] 30

31 La [17] vale per correnti elettriche. Ricordando che la corrente è un flusso ordinato di cariche elettriche (elettroni) q=ne che procedono nello stesso verso in un dato intervallo di tempo [12]: I 2 = Ne [18] t Nel caso che si tratti di una corrente formata da una sola carica (N=1) e ricordando che l t rappresenta la velocità v con cui si sposta la carica, la [16] si può scrivere: F = ev B 1 [19] Che prende il nome di forza di Lorentz sulle cariche in moto. Nel caso di un filo che si piega formando una spira (figura 16 c),d),e) ) si osserva che le linee di forza la attraversano pressoché ortogonalmente al piano che contiene il filo Figura 16 - campi magnetici di fili in varie configurazioni geometriche Figura 17 - linee di forza di una calamita naturale e nel caso di più spire in successione (solenoide) fig.16 f), le linee al suo interno risultano pressoché equidistanti indicando l esistenza di un campo uniforme. (elettrocalamita) Si può dimostrare che il campo attraversante una spira [fig.16 c) d)] vale: 31 B = μ oir 2 2(R 2 +z 2 ) 3 2 [19. b] Dove con B si intende che il campo ha la direzione SUD-NORD come indicato in fig.16f. Se si confrontano queste linee di forza

32 con quelle generate da una calamita naturale si osserva che sono pressoché identiche (fig. 17) rendendo evidente che si tratta dello stesso fenomeno generato dall allineamento nella calamita naturale degli orbitali su cui ruotano gli elettroni del materiale che la costituisce. N.B. Per stabilire il verso del campo indotto dalla corrente in una spira si chiudono le dita della mano DESTRA nel verso di rotazione della corrente in questo modo il pollice indica il verso del campo magnetico. Figura 18- campi magnetici dei singoli atomi in un cristallo Le frecce in figura 18 indicano schematicamente l andamento del vettore B prodotto dagli elettroni di un singolo atomo che, nel caso c), sono casuali e quindi implica che non esiste un effetto macroscopico di magnetismo (l oggetto non è una calamita naturale). Se si riesce ad ordinarli, come nel caso a), l oggetto diventa una calamità permanente. Ricordando che l aumento di temperatura produce un agitazione maggiore a livello atomico si capisce che esisterà un valore di temperatura (temperatura di Curie) che, se raggiunta da un magnete naturale, scompaginerà la sistemazione tipo a) e la riporterà ad una di tipo c) facendo scomparire le proprietà magnetiche. ESEMPIO N. 13 Un campo magnetico uniforme B di intensità 2.0 mt, è orientato in direzione z (versore +k ). Un protone con energia cinetica di 6.0 MeV entra nel campo in direzione y (J). Calcolare la forza magnetica applicata sul protone e stabilire il raggio di rotazione dello stesso. Massa del protone m = kg. Dati: B = k 2.0 mt, E c = 6.0 MeV, m = kg ; e = C. Il modulo della velocità del protone si ottiene dall energia cinetica: 32

33 v = 2E c m = = m/s Quindi v = j m/s Essendo l angolo tra le direzioni y e z di 90 per la [19] si ha: F = ev B = i evbsen(90) = i N [19a] Quindi una forza ortogonale alla velocità che genera un accelerazione centripeta pari a: a = F m = m/s 2 Questo produce un moto curvilineo che, in qualsiasi punto della traiettoria ha la stessa forza in modulo ortogonale alla velocità (v e B restano ortogonali e costanti in tutti i punti), ciò porta a descrivere un moto circolare uniforme di raggio: ESEMPIO N.14 a = v2 r r = v2 a = 175 m 2 Figura 19- spettrometro di massa 1 La figura 19 rappresenta schematicamente uno spettrometro di massa. Uno ione positivo di carica q = C dopo aver subito un accelerazione nella sorgente S, a causa di un campo elettrico con differenza di potenziale V i = 1000 V, entra nella camera di separazione in cui è presente un campo magnetico uniforme: 33 B = k mt. Come nell esempio n.13 lo ione compie una traiettoria circolare andando a colpire una lastra fotografica che registra il punto di collisione ad una distanza x= m dalla fenditura d ingresso. Calcolare la massa dello ione. Dati: q = C, V i = 1000 V, B = k mt, x= m Come evidenzia lo schema lo ione esce dalla sorgente in [1] con velocità pressoché nulla ed energia potenziale elettrica massima poi, a seguito del campo elettrico prodotto dal generatore, accelera fino al punto [2] a potenziale elettrico nullo dove

34 cessa il campo elettrico ed entra nel campo magnetico costante. Durate il tratto 1-2 la carica si trova in un campo conservativo quindi: E Ti = E Tf Con l energia totale iniziale tutto potenziale e pari a E Ti = qv i mentre quella finale risulta E Tf = 1 2 mv2, essendo V f =0 si per cui: 1 2 mv2 = qv i Segue: v = 2qV i m Dalla [19a] dell esempio n.13 e dal fatto che si ha un moto circolare uniforme si ha F = qvb = m v2 r Sostituendo v risulta: qbr = m 2qV i m = 2qV im Essendo r = x/2, la massa risulta: m = qb2 x 2 8V i = kg = u Figura 20 - filo in levitazione ESEMPIO N. 15 Un filo rettilineo orizzontale di rame è percorso da una corrente continua di 50 A. Quale intensità e che direzione deve avere un campo magnetico necessario a far levitare il filo? La massa per unità di lunghezza del filo di rame misura 50 g/m. Dati: I = 50 A, m/l= kg/m 34

35 Dovendo levitare cioè restare sospeso in aria la somma tra la forza peso e quella magnetica deve risultare pari a zero : F p = F M Quindi utilizzando la [16] per la forza magnetica si ha che il verso di B deve essere in direzione orizzontale e a 90 con il filo come indicato in figura 20: k F M = ji l ib Quindi: mg = IlBsen(φ) Dove con =90 si intende l angolo tra il filo (la corrente) e il vettore di campo. Esplicitando B si ha: ESEMPIO N.16 B = m l g I = = T = 9.81 mt L atomo d idrogeno studiato nell esempio 6 è considerabile come una spira circolare di raggio r = m percorsa da una corrente di 1.05 ma. Calcolare il campo magnetico al centro dell orbita sul piano della stessa (z=0). Dati: r = m, I = 1.05 ma. Utilizzando la [19.b] con z=0 si ha: μ o IR 2 B = 2(R 2 + z 2 ) 3 2 = μ oi 2R = 4π = 12.5 T N.B. non si tratta di un calcolo che tiene conto della meccanica quantistica ne, quindi, dell effetto dello spin dell elettrone ) CIRCUITAZIONE DELL INDUZIONE MAGNETICA Come per il campo elettrico si definisce la circuitazione del campo magnetico con una formula analoga alla [8] : Figura 21 - circuitazione di B Γ(B ) = n B i l i = n i=1 i=1 B i lcos(α) [20] Nei tre percorsi indicati in figura 21 la corrente è circondata dalla linea L 1 mentre le altre due non la 35

36 contengono. Si può dimostrare che in questo caso la circuitazione vale: Γ(B ) = μ o I [21] Che è la formula di Ampère (o quarta equazione di Maxwell). Ne consegue che la circuitazione di un campo magnetico PUO essere diversa da zero e che pertanto il campo non è conservativo. Ricordiamo che conservativo significa che esiste una funzione potenziale la quale permette di calcolare il lavoro del campo come sua variazione tra inizio e fine del percorso e che, pertanto, partendo e tornando allo stesso punto, qualunque sia il percorso, deve dare come risultato della differenza zero come la [8] per il campo elettrico; dato che la [21] può dare risultati diversi da zero Figura 22a - solenoide: situazione reale magnetico. Figura 22b - solenoide: schema teorico significa che non esiste un potenziale ESEMPIO N.17 Un solenoide, di lunghezza L=10.00 cm e composto da N=10 spire, è percorso da una corrente I = 1.00 A e genera al suo interno un campo magnetico pressoché costante (linee di forza parallele) mentre all esterno il campo è non significativo come si vede dalla figura 22a. Calcola la circuitazione del campo magnetico lungo il cammino indicato in figura che contiene n = 5 spire e determina il valore del campo magnetico sapendo che AD = 5.00 cm (fig.22b). Dati: L=10.00 cm, N=10, I = 1.00 A, n = 5, AD = 5.00 cm = a. Scomponendo il cammino ABCD nelle sue quattro parti si ha: n Γ(B ) = B i l i = Γ(B ) AB + i=1 All esterno del solenoide B è non significativo quindi: Γ(B ) BC + Γ(B ) CD + Γ(B ) DA = μ o I 36

37 Γ(B ) BC = 0 Per i tratti CD e AB l angolo tra il campo e la direzione della corrente è di 90 quindi: Γ(B ) CD = Γ(B ) AB = B b cos(90) = 0 E pertanto la circuitazione totale vale: Γ(B ) = Γ(B ) DA = μ o I = μ o ni = N/A Per il lato DA, essendo parallelo al campo, si ha: Γ(B ) DA = B a cos(0) = Ba = μ o ni = Tm Quindi il campo risulta: 1.3.5) FLUSSO DI B B = μ o ni l = = mt [21b] In analogia a quanto visto per il campo elettrico si definisce flusso del vettore induzione magnetica B attraverso una superficie S la quantità: Φ(B) = B S = BScos(α) [22] Unità di misura: Tm 2 = Wb (weber) Figura 23- Flusso di B attraverso una superficie aperta ESEMPIO N. 18 Una bobina, composta da 25 spire di raggio 4.0 cm, viene immersa in un campo magnetico uniforme di intensità T diretto parallelamente all asse della bobina stessa. In seguito la bobina viene ruotata di 90. Calcolare la variazione di flusso del campo magnetico tra queste due situazioni. Dati: n = 25; r = 4.0 cm; B = T, =90. 37

38 B B a) b) Figura 24 -bobina: a) parallela b) ortogonale al campo B a) L area di una delle spire della bobina vale: A = πr 2 Quindi il flusso attraverso una spira risulta (il campo è ortogonale alla spira quindi l angolo tra la normale all area e il campo vale 0 ): Il flusso totale attraverso le n spire risulta: Φ(B ) 1 = B A = BA cos(0) Φ(B ) Ta = nba cos(0) = Wb b) Essendo il campo magnetico parallelo alle aree delle spire (angolo 90 ) si ha: La variazione di flusso risulta: ESEMPIO N. 19 Φ(B ) Tb = nba cos(90) = 0 Wb Φ(B ) = Φ(B ) Tb Φ(B ) Ta = Wb Una mano, tenuta stesa, è collocata in un campo magnetico uniforme la cui induzione ha modulo B= 0.35 T. La mano ha un area di 160 cm 2 e uno spessore non significativo rispetto all area. Si calcoli il flusso magnetico attraverso la mano quando il campo forma un angolo di 45 rispetto al piano su cui si trova la mano. Dati: B= 0.35 T, A = 160 cm 2, = 45 Il flusso risulta: Φ(B ) = B A = BA cos(φ) = cos(45) = Wb 38

39 ESEMPIO N. 20 Un solenoide lungo 62.5 cm è percorso da una corrente di 3.23 A che genera al suo interno un campo magnetico. L area di ogni spira del solenoide misura 30.0 cm 2 e il flusso del campo magnetico interno attraverso il solenoide è di Wb. Di quante spire è composto il solenoide? Dati : l = 62.5 cm, I = 3.23 A, A = 30.0 cm 2, Φ(B ) = Wb. Dall esempio n.14 sappiamo che per un solenoide il campo magnetico interno vale: B = μ o ni l Dall esempio n.18 si ha che il flusso attraverso un solenoide vale: Φ(B ) = nba Sostituendo il campo nell equazione del flusso e ricavando n si ha: n = Φ(B ) l μ o I A = π 10 7 = ) FLUSSO ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE CHIUSA Figura 25 - flusso attraverso una superficie chiusa In figura 25 è rappresentata una spira percorsa da corrente che, come visto in precedenza, produce un campo magnetico con linee di forza che si chiudono su se stesse. Utilizzando una superficie teorica chiusa che avvolga la spira si osserva che il flusso è generato da tanti vettori entranti quanti sono quelli uscenti; pertanto la sommatoria dei flussi ottenuti dalla [22] per ogni elemento infinitesimo s in cui può essere suddivisa la superficie totale darà sempre il seguente risultato: Φ(B ) = n B i S i = n i=1 i=1 B i S i cos(α i ) = 0 [23] La [23] costituisce il teorema di Gauss per il magnetismo (o 2^ equazione di Maxwell per i campi magnetici statici). 39

40 1.3.7) EQUAZIONI DI MAXWELL PER L ELETTROSTATICA Riepilogando le equazioni di Maxwell che descrivono i campi elettrico e magnetico statici sono: Prima equazione di Maxwell (per il campo elettrico statico: legge di Gauss per il campo elettrico) Φ(E) = q [11] ε 0 Cosa dice: l equazione stabilisce che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi è direttamente proporzionale alla somma algebrica delle cariche contenute nella superficie. Cosa significa: le linee del campo elettrico sono aperte, escono dalle cariche positive e terminano sulle cariche negative. Le cariche elettriche che si trovano fuori dalla superficie di prova chiusa non contribuiscono al flusso perché le loro linee di campo intersecano due volte, entrando e uscendo, la superficie e quindi il loro contributo totale è zero. Quali sono le conseguenze: - Le cariche elettriche sono le sorgenti del campo elettrico - La carica su un conduttore in equilibrio elettrostatico si localizza sulla superficie dello stesso qualunque sia la sua forma - Per un qualsiasi conduttore il modulo del campo sulla sua superficie vale: E = q tot εs (Teorema di Coulomb) Seconda equazione di Maxwell (per il campo magnetico statico: legge di Gauss per il campo magnetico) Φ(B ) = 0 [23] Cosa dice: l equazione stabilisce che il flusso dell induzione magnetica attraverso una superficie chiusa è sempre nullo. Cosa significa: le linee di campo sono sempre chiuse quindi non hanno un punto di generazione e quindi non esistono cariche magnetiche. Quali sono le conseguenze: non esiste un polo magnetico isolato. 40

41 Terza equazione di Maxwell (per il campo elettrico statico) Γ(E) =0 [8] Cosa dice: L equazione stabilisce che la circuitazione del campo elettrico statico lungo una linea chiusa orientata è sempre uguale a zero. Che cosa significa: la relazione afferma che il campo elettrostatico è conservativo, cioè che il lavoro fatto quando una carica puntiforme si muove da un punto A ad un punto B interno al campo è indipendente dal percorso scelto per congiungerli. Quali sono le conseguenze: è possibile definire il potenziale elettrico. Quarta equazione di Maxwell (per l induzione magnetica) Γ(B ) = μ o I [21] Cosa dice: la circuitazione dell induzione magnetica può essere diversa da zero e dipende dalla somma delle correnti che attraversano la linea chiusa su cui si calcola. Cosa significa: la possibilità che la circuitazione per alcuni percorsi sia nulla e per altri non lo sia indica che il campo magnetico non è conservativo. Quali sono le conseguenze: non esiste una funzione potenziale magnetico 1.4) L INDUZIONE ELETTROMAGNETICA 1.4.1) LEGGE DI FARADAY-NEUMANN Figura 26 - spira rettangolare ad area variabile La figura 26 mostra una spira rettangolare costituita da una sbarra di materiale conduttore che scivola su rotaie dello stesso materiale. Un campo magnetico uniforme è rappresentato con verso uscente nella pagina, perpendicolarmente ad essa. Poiché l area della spira diminuisce a mano a mano che la sbarra si muove verso destra, il flusso magnetico attraverso di essa diminuisce. Se si fa muovere la sbarra a velocità costante la variazione di flusso risulta: 41

42 Dalla figura 26 si vede che: Quindi: Φ(B) = Φ(B ) f Φ(B ) i = BA f BA i A i = A f + lvδt Φ(B) = BA f B(A f + lvδt) = BlvΔt La rapidità (velocità) con cui il flusso diminuisce risulta allora: Φ(B) Δt 1.4.2) CORRENTE INDOTTA = Blv (= dφ(b) dt ) [24] Dato che la sbarra in movimento nel campo magnetico contiene gli elettroni liberi del legame metallico ( normalmente in moto casuale all interno del reticolo cristallino) essi subiscono una forza di Lorentz che li spinge a muoversi simultaneamente verso l alto (fig.26) : F L = Ne v B Di modulo: F L = N e vb Quindi si ha uno spostamento ordinato di cariche pari a q= N e. Ricordando la definizione di intensità di corrente [12]: I = N e t Si ha che nel circuito si instaura una corrente elettrica indotta in verso antiorario (N.B. per convenzione l intensità gira in verso opposto al moto effettivo degli elettroni). Per effetto della dislocazione di carica viene ad instaurarsi una differenza di potenziale tra gli estremi della sbarra; tale differenza è definita forza elettro-motrice indotta e di solito in luogo del simbolo V viene indicata con fem. Sappiamo che quando una corrente percorre un conduttore essa consuma potenza sotto forma di effetto Joule quindi per la [12d] si ha: P = I V = I fem [25] 42

43 D altra parte una corrente in un campo magnetico genera una forza magnetica F B diretta verso sinistra (fig.26) secondo la [16]: F B = u I Il B Che ha modulo F B = BIl Se si vuole che la sbarra si muova a velocità costante essa deve essere spinta verso destra da una forza esterna F 1 di modulo pari a F B : F 1 = F B = BIl Quindi la potenza dissipata per effetto joule, in definitiva quella che genera la produzione di corrente, deriva dal lavoro di questa forza esterna: L = F 1 s = F 1 s = BIlv t quindi la potenza risulta: Per la [25] si ha: P = L t = BIlv fem = P I = Blv Che combinata con la [24] porta alla legge di Faraday-Neumann: Φ(B) Δt = fem (= dφ(b) dt ) [26] In definitiva si osserva che tutte le volte che si varia il flusso di un campo magnetico attraverso un circuito elettrico chiuso si genera una forza elettromotrice indotta a spese dell energia meccanica che è stata utilizzata per modificare il flusso. In figura 26 il campo magnetico costante aveva un flusso variabile perché cambiavano le dimensioni della spira rettangolare che costituiva il circuito elettrico; ovviamente il flusso può cambiare anche se la spira rimane di dimensioni costanti ma ruota su un asse ortogonale al campo come in figura 27. Figura 27- Spira rotante 43

44 1.4.3) LEGGE DI LENZ Nell esempio n. 16 abbiamo visto che quando una corrente percorre una traiettoria chiusa (una spira) al suo interno si genera un nuovo campo magnetico. La legge di Faraday-Neumann indica che quando attraverso una spira NON percorsa inizialmente da corrente, meccanicamente, si fa variare il flusso di un campo magnetico esterno, nella spira si instaura una corrente I che, per quanto appena affermato produce a sua volta un nuovo campo magnetico che si somma vettorialmente a quello esterno. Dalla figura 26 si vede che la corrente, quando il flusso diminuisce (vedi dimostrazione), percorre la spira in senso antiorario quindi (ricordare la regola della mano destra) il campo autoindotto dalla nuova corrente ha lo stesso verso di quello esterno, cioè rafforza il campo in modo da ridurre la variazione di flusso magnetico. Questo risultato si generalizza nell enunciato della legge di Lenz: La corrente indotta in una spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dalla corrente si oppone alla variazione di flusso che l ha indotta. ESEMPIO N. 21 Una spira di filo conduttore ha un area di m 2. Essa è attraversata perpendicolarmente da un campo magnetico variabile che inizialmente ha un modulo di 0.50 T. Dopo 0.10 s il campo magnetico misura 0.70 T. Calcolare la forza elettromotrice indotta nella spira dalla variazione del flusso magnetico. Dati: A = m 2, B i = 0.50 T, B f = 0.70 T, t = 0.10 s. Essendo il campo ortogonale alla spira l angolo tra il versore normale all area e il campo vale zero quindi per la definizione di flusso si ha: Φ(B ) = B A = BAcos(0) = BA segue : Φ i = B i A e Φ f = B f A E per la legge di Faraday Neumann : fem = Φ(B) Δt = B ia B f A Δt ( ) = = V

45 ESEMPIO N. 22 Una spira rettangolare (vedi fig. 27) ha i lati lunghi rispettivamente l = 5.0 cm e a = 10.0 cm. Essa è immersa in un campo magnetico costante di modulo B = 0,80 T inizialmente diretto ortogonalmente alla superficie delimitata dalla spira stessa. La spira ruota sull asse dei lati lunghi percorrendo un angolo di 40 in 0.10 s. Calcola la tensione indotta. Sapendo che il filo che costituisce la spira è in rame ( ρ Cu = 1, Ωm) e che la sua sezione ha un raggio di 1,0 mm, calcola l intensità della corrente indotta e la potenza elettrica generata dalla variazione di flusso magnetico prodotto dalla rotazione. Dati: l = 5.0 cm e a = 10.0 cm, B = 0,80 T, a= 40, t= 0.10 s, ρ Cu = Ωm, r = 1,0 mm. L area della spira misura: I flussi iniziale e finale sono: A = l a = m 2 Φ i = BAcos(0) Φ f = BAcos(45) Quindi applicando la legge di F.-N. si ha: BAcos(45) BAcos(0) fem = = V Δt La resistenza elettrica del filo, per la seconda legge di Ohm [12b], vale: R = ρ cu 2(l + a) πr 2 = Ω per la prima legge di Ohm, l intensità della corrente misura: E la potenza generata risulta: I = fem R = 9.4 A P = I fem = W ESEMPIO N. 23 Una bobina piana (solenoide) di filo conduttore ha un area di m 2 ed è costituita da N=100 spire. Inizialmente la bobina ha la sua superficie trasversale perpendicolare 45

46 ad un campo magnetico, di modulo 0.20 T, uniforme e costante. La bobina viene fatta ruotare di un angolo di 45 in un intervallo di tempo di 0.10 s. Si calcoli la fem indotta. Dati: A = m 2, N=100 spire, B = 0.20 T, a=45, t = 0.10 s. Per ogni spira della bobina si ha la stessa variazione di flusso e quindi complessivamente si otterrà una variazione pari a N volte quella di una cioè: per una spira Φ i = BAcos(0) Φ f = BAcos(45) Per tutta la bobina: 1.4.4) INDUTTANZA BAcos(45) BAcos(0) fem = N = 1.2 V Δt Quando abbiamo ricavato la formula [26] ( fem = Φ(B) ), abbiamo considerato l effetto prodotto su un circuito da un campo magnetico esterno. Ma un circuito in cui gira una corrente elettrica è, a sua volta, un elemento che produce un campo magnetico come visto per una spira (esempio n.16). A tale circuito, quando è attraversato dalla corrente, si concatena un flusso del campo magnetico indotto. Ad esempio se in un solenoide di lunghezza l, sezione di area S, costituito da N spire circola una corrente I, al suo interno si produce un campo magnetico di intensità: B = μ o NI l Al suo interno si stabilisce un flusso pari a: Δt N 2 I Φ(B ) = BSN = μ o S [27] l Come si vede il flusso del campo autoindotto, nel caso del solenoide, è direttamente proporzionale alla corrente I tramite dei valori che dipendono sia dalla geometria del circuito, tramite N,S,l sia dal materiale, μ o, in cui è immerso. Questo vale per circuiti qualsiasi e per ognuno di essi è definito un coefficiente, indicato dal simbolo L, chiamato induttanza e la [27] si generalizza nella: Φ(B ) = LI [28] 46

47 L unità di misura dell induttanza risulta: H = Wb A (henry) Nel caso di corrente variabile si ha una tensione autoindotta che per la [26] vale: fem = Φ(B) Δt = ΔLI Δt ΔI di = L = L Δt dt 1.5) CENNI SULLA CORRENTE ALTERNATA [29] Si consideri la spira quadrata immersa in un campo magnetico costante B indicata in figura 28. Essa è collegata a due anelli [A] e [B] (collettori) che strisciano con continuità su due spazzole (+ e -). Come si nota la spira ruota attorno ad un asse ortogonale al campo magnetico, come in figura 27, producendo una variazione di flusso magnetico attraverso la sua area S. Per produrre tale rotazione si usa energia MECCANICA che genera una velocità angolare =costante. Ne segue che l angolo di rotazione è variabile nel tempo secondo la formula: Quindi il flusso risulta: α = ωt Φ(B ) = B u N S = BScos(α) = BScos(ωt) [30] A B Figura 28 - generatore di corrente alternata 47

48 Applicando la legge di Faraday [26] (con le derivate) si ha: fem = dφ(b) dt = ωbssen(ωt) [31] Il risultato indica che la differenza di potenziale (fem) tra le spazzole con cui sono collegati i collettori varia sinusoidalmente cambiando il segno ogni mezzo periodo e generando su un circuito di resistenza R, collegato ESTERNAMENTE ad esse, una corrente alternata di intensità: i = fem R = ωbs R sen(ωt) = I Msen(ωt) [32] Figura 29 - centrale elettrica In figura 29 è schematizzata una centrale termica a petrolio in cui è evidenziata la modalità di trasformazione dell energia termica nell energia meccanica necessaria per far ruotare le spire all interno dell alternatore (in realtà la struttura interna è più complessa di quella indicata in figura 29) e produrre l energia elettrica usata nelle nostre case. Ne segue che la corrente che utilizziamo normalmente è alternata ) IMPEDENZA Nei circuiti funzionanti con corrente alternata sono presenti, generalmente, almeno tre tipi di utilizzatori: le resistenze ohmiche R, i condensatori di capacità C, e i solenoidi di induttanze L. L insieme di queste tipologie di utilizzatori consuma la forza elettromotrice, fem, prodotta dal generatore come nei circuiti in corrente continua. L effetto combinato di queste tre tipologie di carico dà luogo ad una funzione matematica che varia al cambiare dei collegamenti tra condensatori, resistenze e 48

49 solenoidi (serie, paralleli, maglie multiple ecc.). Il loro effetto complessivo prende il nome di IMPEDENZA e viene indicata con il simbolo Z. Quindi: Z=f(R,C,L) [unità di misura ]. Al fine di rendere chiara la simbologia relativa alle correnti alternate useremo le convenzioni sui simboli stabilite dalla Commissione Elettrotecnica Internazionale (C.E.I.): - Con le lettere minuscole si indicano i valori ISTANTANEI delle grandezze sinusoidali (es. i intensità istantanea della corrente, v tensione istantanea). - Con le lettere maiuscole contrassegnate dall indice M si indicano i valori MASSIMI delle grandezze sinusoidali (es. I M valore di picco della intensità). - Con le lettere maiuscole NON contrassegnate da alcun indice si indicano i valori EFFICACI delle grandezze sinusoidali ) CIRCUITO OHMICO Figura 30 - Circuito Ohmico In figura 30A è rappresentato un circuito alimentato da un generatore di corrente alternata, del tipo visto in figura 28, che produce una fem variabile v di valore massimo V M. L unico elemento che provoca un consumo significativo di tensione è una resistenza ohmica indicata con R. In questo caso l impedenza del circuito coincide con R, cioè: Z = R La [31], scritta con la simbologia C.E.I., diventa: fem = dφ(b) dt = ωbssen(ωt) = V M sen(ωt) = v [33] 49

50 Applicando la legge di Ohm si ha: i = v R = I Msen(ωt) [34] con I M che dipende dalle caratteristiche del generatore, nel nostro caso: I M = V M R [35] In figura 30B è rappresentato l andamento dei grafici di i e v nel tempo, come si vede sono in fase ) POTENZA ELETTRICA IN CORRENTE ALTERNATA Ricordiamo che per la corrente continua la potenza è data dalla [12c]: P = I 2 R Nel caso della corrente alternata in un circuito ohmico diventa: p = i 2 R [36] con la i data dalla [34]. Come si vede la potenza istantanea p varia nel tempo rimanendo sempre positiva per effetto del quadrato di i. Il valore medio di tale potenza vale: < P >= I M 2 2 R [37] Si può anche scrivere: La [37] diventa: I M 2 2 = (I M 2 ) 2 = ( I M 2 ) (I M 2 ) < P >= ( I M 2 ) (I M 2 ) R La quantità ( I M 2 ) R è uguale, per la [35], a (V M 2 ) quindi: < P >= ( I M 2 ) (V M 2 ) [38] Le due quantità tra parentesi nella [38] vengono definite CORRENTE e TENSIONE EFFICACI cioè: 50

51 - corrente efficace I = ( I M 2 ) [39] - tensione efficace V = ( V M 2 ) [40] Con questa simbologia la potenza media risulta: < P >= IV = I 2 R [41] Cioè nella stessa forma di quella usata per le correnti continue. Come si vede la tensione e la corrente efficaci di una corrente alternata sono quei valori che, in caso di corrente continua, produrrebbero gli stessi effetti nel circuito ) CIRCUITO INDUTTIVO Figura 31- Circuito induttivo Nel circuito rappresentato in figura 31 è presente un solenoide con induttività L e resistenza ohmica dei fili non significativa. Il generatore fornisce una tensione efficace V che dipende dalle sue caratteristiche costruttive. Nel caso precedente si è visto che per effetto dell impedenza Z, dovuta solo alla resistenza ohmica R, la corrente i risultava in fase con la tensione v come evidenziato in figura 30B. Ora, per effetto dell induttanza L della bobina, sappiamo che a causa di i si crea all interno del solenoide una tensione indotta, per la [29], pari a: v = L di dt [42] mentre il generatore produce una tensione (per la [31] scritta con i simboli C.E.I.): v = V M sen(ωt) [43] 51

52 che sostituita nella [42] dà: di dt = V M L sen(ωt) [44] La formula indica che la derivata dell intensità istantanea deve essere pari alla quantità V M L sen(ωt). Si può facilmente verificare che la funzione che ha questo risultato come derivata è la seguente (tra un po vedrete come si ottiene con gli integrali.): i = V M cos(ωt) [45] ωl Introduciamo la quantità X L chiamata reattanza induttiva definita da: X L = ωl [46] Che si misura in ohm (W) e tenendo conto che: La [45] diventa: cos(ωt) = sen(ωt 90 ) i = V M X L sen(ωt 90 ) [47] In figura 30B è evidenziato che la corrente i è in ritardo di /2=90 rispetto alla tensione v. Il valore di I M in questo caso risulta: I M = V M X L [48] E tenendo conto delle [39] e [40] si ottiene la formula con i valori efficaci: ESEMPIO N. 24 I = V X L [49] Il circuito della figura 31 contiene un induttore di 3.60 mh. La tensione efficace del generatore è di 25.0 V. Si calcoli l intensità della corrente efficace nel circuito quando la frequenza del generatore è a) Hz; b) Hz. Dati: L = H; V=25.0 V; υ 1 = Hz; υ 2 = Hz. La reattanza induttiva è data dalla [46]: X L = ωl 52

53 Dove la pulsazione vale: ω = 2πυ Quindi, per le due frequenze, si ha: a) 2.26 Ω X L = ωl = 2πυL = { b) 113 Ω Per la [49] e per le due reattanze risulta: 1.5.5) CIRCUITO CAPACITIVO I = V a) 11.1 A = { X L b) 0.221A Figura 32 - Circuito capacitivo Un condensatore di capacità C inserito in un circuito con resistenza ohmica non significativa in cui scorre corrente alternata si carica e si scarica per effetto del cambiamento continuo di verso della corrente generando, nei semiperiodi di carica, un campo elettrico aggiuntivo a quello prodotto dal generatore di corrente alternata. Questa aggiunta al campo che genera il movimento delle cariche le accelera ulteriormente facendo sì che la i risulti in anticipo rispetto alla v del generatore. Per la legge delle maglie di Kirchhoff la tensione ai capi del condensatore risulta pari a quella prodotta dal generatore quindi: v = V M sen (ωt) Dalla definizione di capacità sappiamo che: q = Cv = CV M sen (ωt) Per la definizione di intensità di corrente [12] si ha: i = dq dt = ωcv Mcos (ωt) 53

54 Ricordando che cos(ωt) = sen(ωt + 90 ) e definendo reattanza capacitiva la quantità: X C = 1 ωc L intensità diventa: i = V M X C sen(ωt + 90 ) [50] Che dimostra che la corrente è in anticipo di 90 rispetto alla tensione (fig.32b). ESEMPIO N. 25 Il circuito della figura 32A contiene un condensatore di capacità 1.50 mf, il generatore produce una tensione efficace di 25.0 V. Calcolare l intensità della corrente efficace nel circuito quando la frequenza del generatore è: a) Hz; b) Hz. Dati: C= F; V=25.0 V; υ 1 = Hz; υ 2 = Hz. La reattanza capacitiva è la quantità: X C = 1 ωc Dove la pulsazione vale: ω = 2πυ Quindi, nei due casi si ha: e per le due reattanze risulta: X C = 1 ωc = Ω = {a) 2πυC b) 21.2 Ω I = V a) A = { X C b) 1.18 A Come si può vedere confrontando i risultati dell esempio 24 con questi quando l impedenza induttiva è bassa si ottiene una corrente alta, mentre se l impedenza capacitiva è bassa si ottiene una corrente alta ) CIRCUITO RCL IN SERIE Un circuito che contiene sullo steso ramo, quindi in serie, resistenze ohmiche R, capacità C e induttanze L una maglia che può essere studiata con la legge di ohm per i circuiti in corrente alternata: Figura 33 - circuito RCL V = ZI [51] 54

55 Dove Z è l impedenza complessiva del circuito che, si può dimostrare, vale in questo caso: Z = R 2 + (ωl 1 ωc )2 [52] Il termine tra parentesi rappresenta l effetto sia dei condensatori sia delle bobine e, aumentando l impedenza rispetto al valore della resistenza ohmica, riduce la corrente a parità di tensione. Si dice che un circuito RCL è in risonanza quando questo effetto viene eliminato, quindi il termine tra parentesi vale zero il che si ottiene quando: ω = 1 [53] CL In questo caso si ha: Z = R 1.5.7) FATTORE DI POTENZA La potenza media risulta con i valori efficaci: < P >= IV = I 2 R Per la [51] l ultimo termine può essere riscritto nella forma: < P > = V Z IR Dato che R e Z sono caratteristiche del circuito, si definisce fattore di potenza la quantità: cos(φ) = R Z [54] Ottenendo la potenza media nella forma che di solito si usa: ESEMPIO N. 26 < P > = IVcos(φ) [55] Il circuito della figura 33 contiene un resistore da 148, un condensatore da 1.50 F e un induttore da 35,7 mh. Il generatore ha una frequenza di 512 Hz e una tensione efficace di 35,0 V. Si calcolino: a) il consumo di tensione efficace su ciascun elemento del circuito; b) la potenza elettrica consumata dal circuito. Dati: R = 148, C = 1.50 F, L = 35,7 mh, n = 512 Hz, V = 35.0 V. 55

56 Calcolo le reattanze: X C = 1 ωc = 1 2πυC = 207 Ω X L = ωl = 2πυL = 115 Ω Calcolo l impedenza del circuito con la [52]: Z = R 2 + (ωl 1 ωc )2 = 174 Ω L intensità della corrente efficace che gira nell unico ramo che costituisce il circuito vale per la [51]: I = V = A Z Le tensioni efficaci su ogni elemento del circuito risultano: V R = IR = 29.7 V V C = IX C = 41.6 V V L = IX L = 23.1 V È importante notare che la somma delle tensioni sui tre componenti è diversa dal valore della tensione efficace del generatore perché esiste uno sfasamento tra le tre tensioni come visto nell analisi dei circuiti con i singoli componenti. Questo indica la necessità di considerare la somma delle tensioni in modo più complesso cosa che esula dalle esigenze di questo corso. Per calcolare la potenza consumata dal circuito è necessario trovare il fattore di potenza con la [54]: cos(φ) = R Z = 148 = (31.7 ) 174 Poi con la [55] si ha: < P > = IVcos(φ) = 6.0 W 56

57 MODULO N.2 2) ONDE ELETTROMAGNETICHE La descrizione fatta nel modulo 1 dei campi e delle loro proprietà può apparire come un semplice modello matematico utile per descrivere le interazioni tra particelle. Infatti i campi sono sempre stati associati alle particelle: il campo elettrico alla carica elettrica, quello magnetico alle cariche elettriche in moto (o alla corrente elettrica). Lo studio degli effetti del campo elettrico partiva dal concetto che le sorgenti utilizzate come generatori elettrici fossero ferme e che quindi il campo elettrico da esse prodotto restasse costante nel tempo in ogni punto dello spazio. Abbiamo poi studiato i campi magnetici statici e tutto ciò ci ha portato alle equazioni di Maxwell. 2.1) TEOREMA DI FARADAY-NEUMANN-LENZ Le equazioni di Maxwell per l elettrostatica sono (c.f.r.1.3.7): Prima equazione di Maxwell (per il campo elettrico statico: legge di Gauss per il campo elettrico) Φ(E) = q [11] ε 0 Seconda equazione di Maxwell (per il campo magnetico statico: legge di Gauss per il campo magnetico) Φ(B ) = 0 [23] Terza equazione di Maxwell (per il campo elettrico statico) Γ(E) n n = i=1 E i s i = i=1 V i = 0 [8] Quarta equazione di Maxwell (per l induzione magnetica) Γ(B ) = μ o I [21] Studiando l induzione elettromagnetica al capitolo 1.3) abbiamo però trovato che il campo elettrico che causa una corrente indotta, detto campo elettrico indotto, è generato da un campo magnetico che varia nel tempo. Quindi un campo magnetico variabile dà origine a un campo elettrico indotto con linee di campo chiuse (vedi esempio n.4) su se stesse e poste su un piano perpendicolare al campo magnetico. Se si applica la [8] al percorso chiuso della corrente indotta si trova che la circuitazione è diversa da zero e pertanto la terza equazione di Maxwell si modifica per la Φ(B) Δt = fem (= dφ(b) dt 57 ) [26]

58 nel seguente modo: Γ(E) = n i=1 E i s i = fem = Φ(B) Δt = dφ(b) dt In definitiva la [8] diventa: Γ(E) = Φ(B) Δt = ( dφ(b) ) [56] dt Che prende il nome di teorema di Faraday-Neumann-Lenz. Questa nuova formulazione della circuitazione del campo elettrico comporta che il suo valore dipende dal valore assunto dal campo magnetico al secondo membro nel seguente modo: - nel caso dell elettrostatica (B=0) e delle correnti continue (B= costante) con circuiti fissi la variazione del flusso di campo magnetico è zero e la circuitazione di quello elettrico vale a sua volta zero come trovato a suo tempo e quindi il campo elettrico è conservativo. - nel caso di campo magnetico variabile in funzione del tempo oppure di circuiti in movimento il secondo membro della [56] può essere diverso da zero questo implica che lo è anche la circuitazione di quello elettrico che pertanto non è conservativo ( il lavoro dipende dal percorso e/o dal tempo) ne consegue che il potenziale del campo elettrico non può essere definito. Come per il campo elettrico cariche non sono le uniche sorgenti così le correnti elettriche non solo le sole sorgenti del campo magnetico. Infatti nel teorema di Faraday-Neumann-Lenz si afferma che un campo magnetico variabile nel tempo può generare un campo elettrico variabile nel tempo. Allora, per simmetria, anche un campo elettrico variabile nel tempo deve poter generare un campo magnetico variabile nel tempo (ipotesi di Maxwell). Per sostenere l'ipotesi di Maxwell consideriamo un condensatore che si sta caricando. Figura 34 - Corrente di spostamento 58

59 Consideriamo ora il percorso P della figura 34A. Attraverso questo percorso la circuitazione di B [21] deve essere diversa da zero perché la superficie S 1 è attraversata da una corrente. Per lo stesso percorso ora consideriamo la superficie S 2 concatenata al percorso, ma scavalcando un'armatura del condensatore, non attraversata da alcuna corrente. Allora otteniamo il paradosso per cui per due diverse superfici concatenate allo stesso percorso si hanno due diversi valori della circuitazione. La soluzione sta nell'assumere un'altra possibilità come sorgente del campo magnetico: non solo le correnti elettriche, ma anche la derivata del flusso del campo elettrico attraverso la superficie concatenata al percorso come accade nella circuitazione del campo elettrico. Quindi il teorema di Ampere è in generale: ΔΦ(E) Γ(B ) = μ o i + μ o ε o Δt [57] Così sorgente del campo magnetico può essere anche un campo elettrico variabile nel tempo. Questo campo magnetico sarà anch'esso variabile nel tempo e, per il teorema di Faraday-Neumann-Lenz, genererà un campo elettrico variabile nel tempo. I campi quindi si autosostengono e possono avere un'esistenza indipendente dalle sorgenti tangibili (cariche e correnti). La parte aggiunta nella [57] rispetto alla [21] è chiamata corrente di spostamento. 2.2) EQUAZIONI DI MAXWELL PER L ELETTRODINAMICA Prima equazione di Maxwell (legge di Gauss per il campo elettrico) Φ(E) = q [11] ε 0 Seconda equazione di Maxwell (legge di Gauss per il campo magnetico) Φ(B ) = 0 [23] Terza equazione di Maxwell (legge di Faraday-Neumann-Lenz) Γ(E) = Φ(B) Δt = ( dφ(b) ) [56] dt Quarta equazione di Maxwell (teorema di Ampére) ΔΦ(E) Γ(B ) = μ o i + μ o ε o Δt 59 [57]

60 2.3) GENERAZIONE DI ONDE ELETTROMAGNETICHE Consideriamo un generatore (= alimentatore, f.e.m.,...) che produce una corrente aternata ( vedi capitolo 1.4). Il valore della f.e.m. (o ΔV) sarà quindi variabile nel tempo; lo si collega ad un antenna (ovvero, due pezzi di conduttore, un dipolo) ottenendo i seguenti effetti: Figura 35 - campo statico all'istante t=0 Figura 36 - campo in oscillazione tra l'istante t=0 e t= T/4 Figura 37 - campo in oscillazione all'istante T/4 Figura 38 - campo in oscillazione all'istante T/2 Figura 39 - campo in oscillazione all'istante 3T/4 Figura 40 - Campi magnetici prodotti dalla variazione di E La lettura delle figure da 35 a 39 è la seguente: Al tempo t=0 (fig.35): Il generatore eroga la ΔV max massima e si genera nel punto P un campo E. 60

61 Figura 40B - LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTROMAGNETICO DEL DIPOLO DI Fig.40 sono ulteriormente spostati avanti. Al tempo t 1 >0 (fig.36): Il generatore eroga una ΔV inferiore a quella massima In P ho un E minore di quello che avevo a t=0 In Q si rileva il campo E che a t=0 era in P. Il campo si e spostato durante questo intervallo di tempo. Al tempo t= T/4 (fig.37): ΔV = 0 In P il campo elettrico e E = 0 I vettori di campo E che erano in P e Q si Le figure 38 e 39 evidenziano invece la progressione nel tempo dell evolversi del campo ad una distanza crescente, nello spazio, dalla sorgente di energia costituita dall antenna. Ricordando la quarta legge di Maxwell [57]: ΔΦ(E) Γ(B ) = μ o i + μ o ε o Δt Si osserva che nei punti P e Q ecc. non sono presenti correnti e quindi la formula si ΔΦ(E) riduce a: Γ(B ) = μ o ε o [58] Δt Ora, ad esempio per il punto P si può considerare una qualsiasi superficie orizzontale che lo contenga e calcolare il flusso del campo elettrico attraverso di essa il che, dato che il campo è variabile, porterà ad un valore di circuitazione del campo magnetico diversa da zero indicando che in P Figura 41 - Campo elettromagnetico all'istante t=1.5t ( e in ogni altro punto sulla linea di propagazione) si otterrà un vettore campo magnetico ortogonale a quello elettrico come indicato in figura 40.Il campo elettrico prodotto da un antenna collegata a un generatore a Corrente Alternata (c.a.) si propaga, allontanandosi dall antenna, in modo analogo a un onda che si propaga su una corda,come indicato in figura 41. A suo tempo abbiamo visto che questo tipo di onde hanno un equazione del tipo: y = Asen(kx ωt) [59] 61

62 Dove: - A = ampiezza dell onda, - ω = 2π T = 2πν pulsazione con T periodo e n frequenza della sorgente, - k = 2π λ numero d onda con λ = ct = c ν lunghezza d onda e c velocità dell onda. Per le due onde, quella del campo elettrico e quella del campo magnetico, nell esempio in esame, trattandosi di onde polarizzate si può scrivere: E z = E max sen(kx ωt) [60] B y = B max s en(kx ωt) [61] La velocità di propagazione si può calcolare con l analisi dimensionale del mezzo di in cui si propagano osservando che gli unici parametri del vuoto (nel quale le onde in esame transitano contrariamente a quelle meccaniche) sono solamente due : - costante dielettrica del vuoto ε 0 = A2 s 2 - costante diamagnetica del vuoto μ 0 = 4π 10 7 N A 2 ipotizzando che la velocità dell onda sia in funzione di essi si ha: c = αε 0 a μ o b Nm 2 Inserendo le unità di misura si ottiene : a = b = 1 2 Quindi la velocità risulta: c = α 1 μ 0 ε 0 Sperimentalmente si trova che =1 pertanto: c = 1 = m μ 0 ε 0 s [62] Che è l effettiva velocità della luce ) PROPAGAZIONE DELLEONDE ELETTROMAGNETICHE Dobbiamo ancora determinare quale sia il collegamento tra i valori del campo elettrico e di quello magnetico che devono necessariamente essere collegati visto le equazioni di Maxwell tre e quattro. Per farlo consideriamo la figura n.42 nella quale è indicata una superficie di base infinitesima dx e altezza h sul piano yx e contenente un punto P. 62

63 E dx h E+dE P Figura 42 - circuitazione di E e flusso di B Il modulo del vettore induzione magnetica in P all istante t vale: B = B max s en(kx ωt) [61] Il flusso istantaneo di tale vettore attraverso la superficie A= hdx risulta: Φ(B) = B A = h dx B = h dx B max s en(kx ωt) [63] La formula di Faraday Neumann Lenz (3^ di Maxwell) collega la variazione di flusso dell induzione magnetica alla circuitazione del campo indotto sul perimetro della superficie attraverso la quale si calcola tale flusso: La derivata tra parentesi risulta: dφ(b) Γ(E) = ( ) [56] dt dφ(b) dt = h dx db dt D altra parte la circuitazione del campo elettrico è: [64] Γ(E) = E i s i n i=1 Dove per i due lati orizzontali, dx, che sono perpendicolari al vettore di campo E si ottiene zero, mentre per i due verticali dove il campo varia in modo infinitesimo da E ad E+dE si ottiene: 63

64 n Γ(E) = E i s i = (E + de)h Eh = h de i=1 [65] Sostituendo la [64] e la [65] nella [56] si ha: h de = h dx db dt che semplificando h e dividendo per dx diventa: [66] de dx = db dt [67] Derivando la E= E max sen(kx ωt) rispetto a x e la B= B max s en(kx ωt) rispetto a t si ottiene: che, semplificando, diventa: ke max cos(kx ωt) = ( ωb max cos(kx ωt)) ke max = ωb max E max B max = ω k [68] Ricordando che : ω k = 2πν 2πν c = c si ha: E max B max = c [69] Quindi il valore di Emax è c volte il valore di Bmax. 64

65 2.4) FENOMENI ONDULATORI A questo punto dato che il modello ondulatorio descrive in modo corretto la propagazione dei campi elettromagnetici risulta che si può estendere quanto visto per le onde meccaniche anche alle onde elettromagnetiche e pertanto esse fanno: - interferenza - riflessione - rifrazione - diffrazione ) INTERFERENZA Le onde elettromagnetiche si presentano in natura con frequenze variabili come indicato nella seguente figura (approfondiremo la cosa più avanti): Figura 43 - Spettro elettromagnetico Pertanto esse propagandosi da una sorgente (ad esempio una lampadina) procedono occupando le stesse posizioni nello spazio e facendo interferenza, la quale può essere costruttiva, distruttiva o incoerente (come il suono ) vedi fig.44 e 45. Ciò significa che viviamo continuamente immersi in minestroni di onde di vario tipo: visibile, ultravioletti, infrarossi, onde radio ecc. 65

66 Figura 44 - Interferenza di onde con la stessa frequenza Figura 45 - Interferenza di onde con frequenza diversa Il fatto che possediamo come sensore, atto a rilevarle, l occhio implica che siamo abituati a percepire gli effetti solo delle onde sulle frequenze del visibile. Il motivo di questo fenomeno è legato al fatto che la cornea possiede quattro tipi recettori nervosi che, quando ricevono l energia luminosa, si attivano solamente se i raggi che li colpiscono possiedono l energia collegata ad un dato intervallo di frequenze e delle relative lunghezze d onda: - cono del rosso : si attiva solo per luci a cavallo della lunghezza d onda di 650 nm; - cono del verde : si attiva solo per onde a cavallo della lunghezza d onda di 550 nm; - coni del blu : si attivano per valori a cavallo dei 350 nm. Con attivano si intende, semplificando, che l energia ricevuta è sufficiente a dissociare una molecola organica che contengono, provocando così una polarizzazione al loro interno (una micro-pila) che genera una corrente elettrica lungo il nervo ottico. Essendo i filamenti che lo compongono collegati a delle aree neuroniche del cervello, quando il neurone di riferimento riceve il segnale elettrico esso ce lo fa interpretare come un tipo preciso di colore (è la stessa procedura con cui si accendono i pixel sullo schermo del computer ). Nel caso si attivino neuroni adiacenti a coni di tipo diverso il cervello media i valori facendoci vedere il risultato dell interferenza dei tre segnali cioè i colori compresi tra i tre fondamentali che sono quindi il rosso, il verde e il blu. Il quarto recettore, chiamato bastoncello, si attiva su tutte le lunghezze d onda del visibile per valori di energia estremamente più bassi di quelli dei coni e, ovviamente, il segnale che invia non determina i colori ma solamente la presenza o l assenza di luce dando luogo alle varie tonalità di grigio (come la visione in bianco e nero dei vecchi film). Come si vede i colori non sono una realtà fisica ma semplicemente un interpretazione sensoriale dovuta al nostro funzionamento neurologico ( infatti 66

67 molti animali non sanno cosa siano). Il bianco è il risultato dell interferenza di tutti i colori (per l occhio dei tre colori fondamentali legati ai coni) mentre il nero è assenza di colore. Come si vede dall immagine n.46 nella quale tre lampade monocromatiche, che emanano rispettivamente luce rossa, verde e blu, generano parziale sovrapposizione nella zona centrale dove interferiscono i tre colori fondamentali producendo luce bianca mentre le tre zone in cui i colori interferiscono a coppie si ha il giallo, l azzurro e l indaco. Figura 46 - interferenza di luci monocromatiche Nel caso di onde di tipo diverso da quelle del visibile, per esempio le onde radio, l interferenza di onde inviate da due stazioni, che trasmettono canzoni diverse ma su frequenze portanti vicine, produce un interferenza incoerente che genera solo la ricezione di suoni indistinti (in realtà sono le onde elettromagnetiche che sono distorte dall interferenza prima di venir trasformate in suoni incoerenti ). Fenomeni di interferenza sono anche quelli che possono produrre su macchinari medici le onde dei telefonini e causare quindi un errore nel loro funzionamento; questo spiega il motivo per cui negli ospedali è vietato usarli ) RIFLESSIONE La riflessione è il fenomeno che descrive cosa succede ad un onda quando incontra un mezzo che non le permette di entrare. Abbiamo studiato che in questo caso l onda rimbalza sulla superficie di separazione in una direzione simmetrica a quella di arrivo rispetto alla normale al piano d urto (vedi fig.47 e 48). Figura 47 - modello a raggi di un'onda che urta obliquamente un piano levigato Figura 48 - raggio luminoso riflesso da un piano levigato 67

68 Si parla di dispersione quando il piano di separazione ha una superficie scabra che invia i raggi riflessi in direzioni diverse essendo diverse le normali locali nel punto d incidenza dell onda (vedi immagini 49 e 50) Figura 49 - onda diffusa il raggio riflesso non si vede perchè si è separato in un numero grandissimo di piccoli raggi diretti in modo casuale Figura 50 - diffusione su un piano scabro In figura 51 è riportato lo schema a raggi che ricorda la legge fondamentale della riflessione relativa ai due angoli: θ 1 = θ 1 [70] Figura 51 - legge della riflessione 2.4.3) RIFRAZIONE Quando un onda in tutto o in parte passa da un mezzo ad un altro si parla di fenomeno della rifrazione. Anche in questo caso abbiamo già analizzato il fenomeno per le onde meccaniche. Nella figura 52 è rappresentato il caso in cui un onda luminosa, arrivando dall aria colpisce la superficie di un vetro. Il vetro è un materiale trasparente per la luce visibile e, pertanto, una grande percentuale dell energia incidente entra nel vetro formando il raggio rifratto. Si vede che però una parte dell energia iniziale viene comunque riflessa nell aria. (Su questo torneremo più avanti) Sappiamo che la velocità di un onda cambia al cambiare delle proprietà fisico-chimiche del mezzo e che questa diminuisce tra l aria e un solido. Di conseguenza cambiando la velocità di propagazione si ha una variazione anche della lunghezza d onda per tener Figura 52 - onda in parte riflessa e in parte rifratta 68

69 conto della quale l angolo del raggio rifratto deve essere diverso da quello dell angolo incidente secondo la legge di Snell ( rivedetevi la dimostrazione nel modulo relativo sen(θ alle onde meccaniche): 1 ) = V 1 [71] sen(θ 2 ) V 2 Nella figura 53 sono evidenziati i seguenti fenomeni: 1) raggio incidente 2) raggio riflesso sulla superficie superiore 3) raggio rifratto sulla superficie esterna superiore Figura 53 - doppia rifrazione e doppia riflessione interna superiore. 4) raggio riflesso sulla superficie inferiore 5) raggio rifratto sulla superficie Il rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e quella in un mezzo è chiamato indice di rifrazione ed è una caratteristica ottica di ogni materiale trasparente: n = c V [72] Ricavando V e sostituendo nella [71] con gli indici corretti si ha: sen(θ 1 ) sen(θ 2 ) = V 1 V 2 = n 2 n 1 [73] Per concludere con gli effetti della rifrazione osserviamo come in figura 54 si evidenzi che le onde monocromatiche, quindi di diversa frequenza, si propagano in un solido con velocità diverse. Infatti mentre nell aria procedono lungo lo stesso raggio, dando luogo al fenomeno di interferenza precedentemente discusso (la somma Figura 54 - rifrazione della luce attraverso un dei colori genera il bianco), nel vetro del prisma prisma esse, per rifrazione, deviano di angoli crescenti (quindi angoli di rifrazione decrescenti) con la frequenza provocando la separazione delle onde singole generando così l arcobaleno. 69

70 Come si vede (fino a quattro cifre significative) nell aria la velocità della luce è pari a quella che ha nel vuoto. ESEMPIO 28 Figura 55 - Indice di rifrazione di alcune sostanze Un fascio di luce di lunghezza d onda di 550 nm, che si propaga in aria incide su una lastra di materiale trasparente. Il fascio incidente forma un angolo di 40.0 con la normale ed il raggio rifratto forma un angolo di 26.0 con la normale. A) Trovare l indice di rifrazione del materiale. B) Determinare la velocità della luce nel materiale. C) Calcolare la lunghezza d onda della luce nel materiale.(vedi figura 52) Dati: l 1 =550 nm; q 1 =40.0 ; q 2 =26.0 ;n 1 =1.00 A) dalla [73] si ha: n 2 = n 1 sen(θ 1 ) sen(θ 2 ) = 1.47 B) dalla [72] otteniamo: C) ricordando (sempre dalla [73]) che : v 2 = c n 2 = m/s V 1 υ V 2 υ = λ 1 = n 2 λ 2 n 1 Segue λ 2 = n 1 n 2 λ 1 = 374 nm 70

71 2.4.4) DIFFRAZIONE. Consideriamo un onda piana che si propaghi in un ambiente contenente due ostacoli, AB e DC, posti come in fig.56 a). Quando incontra gli ostacoli nei tratti AB e CD essa viene riflessa. Nel tratto compreso tra B e C l onda prosegue nella seconda parte dell ambiente ma, allo stesso tempo, cambia forma come è evidenziato nell immagine di un esperienza reale rappresentata in fig.56 b). L onda va ad occupare anche le parti di piano dietro agli ostacoli. Figura 56 Questo effetto, caratteristico solo dei fenomeni ondulatori, prende il nome di diffrazione. Il principio di Huygens, (rivedi) applicato in fig.56 a) ai cinque punti evidenziati tra B e C, permette di prevedere correttamente la forma dell onda dopo gli ostacoli. Nel caso in esame l effetto di diffrazione è poco accentuato in quanto la larghezza della fenditura BC è molto più grande della lunghezza d onda. Se, viceversa, si ha un apertura più piccola della lunghezza d onda l effetto della diffrazione diventa dominante come è evidenziato nella fig. 57. Mentre, nel caso precedente, l onda rimaneva prevalentemente piana e l effetto diffrattivo si manifestata solo tenuemente ai lati del foro, ora l onda è diventata circolare e presenta delle frange d interferenza distruttiva che danno luogo ad una distribuzione dell energia completamente diversa da quella dell onda iniziale come è evidenziato dal diagramma d intensità rappresento in fig.57 Fig.57 71

72 b). Risulta che, in corrispondenza delle frange d interferenza distruttiva, dove l ampiezza è nulla, non si ha nessuna energia, mentre dove si ha interferenza costruttiva si ottengono dei picchi d intensità decrescenti dal centro verso l esterno. In fig. 57 c) è riprodotta l immagine di un esperimento di questo tipo in cui, però, essendo la lunghezza d onda dello stesso ordine della fenditura, non si notano le frange d interferenza distruttiva. In conclusione è evidente che l onda, oltre la fenditura, è diventata circolare. Questo fenomeno è d importanza fondamentale nello studio dell ottica fisica. 2.5) CENNI DI OTTICA FISICA 2.5.1) ESPERIMENTO DI YOUNG Nella figura n.58 è rappresentato, in parte tramite uno schema e in parte tramite una fotografia di un esperimento reale, il risultato di un esperienza di Young eseguita inviando onde su uno schermo con due fenditure con apertura dell ordine di grandezza della lunghezza dell onda incidente. Come si vede, in corrispondenza delle frange d interferenza costruttiva, si ottengono una serie di massimi d illuminazione intervallati da zone oscure in corrispondenza delle frange distruttive. Si nota che i massimi sono equispaziati e dello stesso ordine d intensità. Esaminiamo ora l esperienza di Young da un punto di vista quantitativo. - La luce utilizzata è monocromatica ottenuta da un raggio laser. In fig.59 il punto P rappresenta una posizione qualsiasi sullo schermo C, posto alle distanze r 1 e r 2 rispettivamente dalle fenditure S 1 e S 2. Si traccia ora una linea da S 2 fino ad intersecare il raggio r 1 in modo che le distanze PS 2 e Pb siano uguali. L esperimento è condotto in modo che la distanza tra i due schermi, D, sia molto maggiore della distanza d tra le due fenditure, d: D d [74] In queste condizioni, entro la precisione di alcune cifre significative, si può ritenere che S 2 b sia perpendicolare sia a r 1 che a r 2 o, in altri termini, che i due raggi siano paralleli. Ne segue che gli angoli S 1 S 2 b e PaO sono congruenti e pari a. Figura 58 Frange d interferenza di Young 72

73 I due raggi provenienti dalle sorgenti S 1 e S 2, arrivando da uno stesso fronte dell onda piana incidente, sono in fase quando attraversano le fenditure, ma essendo i due raggi r 1 e r 2 di lunghezza diversa possono contenere un numero diverso di lunghezze d onda e quindi giungere in P sfasati. La differenza di cammino ottico 1 è data dalla lunghezza del segmento: Fig.59 S b d sen 1 [75] il numero di lunghezze d onda che contiene determina il tipo di interferenza che si avrà nel punto P. - Massimi. Affinché in P vi sia un massimo d illuminazione (interferenza costruttiva) nel segmento S 1 b devono essere contenute un numero intero di lunghezze d onda cioè: S1 b m con m=0,1,2,3. [76] sostituendo il risultato della [75] nella [76] si ha: d sen m con m=0,1,2,3. [77] (massimi) E importante notare che per ogni massimo al di sopra di O in fig.59 ne corrisponde uno simmetrico al di sotto di O. Il massimo centrale corrisponde a m=0. - Minimi. Affinché in P si formi un minimo S 1 b deve contenere un numero dispari di mezze lunghezze d'onda in modo che, dove arriva un massimo di un raggio, arrivi anche un valore sfasato di p, cioè un valore in modulo identico ma di segno opposto; in questo modo si ottiene un interferenza distruttiva. Per avere un numero dispari di mezze lunghezze d onda, anziché per m, bisogna moltiplicare l/2 per il valore: (2m+1) con m =0,1,2,3.. [78] si vede che la [78] dà solo interi dispari (1,3,5,7,.). Pertanto l equazione che determina i valori dei minimi risulta: 1 d sen (2m 1) m con m=0,1,2,3. [79] (minimi) Per cammino ottico s intende la strada percorsa da un raggio di luce in un mezzo. 73

74 Operando nelle condizioni imposte dalla [74] i valori dell angolo risultano molto piccoli ( 5 ) di conseguenza, senza perdere di precisione si può operare la semplificazione: sen [80] che permette di scrivere la [77] e la [79] nel seguente modo: m [81] (massimi) d 1 m 2 d [82] (minimi) che portano alla determinazione degli angoli di inclinazione sotto i quali si vedono i massimi e i minimi d interferenza. Sempre dalla fig.59 si nota che: che per angoli piccoli dà: y tan [83] D y D [84] sostituendo la [84] nelle [81] e [82] si ottengono le distanze tra i centri delle frange e il centro del massimo centrale: y m D d 85] (massimi) 1 D y m 2 d [86] (minimi) Per m=1 si ottiene dalla [85]: y D d 1 [87] 2 D per m=2 si ha: y2 2y1 e di conseguenza: y m my1 [88] il che significa che i massimi sono tutti alla stessa distanza l uno dall altro 2. d 2 Con un analoga dimostrazione si trova che anche i minimi sono equispaziati. 74

75 2.5.2) DIFFRAZIONE DA UNA SINGOLA FENDITURA. Nella descrizione delle figure d interferenza prodotte nell esperienza di Young si è formulata l ipotesi che le due fenditure avessero dimensioni dell ordine di grandezza della lunghezza d onda della luce utilizzata 3. Questo fatto ha permesso di considerare le due sorgenti di luce come se avessero spessore infinitesimo e di conseguenza emettevano luce con la stessa intensità in tutte le direzioni, il che ha portato a frange d interferenza tutte della stessa intensità. In realtà anche nei laboratori più specializzati è estremamente difficile 4 ottenere fenditure dell ordine dei micrometri e perciò, molto spesso, si lavora con fenditure che da un punto di vista macroscopico sono piccole, ma che rispetto alle lunghezze d onda delle luci impiegate sono enormi. Fig.60 Fig.61 Consideriamo ora cosa avviene quando un fascio di luce monocromatica attraversa una sola fenditura di larghez-za a molto maggiore della lunghezza dell onda della luce stessa. Nella fig.60c) è rappresentata una fenditura di dimensioni a che è investita da un onda piana monocromatica. Dietro allo schermo, distante L dalla fenditura, è indicato il diagramma delle inten-sità che dovrebbe risultare in base all im-magine di un esperimento reale riportata in fig.61a, dove si nota una intensa banda centrale 3 Vedi le dimensioni delle fenditure e le lunghezze d onda rappresentate nello schema di fig.58 4 Sempre in fig.58 si vede che l immagine d interferenza presenta una maggiore intensità nelle frange centrali rispetto a quelle laterali il che significa che le due fenditure non rispettano completamente la condizione 75 d.

76 chiara intervallata da zone scure e da altre bande chiare. In figura 60a) è rappresentato un ingrandimento della fenditura con indicati i raggi uscenti da una serie di punti considerati come sorgenti secondarie in accordo con il principio di Huygens. Analizzando lo schema 60c) si vede che deve esistere un angolo ampio in modo tale che, l inclinazione dei raggi, produca una differenza di cammino tale da causare l interferenza distruttiva. Nello schema di fig.60a) si vede che la differenza di cammino tra il primo raggio e l ultimo indicato nella figura vale: r asen [89] Si può formulare l ipotesi che per l angolo in esame questa differenza di cammino valga esattamente la lunghezza d onda l cioè che: asen [90] Si supponga di aver suddiviso la fenditura con 100 punti equispaziati considerati come sorgenti; in questo caso, come abbiamo appena visto, il primo e l ultimo punto emanano raggi in fase tra loro che danno interferenza costruttiva. Se immaginiamo di suddividere la fenditura in due regioni con i punti da 1 a 50 nella parte superiore e le sorgenti da 51 a 100 nella regione inferiore notiamo che la differenza di cammino del 51 punto, che si trova ad a/2, è sfasato di: 51 a sen r [91] cioè che le onde provenienti dalle sorgenti 1 e 51 fanno interferenza distruttiva e quindi si eliminano. Lo stesso vale per le sorgenti 2 e 52, 3 e 53 e così via; in altri termini i raggi che provengono da sorgenti che distano a/2 si elidono per interferenza distruttiva. Questo ragionamento può essere ripetuto per un qualsiasi numero di punti e porta in ogni caso a dire che la somma degli effetti nel punto individuato sullo schermo dall angolo corrisponde ad un onda nulla cioè a una frangia d interferenza distruttiva. Per determinare la posizione del secondo minimo si può ripetere il ragionamento osservando che deve esistere un angolo per cui vale la relazione: a sen 2 2 [92] se si divide la fenditura in quattro zone uguali, due per la regione superiore e due per quella inferiore, si ottiene che la luce che arriva dal punto posto in a/4 è sfasata di l/2 rispetto al primo punto mentre, quella che arriva dalla sorgente a 3a/4, è sfasato l/2 distano a/4. 76

77 Si può quindi generalizzare l equazione che permette di determinare gli zeri della figura di diffrazione nel seguente modo: a sen m m 1,2,3... [93] 5 Se la distanza L è molto grande rispetto alla metà della larghezza del massimo centrale y (c.f.r. fig.60c) allora gli angoli risultano piccoli (<5 ) quindi è possibile approssimare la [93] nel seguente modo: m sen [94] a Inoltre risulta: y L tan [95] che combinata con la [94] dà: y m L a [96] determina la posizione dei minimi rispetto al punto centrale dello schermo. L andamento dell intensità della fig.61 è chiamata figura di diffrazione di Fraunhofer di una singola fenditura: è la figura che si osserva quando lo schermo è molto lontano dalla fenditura e la larghezza della fenditura non è maggiore di un piccolo numero di lunghezze d onda della luce utilizzata. Se si osserva la figura di diffrazione ponendo lo schermo vicino alla fenditura l immagine cambia e prende il nome di figura di diffrazione di Fresnel: questo schema è molto complesso da analizzare e, per noi, ha poco interesse pratico e quindi lo trascureremo. 5 N.B. Spesso capita di confondere la [77] per la doppia fenditura con la [93] per la singola fenditura. Per evitarlo è importante rilevare che, in questo caso, i valori di m sono gli interi escluso lo zero mentre nelle formule precedentemente trovate per la doppia fenditura partivano da zero. Inoltre la distanza inserita nella formula è la larghezza della fenditura a mentre nel caso precedente era la distanza tra le fenditure d. 77

78 2.5.3) DIFFRAZIONE DA UN APERTURA CIRCOLARE. Consideriamo ora la diffrazione da un apertura circolare di diametro d. La figura n.62 mostra l immagine di una sorgente puntiforme luminosa lontana che si forma dopo aver attraversato un piccolo foro di diametro d su uno schermo posto a notevole distanza dal foro stesso. (c.f.r.fig.62). Confrontando questa fotografia con quella rappresentata in fig.61 è evidente che si tratta di un fenomeno di diffrazione nel quale, in questo caso, l apertura è un cerchio mentre nel precedente era una fenditura. Ricordiamo che per la fenditura le dimensioni delle frange sono determinate da i parametri a e,nella relazione: a sen con m=1 [93] Nel caso dell apertura circolare i parametri che intervengono sono il diametro d e, perciò l equazione che definisce le dimensioni della frangia centrale risulta: sen 1, 22 [97] d Figura 62 Il fattore 1,22 deriva dal calcolo matematico d integrazione di tutte le sorgenti secondarie in cui si può suddividere l intera apertura circolare al posto dei tratti x usati nella fenditura. 78

79 2.5.4) RISOLUZIONE CRITERIO DI RAYLEIGH Fig. 63 Il fatto che le immagini fornite attraverso aperture circolari sono figure di diffrazione è importante quando si vogliono distinguere due oggetti puntiformi lontani separati da una piccola distanza angolare a (c.f.r. fig.63). La figura 64 mostra le immagini visive e le corrispondenti distribuzioni d intensità per due oggetti lontani con piccole distanze Fig.64 angolari. In a) gli oggetti non sono risolubili, cioè la figura di diffrazione non è distinguibile da quella dovuta ad un solo oggetto puntiforme. In b) essi sono appena risolubili mentre in c) sono completamente risolubili. Nella figura 64b) la distanza angolare tra le due sorgenti puntiformi è tale che il massimo della figura di diffrazione di una sorgente coincide con il primo minimo della figura di diffrazione dell altra. Questa condizione si dice criterio di Rayleigh. Utilizziamo questo criterio per ricavare la distanza angolare minima necessaria perché due oggetti siano risolubili; in base alla [97], scritta nell ipotesi che gli angoli siano piccoli, si ha: R 1, 22 d [98] 79

80 Quando si adopera una lente per distinguere oggetti con piccola distanza angolare tra loro, è importante rendere il più piccolo possibile il disco centrale della figura di diffrazione. Questo fenomeno lo si può ottenere (vedi eq.[98]) aumentando il diametro della lente oppure usando lunghezze d onda più corte. Per ridurre gli effetti della diffrazione nei microscopi, si usa la luce ultravioletta che permette, a causa della sua più corta lunghezza d onda, di esaminare più dettagli che non sarebbero distinguibili operando con lo stesso microscopio con luce visibile. Nel microscopio elettronico i fasci di elettroni 6 utilizzati al posto della luce possono avere una lunghezza d onda efficace di 4 pm cioè dell ordine di 10 5 volte più corta di quella della luce visibile, e questo permette di esaminare in dettaglio oggetti piccoli come i virus. Se si osservasse un virus con il miglior microscopio ottico la sua struttura non sarebbe distinguibile a causa della diffrazione. ESEMPIO 29 Risoluzione dell occhio umano. Il diametro della pupilla di un occhio normale, di giorno, ha una dimensione di 5.00 mm. Considerando il valore medio della lunghezza d onda della luce visibile =550 nm, si vuol determinare qual è la distanza minima di due oggetti puntiformi che permetta di risolverli a 100 m di distanza dalla pupilla. Dati: d=5, m; = m; L=100 m. Usando l equazione [98] si ha che l angolo limite per i raggi provenienti dalle due sorgenti (fig.65) deve essere: R ,22 1,22 d 5, , rad se gli oggetti sono distanti tra loro y e sono lontani dalla pupilla L=100 m essi saranno distinti, secondo il criterio di Rayleigh se y tan R y Ltan R L ed essendo l angolo piccolo si può scrivere: 4 2 y L R 100 1, ,34 10 m 1, 34cm 6 Vedremo in meccanica quantistica che in certe condizioni gli elettroni si comportano come onde. 80

81 ESEMPIO 30 Limiti alla risoluzione dovuti alla morfologia dell occhio. Sappiamo che la distanza tra i recettori (coni) sulla Fig.65 retina è dell ordine di 1mm nella fovea centralis, dove queste cellule sensibili al colore sono più dense, e da 3 a 5 mm fuori da questa regione. Verificare se la risoluzione degli oggetti analizzati nell esempio n.29 è limitata dal fatto che, perché siano visti come due oggetti distinti, le immagini delle sorgenti devono colpire sulla retina due coni non adiacenti. Il diametro dell occhio vale mediamente 2.5 cm. R 1, rad; L 1 2, m. Utilizzando l angolo limite trovato nell esempio precedente si considera la parte destra della fig.65 dove si vede che: y RL 1, ,5 10 3,4 10 3, 4 m 1 1 quindi nella zona centrale dove i coni non adiacenti distano 2 m gli oggetti sono distinguibili mentre nelle zone più esterne dove due coni non adiacenti distano da 6 a 8 m non lo sono ) RETICOLI DI DIFFRAZIONE. Nella parte conclusiva del cap.2.5.2) abbiamo visto che il metodo di calcolo delle frange di diffrazione prodotta da una serie di N fenditure si calcola con la stessa procedura vista per una fenditura. Infatti quando abbiamo suddiviso la singola fenditura in N tratti x, si è fatta l ipotesi che questi si comportassero come N sorgenti puntiformi cioè come N fenditure. Un reticolo di diffrazione è in generale costruito con un numero di fenditure che può essere dell ordine di Per renderci conto del fatto che l interferenza di due fenditure ha la stessa figura di diffrazione di un reticolo con più fenditure, in fig.66, sono riportate due fotografie nelle quali si vede l immagine prodotta da due fenditure nella parte a) e quella prodotta da cinque fenditure nella parte b). 81

82 Fig.66 Si vede che nella distribuzione con N=5, tra i massimi principali appaiono tre massimi secondari. Quello che non risulta chiaro è che i massimi principali per N=5 sono più stretti di quelli dovuti a N=2 (foto 66a). Ciò è dovuto al fatto la foto 66b) è stata sovraesposta per vedere i massimi secondari che sono di bassissima intensità. All aumentare del numero N i massimi principali diventano strettissimi e i massimi secondari, anche se aumentano di numero, diventano così deboli in intensità da risultare otticamente invisibili. Questo porta a parlare di spettri a righe (fig.67) ottenuti con l osservazione attraverso reticoli di diffrazione tramite spettroscopio. Figura 67- spettro a RIGHE 82

83 In fig.68 è rappresentata una parte di un reticolo a N fenditure distanziate di d (la distanza tra le fenditure viene tecnicamente chiamata passo ) e investito da una serie di raggi luminosi che vengono diffratti verso un punto P su uno schermo C non indicato in figura. L angolo di inclinazione permette di individuare la differenza di cammino ottico tra due di questi raggi ottenendo: r d sen [99] I massimi, cioè le righe dello spettro, sono ottenuti quando la differenza di cammino fino allo stesso punto è pari ad un numero intero FIG.68 di lunghezze d onda, cioè: r m [100] combinando le due equazioni si ottiene: d sen m m 0,1,2,3... [101] che permette di trovare i vari ordini (numeri m) delle righe spettrali. Molte volte viene fornito, per definire il reticolo, il numero di fenditure al cm che generalmente viene indicato con D e la formula [101] viene scritta nella forma: [102] arcsen m D 2.5.6) CENNI DI SPETTROSCOPIA. I reticoli di diffrazione sono utilizzati per misurare le lunghezze d onda della luce emessa da oggetti di cui si vuole analizzare la struttura chimica. Sappiamo che la luce è prodotta dalla transizione degli elettroni tra l orbitale in cui si trovano nello stato eccitato e gli orbitali a energia minore in cui ritornano dopo l eccitazione (fig.78, pag.92). L energia che l atomo perde quando gli elettroni scendono in orbitali meno energetici è pari a quella trasmessa sotto forma d onda e, visto che l energia è collegata anche alla lunghezza d onda 7, è possibile risalire a quali transizioni sono avvenute misurando la lunghezza d onda della luce trasmessa da queste sostanze. Ogni atomo ha una sua carta d identità spettroscopica che è legata alla sua struttura elettronica (vedi fig.67). Ricordando che i valori di energia compresi tra gli orbitali di 7 In meccanica quantistica troveremo le formule che costituiscono questi collegamenti. 83

84 tipo s, p, d ecc. sono caratteristici di un particolare elemento, le possibili transizioni sono proprio tra questi possibili livelli e di conseguenza sono teoricamente note. Quando si osserva una sostanza sconosciuta e si trova che la lunghezza d onda corrisponde all energia che si ha in uno dei salti permessi ad esempio per il sodio, allora si può dire che in quella sostanza è presente sicuramente il sodio. Procedendo in questo modo è possibile trovare tutti i componenti chimici di una sostanza. Per esempio la relazione sperimentale trovata da Balmer tra le frequenze di tutte le righe dell idrogeno nella parte visibile dello spettro è: c R 4 m 2 [103] dove R è la costante sperimentale di Rydberg che vale R =109677,58 1/cm, e m è un intero a partire da 3, cioè: m=3,4,5,6. Quindi se analizzando uno spettro risultano i valori di lunghezza d onda che soddisfano l equazione [103] siamo sicuri che l atomo che ha emesso quella luce è l idrogeno. Per determinare in labora-torio le lunghezze d onda si usano spettroscopi a reticolo; Fig. 69 in fig.69 è disegnato lo schema di funzionamento di un semplice spettroscopio a reticolo, utilizzato per osservare lo spettro di una sorgente luminosa che può essere per esempio una lampada ad idrogeno, di conseguenza ci si aspetta di trovare le righe Fig.70 84

85 spettrali evidenziate nella foto di fig.67. In fig.70 è invece rappresentata una figura reale dello spettroscopio schematizzato precedentemente. Ovviamente queste righe si presenteranno per particolari angoli e tramite la [101], noto il valore del passo d per il reticolo utilizzato, si possono calcolare i valori delle corrispondenti lunghezze d onda. Infatti la luce proveniente dalla sorgente S viene concentrata dalla lente L 1 sulla fenditura S 1, posta nel piano focale della lente L 2. Il fascio parallelo di luce emergente dal collimatore C arriva sul reticolo G. I raggi paralleli corrispondenti ad un particolare massimo d interferenza, che si ha ad un angolo, incidono sulla lente L 3 e vengono focalizzati sul piano F-F. L immagine che si forma su questo piano viene esaminata mediante un sistema di lenti E, che ingrandisce le immagini, detto oculare. Dalla parte opposta rispetto alla posizione centrale si forma una figura d interferenza simmetrica, come indicato dalle linee tratteggiate. Ruotando il telescopio T secondo angoli diversi si può osservare l intero spettro. In realtà gli strumenti utilizzati nei laboratori industriali sono più complessi di quello appena descritto. Essi impiegano metodi di registrazione fotografica o fotoelettrica e si dicono spettrografi, però la logica dei risultati ottenuti risponde sempre alla teoria che abbiamo esposto nei capitoli precedenti. Oltre ai reticoli a fenditure esistono anche reticoli che funzionano a interferenza. Per questi la figura di diffrazione è prodotta dallo sfasamento causato dalla differenza di cammino ottico che i raggi percorrono a seconda che colpiscano le creste o le gole del reticolo 8. L analisi spettrale della luce si può eseguire anche se al posto del reticolo G di fig. 70 si utilizza un prisma. In uno spettroscopio a prisma ciascuna lunghezza d onda viene deviata secondo un particolare angolo, determinato dall indice di rifrazione del materiale del prisma per quella lunghezza d onda. Gli strumenti a prisma sono meno precisi di quelli a reticolo perché, generalmente, il valore con cui è noto l indice di rifrazione del prisma per la lunghezza d onda in esame è definito con poche cifre significative. 8 Un reticolo di questo tipo può essere anche un comune CD in quanto la sua parte leggibile dal drive è costituita da microsolchi a profondità variabile che danno informazioni in base al fatto che producano creste chiare (1) o scure (0) quando vengono percorse dalla testina laser. 85

86 2.5.7) POTERE RISOLUTIVO DI UN RETICOLO. Per distinguere onde luminose con molto vicine, i massimi principali formati dal reticolo per queste lunghezze d onda devono essere i più stretti possibile. In altri termini il reticolo deve avere un grande potere risolutivo R, definito come: R [104] In questa definizione < > è il valore medio di due righe spettrali che possono essere risolte e è la differenza tra le loro lunghezze d onda. Tanto più piccolo è e tanto più vicine sono le righe che possono essere risolte; quindi tanto più grande è il potere risolutivo del reticolo. Applicando il criterio di Rayleigh si può dimostrare che per un reticolo vale la relazione: R Nm [105] dove N è il numero totale di fenditure presenti nel reticolo e m il numero d ordine dello spettro. Combinando la [104] con la [105] si ottiene: R Nm [106] che è la relazione cercata, essa collega i dati del reticolo alla possibilità di risolvere due righe. 2.6 INTENSITA DI UN ONDA ELETTROMAGNETICA Rivediamo brevemente alcuni concetti utilizzati per le onde meccaniche. - Densità di energia D: Definiamo la densità di energia, per ogni tipo d onda, come l energia contenuta in un volume n-dimensionale. Quindi per un onda su una corda, che è monodimensionale, la densità di energia sarà misurata in J/m; per le onde sulla superficie dell acqua, che sono bidimensionali, l unità di misura di D sarà J/m 2, mentre per le onde acustiche ed elettromagnetiche, che sono tridimensionali, sarà in J/m 3. - Intensità di un onda I: Definiamo come intensità l energia che attraversa, nell unità di tempo, un unità di area perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda. Dobbiamo di nuovo fare attenzione nel precisare il concetto di area, che dipenderà dal tipo di onda in esame. Per le onde su una corda non c è alcuna area; l intensità è l energia che passa attraverso un punto della corda nell unità di tempo. Per le onde sull acqua l intensità è l energia che passa attraverso una linea di 86

87 lunghezza unitaria nell unità di tempo. Per le onde tridimensionali l intensità è l energia che passa per unità di tempo attraverso un area unitaria, perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda. In generale è molto difficile calcolare la densità di energia in un onda di forma qualsiasi. Però, per un onda armonica, la densità di energia media D è sempre proporzionale al quadrato dell ampiezza A: D E Vol 2 ba [107] dove il coefficiente b è diverso per ogni tipo di onda e può dipendere dalla lunghezza d onda, mentre < E> è l energia media contenuta nel volume, V ol,considerato. Per densità di energia media s intende la densità media su una regione delle dimensioni di una lunghezza d onda. L intensità è, per definizione, la quantità: I E [108] S t Fig. 71 Dato che la potenza è definita come: E W t la [108] può anche essere scritta nella forma: W I [109] S Possiamo ottenere altre forme della [108], infatti, dalla [107] si ha anche: 2 E DVol ba Vol [110] Per trovare l energia che fa a tempo ad attraversare la sezione S nell intervallo Dt, calcoliamo: sostituendo nella [110] si ottiene: x c t Vol Sx Sc t 2 E DSc t ba Sc t [111] 87

88 che inserita nella [108], nel primo caso, dà: DSc t I Dc [112] S t Mentre se si usa l ultima parte della [110] otteniamo: 2 I b A c [113] Le [108],[109],[112] e [113] sono tutte forme diverse della definizione d intensità di un onda. Ricordiamo che le funzioni d onda, che descrivono l evolversi nello spazio del campo elettrico e di quello magnetico, sono: E z = E max sen(kx ωt) [60] B y = B max s en(kx ωt) [61] Per esse i valori di b trovati valgono rispettivamente: b z = 1 2 ε 0 ; b y = 1 2μ 0 [114] Ne segue che relative densità di energia sono: D z = 1 2 ε 2 0E max e D y = 1 2 B 2μ max 0 La densità totale di energia dell onda risulta: Ricordando la D = D z + D y = 1 2 ε 2 0E max B 2μ max [115] 0 E max B max = c Che per la [62] c = 1 μ 0 ε 0 [69] la [115] diventa: D = 1 2 ε 2 0E max + 1 2μ 0 c 2 E 2 max diventa: D = ε 0 E max 2 = B max 2 μ 0 [116] 88

89 La [116] determina il valore massimo della densità di energia. Essendo le onde elettromagnetiche sinusoidali è più utile la densità media di energia calcolata considerando i valori efficaci delle ampiezze dei campi: E 0 = E max 2 La densità media risulta quindi: e < D >= ε 0 E 0 2 = B o 2 B 0 = B max 2 μ 0 [118] Combinando le [109], [112] e [118] si ottiene per l intensità: E per le onde sferiche: ESEMPIO N.31 I = W S = cε 0E 0 2 = c B o 2 μ 0 [119] I = W 4πr 2 = cε 0E 2 0 = c B o [120] μ 0 2 [117] Una lampadina di potenza 100 W illumina una superficie che si trova ad una distanza di 3.00 m dalla sua posizione. Calcola l intensità dell onda diretta, le ampiezze efficaci del campo elettrico e dell induzione magnetica. Assumi che il 5% della potenza elettrica dissipata nel filamento venga trasformata in luce. Dati: W = 100 W, r = 3.00 m; 0 = C 2 /Nm 2 ; 0 = N/A 2 ; c= m/s. L intensità risulta: I = 0.05W 4πr 2 Le due ampiezze si ricavano dalla [120]: = W/m2 E 0 = I cε o = 4.00 N C B o = μ 0I c = T 89

90 2.7 ) POLARIZZAZIONE Le onde armoniche descritte fino a questo momento sono state rappresentate con le oscillazioni giacenti tutte sullo stesso piano, ad esempio quella rappresentata in Figura 72 - onda polarizzata linearmente lungo l'asse z Figura 73 - onda polarizzata su un piano formante 60 con y figura 72 è polarizzata con il campo elettrico parallelo all asse z mentre quella in figura 73 è ancora polarizzata, ma con il campo Figura 74 onda non polarizzata in un dato punto x. elettrico che oscilla su un piano inclinato di 60 rispetto alla direzione dell asse y. In generale le onde elettromagnetiche non sono polarizzate e l orientamento istantaneo del vettore di campo è casuale come rappresentato in fig.74. Un materiale che assorbe tutte le onde che non siano polarizzate su un piano specifico si chiama polarizzatore. Detta I N l intensità dell onda non polarizzata l intensità I 0 dopo il polarizzatore sarà : I0=IN/2 Esso è composto, ad esempio, da molecole lunghe e sottili, che permettono lo spostamento di elettroni solo lungo una direzione (parallela al lato lungo delle molecole). Conseguenza: - Assorbono le onde che hanno la direzione del campo E parallelo alle molecole - Trasmettono le onde che hanno direzione del campo E perpendicolare alle molecole Legge di Malus Un onda già polarizzata linearmente, passante in un polarizzatore che abbia il piano di polarizzazione che forma un angolo θ con la direzione di polarizzazione dell onda, viene trasmessa con intensità: I = I 0 cos 2 (θ) [121] Di conseguenza il fascio di luce trasmessa è polarizzato nella direzione del polarizzatore (fig.75). 90

91 pertanto si ha: Se θ = 0 ο 180 Ι = Ι 0 Se θ = 90 ο 270 Ι = 0 Figura 75 - polarizzatore e suo funzionamento Figura 76 - Dispositivo polarizzatore analizzatore Spesso nelle analisi si utilizzano polarizzatori accoppiati. Il primo dei due continua ad essere definito polarizzatore il secondo analizzatore. La procedura risulta (fig.76): - Si polarizza un fascio con un filtro polarizzatore; - La luce polarizzata, passa attraverso un secondo filtro polarizzatore (chiamato analizzatore). ESEMPIO N.32 Nell esperimento di polarizzazione mostrato in figura 76, l intensità del fascio è dopo il polarizzatore I 1 =0.500I 0 e dopo l analizzatore I 2 =0.200I 0. Determinare l angolo compreso tra l asse di trasmissione dello analizzatore e quello del polarizzatore. Dati: I 1 =0.500I 0 ; I 2 =0.200I 0 La legge di Malus per la seconda polarizzazione risulta: I 2 = I 1 cos 2 (θ) Da cui: θ = arcos ( I 2 I 1 ) = 50.8 ESEMPIO N.33 Ti trovi in piedi a 1.5 m di distanza da una lampadina di 150 W. 1). Se la pupilla del tuo occhio è un cerchio di 5.0 mm di diametro, quanta energia luminosa entra in essa ogni secondo? (Assumi che il 5% della potenza della lampadina sia convertito in luce) 2. Ripeti il punto (1) per un raggio laser di 1.0 mm di diametro con una potenza di 0.50 mw (n.b. questa è già la potenza della luce laser). Dati: r=1.5 m; W = 150 W; d=5.0 mm ; %= 5%; d l =1.0 mm; W L = 0.50 mw; Dt=1s 1) la potenza effettiva della luce risulta: W 1 = ηw = 7.5W L intensità che arriva alla pupilla è: 91