1. Impostazione di un semplice modello FEM

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1 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 07/06/2012, pagina 1/6 Cognome: Anno accademico in cui si è seguito il corso Nome: [2010/2011] [2009/2010] [ ] Matricola: [note di compilazione a pag. 6] 1. Impostazione di un semplice modello FEM {$$$$$$$$} Considerare la maglia di catena in figura, i cui perni sono modellati come elementi rigidi tipo RBE2 (nodi di controllo A,B), e le cui piastrine laterali sono modellabili in spessore sottile. Considerare i casi di carico di cui sotto, relativi ad una condizione normale di lavoro (I), e a sollecitazioni da configurazioni distorte (II,III). A B vista piano x-y caso I sforzo normale {p } caso II - torsione {p } caso III - flessione {p } Forza trattiva di 1000 N (asse x) applicata con versi opposti ai nodi di controllo A e B. Momento torcente di 400 Nmm (asse x) applicato con versi opposti ai nodi di controllo A e B Momento sollecitante di 600 Nmm su asse y, flessionale, applicato con versi opposti ai nodi di controllo A e B Per ognuno di questi tre casi discutere quale sia la più efficiente modellazione FEM della struttura, ottenuta sfruttando ogni eventuale simmetria 1 del modello, ed eventuali modellazioni in tensione/deformazione piana o in teoria delle piastre; Definire opportune condizioni di vincolo e carico da assegnare al modello. Si richiede di vincolare solamente i gradi di libertà nodali supportati dagli elementi utilizzati. Compilare una tabella nella forma: identificazione area vincolata o caricata tipo di carico o vincolo A, B, CD u x =0, u y =0, z =0 E, F Fx=100N prestare particolare attenzione alla condizione di simmetria propria dei momenti; nel dubbio sostituire visualmente tali momenti con un'equivalente coppia di forze e verificarne la simmetria.

2 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 07/06/2012, pagina 2/6 2. Assemblaggio e vincolamento di semplice struttura FEM Considerare la struttura in figura (2d, plane strain) composta dai seguenti elementi triangolari equilateri di lato l elemento 1 (tria3) elemento 2 (tria3) elemento 3 (tria3) connettività (i,j,k)=(3,2,1) (i,j,k)=2,3,4 (i,j,k)=5,4,3 matrice di rigidezza elemento [ a 11 a 16 a 61 a 66] [ b11 b16 b 61 b 66] [ c11 c16 c 61 c 66] Quesito 2.1: {$$$}{p } Si richiede di assemblare i contributi delle matrici di rigidezza degli elementi entro la matrice di rigidezza globale, e di assemblare la pressione distribuita q entro il vettore dei carichi. Fare attenzione alla scomposizione vettoriale della stessa. F1x F1y F2x F2y F3x F3y F4x F4y F5x F5y Matrice K, in forma piena b Quesito 2.2: {$$$}{p } Supponendo che il solo vincolo in 4 sia non omogeneo, e in particolare imponga uno spostamento y di entità +δ, riportare la matrice di rigidezza e il termine noto come restituito dalle procedure di vincolamento. Applicare tutti i vincoli di figura, controllando la congruità delle unità di misura.

3 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 07/06/2012, pagina 3/6 F1x F1y F2x F2y F3x F3y F4x F4y F5x F5y Matrice K, in forma piena b Quesito 2.3: {$}{p } Calcolare la larghezza di banda necessaria per contenere la matrice K di cui sopra. 3. Listato di programma Fortran 77 Calcolo dei coefficienti di Rayleigh di migliore approssimazione 2. {$$}{p } Scrivere una subroutine MMSP(N,A,B,S) che, presa in input una matrice quadrata A di ordine N ed elementi a i, j, una matrice quadrata B di ordine N ed elementi b i, j, restituisca la sommatoria S= a i, j b i, j ; {$$}{p } Scrivere una subroutine GETRC(N,M,C,K,ALPHA,BETA) che presa in input una matrice quadrata M di ordine N ed elementi m i, j, una matrice quadrata C di ordine N ed elementi c i, j, una matrice quadrata K di ordine N ed elementi k i, j, calcoli i coefficienti di Rayleigh di migliore approssimazione secondo le formule ove le quantità SMC SKK SCK SKM ALPHA= ; BETA= SMM SCK SKM SMC ; SMM SKK SKM 2 SMM SKK SKM 2 SKM= SMM = m i, j m i, j k i, j ; SMC= 2 ; SKK= sono calcolate richiamando la subroutine MMSP di cui sopra. k 2 i, j ; m i, j c i, j ; SCK= c i, j k i, j ; 2 secondo norma 2 dell'errore, ossia approssimazione ai minimi quadrati.

4 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 07/06/2012, pagina 4/6 4. Listato di programma al manipolatore algebrico {$$$}{p } Scrivere un programma al manipolatore algebrico Maxima (o equivalente) che calcoli con il teorema di Castigliano la freccia di estremità in una trave a sbalzo di lunghezza l, modulo di rigidezza flessionale EJ, caricata da una coppia di estremità C. 5. Teoria degli Elementi Finiti 5.1 {$$$}{p } Formulazione dell'elemento triangolare tria3 Esprimere in forma generica le funzioni di interpolazione per gli spostamenti u(x,y) e v(x,y) per l'elemento triangolare tria3; Definire la procedura per ricavare i coefficienti α i delle funzioni di interpolazione in funzione degli spostamenti nodali; Ricavare le componenti di deformazione x, y, xy a partire dalla formulazione agli spostamenti; discutere perché alcuni dei parametri utilizzati nelle funzioni di interpolazione non appaiano nelle formule per le deformazioni; Disegnare le funzioni di forma di un elemento tria3 con vertici ai punti (1,1), (2,1), (1,2); Esprimere il campo degli spostamenti interno all'elemento utilizzando le funzioni di forma dello stesso; 5.2 {$$$}{p } Formulazione dell'elemento isoparametrico 4 nodi: descrivere il ruolo dello Jacobiano della trasformazione (ξ,η)->(x,y) tra coordinate locali e u globali nel passaggio dalle derivate del campo degli spostamenti, v, u, v nelle coordinate locali alle derivate del campo degli spostamenti globali u x, v x, u y, v y in coordinate

5 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 07/06/2012, pagina 5/6 6. Problemi di instabilità nelle strutture {$$}{p } Calcolo del carico critico di instabilità per una a scelta tra le strutture: asta verticale (a) di lunghezza l, rigida e incernierata alla base, soggetta a carico compressivo di estremità e lateralmente supportata da una molla di rigidezza k. trave (b) a compressione, di modulo flessionale EJ, lunghezza l, incernierata alla base e supportata lateralmente in estremità da un carrello. 6.3 {++}{p } Proporre per una delle due strutture (c), (d) un grafico che leghi lo spostamento imposto δ alla reazione vincolare R, pre- e post-raggiungimento del carico critico. Notare l'incompribilità assiale di asta e trave. 7. Teoria delle piastre alla Kirchhoff [corso secondo a.a. precedenti al ] {$$$$++}{p } Trattare brevemente la teoria delle piastre flesso-membranali alla Kirchhoff, discutendo i seguenti punti: Ipotesi di applicabilità; Riduzione del campo degli spostamenti entro lo spessore di piastra alle rototraslazioni dei punti del piano di riferimento ipotesi cinematiche; Componenti membranali e flessionali di deformazione; Legame tensioni/deformazioni al singolo strato di materiale costituente la piastra; Definizione delle caratteristiche di sollecitazione q= q x q y q xy T (o F= F x F y F xy T ) e m= m x m y m xy T per la piastra alla Kirchhoff a partire dalle componenti tensionali; Estensione dei punti precedenti al caso di piastra con offset, ossia con piano di riferimento scostato di una quantità a rispetto al piano medio.

6 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 07/06/2012, pagina 6/6 Note di compilazione: il peso relativo di ogni domanda è espresso in forma indicativa e non vincolante in punti {$} per quota base e punti {+} per quota extra 30/30 ( lode ). Per facilitare la correzione si richiede di numerare le facciate dei fogli protocollo (1-4 primo foglio, 5-8 secondo...) e di indicare sulla traccia, entro i riquadri {p } a lato di ogni domanda, dove trovarne lo svolgimento. Barrare se svolto sui fogli di traccia, lasciare vuoto per esercizi non svolti. L'esito dello scritto verrà pubblicato entro la sessione di verbalizzazione, e sarà registrabile entro 12 mesi dalla data dello stesso. La consegna di uno scritto invaliderà gli esiti (non verbalizzati...) ottenuti in appelli precedenti. È comunque possibile presentarsi all'appello, svolgere il compito e non consegnare.