ESERCITAZIONE 4 L OTTIMO DEL CONSUMATORE

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Sofia Volpi
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1 ESERCITAZIONE 4 L OTTIMO DEL CONSUMATORE 1. ESERCIZIO TIPO 4 L OTTIMO DEL CONSUMATORE 1.1 Argomenti teorici da conoscere: 1. L obiettivo del consumatore: Il consumatore, come agente economico razionale, compie delle scelte al fine di massimizzare la propria utilità. Le scelte del consumatore riguardano le quantità consumate (e dunque domandate) di due beni, X 1 e. 2. Il vincolo del consumatore: Al fine di raggiungere il proprio obiettivo di massimizzazione dell utilità, il consumatore deve tener conto di un vincolo: il vincolo di bilancio. Quest ultimo 1 esprime, per varie quantità consumate del bene 1, la quantità massima del bene 2 che il consumatore può acquistare dati il reddito monetario M, il prezzo del bene 1 P 1 e il prezzo del bene 2 P 2. Il vincolo di bilancio dunque si riferisce alle risorse scarse (il reddito monetario) che il consumatore ha a disposizione al fine di raggiungere il suo obiettivo razionale (la massimizzazione dell utilità) attraverso l acquisto del bene 1 e del bene Il problema di massimizzazione del consumatore: Il consumatore nello scegliere le quantità da consumare del bene 1 e del bene 2 risolve un problema di massimizzazione vincolata 2. La funzione da massimizzare è la funzione di utilità, che in questo Corso di Microeconomia è sempre una funzione Cobb-Douglas: U = X 1 α β Il vincolo da rispettare nel massimizzare la funzione di utilità è il vincolo di bilancio 3 :. M = P 1 X 1 + P 2 4. La scelta del consumatore: Risolvendo il problema di massimizzazione sopra esposto, il consumatore domanda le due quantità X 1 e che si individuano come soluzioni del seguente sistema lineare: 1.2 Esempio rappresentativo di ESERCIZIO TIPO 4 SMS = P 1 { P 2 M = P 1 X 1 + P 2 Dati una funzione di utilità U = X , un reddito monetario M = 200 e i prezzi dei due beni P 1 = 50 e P 2 = 50, determinare le quantità X 1 d e d domandate dal consumatore. 1 Cfr. Esercitazione 3 2 Un problema di massimizzazione vincolata consiste nel massimizzare una funzione nel rispetto di una condizione (il vincolo). In questo caso, la funzione da massimizzare è la funzione di utilità e il vincolo è il vincolo di bilancio. 3 Impostare il problema di massimizzazione vincolata in questo modo significa affermare che il consumatore, come agente economico razionale, sceglie le quantità da acquistare dei due beni in modo da massimizzare U avendo a disposizione M e assumendo come dati i prezzi

2 1.3 Svolgimento dell esempio rappresentativo Lo svolgimento di questo esercizio prevede 3 passaggi fondamentali, da ripetere in maniera pedissequa all esonero o all esame. 1. impostazione del problema di massimizzazione vincolata: Questo passaggio prevede l individuazione della funzione obiettivo (la funzione di utilità) e del vincolo (il vincolo di bilancio). Chi non svolge questo passaggio al compito scritto dimostra di non aver capito il senso dell esercizio e non ottiene il punteggio pieno anche se il risultato finale è giusto. Chi svolge questo passaggio ottiene una parte del punteggio anche se il risultato finale è sbagliato. Nel nostro caso: max U = X s. t. 200 = 50X impostazione del sistema soluzione del problema di massimizzazione vincolata: Per impostare questo sistema, occorre determinare il saggio marginale di sostituzione della funzione di utilità. Per farlo si possono calcolare le derivate parziali o utilizzare la formula relativa alle funzioni Cobb Douglas 4. In questo caso si utilizza la formula per brevità di esposizione. All esame ognuno è libero di applicare il metodo che ritiene opportuno. = 0.5 X 1 SMS = α = β 0.5 X 1 X 1 Una volta calcolato il SMS, si può procedere all impostazione del sistema. Nel nostro caso: = 50 { X = 50X Svolgendo il rapporto relativo al secondo membro della prima equazione si ottiene: = 1 { X = 50X risoluzione del sistema: Per individuare le quantità che il consumatore domanda adottando un comportamento ottimizzante (cioè, razionale) bisogna risolvere il sistema lineare impostato nel passaggio 2. Per farlo si applica il metodo di sostituzione, nella convinzione che sia il più intuitivo 5. Chi vuole è libero di applicare uno degli altri tre metodi. Il metodo di sostituzione prevede quattro passaggi: 1. Innanzitutto occorre individuare l equazione più facile da gestire; in questo caso è evidentemente la prima: = 1 X 1 2. In secondo luogo bisogna esplicitare una delle due variabili all interno dell equazione individuata; in questo caso si sceglie, visto che già si trova al numeratore 6. Per esplicitare l equazione per, si moltiplicano entrambi i membri dell equazione per X 1, ottenendo =X 1. A questo punto si copia la seconda equazione così com è e si ottiene questo nuovo sistema: 4 Cfr. Esercitazione 3 5 Cfr. Esercitazione 1 6 Quando leggete si sceglie significa che secondo la struttura mentale di chi scrive la scelta in questione è la più conveniente; si tratta comunque di scelte arbitrarie e le alternative non sono sbagliate; volendo si potrebbe esplicitare l equazione per X 1 oppure si potrebbe scegliere di lavorare dall inizio sulla seconda equazione.

3 X { 2 = X = 50X X 1 3. Infine occorre sostituire la prima equazione all interno della seconda. In questo, bisogna sostituire all interno della seconda equazione con X 1, dal momento che in precedenza si è stabilito che = X 1. Dunque, si ha questo nuovo sistema: X { 2 = X = 50X X 1 La seconda equazione è una equazione di primo grado ad una variabile. Si può risolvere secondo le regole spiegate all inizio del corso 7. In particolare, svolgendo i calcoli, si ottiene: 200 = 100X 1 Dividendo entrambi i membri per 100 (l obiettivo è quello di isolare X 1 ) si ottiene: 2 = X 1 X 1 = 2 4. A questo punto si sostituisce il valore individuato per X 1 all interno della prima equazione; ottenendo: = 2 Dunque, le quantità domandate dal consumatore per i beni 1 e 2 sono: { X 1 d = 2 d = 2 Formula risolutiva in caso di funzioni di Cobb Douglas: Se la funzione di utilità è una funzione Cobb-Douglas (come accade sempre in questo Corso di Microeconomia), dati M e i due prezzi dei beni, valgono le seguenti formule: X d α M 1 = (α + β) P 1 X d β M 2 = (α + β) Dove α e β sono gli esponenti della funzione Cobb Douglas. Volendo 8, anziché risolvere il sistema con il metodo di sostituzione, sarebbe stato possibile arrivare direttamente alle soluzioni attraverso l applicazione delle formule. In particolare, nel nostro caso: X d = ( ) 50 = = 2 d = P ( ) 50 = = 2 Anche se vi risulta facile ricordare queste formule, siate consapevoli che all esonero o all esame, prima di applicarle, occorre svolgere il passaggio 1 (impostazione del problema di massimizzazione) e il passaggio 2 ( impostazione del sistema soluzione). Per quanto riguarda il 7 Cfr. Esercitazione 1 8 Chi ritiene di non avere un buona memoria e di non essere in grado di ricordare queste due formule durante l esame o l esonero, risolva il sistema con il metodo che preferisce

4 terzo passaggio, siete liberi di applicare le formule al posto di uno dei metodi finalizzati alla risoluzione di un sistema lineare.

5 ESERCIZI 1 ESERCIZIO TIPO 4 Determinare le quantità domandate dal consumatore per i beni 1 e 2, in relazione alle seguenti funzioni di utilità, ai seguenti redditi monetari e ai seguenti prezzi. 1. U = X M = 30 P 1 = 10 P 2 = 5 2. U = 3 1 M = 100 P 1 = 5 P 2 = 2 3. U = X M = 300 P 1 = 10 P 2 = 5 4. U = 1 M = 200 P 1 = 50 P 2 = 50 SOLUZIONI 1 ESERCIZIO TIPO 4 1. X d 1 = 1.2 X d 2 = X d 1 = 8 X d 2 = X d 1 = 15 X d 2 = X d 1 = 2.67 X d 2 = 1.33

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