Teoria delle Decisioni

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1 1 Teoria delle Decisioni Massimo Paolucci DIST Università di Genova La teoria delle decisioni 2 L oggetto della Decision Theory è la decisione intesa come scelta tra alternative Esempi: se introdurre o meno di un nuovo prodotto, se rinnovare un impianto oppure aprirne uno nuovo, se effettuare o meno un investimento, di quanto rifornirsi per soddisfare una domanda di prodotto,... Decisioni dagli esiti non deterministici Le conseguenze di una decisione non sono certe Casi diversi da quelli affrontati con i metodi di ottimizzazione (funzione obiettivo = misura certa della prestazione)

2 La teoria delle decisioni 3 Un semplice esempio The newsvendor model: Un venditore di giornali deve decidere di quanto rifornirsi Acquista i giornali a 40 e li vende a 75 Non conosce a priori quale sarà la domanda di giornali Se si rifornisce in eccesso perde l investimento (40 per invenduto) Se si rifornisce in difetto perde potenziali clienti (stima 50 per cliente) Se ad esempio i livelli di domanda fossero d=0,1,2,3 Decisione Livello della domanda La teoria delle decisioni 4 Fasi dell analisi decisionale (Decision Analysis, DA) Individuazione delle alternative A i, i=1,...,m (mutuamente esclusive) Individuazione degli eventi futuri (stati della natura) S j, j=1,...,n (esaustivi e mutuamente esclusivi) U j S j = S S j S k = Calcolo (stima) degli esiti della scelta nei diversi stati della natura (payoff) V ij, i=1,...,m; j=1,...,n Matrice dei Payoff A 1 M A m S 1 V 11 M V m 1 L L V ij L S n V 1n M V mn

3 La teoria delle decisioni 5 Fasi dell analisi decisionale Valutazione delle alternative Tre classi di decisioni Decisioni in condizioni di certezza lo stato futuro della natura (esiti della decisione) sono certi Decisioni in condizioni di rischio lo stato futuro della natura è noto in probabilità Decisioni in condizioni di incertezza non si conosce nulla circa lo stato futuro della natura Sono tre modelli artificiali (nella realtà non si verificano quasi mai) Si cerca di modellare le situazioni di informazione imperfetta o parziale La teoria delle decisioni 6 certezza rischio incertezza ProdMix c j c j var. aleatorie p(c j ) c j {c j1, c j2, c j3 } Imperfezione dell informazione Inaffidabilità dei modelli (insoddisfazione delle soluzioni) Condizioni di rischio la probabilità fornisce una misura del rischio di una decisioni normalmente è una probabilità soggettiva (stima)

4 La teoria delle decisioni 7 Nella realtà i fattori soggettivi (emotivi, avversione al rischio, valutazioni non quantitative) giocano un ruolo fondamentale La teoria delle decisioni fornisce un supporto metodologico per confrontare alternative decisionali I metodi assumono un comportamento razionale del decisore (Decision Maker, DM): Un DM è razionale se sceglie l alternativa che giudica la migliore Assunzioni della DA: il DM è in grado di quantificare i suoi giudizi sui possibili stati futuri della natura (probabilità soggettive) il DM è in grado di specificare le sue preferenze circa la desiderabilità delle alternative (teoria dell utilità) il DM (consistentemente rispetto alle probabilità soggettive e alla propria utilità) sceglie l alternativa che massimizza l utilità attesa La teoria delle decisioni 8 Decisioni strutturate e non strutturate Strutturate Certezza Ripetitività Operative Obiettivo singolo Procedure disponibili Non strutturate Incertezza Unicità Strategiche Obiettivi multipli contrastanti Non esistono procedure DM sempre razionali DM spesso non razionali Ruolo della DA fornire strumenti metodologici che aiutano i DM a prendere decisioni razionali, ossia consistenti con i loro giudizi di preferenza

5 La teoria delle decisioni 9 Teoria delle decisioni vs Teoria dei giochi Nella Game Theory si ipotizza la presenza di più DM che operano in competizione la decisione del DM è presa in presenza di entità intelligenti che agiscono in opposizione (tendono a determinare uno stato futuro sfavorevole per il DM) e possono subire a loro volta conseguenze (negative) in seguito alla decisione del DM Nella Decision Analysis non esiste un entità che opera in opposizione ma un entità, la natura, che determina lo stato futuro restando indifferente rispetto alle decisioni del DM (l oppositore è la natura che non agisce in modo malevolo) 10 Si suppongono specificate le probabilità (soggettive) degli stati futuri della natura Si basano sulla massimizzazione del valore atteso Alternative A i, i=1,...,m Stati delle natura S j, j=1,...,n Probabilità di occorrenza degli stati p(s j ): 0 p(s j) 1 p(s j) = 1 j Matrice dei payoff V (nxm) V =[V ij,i=1,...,m j=1,...,n] Valore monetario atteso dell alternativa i EV = n i p(s j) Vij j= 1 Valore monetario atteso massimo (EV) EV = max EV * i A = Ai i : i = arg max EVi i

6 11 Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile Esempio: decidere un investimento Investimento di p=0,5 1-p=0, EV = Guadagno atteso = EV Investimento = Due diversi decisori: DM 1 : una perdita > corrisponde alla bancarotta non investe DM 2 : dispone di un surplus di capitale investe La decisione dipende dalla diversa propensione del DM a rischiare 12 Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile Esempio 2: una diversa opportunità di un investimento per DM 1 Investimento di p=0,5 1-p=0, EV = Guadagno atteso = EV Investimento = Anche se il EV è molto inferiore DM 1 questa volta accetta di investire!

7 13 Il criterio del massimo EV non è generalmente accettabile Perchè il criterio del massimo valore atteso monetario non funziona? Si basa sull ipotesi che la situazione decisionale si possa ripetere un numero sufficiente grande di volte: se Z i, i=1,..n sono le realizzazioni di una var.aleatoria Z con media E[Z] e varianza σ 2... la media della sequenza campionaria tende a E[Z] per n dato che la varianza della sequenza σ 2 n 0 Il criterio si basa sulla legge dei grandi numeri ma la decisione reale è unica e non può essere ripetuta 14 La decisione è presa considerando l utilità attesa L utilità è una misura (cardinale) della preferenza di un DM in presenza di rischio Tiene conto dei payoff delle alternative ma anche della diversa avversione o propensione al rischio del DM La funzione di utilità, U(.), fornisce un valore numerico che è legato al valore intrinseco della decisione per un DM U(.) esprime una misura soggettiva: se A > B (A è preferita a B) U(A) > U(B) U(A) è una misura proporzionale alla preferenza del DM per A è determinata fissando l origine (zero) e la scala dei valori di utilità

8 15 Costruzione della funzione di utilità (l esperimento di Von Neumann-Morgenstern) La lotteria standard (standard lottery) S(p) Scelta p X E U(X E ) 1-p X D U(X D ) X E è l alternativa più desiderabile (utilità massima) X D è l alternativa meno desiderabile (utilità minima) Data un alternativa A, U(A) si costruisce chiedendo al DM di specificare per quale livello di p risulta indifferente scegliere A o partecipare alla lotteria S(p) U(A) = EV(S(p)) = pu(x E )+(1-p)U(X D ) 16 Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezza monetaria Equivalente) 1 p i retta del valore atteso E i =p i X E +(1-p i )X D funzione di utilità avversione al rischio 0 X D CME i A i X E La CME è il massimo valore che il DM è disposto a pagare per una lotteria con probabilità p i,ossia con EV pari ad A i

9 17 Costruzione della funzione di utilità: la CME (Certezza monetaria Equivalente) La CME è anche la minima somma a cui il DM è disposto a cedere il diritto a partecipare alla lotteria S(p i ) Esempio: lotteria con premi A e B 1 V j U j A B 2 2 0,5 p 1-p Se p=0,5 EV=500p+2(1-p)=251 EU=40p+2(1-p)=21 U(CME(EV)) 0 V j 2 CME U j Costruzione della funzione di utilità: L avversione al rischio La curva di utilità indica l avversione o propensione al rischio del DM DM avverso al rischio (concava) DM propenso al rischio (convessa) L andamento della curva per un DM può variare nel tempo La curva è non decrescente (l utilità cresce con il ritorno) Com è la curva nel caso di indifferenza al rischio?

10 19 Alberi decisionali Formalizzano le decisioni in condizioni di rischio in base al criterio del valore (utilità) attesa (Ipotesi: i payoff esprimono l utilità del DM) Mettono in evidenza le conseguenze delle decisioni Utili per studiare processi decisionali a stadi (sequenza di decisioni) Elementi: nodi di decisione: scelta tra alternative nodi evento: si verifica uno tra più stati della natura nodi terminali: foglie dell albero con associati i valori di guadagno (utilità) determinato dalla catena di decisioni ed eventi 20 Alberi decisionali Esempi eventi conseguenze A 1 p 1 c m1... A m... punto di decisione p n alternative

11 21 Alberi decisionali Esempio la ditta Acme vuole introdurre un nuovo prodotto non completamente testato sul mercato il prodotto se introdotto troppo in anticipo potrebbe non soddisfare i clienti perchè presenta ancora difetti se Acme attende la concorrenza potrebbe precederla annunciando il proprio prodotto rubandole fette di mercato la decisione si sviluppa su T=3 periodi (e.g., mesi) sono stati stimanti per t=1,...,t: r t profitto se Acme immette il prodotto prima della concorrenza g t profitto se Acme immette il prodotto insieme alla concorrenza h t profitto se Acme immette il prodotto dopo la concorrenza supponiamo che r t > g t > h t (anche se per t=1 potrebbe non valere) 22 Alberi decisionali Esempio p t la probabilità (soggettiva stimata) che la concorrenza annunci il prodotto sul mercato nel periodo t Acme ha deciso di immettere il prodotto comunque se la concorrenza annuncia il proprio annuncio p 1 g 1 immissione 1-p 1 non annuncio r 1 non immissione p 1 1-p 1 h 1 0

12 23 Alberi decisionali Esempio Si calcola il EV e lo si associa ad ogni nodo evento Si calcola il massimo EV tra i nodi evento e lo si associa al nodo decisione annuncio EV imm p 1 g 1 EV imm =p 1 g 1 +(1-p 1 )r 1 f 1 1-p 1 non annuncio r 1 EV non imm =p 1 h 1 non p 1 h 1 f 1 =max [EV imm, EV non imm ] EV non imm 1-p Alberi decisionali Esempio: T=3 periodi e per t=3 si stima che la concorrenza annuncierà certamente EV imm annuncio p 1 g 1 f 1 1-p 1 non annuncio r 1 p 2 g 2 non p 1 h 1 1-p 2 r 2 EV non imm 1-p 1 f 2 non p 2 h 2 1-p 2 f3 p 3 p 3 g 3 non h 3

13 25 Alberi decisionali Esempio Si procede a ritroso dallo stadio 3 (backward come per la P.D.) p 3 g 3 EV i 3 = p 3 g 3 EV ni 3 =p 3 h 3 f 3 non p 3 h 3 p 3 = 1 f 3 = max [EV i 3, EVni 3 ]= g 3 26 Alberi decisionali Esempio Per t=2 p 2 g 2 EV i 2 = p 2 g 2 + (1- p 2 )r 2 1-p 2 r 2 EV ni 2 = p 2 h 2 + (1- p 2 )f 3 = p 2 h 2 + (1- p 2 )g 3 p 2 h 2 f 2 non 1-p 2 f3 f 2 = max [EV i 2, EVni 2 ]

14 27 Alberi decisionali Esempio Per t=1 p 1 g 1 EV i 1 = p 1 g 1 + (1- p 1 )r 1 f 1 1-p 1 r 1 EV ni 2 = p 1 h 1 + (1- p 1 )f 2 non p 1 h 1 f 1 = max [EV i 1, EVni 1 ] 1-p 1 f 2 28 Alberi decisionali Esempio: caso numerico h 1 =40 g 1 =50 r 1 =60 p 1 =0,2 f 3 = max (imm.) (non imm.) h 2 =75 h 3 =80 g 2 =80 g 3 =90 r 2 =100 p 2 =0,4 p 3 =1 f 2 = max 0,4 80 0, , ,6 90 = 92 (imm.) = 84 (non imm.) f 1 = max 0, ,8 60 0, ,8 92 = 58 (imm.) = 81,6 (non imm.)

15 29 Il valore atteso della perdita di opportunità (Expected Opportunity Loss, EOL) Considera la perdita rispetto il massimo guadagno possibile L ij = V j max V ij dove V j max = max i V ij EOL i = n p(s j) Lij j= 1 EOL * = min i EOL i 30 Il valore atteso della perdita di opportunità (Expected Opportunity Loss, EOL) Esempio V ij ann. p=0,4 non ann. 1-p=0,6 L ij ann. p=0,4 non ann. 1-p=0,6 g 1 =50 r 1 = non h 1 =40 0 non EV * = max [0,4 50+0,6 60; 0,4 40] = 56 () EOL * = min [0; 0,4 10+0,6 60] = 0 ()

16 31 Il valore atteso della perdita di opportunità (Expected Opportunity Loss, EOL) Due osservazioni: Il criterio del massimo EV e del minimo EOL forniscono sempre la medesima soluzione Nell esempio il problema decisionale era di semplice soluzione perchè l alternativa immettere era dominante! Nella DA le alternative dominate possono essere escluse Definizione A i è dominata se esiste una A k, k i, tale che V ij V kj j e vale V ij <V kj per almeno un j 32 Il valore atteso della informazione perfetta (Expected Value of Perfect Information, EVPI) L informazione perfetta è quella che permetta al DM di scegliere l alternativa più conveniente in funzione dello stato di natura che si verifica Ad esempio: la scelta se prendere o meno l ombrello piove (p=0,4) Ombrello non piove EV=0,8 (0,6) p non Ombrello np EV PI =4,4 Ombrello non Ombrello piove (p=0,4) np 5 4

17 33 Il valore atteso della informazione perfetta (Expected Value of Perfect Information, EVPI) Sfruttando l informazione perfetta ottengo il massimo guadagno (utilità) possibile Valore atteso con l informazione perfetta (EV PI, Expected Value with Perfet Information) EV = n max PI p(s j) V j j= 1 Quanto vale l informazione perfetta (quanto al massimo sarei disposto a pagarla)? EVPI = EV PI EV Nell esempio EVPI = 4,4-0,8 = 3,6 34 Il valore atteso della informazione perfetta (Expected Value of Perfect Information, EVPI) Quanto sarà disposta a pagare l Acme una spia industriale che le vendesse l informazione su ciò che farà la concorrenza? f 3 = 1 max f 0,4 max 0,6 max = + = f 1 = 0,2 max + 0,8 max = 83, EVPI = EV PI EV = 83,6 81,6 = 2

18 35 Il valore atteso della informazione campionaria (Expected Value of Sample Information, EVSI) L informazione perfetta non è disponibile Se EVPI è non trascurabile si può valutare l opportunità di acquisire informazione su quali alternative scegliere Indagine di mercato (I): IA i = l indagine suggerisce A i Si valuta (sulla base di analoghe indagini passate) la probabilità condizionata che l informazione acquisita suggerisca una alternativa quando si verifica uno certo stato p(ia i S j ) 36 Il valore atteso della informazione campionaria (Expected Value of Sample Information, EVSI) L informazione perfetta corrisponde a p(ia i S j ) = 1 se i = argmax V ij (A i è la migliore in S j ) p(ia h S j ) = 0 se h i EV SI (con informazione campionaria) si valuta aggiornando le probabilità a priori degli stati della natura in base all indagine EVSI = m p(ia i) EVSI i= 1 i EV = n SI i j= 1 p(s j IA i ) Vij

19 37 Il valore atteso della informazione campionaria (Expected Value of Sample Information, EVSI) Si devono valutare p(ia i ) le prob. a priori degli esiti dell indagine p(s j IA h ) le prob. degli stati condizionate agli esiti dell indagine (a posteriori) Probabilità Totale p(ia i) = n p(ia i j= 1 S j) p(s j) Teorema di Bayes p(s j IA i ) = p(ia i S j ) p(s j ) p(ia i ) 38 Il valore atteso della informazione campionaria (Expected Value of Sample Information, EVSI) Si ottiene n ) p(s j 1 m EVSI = p(ia i i= 1 = j IA i ) Vij m n p(ia i S j ) p(s j ) Vij = p(ia i ) = i= 1 j= 1 p(ia i ) m n = p(ia i S j ) p(s j ) Vij i= 1j= 1 Inf. perfetta: p(ia i S j ) = 1 se V ij = V ij max

20 39 Il valore atteso della informazione campionaria (Expected Value of Sample Information, EVSI) Il valore atteso dell informazione campionaria EVSI = EV SI -EV Efficienza dell informazione campionaria (Sample Information Efficiency, SIE) EVSI SIE = EVPI 0 SIE 1 40 Un esercizio Valutare 4 tipi di innovazione tecnologica di un prodotto a fronte di 3 possibili scenari futuri della domanda Decisioni\Domanda A B C D Probabilità S j Guadagni (utilità) Bassa Media Alta ,1 0,5 0,4

21 41 Un esercizio Valutare l opportunità di eseguire o meno un test sul possibile scenario di mercato avendo informazioni storiche sulla probabilità degli esiti del test dati gli stati della natura p(t h /S j ) Test Mercato\Domanda Bassa Media Alta Favorevole Invariato Sfavorevole Non sono disponibili le informazioni sulla probabilità degli stati futuri della natura Criteri decisionali f(v): MAXIMIN MAXIMAX Hurwicz Laplace (equiprobabilità)

22 43 Criterio MAXIMIN Atteggiamento pessimista del DM: massimizza il payoff nel caso più sfavorevole f(v ) = max i= 1,..., m min j= 1,..., n Vij Problemi: Scarso uso dell informazione disponibile Miopia (incapacità di valutare un compromesso) 44 Criterio MAXIMAX Atteggiamento ottimista del DM: massimizza il payoff nel caso più favorevole f(v ) = max i= 1,..., m max j= 1,..., n Vij Problemi: Gli stessi del MAXIMIN

23 45 Criterio di Hurwicz Un compromesso tra MAXIMIN e MAXIMAX espresso da un parametro α [(MAXIMAX) 0 α 1 (MAXIMIN)] f(v) = max i= 1,...,m α min j= 1,...,n Vij + (1 α) max j= 1,...,n Vij 46 Criterio di Laplace (equiprobabilità) Si considerano equiprobabili gli stati della natura e si sceglie secondo il massimo valore atteso p(s j ) = 1 n j f(v ) = max i= 1,..., m n p(s j= 1 j )Vij

24 47 Esempio Il problema della selezione della tecnologia Decisioni\Domanda A B C D Guadagni (utilità) Bassa Media Alta D è dominata da C!!! 48 Esempio Il problema della selezione della tecnologia Guadagni (utilità) Dec.\Dom. A B C Bassa Media Alta MAXIMIN MAXIMAX α= Equip 383, ,3

25 49 Interpretazione geometrica dei criteri Si può analizzare nel piano dei payoff coppie di stati della natura V ik (S k ) A B D Condizioni di certezza C V ih (S h ) Gli assi rappresentano i payoff se si realizza uno stato Esistono decisioni dominate? 50 Interpretazione geometrica dei criteri Curve di indifferenza = luogo delle decisioni equivalenti DM avverso al rischio curve convesse V ik (S k ) B B 1 A C 1 C Curva di indifferenza V ih (S h )

26 51 Interpretazione geometrica dei criteri Criterio MAXIMIN V ik (S k ) B regione con V ik V ih A V ih (S h ) 52 Interpretazione geometrica dei criteri Criterio MAXIMAX V ik (S k ) B A regione con V ih V ik V ih (S h )

27 53 Interpretazione geometrica dei criteri Criterio Laplace - Equiprobabilità V ik (S k ) B A pendenza costante = -1 V ih (S h ) 54 Interpretazione geometrica dei criteri Criterio di Hurwicz max(α min V ij +(1- α) max V ij ) V ik (S k ) α=2/3 α 1 α B A α=1 α=2/3 α 1 α α=0 V ih (S h )

28 55 Analisi di sensitività Break Even Point Nel caso di 2 eventi si può analizzare l andamento della decisione in funzione della probabilità Ad esempio Decisioni Stati della Natura S 1 (p) S 2 (1-p) A 1 V 11 V 12 A 2 V 21 V 22 A 3 V 31 V 32 A 4 V 41 V 42 EV(A i ) = pv i1 + (1-p)V i2 56 Analisi di sensitività Break Even Point Graficamente EV(A i ) = pv i1 + (1-p)V i2 Break Even Point V 22 V 12 V 42 A 2 A 1 A 4 V 41 V 11 V 21 V 32 V p