DOTTORATO DI RICERCA IN MATEMATICA E INFORMATICA UNIVERSITÀ DELLA BASILICATA E DEL SALENTO XXXIV CICLO PROVA SCRITTA
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- Maria Teresa Salerno
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1 DOTTORATO DI RICERCA IN MATEMATICA E INFORMATICA UNIVERSITÀ DELLA BASILICATA E DEL SALENTO XXXIV CICLO PROVA SCRITTA Si scelga tra la parte Matematica e quella Informatica. Tempo a disposizione: 4 ore MATEMATICA Il candidato svolga una tra le seguenti dissertazioni, illustrando sinteticamente i concetti e dimostrando almeno un risultato significativo. 1. Teoremi di esistenza e unicità per equazioni differenziali. 2. Forme differenziali. 3. Campi finiti. 4. Simmetrie -e loro rotture- nelle meccaniche (e.g. analitica, statistica, etc.). 5. Si consideri una moltitudine statistica di N molle identiche, indipendenti, ognuna di massa M i M, i = (1,..., N), di costante elastica K i K, i = (1,..., N), e di lunghezza a riposo nulla, immerse in un bagno termico a temperatura T. Queste sono stabilmente allungate rispetto alle loro posizioni di equilibrio, per una certa lunghezza x i = x ± ɛ i piccola e simile ma non identica per ogni molla (tale incertezza sulla precisa deformazione i-esima rispetto ad x è racchiusa negli ɛ i, numeri casuali estratti da una distribuzione uniforme in { x/2, + x/2}). Ognuna di queste molle incamera quindi un energia (potenziale) E i = 1 2 K x2 i ed è definibile l energia media del sistema. Ricordandoci che la configurazione di equilibrio termodinamico (forzato) di queste molle, cioè la configurazione di massima entropia, è data dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann ρ(x) e E(x)/T, si legga questa legge legando il Teorema del Limite Centrale in Probabilità alla linearità delle forze nella Meccanica, commentando opportunamente (ma stringatamente). 1
2 6. L Equazione di Fourier: derivazione (euristica) microscopica, derivazione (euristica) macroscopia, soluzione (comunque semplice, e.g. partendo da una delta) e coerenza del quadro totale che ne emerge. 7. Operatori unitari di spazi euclidei e di spazi hermitiani. 8. Forme quadratiche. Il candidato risolva un massimo di quattro esercizi. Algebra e geometria Esercizio 1. Si consideri il gruppo additivo degli interi di Gauss Z[i] e N il suo sottogruppo generato da 1 i. (1) Dimostrare che il gruppo G := Z[i]/N è isomorfo a Z. (2) Dimostrare che ogni sottogruppo di G è ciclico. (3) Determinare un generatore per ogni sottogruppo di G. Esercizio 2. Siano F 3 il campo di 3 elementi, f := x 4 + x 3 + x 2 1 F 3 [x] e J := (f). Posto A := F 3 [x]/j, (1) provare che A non è un campo; (2) determinare gli elementi nilpotenti di A; (3) provare che x è invertibile; (4) elencare tutti gli ideali di A. Esercizio 3. Provare che ogni cubica piana reale non-singolare ha una retta di simmetria. Esercizio 4. Nel piano reale, sia data la curve C di equazione 4(1 xy)(y 2 1) (x y) 2 = 0. Studiare C (i punti singolari e loro natura, simmetrie, asintoti, grafico) e determinare una sua rappresentazione parametrica razionale. Esercizio 5. Siano A, B matrici quadrate di ordine n a coefficienti in un campo K ed I la matrice identica dello stesso ordine n. Provare che se K ha caratteristica 0, allora AB BA = I non è possibile. Si estende questo risultato al caso di caratteristica positiva? Giustificare la risposta. 2
3 Analisi matematica e probabilità Esercizio 1. Stabilire per quali valori α 1, α 2,..., α n > 1, γ R il seguente integrale x 1 α1 x n αn risulta convergente. Esercizio 2. Sia { x i 1 i=1,...,n} F (x) = + 0 x γ dx 1... dx n e t t e x2 4t dt. (i) Trovare il dominio di F, dimostrare che F è continua, calcolare F (0). (ii) Dimostrare che F è derivabile in R \ {0}. (iii) Dedurre un equazione differenziale lineare del primo ordine per F ]0,+ [ e da questa ottenere per F una forma in cui non compaiono integrali. Esercizio 3. Sia f : R R soddisfacente le seguenti proprietà (i) f continua in 1; (ii) f(1) = 1; (iii) f(x 2 ) = xf(x) x R. Dedurre altre proprietà soddisfatte da f, provare che esiste un unica funzione che verifichi (i), (ii) e (iii) e cercare di determinarla. Esercizio 4. Andrea entra in un bar dove ritrova un suo vecchio amico, Antonio (che in realtà nel mentre è diventato un baro professionista), il quale lo sfida a giocarsi la colazione ad un dato gioco d azzardo binario (e.g. testa o croce). Andrea non sospetta minimamente la malafede di Antonio e così accetta, e perde. Il secondo giorno lo stesso fenomeno si ripresenta e così via giorno dopo giorno i due giocano, Andrea perde. Impostando un approccio Bayesiano alla descrizione del gioco, si assuma per semplicità che Andrea vinca con probabilità equa (cioè, in ogni partita, vinca 3
4 o perda con probabilità un mezzo) mentre Antonio vinca sempre con probabilità 1, in ogni partita. Si assuma inoltre che Andrea prima della prima partita (come condizione aprioristica) creda onesto Antonio al 95% (cioè che Andrea si fidi molto, inizialmente, dell amico, attribuendogli una probabilità a priori che sia un baro pari al 5%). Stimare dopo quanti giorni Andrea inizia a pensare che, con probabilità almeno del 70%, Antonio sia invece un baro. Esercizio 5. Si lancino due monete non truccate, una bianco ed una rosso. Si considerino i tre eventi: A = sulla moneta bianca esce testa. B = sulla moneta rossa esce croce. C = le due facce delle due monete (quella sulla moneta bianca e quella sulla moneta rossa) sono uguali (sono cioè entrambe testa o entrambe croce). Si risponda alle seguenti domande: gli eventi A e B sono indipendenti? gli eventi A e C sono indipendenti? gli eventi B e C sono indipendenti? gli eventi A, B e C sono indipendenti? Fisica Matematica Esercizio 1. Due pendoli, di lunghezza L 1 ed L 2 e massa m 1 ed m 2 rispettivamente, sono collegati da una molla di costante elastica K, la cui lunghezza a riposo coincide proprio con la distanza tra i perni del telaio dei due pendoli d = AB (come abbozzato in Figura 1) e sono sottoposti alla forza del campo gravitazionale (che si esercita lungo l asse Y nella figura). Il punto Q nella figura è il punto in cui la molla si attacca al primo pendolo ed è tale che AQ = L 2. Si provi, dopo aver scritto e risolto le equazioni di Lagrange per questo sistema dinamico, che la configurazione di minima energia corrispondente ai 4
5 Figura 1: rappresentazione stilizzata del sistema dinamico composto dai due pendoli, legati da una molla. pendoli in verticale (cioè paralleli all asse Y ) sia un punto di equilibrio stabile e si scriva la Lagrangiana associata alle piccole oscillazioni attorno a tale minimo. INFORMATICA Il candidato scelga una delle seguenti tematiche e dopo averne data una adeguata introduzione, illustri lo stato dell arte in termini di avanzamento della conoscenza e di novità degli apporti più significativi. 1. Basi di dati e Sistemi Informativi Intelligenti 2. Ingegneria del Software 3. Algoritmi e Strutture Dati 4. Grafica e Visualizzazione Scientifica 5
6 5. Reti e Sistemi Distribuiti Il candidato risolva un massimo di quattro esercizi. Esercizio 1. Descrivere le strutture dati stack, code e liste concatenate illustrando le operazioni possibili su ognuna. Esercizio 2. Descrivere un algoritmo di ordinamento in tempo lineare. Esercizio 3. Descrivere le nozioni di classe, oggetto e riferimento nei linguaggi orientati agli oggetti. Esercizio 4. Descrivere il funzionamento del protocollo TCP. Esercizio 5. Descrivere il funzionamento delle trasformazioni nella grafica 3D. 6
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