Divisione e divisibilità fra numeri naturali.

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1 Divisione e divisibilità fra numeri naturali. Queste note sostituiscono la definizione 3.5 del testo di Gimigliano e Peggion e integrano il testo stesso e in una loro parte consistente sono tratte da: M. Ferrari, Aritmetica, in Ministero della Pubblica Istruzione, Unione Matematica Italiana, ARITMETICA Seminario di formazione per Docenti, Liceo Scientifico Statale A. Vallisneri - Lucca Novembre Febbraio 1997, pp liberamente disponibili in rete al sito

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4 Dimostrazione. Dimostriamo l esistenza di una coppia (q,r) verificante le condizioni richieste. Notiamo che vale 0b=0 a (che vale anche se a=0). Quindi ci sono dei numeri naturali n tali che nb a e quello più piccolo è 0. Dato che b>0, ogni suo multiplo è più grande del precedente: 0<b<2b<3b<4b< <(n-1)b<nb<(n+1)b <, ma a è un numero naturale fissato e quindi i multipli di b da un certo punto in poi superano tutti a, mentre prima i multipli di b sono tutti minori o uguali ad a. Prendiamo quindi il più grande di questi ultimi che risulta essere quindi un multiplo di b, quindi un prodotto prodotto qb, caratterizzato dalle condizioni: qb a<(q+1)b poniamo r=a-qb. Verifichiamo le condizioni richieste dall enunciato del Torema. Da r=a-qb con passaggi algebrici standard segue che a=qb+r. Da qb a e da a=qb+r segue che qb qb+r e quindi che 0 r. Infine dall uguaglianza r=a-qb si ricava qb=a-r, quindi da a<(q+1)b=qb+b si ottiene a<qb+b=a-r+b=-r, ossia a< a-r+b da cui segue r<b. Dimostriamo ora l unicità di tale coppia (q,r) verificante le condizioni richieste. Sia (q, r ) una coppia ordinata di numeri naturali verificante le stesse proprietà di (q,r), ossia supponiamo che accanto alle condizioni a=qb+r e 0 r<b valide per (q,r) valgano per (q,r ) le condizioni Vogliamo dimostrare che q=q e r=r. a=q b + r e 0 r <b. Guardiamo q e a q : possono essere solo uguali o diversi tra di loro. Valutiamo cosa succede nei due casi. Se q=q, allora dalle relazioni precedenti si ricava a=q b + r = q b + r, ma dato che vale anche a=qb+r, si ricava: qb+r = q b + r, da cui segue r=r. Questo conclude il caso q=q.

5 Se invece q q, allora può essere o q<q o q <q. Affrontiamo il caso q<q, il secondo è del tutto simile e viene lasciato come (utile) esercizio. Se q<q, esiste un unico numero naturale h 1 tale che q =q+h. Le uguaglianze qb+r=a=q b+r comportano l uguaglianza qb+r=q b+r, la quale assieme a q =q+h, comporta: qb+r=(q+h)b+r =qb+hb+r. Se ne ricava quindi: r= hb+r. Dato che r 0 e che h 1, si ottiene r= hb+r hb b e quindi r b, contro le ipotesi fatte su r. Quindi il caso q<q non può accadere. La dimostrazione che anche q <q è impossibile, comporta che deve essere necessariamente q=q che, come visto, implica anche r=r e questo conclude la dimostrazione.

6 Osservazione. La divisione fra numeri naturali, quindi, non è un operazione algebrica in senso stretto, se per operazione fra numeri naturali si intende un applicazione che ad ogni coppia ordinata di numeri associa uno ed un solo numero in quanto essa ad ogni coppia ordinata di numeri (dividendo, divisore) associa una ed una sola coppia ordinata di numeri (quoziente, resto) con le proprietà precedentemente viste nel Teorema 1. Tuttavia, così come per la sottrazione, non ci sono sostanziali ragioni per non chiamarla operazione durante la scuola primaria, riservando ogni eventuale precisazione terminologica a percorsi scolastici posteriori. E utile invece far osservare sin dalla scuola primaria che, all interno del sistema dei numeri naturali, addizione e moltiplicazione associano sempre ad ogni coppia ordinata di numeri un unico numero, mentre la divisione richiede che il primo elemento della coppia non sia minore del secondo e la divisione associa ad ogni coppia ordinata di numeri un unica coppia ordinata di numeri.

7 Osservazione. La dimostrazione del Teorema 1 suggerisce alcuni algoritmi per lo svolgimento dell operazione di divisione. Ricordiamo che in base a tale teorema dati i numeri naturali a e b, con b non nullo, il quoziente q ed il resto r sono gli unici numeri naturali tali che siano verificate tutte le condizioni: a=qb+r e 0 r<b Dati a e b, il quoziente q è stato ottenuto come il più grande fra i numeri naturali n tali il prodotto di n con b non sia maggiore di a, ossia nb a ed il resto è stato ottenuto come differenza fra a e qb, ossia r=a-bq. Consideriamo ad esempio la divisione 14:4: il quoziente è 3 ed il resto è 2 infatti 4 e 3 verificano le relazioni: 14=3x4+2 e 0 2<4. Il quoziente può essere trovato, cercando fra i multipli di 4. {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, } il più grande fra quelli che non superano 14. Nel nostro caso si tratta del numero 12= 3x4, quindi il quoziente è 3 e di conseguenza il resto è 14-3x4=2. Ricordiamo anche che la moltiplicazione fra numeri naturali può essere pensata come addizione ripetuta quindi il quoziente può trovarsi anche partendo da 0 ed aggiungendo ripetutamente 4 finché non superiamo 14, quindi 0, 0+4=4, 4+4=8, 8+4=12, mentre il passo successivo porterebbe a 12+4=16>14. Partendo da 0, abbiamo compiuto 3 successive addizioni di 4 utili ad ottenere numeri non superiori a 14: il numero di tali addizioni è il quoziente, mentre il resto è 14-12=2. Possiamo prendere ispirazione dall argomento precedente svolgendo al posto delle addizioni delle successive sottrazioni di 4 a partire dal numero 14, finche, mediante queste, restiamo all interno del sistema dell insieme dei numeri naturali: 14, 14-4=10, 10-4=6, 6-4=2 (il passo successivo porterebbe ad un numero negativo, quindi non naturale). Notiamo che abbiamo compiuto esatta mente 3 sottrazioni, come il quoziente, e che l ultimo numero naturale trovato è 2: esattamente il resto.

8 Quelli esplicitati sono algoritmi per svolgere la divisione diversi da quello usuale e che mettono in evidenza aspetti concettuali che in quello usuale possono restare più nascosti. Inoltre questi algoritmi sono indipendenti dalla scrittura dei numeri mentre quello usuale è fondato anche sulla scrittura posizionale decimale dei numeri, probabilmente per questo motivo è anche più complesso ma è più efficiente non appena i numeri in questione sono più grandi. Osservazione. Il dividendo può essere minore del divisore e questo spesso genera una situazione disorientante. Ad esempio la divisione 5:12, ha come quoziente 0 e come resto 5, infatti 5=0x12+5 e 0 5<12. D altra parte, ricorrendo ad uno dei possibili significati della divisione, suddividere 5 oggetti (senza frazionarli) fra 12 persone significa non poterne dare nessuno a testa e restare perciò alla fine con i 5 di partenza. Di seguito vengono elencate alcune delle risposte (errate) più frequenti per le possibili coppie (quoziente, resto) che è capitato di ascoltare, per ciascuna di esse è utile provare a ricostruire anche solo ipoteticamente il possibile processo mentale che le ha prodotte: (0, 12); (0,0); (1,5); (1, 12); (12, 0); (5, 0); (2,2); nessun quoziente e nessun resto: quella divisione non si può fare. Osservazione. Il Teorema 1 dà una soluzione matematica, relativamente molto semplice ed in qualche senso elegante, al problema matematico della divisione fra numeri naturali, ma è bene ricordare che la divisione è un nodo concettuale e didattico molto delicato, perché in esso confluiscono diversi aspetti (epistemologici, algoritmici, come modello di situazioni reali) ciascuno dei quali ha una propria complessità. E importante acquisire la consapevolezza dei diversi significati della divisione come concetto matematico e come modello per situazioni reali e distinguere la divisione in sé dall algoritmo, o meglio degli algoritmi, che la eseguono. Gli algoritmi sono particolari procedure ordinate che consentono di svolgere la divisione, ossia di ottenere quoziente e resto, una volta noti dividendo e divisore, ma non sono di per se stessi la divisione. E spesso molto riduttivo, oltre che ambiguo, dire che un allieva o un allievo non sa fare le divisioni : infatti può significare cose molto diverse: ad esempio che ha compreso quali situazioni reali la divisione consente di modellizzare, oppure che non ne ha interiorizzato alcuni aspetti matematici fondamentali oppure che non esegue correttamente un algoritmo, che forse è stato insegnato solo a memoria e meccanicamente.