Modelli Matematici per la Biologia Esercitazione 1 a.a

Transcript

1 Modelli Matematici per la Biologia Esercitazione a.a Dott. Simone Zuccher 3 Aprile 27 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore (zuccher@sci.univr.it). Simulazione al calcolatore di vari modelli discreti del tipo x n+ = f(x n ) e x n+ = f(x n, x n ). Esercizio Sia x (,π) e si consideri la successione definita da x k+ = x k + sinx k.. provare che x k (,π) per ogni k N; 2. provare che (x k ) cresce; 3. calcolare il limite di (x k ) per k... Risoluzione. Si noti che x k+ = f(x k ) con f(x) = x + sinx. f(x) è strettamente crescente su (,π) in quanto f (x) = + cosx e < + cosx < 2 x (,π), ovvero f (x) > x (,π). Essendo f() =, f(π) = π, e la funzione strettamente crescente, allora x k+ = f(x k ) (,π). 2. Essendo x k+ x k = sin x k > x k (,π), la successione è crescente. 3. Per k si ha l equazione x = x + sinx, che è soddisfatta per x =, x = π e x = +. Di questi, l unico limite possibile è x = π in quanto la successione è crescente e si parte da x (,π). Un altro modo è di osservare che f () = 2 > e pertanto l origine è un punto unito instabile, mentre f (π) = e quindi è stabile.

2 Tutte le caratteristiche di (x k ) sopra menzionare sono verificabili graficamente utilizzando il file esempio.m per GNU Octave di seguito riportato. Esso richiede come input N (numero di iterazioni quindi nel caso k + si deve scegliere N opportunamente elevato) e il valore iniziale x (chiamato s() in esempio.m). In figura è riportata la storia temporale e il cobwebbing (procedura a zigo-zago ottenuta partendo da x, calcolando x = f(x ) tramite la f, riportando il valore x sulla bisettrice del primo e terzo quadrante, quindi calcolando x 2 = f(x ) tramite la f, e così via) ottenuti per N = 5 e x =.. Si noti il raggiungimento veloce del valore asintotico x n = π. % Name: esempio.m % Author: Simone Zuccher % Created: 3 Apr 27 % Purpose: Compute x(k+) = x(k) + sin(x(k)) % Input: Number of total iterations and x() % Output: Plot of x(k) versus k and x(k+) versus x(k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value. If negative, it will be a random number s()=input( Input <s()<pi (if < or >pi then random): ); % Set s() random if out of range if((s()>pi) (s()<)) s()=pi*rand(); endif % Display value of s() disp(s()); % Assign x and y needed for 2nd plot x()=s(); y()=.; % Loop on all points for n=::m- s(n+) = s(n)+sin(s(n)); disp(s(n+)); x(2*n) = s(n); y(2*n) = s(n+); 2

3 x(2*n+) y(2*n+) end = s(n+); = s(n+); % Plots s(n) versus n gset auto plot(s, +-g;s(n); ); % Wait for keypressed disp( Please press a key to continue... ); pause(); % Plot f(x), x and path t=linspace(,pi,5); plot(t,t+sin(t), -g;x+sin(x);,t,t, -b;x;,x,y, +- ); 3

4 n x+sin(x) x Figura : Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 5, x =.. 4

5 .2 Esercizio Data la successione (x k ) definita da x = a, { } x k+ = max 4,x2 k dire se esiste, al variare di a R, il limite di (x k ) per k..2. Risoluzione In questo caso x k+ = f(x k ) con f(x) = max { 4 k},x2. Questa funzione è decrescente per x < /2, costante e pari a /4 per /2 x /2 e crescente per x > /2. I punti uniti si trovano risolvendo l equazione x = max {,x2} che ha come soluzioni x = /4 e 4 x =. Anche x = + è un possibile limite della successione (x k ) per k + in quanto soddisfa l equazione dei punti uniti. La funzione data ha derivata nulla in x = /4, che pertanto è stabile, e derivata pari a 2 > in x =, che è pertanto instabile. Si verifica facilmente che il limite della successione è x = se x = ±; il limite è x = /4 per x <, mentre il limite è + per x >. esempio2.m può essere utilizzato per la soluzione grafica di questo esercizio. Esso richiede come input N (numero di iterazioni quindi nel caso k + si deve scegliere N opportunamente elevato) e il valore iniziale x (chiamato s() in esempio2.m). In figura 2 sono riportati la storia temporale e il cobwebbing, ottenuti per N = 7 e x =, dove si nota che la soluzione è attratta da x =. In figura 3 sono riportati la storia temporale e il cobwebbing, ottenuti per N = 7 e x =.7, dove si nota che la soluzione è attratta da x = /2; infine, in figura 4 sono riportati la storia temporale e il cobwebbing ottenuti per N = 7 e x =., dove si nota l esplosione della soluzione. % Name: esempio2.m % Author: Simone Zuccher % Created: 3 Apr 27 % Purpose: Compute x(k+) = max(/4,x(k)^2) % Input: Number of total iterations and x() % Output: Plot of x(k) versus k and x(k+) versus x(k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value. s()=input( Input s(): ); 5

6 % Display value of s() disp(s()); % Assign x and y needed for 2nd plot x()=s(); y()=.; % Loop on all points for n=::m- s(n+) = max(/4,s(n)^2); disp(s(n+)); x(2*n) = s(n); y(2*n) = s(n+); x(2*n+) = s(n+); y(2*n+) = s(n+); end % Plots s(n) versus n gset auto plot(s, +-g;s(n); ); % Wait for keypressed disp( Please press a key to continue... ); pause(); % Display value of s(m) disp(s(m)); % Plot f(x), x and path t=linspace(-.5,.5,5); plot(t,max(/4,t.^2), -g;max(/4,t^2);,t,t, -b;x;,x,y, +- ); 6

7 n max(/4,x^2) x Figura 2: Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 7, x =. 7

8 n max(/4,x^2) x Figura 3: Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 7, x =.7. 8

9 n max(/4,x^2) x Figura 4: Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 7, x =.. 9

10 .3 Esercizio Calcolare il limite della successione definita da x =, x k+ = xk e t2 dt..3. Risoluzione π π Si noti che x k+ = 2 erf(x k), ovvero f(x) = 2 erf(x). Essendo f (x) = e x2 > x R, la funzione è sempre crescente ed essendo x 2 < x la successione è decrescente. π L unico punto unito che soddisfa l equazione x = erf(x) è x =, che risulta il limite 2 della successione in quanto essa è decrescente e x =. Si osservi che l analisi di stabilità del punto x = porta a f () = (f (x) = e x2 ), per cui la determinazione della sua natura richiede l uso delle derivate successive secondo quanto riportato in figura 5. Essendo f (x) = 2xe x2, si ha f () = e quindi bisogna analizzare la derivata terza che è f (x) = 2e x2 (2x 2 ). Essendo f () = 2 <, x = è un punto di equilibrio localmente asintoticamente stabile. esempio3.m può essere utilizzato per la soluzione grafica di questo esercizio. Esso richiede come input solo N (numero di iterazioni) essendo il valore iniziale x = fissato. In figura 6 sono riportati la storia temporale e il cobwebbing, ottenuti per N = 5. Si può notare la natura dell origine, attrattiva se pur con una velocità di convergenza molto bassa. % Name: esempio3.m % Author: Simone Zuccher % Created: 3 Apr 27 % Purpose: Compute x(k+) = integrate(exp(-t^2),t,,x(k)) % Input: Number of total iterations and x() % Output: Plot of x(k) versus k and x(k+) versus x(k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value. s()=.; % Display value of s() disp(s());

11 Figura 5: Schema per la determinazione della natura dei punti di equilibrio per mappe del tipo x n+ = f(x n ). % Assign x and y needed for 2nd plot x()=s(); y()=.;

12 % Loop on all points for n=::m- s(n+) = sqrt(pi)*erf(s(n))/2.; disp(s(n+)); x(2*n) = s(n); y(2*n) = s(n+); x(2*n+) = s(n+); y(2*n+) = s(n+); end % Plots s(n) versus n gset auto plot(s, +-g;s(n); ); % Wait for keypressed disp( Please press a key to continue... ); pause(); disp(s(m)) % Plot f(x), x and path t=linspace(,.5,5); plot(t,sqrt(pi)*erf(t)/2., -g;sqrt(pi)*erf(x)/2;,t,t, -b;x;,x,y, +- ); 2

13 n sqrt(pi)*erf(x)/2 x Figura 6: Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 5. 3

14 .4 Esercizio Si consideri l equazione x k = cos x k.. provare che esiste un unica soluzione x k > ; 2. provare che (x k ) rimane limitata; 3. calcolare il limite di (x k ) per k..4. Risoluzione. Disegnando il grafico di y = x k e y = cos x, come riportato in figura 7, si osserva k facilmente che le due funzioni si intersecano in un solo punto x k (, ) (si osservi che, per k pari, le intersezioni sono due, di cui una sola positiva). 2. A seguito del punto precedente, la successione stessa (x k ) rimane limitata tra e. 3. Al tendere all infinito di k la funzione y = cos x diventa sempre più piatta k (costante) nell intorno di x = dove vale in quanto l argomento del coseno tende a zero. Siccome, per k +, x = soddisfa l equazione x k = cos x, il limite k della successione è. esempio4.m può essere utilizzato per la soluzione grafica di questo esercizio. Esso richiede come input N (numero di iterazioni) e il valore iniziale di tentativo per la funzione che calcola la radice x k >. Si consiglia di fornire un valore < x guess <. % Name: esempio4.m % Author: Simone Zuccher % Created: 4 Apr 27 % Purpose: Compute the solution of x^k = cos (x/k) % Input: Number of total iterations and x for nonlinear solver % Output: Plot x^k and cos (x/k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value for nonlinear solver. x=input( Input x (initial value for nonlinear solver): ); 4

15 .2.8 cos(x/k), x k x.6.8 k = k = 2 k = 3 k = 4 k = 5 Figura 7: y = cos x k e y = xk al variare di k. Si noti come il punto di intersezione sia per < x <, al limite è x per k. % Create a vector needed for plots t=linspace(-.,.,5); % Loop on all functions for n=::m % set range for plot gset xrange[-.:.] % set attributes for plots attr=[ -g;t^ int2str(n) ; ]; attr2=[ -b;cos(t/ int2str(n) ); ]; % plot of x^n and cos(x/n) plot(t,t.^n,attr,t,cos(t/n),attr2); % define the function fun= ["x^" int2str(n) "-cos(x/" int2str(n) ")"]; % compute zero closest to x and diplay it s(n)=fsolve(fun,x); 5

16 disp(s(n)) % Wait for keypressed disp( Please press a key to continue... ); pause(); end 6

17 .5 Esercizio Si consideri la successione definita da x = λ, x k+ = x k + x k, con λ. Calcolare il limite di (x k ) per k..5. Risoluzione Essendo f(x) = x strettamente crescente per x, essendo x = il suo unico punto +x unito, ed essendo x 2 < x, la successione è strettamente decrescente ed ha come limite x = x. Alternativamente, si osservi che lim x ± f (x) = lim x ± /(x + ) 2 = e quindil origine è stabile superiormente e instabile inferiormente. Una ulteriore alternativa era l analisi classica secondo lo schema 5. Da f (x) = si ottiene f () = (x+) 2, da f (x) = 2 segue f () = 2 <, per cui il punto di quilibrio x = è (x+) 3 superiormente localmente asintoticamente stabile e inferiormente repulsivo. Qui interessa che sia stabile superiormente. Si osservi che la successione data modellizza una legge di crescita di una popolazione con risorse limitate e tasso di natalità inversamente proporzionale alle dimensioni della popolazione, pertanto condannata all estinzione. esempio5.m può essere utilizzato per la soluzione grafica di questo esercizio. Esso richiede come input N (numero di iterazioni) e il valore iniziale x = λ. In figura 8 sono riportati la storia temporale e il cobwebbing, ottenuti per N = 5 e x =.9. Si può notare la natura dell origine, attrattiva se pur con una velocità di convergenza molto bassa. % Name: esempio5.m % Author: Simone Zuccher % Created: 4 Apr 27 % Purpose: Compute x(k+) = x(k)/( + x(k) ) % Input: Number of total iterations and x() % Output: Plot of x(k) versus k and x(k+) versus x(k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value. s()=input( Input s() (initial value): ); 7

18 n x/(+x) x Figura 8: Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 5, x =.9. 8

19 if(s()<) disp( s()<: stopping... ) return endif % Display value of s() disp(s()); % Assign x and y needed for 2nd plot x()=s(); y()=.; % Loop on all points for n=::m- s(n+) = s(n)/(.+s(n)); disp(s(n+)); x(2*n) = s(n); y(2*n) = s(n+); x(2*n+) = s(n+); y(2*n+) = s(n+); end % Plots s(n) versus n gset auto plot(s, +-g;s(n); ); % Wait for keypressed disp( Please press a key to continue... ); pause(); disp(s(m)) % Plot f(x), x and path t=linspace(,,5); plot(t,t./(.+t), -g;t/(+t);,t,t, -b;x;,x,y, +- ); 9

20 .6 Esercizio Sia λ R. Si studi la successione definita da.6. Risoluzione x = λ, x k+ = 4 xk xk e 2τ (e 2τ + ) = 2 2 e 2τ (e 2τ + ) 2dτ. Si osservi che x k+ = 4, pertanto f(x) = 2 e 2x k + e 2x +. Essa è una funzione sempre crescente che ha come unico punto unito x =, dove la sua derivata prima f (x) = 4 e2 x vale f () =. Pertanto è necessario l uso delle derivate successi- (e 2 x +) 2 ve. Essendo f (x) = 8 (ex ) (e x +) e 2 x e quindi f () = e f (x) = 6 e2 x (e 4 x 4 e 2 x +) e (e 2 x +) 3 (e 2 x +) 4 quindi f () = 2 <, l origine è un punto localmente asintoticamente stabile. Alternativamente, si osservi che f (x) > x R e quindi la funzione è sempre crescente. Pertanto anche la successione è monotona. Partendo da x > si ha x < x e quindi la successione è decrescente e converge a. Partendo da x < si ha x > x e quindi la successione è crescente e converge a. Partendo da x =, x n rimane tale. esempio6.m può essere utilizzato per la soluzione grafica di questo esercizio. Esso richiede come input N (numero di iterazioni) e il valore iniziale x = λ. In figura 9 è riportato un esempio per N = 5 e x =.8. % Name: esempio6.m % Author: Simone Zuccher % Created: 4 Apr 27 % Purpose: Compute x(k+) = 4*integrate(4*(exp(2*t))/(+exp(2*t))^2,t,o,x(k)) % Input: Number of total iterations and x() % Output: Plot of x(k) versus k and x(k+) versus x(k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value. s()=input( Input s() (initial value): ); % Display value of s() disp(s()); % Assign x and y needed for 2nd plot x()=s(); 2

21 n -2/(exp(2*x)+) x Figura 9: Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 5 e x =.8. 2

22 y()=.; % Loop on all points for n=::m- s(n+) =. - 2./(exp(2.*s(n))+.); disp(s(n+)); x(2*n) = s(n); y(2*n) = s(n+); x(2*n+) = s(n+); y(2*n+) = s(n+); end % Plots s(n) versus n gset auto plot(s, +-g;s(n); ); % Wait for keypressed disp( Please press a key to continue... ); pause(); disp(s(m)) % Plot f(x), x and path t=linspace(-2,2,5); plot(t,. - 2./(exp(2.*t)+.), -g;-2/(exp(2*t)+);,t,t, -b;x;,x,y, +- ); 22

23 .7 Esercizio Sia λ >. Si studi la successione definita da.7. Risoluzione x =, x = λ, x k+ = x k + x 2 k. Si noti che la successione è strettamente crescente essendo x k+ x k = x 2 k > x k e quindi la successione diverge a + x >. esempio7.m può essere utilizzato per la soluzione grafica di questo esercizio. Esso richiede come input N (numero di iterazioni) e il valore iniziale x = λ >. % Name: esempio7.m % Author: Simone Zuccher % Created: 3 Apr 27 % Purpose: Compute x(k+) = x(k) + [x(k-)]^2 % Input: Number of total iterations and x(2) % Output: Plot of x(k) versus k and x(k+) versus x(k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value. s()=.; s(2)=input( Input s(2) (second initial value): ); % Display value of s() and s(2) disp(s()); disp(s(2)); % Loop on all points for n=2::m- s(n+) = s(n) + s(n-)^2; disp(s(n+)); end % Plots s(n) versus n gset auto plot(s, +-g;s(n); ); disp( ); 23

24 disp(s(m)).8 Esercizio Sia λ >. Si studi la successione definita da.8. Risoluzione x = λ, x k+ = log( + x k ). Si noti che f(x) = log(+x) è strettamente crescente pertanto anche la successione (x k ) è monotona. Essendo x = l unico punto unito, e x < x x >, la successione è decrescente e converge a zero. Alternativamente, si osservi che f () = /( + x), quindi lim x ± f (x) = lim x ± /(x + ) = e pertanto l origine è stabile superiormente e instabile inferiormente. Ricorrendo allo schema 5, si ha f () =, f (x) = /(+x) 2 f () = <, ovvero l origine è superiormente localmente asintoticamente stabile ed inferiormente repulsiva. Essendo interessati solo al caso λ >, l origine risulta stabile come riportato in figura per N = 5 e x =.8. esempio8.m può essere utilizzato per la soluzione grafica di questo esercizio. Esso richiede come input N (numero di iterazioni) e il valore iniziale x = λ >. % Name: esempio8.m % Author: Simone Zuccher % Created: 2 Apr 27 % Purpose: Compute x(k+) = log( + x(k) ) % Input: Number of total iterations and x() % Output: Plot of x(k) versus k and x(k+) versus x(k) % Modified: % Clear all variables clear % Change format to long exponential format long e % Input the number of total iterations m=input( Input N (number of iterations): ); % Input the initial value. s()=input( Input s() (initial value): ); % Set s() positive if negative if(s()<) s()=abs(s()); endif % Display value of s() 24

25 n log(+x) x Figura : Storia temporale x n e studio dei punti uniti, N = 5 e x =.8. 25

26 disp(s()); % Assign x and y needed for 2nd plot x()=s(); y()=.; % Loop on all points for n=::m- s(n+) = log(.+s(n)); disp(s(n+)); x(2*n) = s(n); y(2*n) = s(n+); x(2*n+) = s(n+); y(2*n+) = s(n+); end % Plots s(n) versus n gset auto plot(s, +-g;s(n); ); % Wait for keypressed disp( Please press a key to continue... ); pause(); disp(s(m)) % Plot f(x), x and path t=linspace(-.5,2,5); plot(t,log(.+t), -g;log(+t);,t,t, -b;x;,x,y, +- ); 26