Frazioni (operazioni) Espressioni

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1 Maffini Achille

2 Frazioni (operazioni) Espressioni 2

3 peratore (processo) Funzione Divisione: da operazione a operazione Relazioni di equivalenza Struttura (Ampliamento) Numero razionale (oggetto matematico) 3

4 Come cambia il concetto nei vari ordini di scuole? Equivalenza come operatore Equivalenza come ( forma di un) quoziente Equivalenza come relazione in ZxZ 0 I libri di testo 4

5 Nella scuola Elementare: opera su.. Nella scuola Media: opera come.. Nella scuola Superiore: opera? Cosa diventa? 5

6 Cos è un operatore? E un operazione? Cosa si intende per Frazioni equivalenti? Quale rapporto tra discreto e continuo? Come applicarle? 6

7 Cosa significa che due frazioni sono equivalenti come operatori? Come definire due frazioni equivalenti come operatori? Una possibile risposta (?) L operatore sul continuo e operatore sul discreto: dalle grandezze alla cardinalità degli insiemi La parte di una torta ha ancora la caratteristica di essere una torta, mentre la parte di un insieme di caramelle non è parte di una caramella. L equivalenza di frazioni come operatori come uguaglianza di funzioni; il problema dell uguaglianza delle funzioni L operatore come comando: il ruolo dell ordine delle procedure dalla scuola primaria alla scuola secondaria di primo grado Su un insieme di 30 caramelle, le frazioni 3/5 e 21/35 sono equivalenti? 7

8 L uso del metalinguaggio nelle richieste delle prove: aiuto o ostacolo? PU: Agnelli, Puccini Il metalinguaggio come modalità per distinguere due piani: Funzione (processo) ggetto PI: D Acquisto, D Annunzio 8

9 L attività Tipologia attività: si fissa la quantità e si individuano le frazioni (viste come operatori) che possono operare su di essa. Proposta: fissare la frazione e stabilire su quali quantità opera. Scopo: individuare il dominio della frazione e apertura verso il continuo. 9

10 Le attività: IV e V Alcune domande e riflessioni: Vale la pena rendere tutti i problemi possibili? Il processo dalle elementari alle medie è lo stesso? Come cambia, se cambia, il concetto di frazione equivalente? E alla scuola secondaria? Quali problemi e difficoltà sono riscontrati? Vale la pena strutturare gli aspetti con una continuità linguistica? 10

11 Come è data la definizione di frazioni equivalenti come quoziente? Una possibili risposta (?) sservazioni sulla definizione: mancanza quantificatori e l insieme di variabilità di k Secondo questa definizione, 15/18 e 35/42 sono equivalenti? Una possibile formalizzazione (ad uso dell insegnante): (a/b)eq(c/d)se e solo se esistono due numeri interi non nulli h,k tali che ka/kb=hc/hd 11

12 Frazione come rappresentazione del risultato di un operazione: il problema dell esistenza Equivalenza frazioni desunta dalla proprietà invariantiva della divisione e a sua volta dalla compatibilità della relazione di uguaglianza con la moltiplicazione ( se numeri uguali si moltiplicano con numeri uguali, si ottengono numeri uguali ) Quali problemi legati alle frazioni sono riconducibili ai problemi della divisione? Frazione come partizione, procedura divisione come contenenza: i problemi legati alla divisione Le procedure della divisione: resto, differenza, svuotamento. Quali valenze verticali? 12

13 Scopo: Ampliamento numerico relativo alla soluzione del problema Trova un numero tale che il suo prodotto con un numero intero a sia uguale al numero intero b. Implicita richiesta di soluzione di problemi riconducibili, come modello matematico, all equazione a=bx (con a e b numeri interi). Relazione di equivalenza in ZxZ0: (a,b)r(c,d) se e solo se a d=c b Frazione come scrittura formale perazioni tra frazioni: Vantaggi: a b c d = a c b d usa operazioni su Z ed esplicito il senso del simbolo = ; compatibilità operazioni con relazione di equivalenza (è il caso di mostrare che l operazione naturale di addizione (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d) non è indipendente dal rappresentante scelto? Esempio: 2/3 e 6/9 sono equivalenti, così come ½ e 2/4; ma 3/5 e 8/13 non lo sono. Esistenza soluzioni equazione a=bx, con a e b interi (b non nullo): la classe individuata dalla coppia (a;b) Svantaggi: scarsa intuitività legata al concetto di struttura E i libri di testo? Le problematiche di verticalità sollevate alla Scuola secondaria di primo grado. a b c d = a d + c b b d 13

14 I numeri razionali come classi di equivalenza I numeri decimali non solo come risultato della divisione, ma anche come caratteristica macro delle classi di equivalenza. Numeri razionali e rappresentazioni: operazioni relazioni d ordine Il passaggio dalle frazioni ai numeri decimali: come avviene? È noto agli altri ordini scolastici? Gli esempi per far capire le frazioni nella scuola superiore si rifanno alle frazioni quozienti o alle frazioni come operatori? 14

15 Il modello torta : cosa significa dividere una torta in parti uguali? Cosa significa dividere una torta in 7 o 11 parti uguali? Cosa si intende per uguali? Non c è anche in questo una forma di astrazione? Le operazioni sugli operatori: modelli Numeri misti, le frazioni apparenti, ecc. quali relazioni col concetto di operazione? Altri aspetti di riflessione 15

16 2 +3 = +2 3 = = = Su quali relazioni di equivalenza si reggono le uguaglianze precedenti? Come è percepita dagli studenti la divisione per un numero negativo? Esempio: dominio di una funzione di espressione analitica tipo f(x)=(x 3-2) /(x+2) Quali problemi legati al concetto di divisione? Come sono definiti numeri decimali periodici (e più in generale i numeri decimali limitati o illimitati)? 16

17 Definizioni proposte: Infanzia: E l azione Elementare I ciclo: è l elemento che modifica, quindi l azione (*notare l uso del termine AZINE*) che genera l operazione (il fare) che modifica la qualità/quantità. Elementari II ciclo-medie: Il termine viene utilizzato a proposito delle frazioni (generalmente non si parla di operatore additivo, moltiplicativo) per indicare la trasformazione di un elemento in un certo risultato. 17

18 Infanzia: è il prima e il dopo dell operatore comprendendo il risultato finale Elementare I ciclo: la situazione iniziale+operatore (o modificante) +risultato finale diverso dai dati iniziali di partenza Elementari II ciclo-medie: La definizione evolve: inizialmente si intende una trasformazione che partendo da due elementi, es. acqua +caffè macinato, vengono trasformati in caffè e la machina del caffè, responsabile dell operazione, è l operatore. Successivamente si parla delle 4 operazioni aritmetiche: presa una coppia ordinata di numeri si ottiene un terzo numero. Le operazioni di sottrazione e divisione non sono sempre possibili in N. Successivamente, con l ampliamento degli insiemi, in Z è sempre possibile anche la sottrazione e in Q la divisione. 18

19 La composizione di funzioni G f G h g G 19

20 La composizione di funzioni G (f, g) GxG Analogie tra i due modelli h Differenze tra i due modelli G 20

21 Frazioni apparenti e frazioni improprie: quale rimando semantico al termine frazione? Introducono ostacoli didattici? Numeri misti: 2+1/3 cosa indica? In quale insieme è fatta l addizione? Si tende a privilegiare l aspetto morfologico (forma della scrittura) rispetto a quello semantico (insieme numerico in cui fare l operazione). Quindi sostanzialmente, che tipo di addizione è? Strutturalmente: 2 interi più 1/3 di un intero fa intendere 2 e 1/3 come operatori. Vale la pena indicare con una lettera (ad esempio a) la quantità relativa all intero cui ci si riferisce? Vedi Prove Uscita Introduzione al linguaggio (e al calcolo) algebrico. 21

22 Concetti correlati? Procedure? 22

23 Concetti correlati? Procedure? 23

24 Tipologie di problemi: Si hanno 20 kg di mele da sistemare in cassetta contenenti ciascuna 4 kg di mele. Quante cassette servono? Si hanno 20 caramelle e 4 bambini. Quante caramelle si devono dare a ciascun bambino affinché ogni bambino abbia lo stesso numero di caramelle? 24

25 Partizione Q. A X Q. B 1 25

26 Contenenza Q. A Q. B X 1 26

27 27

28 Struttura insiemistica: funzione suriettiva dall insieme della Q. A (dominio) all insieme della Q. B (codominio) che induce una relazione di equivalenza sugli elementi del dominio (avere la stessa immagine) e.. la cardinalità delle classi di equivalenza indica il risultato della divisione 28

29 A B C D E 29

30 X X X X X X X X 30

31 Struttura insiemistica: funzione dall insieme della Q. A (dominio) all insieme della Q. B (codominio) che fa corrispondere ad un numero (fissato) di elementi del dominio uno stesso elemento del codominio e la cardinalità dell insieme delle immagini indica il risultato della divisione 31

32 Qual è la struttura si un problema di D per P? Che ruolo dare al resto (se e come introdurlo)? Quale idea alla base della rappresentazione iconica? Come si lega al vissuto dell alunno? 32

33 A quale registro fa riferimento? Qual è la struttura dei problemi di D per C? Quale idea alla base della rappresentazione iconica? Che ruolo dare al resto (se e come introdurlo)? Quale rapporto con la realtà dell alunno? 33

34 La struttura dei problemi Gli algoritmi della divisione e il retaggio linguistico Le frazioni (come operatori) Uguaglianza o congruenza? Cosa si intende per parti uguali? 34