CINEMATICA UNIDIMENSIONALE

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1 CINEMATICA UNIDIMENSIONALE CdL Farmacia Corso (A - E) A.A. 2015/16 1 Prof.ssa Silvia Rainò Dipartimento di Fisica - Università di Bari silvia.raino@ba.infn.it silvia.raino@uniba.it Pagina web: Ufficio: Dipartimento di Fisica, R

2 MECCANICA Cosa è la meccanica? La MECCANICA tratta lo STUDIO DEL MOTO DI UN CORPO e delle CAUSE che lo DETERMINANO. Tradizionalmente suddivisa in: CINEMATICA DINAMICA STATICA 2 Cinematica unidimensionale

3 MECCANICA La CINEMATICA è quel ramo della meccanica che si occupa di descrivere quantitativamente il moto dei corpi, indipendentemente dalle cause del moto La DINAMICA è il ramo della meccanica che si occupa dello studio delle cause del moto dei corpi o, in altri termini, delle circostanze che lo determinano e lo modificano. La STATICA è quel ramo della meccanica che si occupa dello studio delle condizioni di equilibrio 3 Cinematica unidimensionale

4 CINEMATICA La CINEMATICA è quel ramo della meccanica che si occupa di descrivere quantitativamente il moto dei corpi, indipendentemente dalle cause del moto Ricordiamo l esempio usato per introdurre il concetto di velocità nella prima lezione: MOTO DELLA BICICLETTA Possiamo partire da questo??? NO! E troppo complicato! Corpo esteso, non omogeneo, più dimensioni coinvolte, rotazione + traslazione, 4 Cinematica unidimensionale

5 CINEMATICA Introduciamo un prima approssimazione per semplificare le cose Approssimazione di PUNTO MATERIALE Consideriamo gli oggetti puntiformi: quindi possono solo TRASLARE e non RUOTARE Inoltre, iniziamo consideriamo solo moti che si svolgono in un unica dimensione (ma non necessariamente su una retta): Moto unidimensionale Cinematica unidimensionale 5

6 CINEMATICA UNIDIMENSIONALE Sistemi di riferimento Moto unidimensionale Diagramma orario ed equazione oraria Velocità ed accelerazione, medie ed istantanee Moto (rettilineo) uniforme e moto (rettilineo) uniformemente accelerato 6 Cinematica unidimensionale

7 Posizione, distanza e spostamento Il primo passo nella descrizione del moto di una particella consiste nello stabilire un sistema di coordinate che definiscono la sua posizione. Cinematica unidimensionale

8 Posizione, distanza e spostamento Lo spostamento è il cambiamento di posizione. Se vai da casa tua alla drogheria e poi vai a casa del tuo amico, il tuo spostamento è di 2,1 km ma la distanza percorsa è di 10,7 km. La posizione della tua casa, di quella del tuo amico e della drogheria costituiscono un sistema di coordinate unidimensionali. Cinematica unidimensionale

9 SISTEMA DI RIFERIMENTO Costituito da tra assi orientati perpendicolari tra loro, graduati con una unità di misura, che si intersecano nell origine 9 Cinematica unidimensionale

10 TRAIETTORIA Traiettoria: successione delle posizioni occupate dal punto materiale lungo il moto F(x,y,z)=0 10 Cinematica unidimensionale

11 TRAIETTORIA Fissiamo un verso di percorrenza sulla traiettoria B Verso Negativo A Origine O Verso Positivo Il punto A sulla traiettoria viene individuato da +OA Il punto B sulla traiettoria viene individuato da -OB Da adesso, concentriamoci per semplicità su moti che avvengono in linea retta (moti rettilinei) Quanto sarà detto vale anche per moti curvilinei unidimensionali, a patto di descriverli con una coordinata curvilinea 11 Cinematica unidimensionale

12 12 Cinematica unidimensionale

13 TABELLA ORARIA E DIAGRAMMA ORARIO Studiamo come varia la posizione [m] del punto materiale nel sistema di riferimento in funzione della grandezza fondamentale: tempo [s]. Tempo (s) t 0 x 0 Posizione (m) x 1 x (m) Equazione Oraria: x=x(t) t 1 x 1 t 2 x 2 t 3 x 3 t (s) t 1 13 Cinematica unidimensionale

14 Consideriamo tre corpi che si muovono in linea retta, con la seguente tabella oraria. Tempo (s) Posizione corpo 1 (m) Posizione corpo 2 (m) Posizione corpo 3 (m) Cinematica unidimensionale

15 Posizione - x (m) VELOCITÀ Rappresentazione grafica sul diagramma orario Tempo (s) Corpo 1 (m) Corpo 2 (m) Corpo 3 (m) Tempo - t (sec) 15 Cinematica unidimensionale

16 VELOCITÀ SCALARE MEDIA Fissiamo l attenzione all istante t = 10 sec. Il corpo 1 ha percorso 10 metri; Il corpo 2 ha percorso 30 metri; Il corpo 3 ha percorso 40 metri. Il corpo 3 cambia posizione più rapidamente del corpo 2 e del corpo 1. Tempo (s) Posizione corpo 1 (m) Posizione corpo 2 (m) Posizione corpo 3 (m) Osserviamo che il valore spostamento/tempo per il corpo 3 è maggiore che per i corpi 1 e 2 Definiamo la velocità scalare media di un corpo il rapporto tra lunghezza del percorso compiuto e tempo impiegato a percorrerlo. 16 Cinematica unidimensionale

17 Velocità scalare media velocità scalare media = distanza / tempo impiegato La velocità scalare media dell automobile rossa è uguale a 40 km/h, maggiore di 40 km/h o minore di 40 km/h?

18 VELOCITÀ MEDIA La velocità media tra due istanti t 2 e t 1 si calcola come: v = (x 2 x 1 )/(t 2 t 1 ) = Δx/Δt ove Δx=x 2 -x 1 indica lo spostamento Unità di misura: m/s [L T -1 ], essendo un rapporto spazio/tempo Tempo (s) Posizione corpo 1 (m) Posizione corpo 2 (m) Posizione corpo 3 (m) Esaminiamo ora il significato della velocità media da un punto di vista grafico Consideriamo, ad esempio, Il corpo Cinematica unidimensionale 18

19 Posizione [m] VELOCITÀ MEDIA Per il corpo 2, il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato è costante e la rappresentazione sul diagramma orario è una retta. All istante t 2 = 10 s: x 2 = 30 m All istante t 1 = 0 s: x 1 = 0 m Velocità media tra 0 e 10 s: v = (30-0) m/(10-0) s = 3 m/s 30 Tempo (s) Posizione corpo 2 (m) Cinematica unidimensionale α 10 In generale, per questo corpo: x = v t Con: v = coefficiente angolare della retta passante per x 1 ed x 2 Tempo (s) 19

20 Posizione [m] VELOCITÀ MEDIA Se all istante t = 0 il corpo invece non si trova nell origine (in x = 0) si hanno tabella e diagramma seguenti: x 2 α Tempo (s) Posizione corpo 2 (m) x 0 Tempo (s) 0 3 t In generale, per questo corpo : x = v t + x 0 Con: v = coefficiente angolare della retta x 0 = intercetta (posizione a t = 0) 20 Cinematica unidimensionale

21 Posizione [m] VELOCITÀ MEDIA Nel caso in figura, molto più generale, il corpo non percorre la stessa distanza in stessi intervalli di tempo: x 2 Q x 1 P a Tempo (s) t 1 v = Δx/Δt = (x 2 x 1 )/(t 2 t 1 ) > 0 t 2 21 Cinematica unidimensionale

22 Posizione [m] VELOCITÀ MEDIA x 1 P x 2 Q t 2 Tempo (s) v = Δx /Δt = (x 2 x 1 )/(t 2 t 1 ) v (e < 0!) t 1 La velocità media dipende dai punti P e Q considerati 22 Cinematica unidimensionale

23 Velocità media velocità media = spostamento / tempo impiegato Se torni al punto di partenza la tua velocità media è uguale a zero

24 VELOCITÀ ISTANTANEA Tempo (s) Posizione corpo 4 (m) Calcoliamo la velocità del corpo 4, in vari intervalli di tempo: t (sec) Nei primi 5 sec Nell intervallo 5-10 sec Nell intervallo sec v 0,5 = (32-0) m/(5-0) s = 6.4 m/s v 5,10 = (48-32) m/(10-5) s = 3.2 m/s v 0,15 = (56-48) m/(15-10) s = 1.6 m/s Anche in questo caso il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato NON è costante e la rappresentazione NON è una retta. 24 Cinematica unidimensionale

25 VELOCITÀ ISTANTANEA La velocità media tra due istanti t 2 e t 1 si calcola come: v = (x 2 x 1 ) / (t 2 t 1 ) Per avere una stima più precisa della velocità del corpo nell istante t 1 è necessario invece considerare un piccolo intervallo di tempo vicino a t 1, cioè: t 2 t 1 (e quindi Δt 0) Considerare intervalli di tempo molto piccoli (t 2 t 1 ) equivale a considerare la retta tangente alla curva nel punto di ascissa t 1 (non più la secante tra i due punti) 25 Cinematica unidimensionale

26 Posizione [m] VELOCITÀ ISTANTANEA x 2 Q P a x 1 Tempo (s) t 1 v = Δx/Δt velocità media Coefficiente angolare della retta passante per P e Q t 2 26 Cinematica unidimensionale

27 Posizione [m] VELOCITÀ ISTANTANEA Q Q Q Q P a Tempo (s) La velocità istantanea nel punto P è il valore della tangente alla curva passante per P 27 Cinematica unidimensionale

28 Velocità istantanea Definizione: (4) La velocità istantanea, quindi, è la velocità media calcolata su intervalli di temposempre più piccoli, al limite tendenti a zero. Cinematica unidimensionale

29 Velocità istantanea Interpretazione grafica della velocità media e istantanea Cinematica unidimensionale

30 ACCELERAZIONE MEDIA Unità di misura: m/s 2 [L T -2 ], essendo un rapporto velocità/tempo La definizione è la stessa che per v MEDIA, ma utilizzando il rapporto velocità/tempo invece che spostamento/tempo Utile la rappresentazione nel diagramma v-t, dove a è la pendenza della retta secante i due punti di ascissa t 1 e t 2 (come la velocità lo era per il diagramma s-t) 30 Cinematica unidimensionale

31 ACCELERAZIONE ISTANTANEA 31 Cinematica unidimensionale

32 Accelerazione Interpretazione grafica dell accelerazione media e istantanea

33 Accelerazione Non bisogna confondere l accelerazione (aumento della velocità) e la decelerazione (diminuzione della velocità) con le direzioni della velocità e dell accelerazione.

34 VELOCITA E ACCELERAZIONE Ricapitoliamo le definizioni: Velocità media: v = (x 2 x 1 ) / (t 2 t 1 ) Accelerazione media: a = (v 2 v 1 ) / (t 2 t 1 ) Velocità ed accelerazioni istantanee di ottengono per: t 2 t Cinematica unidimensionale

35 35 Cinematica unidimensionale

36 MOTO UNIFORME Caratteristica fondamentale del moto uniforme: Velocità istantanea v = costante Possiamo anche scrivere: v 2 = v 1 = v = costante Ed è costante, ovviamente, anche la velocità media 36 Cinematica unidimensionale

37 MOTO UNIFORME Poiché è sempre v 2 = v 1, l accelerazione è sempre nulla: a = (v 2 v 1 )/(t 2 t 1 ) = 0 Ricordiamo la definizione di v: v = (x 2 x 1 )/(t 2 t 1 ) Consideriamo l istante iniziale del moto t 0 ed un generico istante di tempo t v = (x x 0 )/(t t 0 ) x = x 0 + v(t t 0 ) Legge oraria del moto 37 Cinematica unidimensionale

38 Posizione [m] Velocità [m/s] MOTO UNIFORME Diagramma orario Diagramma v - t α v = tg(α) v x 0 Tempo (s) Tempo (s) a = 0 v = costante x = x 0 + v(t t 0 ) Se il moto comincia a t 0 = 0 (come nell esempio): x = x 0 + vt 38 Cinematica unidimensionale

39 MOTO UNIFORME Nel caso, generale, di una traiettoria curvilinea: Origine O Al generico istante t: x = x 0 + v(t t 0 ) x 0 al tempo t 0 (inizia il moto) 39 Cinematica unidimensionale

40 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Caratteristica generale del moto: Accelerazione istantanea a = costante (ed uguale all accelerazione media) Tra un generico istante t e l istante iniziale t 0 : a = (v v 0 ) / (t t 0 ) v = v 0 + a(t t 0 ) Per comodità poniamo t 0 = 0: v = v 0 +a(t t 0 ) v = v 0 + at Calcoliamo lo spazio percorso dopo un breve tempo t: x = x 0 +v MEDIA t ; con v MEDIA = (v + v 0 )/2 x = x 0 +(v+v 0 )t/2= x 0 +(v 0 +at+v 0 )t/2 = x 0 + v 0 t + at 2 /2 Legge oraria del moto, fornisce la posizione x in funzione del tempo t Cinematica unidimensionale 40

41 MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Legame tra velocità, spostamento ed accelerazione Dalla equazione: v = v 0 + at Ricaviamo il tempo t: t = (v v 0 )/a Sostituiamolo nella legge oraria: x = x 0 + v 0 t + at 2 /2 x = x 0 + v 0 (v v 0 )/a + a [(v v 0 )/a] 2 /2 x = x 0 + vv 0 /a v 02 /a + v 2 /2a vv 0 /a + v 02 /2a x = x 0 + v 2 /2a v 02 /2a v 2 v 0 2 = 2aΔx Equazione di grande utilità quando non conosciamo e non ci viene richiesto di trovare il tempo t 41 Cinematica unidimensionale

42 Posizione [m] Velocità [m/s] MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO Diagramma orario Diagramma v - t x 0 Ramo di parabola v 0 α a = tg(α) Tempo (s) Tempo (s) Se il moto comincia a t 0 = 0 (come nell esempio): a = costante v = v 0 + at x = x 0 + vt + at 2 /2 v 2 v 0 2 = 2aΔx 42 Cinematica unidimensionale

43 RIASSUMENDO Moto uniforme : v(t) = v 0 in ogni istante t velocità costante v = v 0 a = 0 x = x 0 + vt Moto uniformemente accelerato : a(t) = a in ogni istante t accelerazione costante v = v 0 + at x = x 0 + v 0 t + ½ a t 2 v 2 v 0 2 = 2aΔx 43 Cinematica unidimensionale

44 ESERCITAZIONI DI CINEMATICA UNIDIMENSIONALE

45 LA RISOLUZIONE DEI PROBLEMI IN FISICA Non esistono ricette sempre valide, ma ci sono alcune linee-guida: 1. leggere il problema con attenzione 2. fare un disegno schematico del sistema 3. visualizzare il processo fisico 4. costruire una strategia 5. identificare le equazioni appropriate 6. risolvere le equazioni 7. verificare la risposta 8. esplorare i casi limite o i casi particolari.

46 PROBLEMA 1 Una persona si allontana da casa camminando a velocità costante per circa mezz ora lungo una strada rettilinea. Dopo aver percorso 2 km, si ferma per un ora e quindi ritorna verso casa camminando più lentamente di prima. Disegnare il grafico che rappresenta la distanza da casa (in chilometri) in funzione del tempo (in ore) 46 Esercizi

47 PROBLEMA 1 Una persona si allontana da casa camminando a velocità costante per circa mezz ora lungo una strada rettilinea. Dopo aver percorso 2 km, si ferma... Dopo aver percorso 2 km, si ferma per un ora 47 Esercizi

48 PROBLEMA 1 Dopo aver percorso 2 km, si ferma per un ora e quindi ritorna verso casa camminando più lentamente di prima. 48 Esercizi

49 PROBLEMA 2 Su una strada di montagna un autovettura viaggia per 1 ora alla velocità media di 40 km/h e per 2 ore alla velocità media di 60 km/h. Determinare : a) Lunghezza del percorso complessivamente compiuto; b) Velocità media a) 160 Km b) 53.3 Km/h 49 Esercizi

50 PROBLEMA 2 Dati del problema: t 1 = 1h, v 1 = 40 km/h t 2 = 2h, v 2 = 60 km/h Soluzione: Percorso totale: x 1 = v 1 t 1 = 40 km/h 1 h = 40 km x 2 = v 2 t 2 = 60 km/h 2 h = 120 km x tot = x 1 + x 2 = 40 km km= 160 km Velocità media sull intero percorso: v media = x tot /t tot = 160 km/3h = 53.3 km/h 50 Esercizi

51 PROBLEMA 3 Quanto impiegava un aereo a reazione supersonico, che volava ad una velocità pari a 2.4 volte quella del suono, per attraversare l Atlantico (circa 5500 km)? Si supponga che la velocità del suono sia pari a 350 m/s. Supponendo che si impieghino 2 h sia alla partenza che all arrivo per consegnare o riprendere i bagagli, qual è la velocità media per il tragitto tra la località di partenza e quella di arrivo per l aereo supersonico? a) 109 min b) 945 km/h 51 Esercizi

52 PROBLEMA 3 v suono = 350 m/s v aereo = 2.4*v suono = 2.4*350 m/s = 840 m/s d = 5500 km = km = m = m Ricordando che per il moto uniforme lo spazio percorso si ottiene da d=v t, invertendo la relazione: t viaggio = d/v aereo = m 6548 s 109 min 840 m/s t bagagli = 2h 2 = 4h = s = 14400s t tot = t bagagli + t viaggio = s s = s v media = d/t tot = m / s = 263 m/s 52 Esercizi

53 PROBLEMA 4 Esercizi Due automobili A e B percorrono lo stesso rettilineo nei due modi seguenti: A al tempo t = 0 h è nella posizione s = 2.4 km e si sta muovendo con una velocità costante v A = 40 km/h. B al tempo t = 0.5 h è nella posizione s = 0 km e si sta muovendo con una velocità costante v B = 70 km/h C è un sorpasso? In caso affermativo, chi sorpassa chi? In quale istante? In quale posizione avviene il sorpasso? B sorpassa A x = 52.4 km t = 1.25 h 53

54 PROBLEMA 4 Diagramma orario dei due moti s (km) A O B t* 1.5 t (h) 54 Esercizi

55 PROBLEMA 4 Leggi orarie del moto rettilineo uniforme delle auto: s A = s 0A + v A (t t 0A ) s B = s 0B + v B (t t 0B ) v A = 40 km/h v B = 70 km/h Condizioni iniziali: t 0A = 0 h s 0A = 2.4 Km t 0B = 0.5 h s 0B = 0 km 55 Esercizi

56 PROBLEMA 4 t = t 0A = 0 O B 2.4Km A v A s t = t 0B = 0.5 h O B v B A v A s 56 Esercizi

57 PROBLEMA 4 Il sorpasso avviene quando le due auto si trovano nella stessa posizione: s A (t*) = s B (t*) avendo indicato con t* l istante in cui avviene il sorpasso s 0A + v A (t* t 0A ) = s 0B + v B (t* t 0B ) t 0A =0 s 0B =0 s 0A + v A t* = v B (t* t 0B ) 57 Esercizi

58 PROBLEMA 4 Allora l istante in cui avviene il sorpasso è: t v t s v v km h 2.4km h km B 0B 0A * 1.25h B A h La posizione in cui avviene il sorpasso può essere determinata calcolando s A (t*) o equivalentemente s B (t*), dall equazione del moto di A (o di B): s A (t*) = s 0A + v A t* = = 2.4 km + 40 km/h 1.25 h = 52.4 km 58 Esercizi

59 PROBLEMA 5 Un automobile parte da ferma con una accelerazione costante di 8 m/s 2 : 1. A che velocità viaggia dopo 10 secondi? 2. Qual è la velocità media nell intervallo di tempo tra t = 0 s e t = 10 s? 3. Quanta strada percorre in quell intervallo di tempo? a) velocità a t = 10 s: 80 m/s; b) velocità media = 40 m/s c) strada percorsa = 400 m 59 Esercizi

60 Dati inziali: v 0 = 0 m/s a = 8 m/s 2 PROBLEMA 5 Ricordando che per il moto uniformemente accelerato, v = v 0 + a t = a t (poiché v 0 =0): v(t=10s)= 8m/s 2 10 s = 80 ms -2 s = 80 m/s La velocità media è data da v MEDIA = (v + v 0 )/2: v media = (80+0)/2 m/s = 40 m/s Lo spazio percorso è x = x 0 + v 0 t + 1/2 at 2 = 1/2 at 2 assumendo l origine del nostro sistema di riferimento coincidente con il punto di partenza dell auto, x 0 =0 x= 1/2 at 2 = m/s 2 (10s) 2 = 400 m 60 Esercizi

61 MOTO DI CADUTA LIBERA

62 Oggetti in caduta libera La caduta libera è il moto di un oggetto sottoposto solo all influenza della gravità. L accelerazione dovuta alla gravità è una costante, g ed è diretta verso il basso a = g = 9.8 m/s 2 SUPERFICIE TERRESTRE Per svolgere gli esercizi considereremo il valore approssimato g=9.8 m/s 2

63 NOTA: ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ a = g = 9.8 m/s 2 SUPERFICIE TERRESTRE Tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre sono soggetti all accelerazione di gravità, indipendentemente dalle loro caratteristiche (massa, volume, ) L accelerazione di gravità è diretta verso il centro della Terra ed ha il valore (modulo) di g = 9.8 m/s 2 Negli esercizi di cinematica/dinamica si trascura la curvatura terrestre e si assume che g sia semplicemente diretta verso il basso. 63 Cinematica bidimensionale

64 Oggetti in caduta libera Tutti i corpi in prossimità della superficie terrestre sono soggetti all accelerazione di gravità, indipendentemente dalle loro caratteristiche (massa, volume, ) Un oggetto che cade nell aria ne subisce la resistenza (e quindi la sua caduta non è libera). Nei nostri esercizi trascureremo sempre la resistenza dell aria

65 Oggetti in caduta libera Caduta libera da fermo (trascurando la resistenza dell aria)

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67 PROBLEMA 6 Determinare la profondità di un pozzo sapendo che il tempo tra l istante in cui si lascia cadere un sasso da fermo e quello in cui si ode il rumore per l urto del sasso con il fondo del pozzo è t = 4.8 s. Si trascuri la resistenza dell aria e si assumano: velocità del suono 340 m/s accelerazione di gravità 9.8 m/s 2 h = 102 m 67 Esercizi

68 Due fasi: 1. Caduta libera del corpo dalla sommità del pozzo alla base moto uniformemente accelerato 2. Propagazione dell onda sonora generata dall impatto del corpo con il fondo del pozzo moto rettilineo uniforme In generale, le leggi orarie per il moto di caduta libera del sasso e per la propagazione dell onda sonora saranno: y y = y 0 + v 0 t at 2 h -g y = y' 0 + v s t v s x Condizioni iniziali: y 0 = h, v 0 = 0 y 0 = 0 a= -g t tot =4.8s v s = velocità del suono=340 m/s

69 Siano, inoltre: t d = tempo di discesa del sasso t s = tempo di salita del suono t tot =t s +t d In base alle condizioni iniziali e alle convenzioni stabilite, le due leggi orarie divengono: y y = y 0 + v 0 t at 2 0 = h- 1 2 gt 2 d h -g y = y' 0 + v s t h = 0 + v s t s O v s x

70 Condizioni iniziali: v 0 =0 t tot =4.8 s v s =340 m/s 0 = h- 1 2 gt 2 d h = v s t s t tot = t d + t s h=? t tot - t d = t s h = v s ( t tot - t d ) 0 = v s ( t tot - t d ) gt 2 d Le cui soluzioni sono: t d 2 + 2v s g t d - 2v s g t tot = 0 t d = - v s g ± v 2 s g + 2v st tot 2 g

71 Delle due soluzioni di t d scartiamo quella negativa e sostituendo i dati si ottiene: t d =4.5 s t s =t tot -t d =4.8s-4.5s=0.3s h=v s t s =340m/s 0.3s=102m

72 PROBLEMA 7 Una palla viene lanciata verticalmente verso l alto dal bordo della cima di un edificio con una velocità iniziale di 25 m/s. L edificio è alto 50 m. Determinare: 1. Il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere la massima altezza 2. La massima altezza raggiunta 3. La velocità del sasso dopo 3 s a) t = 2.5 s b) h = 81.8 m c) v = -4.4 m/s 72 Esercizi

73 Condizioni iniziali: v 0 =25 m/s verso l alto y 0 =50 m a=-g y Moto unidimensionale in direzione verticale Equazioni del moto uniformemente accelerato y 0 v 0 -g y(t) = y 0 + v 0 t at 2 v(t) = v 0 + at y(t) = y 0 + v 0 t gt 2 v(t) = v 0 - gt x

74 x Determinare: 1. Il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza: Sia t* l istante in cui la palla è nel punto di massima altezza v(t*)=0 Dall equazione della velocità: v(t*) = v 0 - gt * y y 0 -g v(t*)=0 v(t*) = 0 v 0 - gt* = 0 t* = v 0 g = 25m/ s 9.81m/ s 2 = 2.5s

75 x Determinare: 3. Qual è la massima altezza raggiunta: Sfruttiamo la legge oraria, calcolando y(t*) y(t*) = y 0 + v 0 t *- 1 2 gt *2 = y y 0 -g y(t*) v(t*)=0 = 50m+ 25m/ s2.5s m/ s2 (2.5s) 2 = = 81.8m

76 Determinare: 2. La velocità del sasso dopo t=3s Riprendiamo l equazione della velocità e calcoliamola all istante t=3s: v(t) = v 0 - gt y y 0 v(t = 3s) = 25m/ s-9.81m/ s 2 3s v(t = 3s) = -4.4m/ s v(t=3s) Il segno indica che la velocità del corpo dopo 3s è verso il basso; la palla dopo aver raggiunto la massima altezza ricade verso terra x

77 PROBLEMA 8 Su un buon fondo stradale asciutto, un auto può frenare senza fatica con un accelerazione (costante) di 4.92 m/s 2. Quanto tempo impiegherà, partendo da una velocità di 88.6 km/h, per arrestarsi completamente, e quanto spazio avrà percorso durante la frenata? Disegnare i diagrammi x(t) e v(t) relativi al moto dell auto. t = 5 s d = 61.5 m 77 Esercizi

78 PROBLEMA 9 Dall ugello di una doccia dell acqua sgocciola cadendo sul fondo, posto 200 cm più in basso. Le gocce cadono ad intervalli regolari: la quarta goccia si stacca nell istante in cui la prima arriva al suolo. Trovate le distanze, dall ugello della doccia, (a) della seconda e (b) della terza goccia in quello stesso istante. (a) z 2 = 89 cm (b) z 3 = 22 cm 78 Esercizi

79 PROBLEMA 10 Dalla cima di un edificio si lancia verticalmente una pietra verso l alto. Essa raggiunge la massima altezza 1.60 s dopo il lancio, e ricade in strada dopo 6.00 s dal lancio. Determinare: (a) La velocità di partenza della pietra (b) L altezza massima raggiunta sopra l edificio (c) L altezza dell edificio (a) v 0 = 15.7 m/s (b) x = 12.5 m (c) h = 82.3 m 79 Esercizi

80 PROBLEMA 11 Un paracadutista si getta in caduta libera per 50 m. Poi il paracadute si apre, e da quel momento rallenta con accelerazione costante di modulo 2.0 m/s 2. Tocca il suolo alla velocità di 3.0 m/s. (a) Da che altezza è iniziata la caduta? (b) Per quanto tempo è rimasto in aria? (a) h = 290 m (b) t = 17 s 80 Esercizi