1. Impostazione di un semplice modello FEM

Transcript

1 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 15/09/2011, pagina 1/6 Cognome: Anno accademico in cui si è seguito il corso Nome: [2010/2011] [2009/2010] [2008/2009] [ ] Matricola: Tipo di corso: [A] [B] [completo] Nel caso le domande proposte non risultassero adeguate al programma del corso frequentato, rivolgersi alla Commissione per adeguamenti o domande sostitutive. 1. Impostazione di un semplice modello FEM Considerare un elemento di trave tubolare con forature sulla superficie laterale come in figura. Si considerano i terminali collegati a due link di corpo rigido (RBE2), ai cui nodi di controllo A e B sono applicate opportune sollecitazioni al fine di analizzare i seguenti casi di caricamento. caso di carico definizione rigidezza 1.1: flessione {$$$} 1.2: torsione {$$$} 1.3: sforzo normale {$$ $} applicare momento flettente costante con direzione // x di entità Mxx=1000Nmm M xx K flex,xx = x, A x,b applicare momento torcente costante Mzz= 1000 Nmm M zz K tors = z, A z,b applicare sforzo normale trattivo di Pz= 1000 N P z K sn = u z, A u z,b Per ognuno di questi tre casi discutere quale sia la più efficiente modellazione FEM della struttura, ottenuta sfruttando ogni eventuale simmetria del modello, ed eventuali modellazioni in tensione/deformazione piana;

2 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 15/09/2011, pagina 2/6 Definire opportune condizioni di vincolo 1 e carico 2 da assegnare al modello per ricavarne stato tensionale e rigidezza. Si richiede di vincolare solamente i gradi di libertà nodali supportati dagli elementi utilizzati. Supposti ottenuti a postprocessing i valori nodali di carico applicato, reazione vincolare, spostamento rotazione per tutti i nodi della struttura, riportare le formule per ricavare le rigidezze sopra definite. 2. Assemblaggio e vincolamento di semplice struttura FEM Considerare la struttura in figura (2d, plane stress) composta dai seguenti elementi triangolari equilateri di lato l elemento 1 (tria3) elemento 2 (tria3) connettività (i,j,k) (1,2,3) (2,3,4) matrice di rigidezza elemento [ a 11 a 16 a 61 a 66] [ b11 b16 b 61 b 66] Quesito 2.1: {$$$} Si richiede di assemblare i contributi delle matrici di rigidezza degli elementi entro la matrice di rigidezza globale, e di assemblare la pressione distribuita q entro il vettore dei carichi. F1x F1y F2x F2y F3x F3y F4x F4y Matrice di rigidezza, in forma bandata vett. dei carichi 1 Si prega di indicare le condizioni di vincolo in forma univoca come la seguente A,B,CD, tratto in rosso u x =0, u y =0, z =0 ove si intendono implicitamente liberi i restanti gradi di libertà dei nodi sui punti A, B e sul segmento CD. 2 Indicare chiaramente punti/segmenti/aree di applicazione dei carichi ed entità degli stessi.

3 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 15/09/2011, pagina 3/6 Quesito 2.2: {$} Quali sono le unità di misura dei termini della matrice K pre-vincolamento? Quali sono le unità di misura dei termini del vettore dei termini noti b pre-vincolamento? Quesito 2.3: {$} Trovare l'errore nel modello descritto al punto 2, ed indicare in quale fase del processo di soluzione tale errore verrà rilevato ed evidenziato. Quesito 2.4: {$$$} Supponendo che il solo vincolo in 3 sia non omogeneo, e in particolare imponga uno spostamento y di entità +δ, riportare la matrice di rigidezza e il termine noto come restituito dalle procedure di vincolamento. Applicare tutti i vincolamenti presenti in figura. F1x F1y F2x F2y F3x F3y F4x F4y Matrice di rigidezza, in forma bandata vett. dei carichi 3. Listato di programma Fortran 77 {$$} Scrivere una subroutine CAMPSIN che presi in input un numero di campionamenti N, un estremo inferiore A ed un estremo superiore B, restituisca un vettore di N elementi VALSIN contentente come primo elemento il valore di SIN(A), come ultimo elemento il valore di SIN(B), e negli elementi intermedi campionamenti equispaziati della funzione SIN(..). {$$} Scrivere una subroutine INTTRAP che prenda in input un numero di campionamenti N, una lunghezza totale di intervallo XLEN ed un vettore YVALS contenente N campionamenti equispaziati di una generica funzione, restituisca un'approssimazione dell'integrale definito della funzione sull'intervallo [A,B] secondo la regola dei trapezi. {$$$} Scrivere un main che dichiarata N come costante, richiesti in inputi gli estremi A e B di integrazione, richiami prima la subroutine CAMPSIN per campionare la funzione seno, quindi la subroutine INTTRAP per eseguirne l'integrazione col metodo dei trapezi, e restituisca il valore dell'integrale definito calcolato.

4 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 15/09/2011, pagina 4/6 4. Teoria degli Elementi Finiti 4.1 {$$$$} Formulazione dell'elemento triangolare tria3 Esprimere in forma generica le funzioni di interpolazione per gli spostamenti u(x,y) e v(x,y) per l'elemento triangolare tria3; Definire la procedura per ricavare i coefficienti α i delle funzioni di interpolazione in funzione degli spostamenti nodali; Ricavare le componenti di deformazione x, y, xy a partire dalla formulazione agli spostamenti; discutere perché alcuni dei parametri utilizzati nelle funzioni di interpolazione non appaiano nelle formule per le deformazioni; Disegnare le funzioni di forma di un elemento tria3 con vertici ai punti (0,0), (1,0), (0,1); Esprimere il campo degli spostamenti interno all'elemento utilizzando le funzioni di forma dello stesso; 4.2 {$$} Disegnare due problemi strutturali (disegnare la geometria, i carichi ed i vincoli) per i quali gli elementi finiti triangolari forniscono la soluzione esatta in termini tensionali. 4.3 {$$$} In una struttura elastica nativamente libera (non vincolata), soggetta a carico autoequilibrato, che viene a fini di calcolo vincolata mediante un generico sistema di vincoli isostatico sono nulli/e [ ] la risultante delle forze esterne [ ] la risultante delle reazioni vincolari [ ] il momento risultante delle forze esterne [ ] il momento risultante delle reazioni vincolari [ ] ogni singola reazione vincolare [ ] ogni singola forza esterna sono inoltre indipendenti dal sistema di vincolamento [ ] la distanza di due punti del modello, in configurazione deformata [ ] il campo delle tensioni (stress) sulla struttura [ ] il campo delle deformazioni (strain) sulla struttura [ ] il campo degli spostamenti sulla struttura il sistema di vincoli che rende il sistema isostatico blocca almeno gradi di libertà nel piano almeno gradi di libertà nello spazio tridimensionale al più gradi di libertà nel piano al più gradi di libertà nello spazio tridimensionale

5 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 15/09/2011, pagina 5/6 5. Il metodo di Newton per la soluzione di equazioni nonlineari Il metodo di Newton è un metodo iterativo impiegato per determinare una soluzione approssimata x all equazione f x f =g x =0. Per decidere se la soluzione approssimata x è accettabile, si effettuano in genere due controlli: convergenza ai residui: si esamina se il residuo g(x) è abbastanza piccolo; convergenza agli spostamenti: si esamina se la variazione della soluzione tra due iterazioni successive del metodo di Newton è abbastanza piccola, se cioè x è abbastanza piccolo. Limitandosi al caso di f(x) funzione scalare di variabile scalare x, 5.1: {$$+} definire in (in pseudocodice, o con descrizione accurata 3 ) l'algoritmo di Newton-Rhapson per la soluzione di f x f =g x =0, con controllo su ambo i criteri sopra definiti. 5.2: applicare graficamente tale algoritmo sulla funzione nonlineare di figura, richiedendo la soluzione per f =14N, nei casi di 5.2a) {$} convergenza ai residui, massimo residuo ammesso = 1N 5.2b) {$} convergenza agli spostamenti, massima variazione = 1mm 3 es. "ripeto le istruzioni {...} finché..."

6 Progettazione Assistita di Strutture Meccaniche 15/09/2011, pagina 6/6 6. Problemi di instabilità nelle strutture 6.1 {$$$} Calcolo del carico critico di instabilità per una a scelta tra lestrutture: asta verticale (a) di lunghezza l, rigida e incernierata alla base, soggetta a carico compressivo di estremità e lateralmente supportata da una molla di rigidezza k. trave (b) a compressione, di modulo flessionale EJ, lunghezza l, incernierata alla base e supportata lateralmente in estremità da un carrello. 6.2 {+++} Discutere il comportamento di un solutore nonlineare tipo Newton-Rhapson nell'intorno di una condizione di singolarità della matrice tangente, e l'utilizzo della denominazione punto di instabilità per tale condizione.