Teoria delle decisioni introduzione

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1 Corso di TRASPORTI E TERRITORIO e TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE Teoria delle decisioni introduzione DOCENTI Agostino Nuzzolo (nuzzolo@ing.uniroma2.it) Antonio Comi (comi@ing.uniroma2.it) 1

2 Decisione Scelta tra più azioni alternative ad ogni alternativa possono corrispondere più stati possibili ad ogni stato corrisponde una conseguenza in relazione agli obiettivi del decisore 2

3 Specificazione del problema decisionale Individuazione dell insieme delle azioni ( alternative), degli stati che possono realizzarsi per ogni azione, delle conseguenze di ogni stato per il decisore. Albero o tavola di decisione 3

4 Rappresentazione del processo decisionale A = insieme delle alternative (azioni) = {a 1,.. a m } Θ = insieme dei possibili stati = {q 1,.. q n } C = insieme delle conseguenze = {c 11,.. c mn } c ij = f (a i, q j ) 4

5 La decisione Esempio Scelta del percorso per andare da O a D : 4 possibili alternative (percorsi ): A, B, C, D 3 possibili stati( livelli di congestione della rete ): Basso, Medio, Alto Conseguenze: Tempo di viaggio (minuti) Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto A 20,0 35,0 60,0 B 25,0 35,0 54,0 C 30,0 37,5 49,0 D 30,0 35,0 47,0 Quale percorso scegliere per minimizzare il tempo di viaggio? 5

6 Teoria delle decisioni razionali L individuo razionale considera le possibili azioni, associa ad ogni azione una utilità (o un costo) e sceglie l azione di massima utilità (o di minimo costo). Per poter individuare per via matematica quale è l azione ottima per il decisore, abbiamo bisogno di associare ad ogni conseguenza un valore numerico (utilità o disutilità) 6

7 Assiomi del comportamento razionale Assiomi di comportamento razionale (von Neumann and Morgenster, 1947) Confrontabilità date due conseguenze a e b, il decisore o preferisce debolmente l alternativa a oppure l alternativa b ad a Transitività date tre conseguenze a, b e c, se il decisore preferisce debolmente l alternativa a e preferisce debolmente l alternativa b a c, allora segue che preferisce debolmente l alternativa a a c Coerenza tra preferenza debole e indifferenza date due conseguenze a e b, se il decisore preferisce debolmente l alternativa a a b e l alternativa b ad a, allora l alternativa a e b forniscono al decisore lo stesso beneficio Coerenza tra preferenza debole e preferenza forte date due conseguenze a e b, se il decisore preferisce strettamente l alternativa a allora non preferirà debolmente b ad a 7

8 Funzione di utilità Si può dimostrare che se un decisore agisce conformandosi agli assiomi del comportamento razionale, allora esiste una funzione (funzione di utilità) a valori reali U( ), unica a meno di una trasformazione monotona crescente, definita sull insieme delle conseguenze C tale che : c a a U c U i k i k dove a i a k indica che per il decisore la scelta dell azione a i è più conveniente di a k (o quanto meno non peggiore) se il valore della utilità delle conseguenze dell azione a i è maggiore o eguale al valore dell utilità delle conseguenze di a k. 8

9 Teoria delle decisioni razionali Contesto decisionale: Deterministico: uno stato possibile per ogni azione ( e quindi conseguenze note per ogni alternativa) Di rischio: stati variabili aleatorie con legge probabilità oggettiva nota al decisore Di incertezza: stati variabili aleatorie con legge di probabilità soggettiva del decisore Di massima incertezza: stati variabili aleatorie con leggi di probabilità sconosciute 9

10 Decisioni in contesto deterministico Esempio Quale percorso scegliere per andare da O a D 4 possibili percorsi (azioni): A, B, C, D 1 stato di congestione della rete : Basso, Medio, Alto Perco rso A 20,0 STATI Livello di congestione e tempi in minuti Basso Medio Alto B 54,0 C 37,5 D 35,0 Viene scelto il percorso A 10

11 Decisioni in condizioni di rischio Il decisore conosce le probabilità oggettive degli stati (e quindi delle conseguenze delle azioni) 11

12 Teoria delle decisioni in condizioni di rischio Il decisore sceglie tra varie azioni, il cui esito dipende da fattori esterni e non può essere previsto con certezza. Il decisore ha conoscenza oggettiva delle probabilità di stato. 1. Comportamento normativo: come le decisioni dovrebbero essere prese per massimizzare oggettivamente l utilità 2. Comportamento descrittivo: come le decisioni sono effettivamente prese in contesti operativi (reali) 12

13 Decisioni normative in condizioni di rischio Esempio Quale percorso sceglie per andare da O a D 4 possibili percorsi (azioni): A, B, C, D 3 possibili livelli di congestione della rete (stati ): Basso, Medio, Alto con probabilità oggettive o soggettive STATI EVENTI ALEATORI Livello di congestione, probabilità e tempo viaggio Percorso Basso Medio Alto A 20,0 0,7 35,0 0,2 60,0 0,1 B 25,0 0,6 35,0 0,2 54,0 0,2 C 30,0 0,5 37,5 0,2 49,0 0,3 D 30,0 0,4 35,0 0,4 47,0 0,2 13

14 Criterio dell utilità attesa (expected utility) Il criterio ottimale per un decisore razionale in situazioni di rischio è quello della massimizzazione dell utilità attesa (EU; Expected Utility) 14

15 Utilità attesa (Expected utility) Si può dimostrare che se un decisore agisce conformandosi agli assiomi del comportamento razionale, allora esiste una funzione (funzione di utilità) a valori reali U( ), unica a meno di una trasformazione monotona crescente, definita sull insieme delle conseguenze C tale che: n q q a a P U c P U c i k j ij j kj j 1 j 1 dove a i a k indica che per il decisore la scelta dell azione a i è più conveniente di a k (o quanto meno non peggiore) se il valore atteso (expected) delle conseguenze dell azione a i è maggiore o eguale al valore atteso delle conseguenze di a k. n 15

16 Esempi di scelta in condizioni di rischio Esempio 1 Azione A: vincere 100 euro con probabilità p=1,0 Azione B: vincere 60 euro con probabilità p= 0,5 oppure 200 euro con probabilità p=0,5 16

17 Esempi di scelta in condizioni di rischio Esempio 1 Azione A: vincere 100 euro con probabilità p=1,0 Azione B: vincere 60 euro con probabilità p= 0,5 oppure 200 euro con probabilità p=0,5 L utilità attesa è: per l alternativa A, EU A = 100 per l alternativa B, EU B = 130 La teoria EU indica l alternativa B come alternativa da scegliere. 17

18 Decisioni in condizione di rischio su reti stocastiche Esempio (1/3) Dati tre percorsi A, B e C, l utente non sa con certezza quale sarà il tempo che sperimenterà utilizzando uno dei tre. I possibili valori di tempo di viaggio siano due, con assegnate probabilità di verificarsi T 1 (minuti) T 2 (minuti) Percorso A probabilità 0,70 0,30 Percorso B probabilità 0,80 0,20 Percorso C probabilità 0,40 0,60 18

19 Esempio (2/3) d OD = 100 veicoli/ora Generico utente i E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) EU Percorso A probabilità Percorso B probabilità Percorso C probabilità EU i A = 30 * 0, * 0,3 = 33 EU i B = 20 * 0, * 0,2 = 26 i n i i k j1 jk X jk EU p (E ) U ( ) i i U ( X jk ) Xhjk 1.Con EU va scelta B EU i C = 25 * 0, * 0,6 = 37 19

20 Critiche all Expected Utility Esempio 1 Alternativa A: vincere 100 euro con probabilità p=1,0 Alternativa B: vincere 60 euro con probabilità p= 0,5 oppure 200 euro con probabilità p=0,5 Il criterio EU ci dà: per l alternativa A, EU A = 100 per l alternativa B, EU B = 130 Sebbene dovrebbe essere scelta l alternativa B, esperimenti indicano che un certo numero di persone scelgono A, dunque non vengono rispettate tutte le ipotesi della teoria dell EU. Per tener conto che ci sono dei condizionamenti che possono portare il decisore a non comportarsi in modo normativo, è stato proposto l approccio descrittivo del Revised Expected ( Non-expected) Utility 20

21 Propensione o avversione al rischio Atteggiamento del decisore nei confronti del rischio Utilità lineare con x Utilità convessa, fortemente crescente per valori alti di x Utilità concava, poco crescente per valori alti di x U(x) Avversione al rischio Indifferenza nei confronti del rischio Utilità concava Propensione al rischio Utilità lineare Utilità convessa Conseguenze, ad es. importi monetari x 21

22 Propensione o avversione al rischio L andamento che generalmente si riscontra nella realtà è una propensione al rischio (più o meno spiccata in dipendenza della condizione personale del decisore) per bassi valori delle conseguenze, e un avversione al rischio per valori elevati 22

23 Revised Expected Utility (1/2) Prospect theory (Kahneman e Tversky, 1979) Dato un fenomeno aleatorio rappresentato da una sequenza di coppie (x hjk, p hjk ), con x hjk l h-esimo risultato relativo all evento j all alternativa k e p jk la corrispondente probabilità, si assume che l utente 1. valuti il risultato delle alternative in termini di guadagni e perdite rispetto a delle situazioni di riferimento, con funzioni di utilità non lineari: i X se X 0 U X X hjk X se X 0 i i hjk hjk U (E jk ) U ( jk ) hjk hjk con X hjk > 1 in accordo al principio di avversione alle perdite; 1 la funzione è concava per i guadagni β 1 la funzione è convessa per le perdite 23

24 Revised Expected Utility (2/2) Prospect theory (Kahneman e Tversky, 1979) 2. usi una funzione di ponderazione della probabilità specifica per guadagni, w + (p jk ), e perdite, w - (p jk ): jk jk w p jk w 1 p jk 1 p jk 1 p jk p jk 1 p jk p p w - (p jk ) con = 0,69 24

25 Revised Expected Utility Rank-dependent expected utility (Quiggin, 1982; Schmeidler, 1989) Un modo corretto di utilizzare la funzione w(p jk ) è il rankdependent expected utility model: 1. i risultati dell evento sono ordinati in modo che 2. vengono calcolati i p i jk : X 1k X jk X nk p i jk = w + (p 1k +. + p nk ) w - (p 1k +. + p n-1,k ) ; h =2,, m con p i 1k = w (p 1k ) 3. L utilità attesa associata all alternativa k dall utente i, Y i k, diventa i n i i n i i k p j 1 jk jk p j1 jk X jk Y U (E ) U ( ) 25

26 Revised Expected Utility Differente percezione di guadagni e perdite Per tener conto dei guadagni e delle perdite, la nuova utilità associata all alternativa k, Y i jk, diventa: dove i r i i n i i k p j 1 jk X jk p jr1 jk Xjk Y U ( ) U ( ) X 1k,, X rk sono i guadagni (valori positivi) X r+1,, X njk sono le perdite (valori negativi) > 1 in accordo al principio di avversione alle perdite che porta ad avere sensitività maggiore alle perdite rispetto ai guadagni; dati sperimentali suggeriscono 2 26

27 Cumulative prospect theory (1/2) Esempio: utilità attesa rivista di percorso E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) Percorso A probabilità 0,70 0,30 Percorso B probabilità 0,60 0,40 Percorso C probabilità 0,40 0,60 Solo perdite (solo disutilità di viaggio: tempo, costo monetario) i n i i k p j r 1 jk X jk Y U ( ) con i U (X jk ) X jk 27

28 Cumulative prospect theory (2/2) Esempio: utilità attesa rivista di percorso p jk w pjk 1 p jk 1 p jk p i jk = w - (p rk +. + p jk ) w - (p rk +. + p r-1,k ) con j =2,, n e p i r = w (p r ) E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) Y k ( = -2) Percorso A ,2 probabilità 0,70 0,30 w(p) 0,59 w(p 1 +p 2 ) 1,00 p 0,59 0,41 Percorso B ,9 probabilità 0,60 0,40 w(p) 0,52 w(p 1 +p 2 ) 1,00 p 0,52 0,48 Percorso C ,3 probabilità 0,40 0,60 w(p) 0,39 w(p 1 +p 2 ) 1,00 p 0,39 0,61 = 0,69 L utente i sceglie A (e non B come si otterrebbe con l expected utility) 28

29 Regret theory ( teoria del rimpianto) 1 Esempio 1 Il decisore sceglie con il criterio di minimizzare il rimpianto. Il rimpianto può derivare dall aver scelto una azione che poteva avere come risultato un evento con gravi perdite, pur se poco probabile, e quell evento si è verificato. Es.: scelta percorso per aeroporto Percorso A: T1= 10 con P= 0,99; T2 =50 con P=0,01, da cui ET= 10,4 Percorso B: T1=20 con P=1,00, da cui ET=20 Preferisco scegliere B, perché se scelgo A e si realizza T=50, il biglietto. perdo il volo ed 29

30 Regret theory 2 Esempio 2 Il rimpianto può derivare dal non aver usato la possibilità di scegliere una alternativa con un possibile evento con grandissimi benefici, anche se poco probabile Esempio Azione A: vincita sicura euro Azione B: vincita 1 euro con P=0,99 e euro con P=0,01 (expected euro 4.000,99) Scelgo A e vinco sicuramente euro, ma poi rimpiangerò di non aver tentato di vincere euro. Situazione che può verificarsi soprattutto per decisioni non ripetitive sul lungo periodo. 30

31 Decisioni in condizioni di incertezza Il decisore usa probabilità soggettive degli stati possibili e quindi delle conseguenze delle azioni 31

32 Criterio dell utilità attesa soggettiva (subjective expected utility) Il criterio di scelta per un decisore razionale in situazioni di incertezza è quello della massimizzazione dell utilità attesa soggettiva (SEU - Subjective Expected Utility) 32

33 Decisioni in condizione di incertezza su reti stocastiche Esempio Dati tre percorsi A, B e C, l utente non sa con certezza quale sarà il tempo che sperimenterà utilizzando uno dei tre. I possibili valori di tempo di viaggio siano due, con valori e probabilità soggettive di verificarsi T 1 (minuti) T 2 (minuti) Percorso A probabilità 0,60 0,40 Percorso B probabilità 0,50 0,50 Percorso C probabilità 0,60 0,40 33

34 Esempio d OD = 100 veicoli/ora Generico utente i E 1 E 2 T 1 (minuti) T 2 (minuti) EU Percorso A probabilità Percorso B probabilità Percorso C probabilità SEU i A = 35 x 0, x 0,4 = 39 SEU i B = 25 x0, x 0,2 = 40 i n i i k j1 jk X jk EU p (E ) U ( ) i i U ( X jk ) Xhjk 1.Con SEU viene scelto C SEU i C = 25 x 0, x 0,6 = 28 34

35 Decisioni in condizioni di incertezza La azione scelta può non essere quella che verrebbe scelta conoscendo le probabilità oggettive (condizioni di rischio). Nell esempio il percorso C ha una utilità attesa oggettiva di 37 minuti; il percorso B oggettivamente ottimale ha utilità attesa oggettiva di 26 minuti. Dunque il sistema viene utilizzato in modo non efficiente con una perdita media di 11 minuti ad azione Un sistema di informazione può migliorare la precisione delle probabilità soggettive e dei valori degli stati oppure indicare direttamente il percorso oggettivamente ottimale (vedi altra lezione del corso) 35

36 Appendice DECISIONI IN SITUAZIONI DI ESTREMA INCERTEZZA 36

37 Decisioni in situazioni di estrema incertezza [1/2] Il decisore non è in grado di assegnare una distribuzione di probabilità agli stati. Criteri decisionali che possono essere utilizzati in questo caso sono: Criterio (del max-min) del pessimista. Il decisore confronta i benefici minimi e scegliendo l alternativa con il max di questi minimi a* = max i {min j c ij } Criterio (del max-max) dell ottimista. Il decisore è convinto che si realizzerà quello stato che gli permetterà di conseguire il beneficio massimo a* = max i {max j c ij } 37

38 Decisioni in situazioni di estrema incertezza [2/2] Criterio (del min-max) del rimpianto. Il decisore cerca di minimizzare i danni di una decisione errata r ij = max h c hj c ij a* = min i {max j r ij } Criterio della ragione insufficiente. Il decisore attribuisce implicitamente la stessa probabilità agli stati di natura a* = max i j y ij 38

39 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 Introduzione di un nuovo prodotto 4 possibili nuovi modelli (azioni): A, B, C, D 3 possibili livelli di domanda (stati ): Basso, Medio, Alto D è dominata da C, pertanto è scartata Livello di domanda Modello Basso Medio Alto A B C

40 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 MaxMin (o del pessimista) Criterio di Wald a* = max i {min j c ij } Livello di domanda Modello Basso Medio Alto m i = min j c ij A B C C È la azione migliore se si realizza bassa domanda 40

41 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 MaxMax (o dell ottimista) a* = max i {max j c ij } Livello di domanda Modello Basso Medio Alto m i = max j c ij A B C A Punto al massimo 41

42 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 MinMax (o del rimpianto) Criterio di Savage verificare a* = min i {max j r ij } r ij = max h c hj - c ij Livello di domanda Modello Basso Medio Alto A B C r ij Livello di domanda Modello Basso Medio Alto r i = max j r ij A B C B 42

43 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 1 ragione insufficiente Criterio di Laplace Livello di domanda Modello Basso Medio Alto A B C i n a* max y j1 ij Livello di domanda Modello Basso Medio Alto y ij A B C C 43

44 Decisioni in condizione di estrema incertezza Esempio 2 Quale percorso sceglie per andare da O a D 4 possibili percorsi (decisioni): A, B, C, D 3 possibili livelli di congestione della rete (stati di natura): Basso, Medio, Alto Tempo di viaggio (minuti) Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto A 20,0 35,0 60,0 B 25,0 35,0 54,0 C 30,0 37,5 49,0 D 30,0 35,0 47,0 C è dominata da D, pertanto è scartata 44

45 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 2 MinMax (o del pessimista) Criterio di Wald a* = min i {max j c ij } i tempi sono delle perdite, mi garantisco dal non perdere troppo se si realizza alta congestione Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto m i = max j c ij A 20,0 35,0 60,0 60,0 B 25,0 35,0 54,0 54,0 D 30,0 35,0 47,0 47,0 D 45

46 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 2 MinMin (o dell ottimista) Criterio di Wald a* = min i {min j c ij } Punto alla situazione di massimo vantaggio Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto m i = min j c ij A 20,0 35,0 60,0 20,0 B 25,0 35,0 54,0 25,0 D 30,0 35,0 47,0 30,0 A 46

47 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 2 MinMax (o del rimpianto) Criterio di Savage a* = min i {max j r ij } Perdita se si avvera lo stato di congestione S j r ij = c ij - min h c hj Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto A 20,0 35,0 60,0 B 25,0 35,0 54,0 C 30,0 35,0 47,0 r ij Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto r i = max j r ij A 0,0 0,0 13,0 13,0 B 5,0 0,0 7,0 7,0 C 10,0 0,0 0,0 10,0 B 47

48 Decisioni in situazioni di estrema incertezza Esempio 2 ragione insufficiente Criterio di Laplace Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto A 20,0 35,0 60,0 B 25,0 35,0 54,0 C 30,0 37,5 49,0 i n a* min y j1 ij Livello di congestione Percorso Basso Medio Alto y ij A 20,0 35,0 60,0 115,0 B 25,0 35,0 54,0 114,0 C 30,0 37,5 49,0 116,5 B 48