Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico e Scientifico opzione scienze applicate Tema di matematica

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1 Esame di stato di istruione secondaria superiore Indirii: Scientiico e Scientiico opione sciene applicate Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a quesiti del questionario Svolgimento a cura di Nicola De Rosa PROBLEMA L amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigene del condominio. Allo scopo di darti le necessarie inormaioni, l amministratore ti ornisce il disegno in igura, aggiungendo le seguenti indicaioni: la lunghea L del serbatoio deve essere pari a otto metri; la larghea l del serbatoio deve essere pari a due metri; l altea h del serbatoio deve essere pari a un metro; il proilo laterale (igura ) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con un angolo 0 ; la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno m, in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l inverno eettuando solo due riornimenti di gasolio; al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l asse di simmetria (segmento AB in igura ) deve essere installato un indicatore graduato che riporti la percentuale di riempimento del volume del serbatoio in corrispondena del livello raggiunto in altea dal gasolio.. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in igura, individua tra le seguenti amiglie di unioni quella che meglio può descrivere il proilo laterale del serbatoio per,, intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta: cos 9 4. Determina il valore di che consente di soddisare i requisiti richiesti relativamente all angolo e al volume del serbatoio.

2 . Al ine di realiare l indicatore graduato, determina l espressione della unione che associa al livello del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento del volume da riportare sull indicatore stesso. Quando consegni il tuo progetto, l amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore del livello di gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello pari a 0 cm vuol dire che il serbatoio è pieno al 0%; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondena del livello 0 cm, una percentuale di riempimento 9,7%. 4. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di in corrispondena del quale esso si veriica.

3 Punto SOLGIMENTO La unione proilo deve avere le seguenti caratteristiche: 0, 0, 0 tan0 eriichiamo quale delle tre unioni proposte rispetta tutte le condiioni. Prima unione - 0 ; ; 0 - ; 0 La condiione 0 tan0 si traduce in tan Poiché deve essere intero i valori plausibili sono 0,,,,4,. Seconda unione ; ; tan ; 0 Tuttavia, considerando per semplicità 0, la derivata prima della cubica ovvero la unione è è strettamente decrescente in 0,, e strettamente crescente in, mentre la derivata seconda è 8 da cui deduciamo che è ascissa di lesso. Poichè la unione non è strettamente crescente in,0 e strettamente decrescente in 0, così come da richiesta dell amministratore in igura, deduciamo che essa è da scartare come soluione. Tera unione cos - 0 cos0 ; - cos 0 ; sin tan0

4 Pertanto, non essendo soddisatta la tera condiione, deduciamo che la tera unione è da scartare come soluione. D altronde, come da igura, il proilo deve essere non derivabile in 0 in quanto è ascissa di punto angoloso, mentre la unione cos non ha alcun punto angoloso. Dall analisi soprastante si evince che la unione che rappresenta meglio il proilo è la prima. Punto Il volume del serbatoio è pari a. L 0 0 d d Dovendo essere almeno pari a, si deve imporre 0 ovvero il primo intero che soddisa la condiione, sia sul volume che sull angolo. Il proilo corrispondente è y. Punto Consideriamo l intervallo (0,) e la igura seguente..88 è

5 Sia, con 0, l altea raggiunta dal liquido, imponendo si ricava l altea in unione di :. L area della seione del proilo riempita di gasolio, considerando solo la parte di proilo in (0,), è pari a: S d Considerando l intero proilo in, S S., l area della seione riempita è Il volume riempito di gasolio è L S, il volume totale è volume percentuale rispetto al volume totale è %. 40 ed in Punto 4 L obieione dell amministratore si traduce nel atto che si aspetta una dipendena lineare del volume percentuale rispetto all altea ovvero %, invece nella pratica, per come realiato il serbatoio, il volume percentuale dipende non linearmente dall altea in quanto %. Inatti per 0. metri l amministratore si attende un riempimento percentuale del 0% ma nella 0. %. realtà è % L errore commesso è E. Calcoliamo la derivata prima e seconda per capire quando è massimo tale errore: Pertanto l errore è massimo per 0. 7 E E 4 E 0 e in valore assoluto è % E.