MODELLI MATEMATICI PER I SISTEMI DI INFORMAZIONE ALL UTENZA: Fuzzy Utility Theory

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1 Corso di TRASPORTI E TERRITORIO e TEORIA E TECNICA DELLA CIRCOLAZIONE MODELLI MATEMATICI PER I SISTEMI DI INFORMAZIONE ALL UTENZA: Fuzzy Utility Theory DOCENTI Agostino Nuzzolo (nuzzolo@ing.uniroma2.it) Antonio Comi (comi@ing.uniroma2.it) Pierluigi Coppola (coppola@uniroma2.it) Umberto Crisalli (crisalli@ing.uniroma2.it) 1

2 Fuzzy utility choice theory Fuzzt Sets and Fuzzy Numbers Theory of Possibility Fuzzy Utility Choice Theory 2

3 Insieme Fuzzy Insieme i cui elementi vi appartengono con un certo grado compreso tra 0 e 1. Dato un insieme universo X, un insieme fuzzy A è un insieme di coppie ordinate: A A A x, x x X, x 0,1 dove μ A (x)=a(x) è detta funzione di appartenenza e specifica il grado con cui l elemento x appartiene all insieme fuzzy A. Si può anche scrivere x A A x X, A x 0,1 x Un insieme fuzzy A si dice normalizzato se esiste almeno un x tale che μ A (x)=a(x) = 1. 3

4 Esempi di insieme fuzzy A (1;0,2); (2; 0,6);(3; 0,4); (4;0,1); (5; 0,5) A insieme dei numeri reali prossimi a 10 4

5 Operazione sugli insiemi fuzzy Inclusione: A Unione Intersezione Complemento A B se (x) (x) x X Se il grado di appartenenza di ogni elemento in un insieme fuzzy A è minore o uguale al suo grado di appartenenza in un insieme fuzzy B, allora A è sottoinsieme di B AB A B A B max x, x AB A B A B min x, x A 1 x A A 5

6 Numero fuzzy Un numero fuzzy è un insieme fuzzy convesso e normalizzato definito sull insieme R dei numeri reali Funzione di appartenenza Zero Non decrescente 1 Non crescente Zero 6

7 Esempi di numero fuzzy Tempo di viaggio dell utente i per accedere all Università di Tor Vergata valori compresi tra 14 e 16 minuti hanno grado di appartenenza µ = 1; Valori inferiori a 10 minuti hanno grado di appartenenza µ = 0 Valori superiori a 35 minuti hanno grado di appartenenza µ = 0 7

8 Operazione con numeri fuzzy Principio di estensione (vedi appendice) Addizione: A+B z max min x, y AB z x y A B Vanno considerate tutte le possibili coppie di x e y. Per ogni coppia di elementi (x, y), la somma è un numero fuzzy z= x+y, con grado di appartenenza pari al minimo dei gradi di appartenenza di x e y. Se risultano più valori di z, il grado di appartenenza è quello massimo. 8

9 Esempio di addizione di numeri fuzzy A (2; 1); (3; 0,5) B (3, 1); (4; 0,5) Z A B (5; 1); (6; 0,5); (7; 0,5) A B Esempio z = 6; z = x + y = 3 + 3; x + y = z(3+3) = min { x=3 ; y=3 } = min {0,5 ; 1} = 0,5 z(2+4) = min { x=2 ; y=4 } = min {1 ; 0,5} = 0,5 z=6 = max { (3+3) ; 2+4) } = max{0,5 ; 0,5} = 0,5 9

10 Operazione con numeri fuzzy Principio di estensione (vedi appendice) Massimo: max(a, B) z max min x, y max(a,b) z max(x,y) A B Vanno considerate tutte le possibili coppie di x e y. Per ogni coppia di elementi (x, y), il massimo è un numero fuzzy z= max (x, y), con grado di appartenenza pari al minimo dei gradi di appartenenza di x e y. Se risultano più valori di z, il grado di appartenenza è quello massimo. 10

11 Esempio di massimo di due numeri fuzzy A (2; 1); (3; 0,5) B (3; 1); (4; 0,5) Z max(a,b) (3; 1); (4; 0,5) A B Esempio z = 3; z = max (x, y) = max (2, 3) = max (3, 3) z=max(2,3) = min { x=2 ; y=3 } = min {1 ; 1} = 1 z=max(3,3) = min { x=3 ; y=3 } = min {0,5 ; 1} = 0,5 z=3 = max { max(2,3) ; max(3,3) } = max{1 ; 0,5} = 1 11

12 Operazioni con numeri fuzzy triangolari Numero fuzzy triangolare A è detto numero fuzzy triangolare se la sua funzione di appartenenza è triangolare: 0 x a1 x a1 a z a a a 2 1 A a3 x 1 2 a z a a3 a2 0 x a3 2 3 (2, 4, 7) Un numero fuzzy triangolare A tipicamente è denotato con (a 1, a 2, a 3 ). 12

13 Operazione con numeri fuzzy triangolari Siano A e B due numeri fuzzy triangolari: La loro somma (A + B) è un numero fuzzy triangolare così rappresentato: (a 1 +b 1, a 2 +b 2, a 3 +b 3 ) A a,a,a B b,b,b B A A+B La loro differenza (A - B) è un numero fuzzy triangolare così rappresentato: (a 1 b 3, a 2 - b 2, a 3 b 1 ) A - B A B 13

14 Massimo di numeri fuzzy triangolari 1/5 Esempio Max (A, B) Dati due numeri fuzzy triangolari: A (-12, -10, -2) e B (-14, -7, -5) determinare Z = max (A, B). Utilizzando il principio di estensione, il grado di appartenenza di ciascun elemento z del numero fuzzy max (A, B) è determinato come: z max min x, y max(a,b) z max(x,y) A B 14

15 Massimo di numeri fuzzy triangolari 2/5 z -12; µ max (z) = 0 Ad esempio z = -13 (x 1 ; µ A (x 1 )=µ B (x 1 ) (x 2 ; µ A (x 2 )=µ B (x 2 ) (x 3 ; µ A (x 3 )=µ B (x 3 ) x A; y B (y 1 ; µ B (y 1 )=µ A (-4)) (y 4 ; µ A (y 4 )=µ B (y 4 )=µ A (-4)) (-4; µ A (-4)) z = -13 max z 13; z max x 13, 13 max x 13, y 13 z max x 13, 13 min 0, B 13 0 B z max 13, 13 min 13, 13 0 max z max 13, y 13 min 0, y 13 0 max A B max z 13 max 0,0,0 0 15

16 Massimo di numeri fuzzy triangolari 3/5-12 z -x 1 ; µ max (z) = µ A (z) Ad esempio z = -11,5 (x 1 ; µ A (x 1 )=µ B (x 1 ) (x 2 ; µ A (x 2 )=µ B (x 2 ) (x 3 ; µ A (x 3 )=µ B (x 3 ) x A; y B (y 1 ; µ B (y 1 )=µ A (-4)) (y 4 ; µ A (y 4 )=µ B (y 4 )=µ A (-4)) (-4; µ A (-4)) z = -11,5 z 11,5; z max x 11,5 ; 11,5 max x 11,5; y 11,5 A x x : 12 x 11,5 max z max x 11,5 ; 11,5 min A x, B 11,5 0 x : x 12 z max 11,5; y 11,5 min 11,5 ; y 11,5 z max 11,5; 11,5 min 11,5 ; 11,5 11,5 max A B A max A B A max z 11,5 max... 11,5 A 16

17 Massimo di numeri fuzzy triangolari 4/5 - x 1 z -x 2 ; µ max (z) = µ B (z) Ad esempio z = - 9 (x 1 ; µ A (x 1 )=µ B (x 1 ) (x 2 ; µ A (x 2 )=µ B (x 2 ) (x 3 ; µ A (x 3 )=µ B (x 3 ) x A; y B (y 1 ; µ B (y 1 )=µ A (-4)) (y 4 ; µ A (y 4 )=µ B (y 4 )=µ A (-4)) (-4; µ A (-4)) z 9; z max x 9 ; 9 max x 9; y 9 z = -9 z max x 9 ; 9 min x, 9 z max 9; y 9 min 9 ; y max z max 9; 9z min A 9, B 9 B 9 B 9 x :x1 x 9 max A B A x x :x x1 B y y :x1 y 9 max A B A y y :y x1 max z 9 max... 9 B 17

18 Massimo di numeri fuzzy triangolari 5/5 - x 3 z -2; µ max (z) = µ A (z) Ad esempio z = - 4 (x 1 ; µ A (x 1 )=µ B (x 1 ) (x 2 ; µ A (x 2 )=µ B (x 2 ) (x 3 ; µ A (x 3 )=µ B (x 3 ) x A; y B (y 1 ; µ B (y 1 )=µ A (-4)) (y 4 ; µ A (y 4 )=µ B (y 4 )=µ A (-4)) (-4; µ A (-4)) z 4; z max x 4 ; 4 max x 4; y 4 z = -4 max z max x 4 ; 4 min A x, B y : 5 y 4 By y :y4 y 5 max z max 4; y 4 min A 4 ; B y A 4 y :y 1 y x 4 By y :y y1 max z max 4; 4 min A 4, B 4 0 z 4 max... 4 A 18

19 Behavioral fuzzy utility-based approach (1/4) Ipotesi di comportamento razionale Il decisore i considera un insieme di n alternative: {1, 2,, n} Associa a ciascuna alternativa k un valore (numero) fuzzy (triangolare) dell utilità percepita U i k (con valore centrale U i 2k) che è funzione di attributi percepiti fuzzy (triangolari) X i jk che caratterizzano l alternativa k, U i 2k = j β i j X i 2jk con X i 2jk valore centrale dell attributo percepito fuzzy X i jk A B C 19

20 Behavioral fuzzy utility-based approach (2/4) Il decisore sceglie l alternativa in base alla utilità fuzzy massima U i max; L utilità percepita massima fuzzy, U i max si può determinare ordinando in modo decrescente le U i k ed applicando ricorsivamente (in forma binaria) l operatore MAX: U U k 2 i max La funzione di appartenenza U i z è pari a: i k U max(u, U ) k 2 i i i max max k z max min x, y max( A, B) zmax( x, y) A B con x A, y B, Z max( A, B), z Z Nel seguito per semplicità di trattazione verrà sistematicamente sottointeso l indice i relativo al generico utente. 20 max

21 Behavioral fuzzy utility-based approach (3/4) Si possono avere due casi: Caso 1 Le utilità fuzzy considerate (ad esempio, U A, U B e U C ) non hanno alcun punto in comune, pertanto la utilità di una sola alternativa coincide con la massima e quella è l alternativa scelta. Nell esempio, B è l alternativa scelta, essendo U B U max B C A 21

22 Behavioral fuzzy utility-based approach (4/4) Caso 2 Le utilità fuzzy considerate (ad esempio, U A, U B e U C ) hanno punti in comune (cioè sono soprapposte totalmente o in parte). La massima utilità U max coincide con la U B, ma include anche parti di U A ed U C e pertanto l utente potrebbe scegliere sia A sia B sia C. In tal caso si può calcolare la percentuale (frazione) di scelta con la teoria della possibilità 22

23 Teoria della possibilità La misura del verificarsi di un evento A può essere espressa non solo con la probabilità p(a), ma anche con la Possibilità, Pos (A). La teoria della possibilità si fonda su proprietà meno restrittive di quella della probabilità e quindi si presta meglio a trattare numeri fuzzy e in genere fenomeni incerti. Possibilità X =.. A k.. insieme eventi 0 Pos(A) 1 k Pos(A k ) = no vincolo Pos(A B) = max[pos(a), Pos(B)] Probabilità S =.. A k.. spazio delle prove 0 p(a) 1 k p(a k ) = 1 p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) p(a B) = min[pos(a), Pos(B)] p(a B) = p(a) p(b/a) 23

24 µ A (x) = q A (x) Teoria della possibilità Dato un evento rappresentato da numero fuzzy A con funzione di appartenenza A (x), poniamo Pos (x) = A (x) misurando la possibilità in termini di appartenenza: maggiore è il grado di appartenenza di x, maggiore è la possibilità di x Introduciamo la funzione di possibilità q A (x) = Pos(x) Esempio U = (-14, -8, -5) = Utilità percepita fuzzy; q A (x) misura la possibilità che U assuma il valore x 24

25 Behavioral fuzzy utility-based approach La possibilità che una alternativa sia percepita come alternativa di massima utilità e dunque sia scelta è: max qk Pos( U k U max ) max x z min U ( x), ( ), 1 k U z k max con z U ; x U k La frequenza di scelta, s k, può essere ottenuta dalle possibilità, q k, s k qk q k ' k ' 25

26 Esempio di calcolo delle frequenze di scelta (1/3) Dati tre percorsi A, B e C di una relazione O-D, siano U A, U B e U C le utilità percepite descritte da numeri fuzzy triangolari: U A (-40, -33, -31 ); U B (-38, -32, -29); U C (-44, -37, -33 ). Il flusso O-D è pari a 2000 utenti/h. Si determinino le frazioni di utenti che scelgono A, B e C ed i corrispondenti flussi orari. s A =? s B =? s C =? 26

27 Esempio (2/3) Step 1 U max = U B ; µ max1 = µ B Step 2 U max2 = MAX {U max1 ; U A } = U B ; µ max2 = µ max1 = µ B A MAX Step 3 U max3 = MAX {U max2 ; U C } = U max2 ; µ max3 = µ max2 = µ B C MAX 27

28 Esempio (3/3) q ( max ) max min ( ), ( ), k Pos Uk U x U x 1 k U x max k q B = Pos (U B = U B ) = 1,000 q A = Pos (U A = U B ) = 0,875 q C = Pos (U C = U B ) = 0,500 A q A =0,875 MAX Frazioni di scelta s A = 0,875/(0, ,500) = 0,368 s B = 0,421 s C = 0,211 C MAX Flussi medi sui percorsi: - FA = 0,368 x 2000 = FB = 0,421 x 2000 = FC = 0,211 x 2000 = 422 q B =0,500 28

29 Appendice Principio di estensione Calcolo valore q k Passaggio da Possibilità a Probabilità 29

30 Principio di estensione (1/4) Il principio di estensione permette la generalizzazione dei concetti matematici nell ambito crisp all ambito fuzzy. Dati una funzione f definita sui punti dell insieme X a valori nei punti dell insieme Y un qualunque insieme fuzzy A: x X ; y Y, y f ( x) A = {µ 1 / x 1 ; µ 2 / x 2 ;... ; µ n / x n } 30

31 Principio di estensione (2/4) il principio di estensione afferma che f(a) = f(µ 1 / x 1 ; µ 2 / x 2 ;... ; µ n / x n ) = = µ 1 /f( x 1 ) ; µ 2 / f(x 2 ),... ; µ n /f( x n ) Se più di un elemento di X è mappato da f sullo stesso elemento y Y, allora il massimo dei gradi di appartenenza di questi elementi nell insieme fuzzy A è scelto come grado di appartenenza per y in f(a). Se nessun elemento di x X è mappato su y, allora il grado di appartenenza di y in f(a) è zero. 31

32 Principio di estensione (3/4) Esempio A = {(-2; 0,3); (-1;0,4); (0; 0,8); (1; 1); (2; 0,7)} f(a) = b = a 2 B = {(4; 0,3); (1; 0,4); (0, 0,8); (1; 1); (4; 0,7)} = = {(0; 0,8); (1; 1); (4; 0,7)} 32

33 Principio di estensione (4/4) Nel caso di più variabili ( y) B 1 A1 1 Ar r ( u1,..., ur ) f ( y) 1 max min u,..., u se f ( y) se f ( y) 0 Esempio per la somma di due numeri fuzzy Dati due numeri fuzzy A1 (con funzione di appartenenza µ A1 ) e A2 (con funzione di appartenenza µ A2 ), e la funzione f(y) =u 1 +u 2 Si determini la funzione di appartenenza del nuovo insieme B di elementi y 1u2 ( y) max min u, u B A1 1 A2 2 yu Significa che per ogni elemento y dobbiamo prendere ogni coppia di elementi (u 1, u 2 ) tali che la loro somma sia uguale a y e determinare il grado di appartenenza come il minimo dei corrispondenti gradi di appartenenza. Se risultano più valori di z, il grado di appartenenza è quello massimo (SOMMA DI NUMERI FUZZY) 33

34 Calcolo del valore di q k x A2 A( x) 1 x 1 A( x) A A A A A (A 2, 1) (B 2, 1) (B 1, 0) (A 3, 0) q ( x) ( x) A A B A3 B1 A A B B x B2 B ( x) 1 x 1 B ( x) B B B B B

35 Trasformazione Possibilità-Probabilità (1/2) Nei modelli di scelta stocastica, l incertezza è in genere misurata attraverso l entropia di Shannon, H: H pklog 2 pk dove p[k] è la probabilità di scelta dell alternativa k. k Nel contesto della teoria della possibilità, l incertezza, U, è misurata attraverso la seguente espressione: U Pos( k) Pos( k 1) log 2 k k dove Pos(k) e Pos(k+1) sono i valori della possibilità per l alternativa k e k+1, ordinate in modo decrescente. Applicando il principio di invarianza dell incertezza (cioè uguagliando le due espressioni precedenti) si ha: k k pk Pos k p k log p k Pos( k) Pos( k 1) log k 2 2 con i vincoli: 1; max ( ) 1 k 35

36 Trasformazione Possibilità-Probabilità (2/2) Ipotizzando la seguente trasformazione g Pos( k) Pos( k) b pk pk b con b e g costanti positive. 1/ g Applicando la normalizzazione della probabilità Si ottiene: 1/ g Pos( k) p k b 1/ g 1 b Pos( k) k k k p k 1/ g Pos( k) Pos( k) pk b Pos( k) k 1/ g 1/ g 1/ g 36