Problemi di MASSIMO COMUNE DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO

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1 Problemi di MASSIMO COMUNE DIVISORE e MINIMO COMUNE MULTIPLO Per risolvere alcuni problemi, per lo più di tipo pratico, a volte è sufficiente calcolare il M.C.D. e il m.c.m. dei due, o più numeri, che costituiscono i dati del problema. Una indicazione generale, utile come guida per orientarsi è la seguente: 1. quando il problema si riferisce a quantità che devono essere suddivise in parti intere della massima grandezza possibile, si dovrà ricorrere al M.C.D.; 2. quando il problema si riferisce ad eventi che si ripetono periodicamente, si ricorrerà al m.c.m.

2 Problemi risolvibili con il M.C.D. 1) Tre pezze di stoffa sono lunghe rispettivamente 12 m, 80 m, e 36 m. Da esse si vogliono ottenere dei tagli tutti uguali della massima lunghezza possibile ed in modo che non avanzino dei resti di stoffa. Quanto deve misurare ciascun taglio? Soluzione: E' necessario trovare un divisore comune ai numeri 12, 80 e 36; tale divisore, però, deve essere il maggiore, poiché i tagli di stoffa devono essere della massima lunghezza possibile. Pertanto la lunghezza di ciascun taglio di stoffa sarà il M.C.D. delle tre lunghezze. 12 = 2² * 3 80 = 2 4 * 5 36 = 2² * 3² Si calcola il M.C.D. (12, 80, 36) = 2² = 4. Ciascun taglio di stoffa deve misurare 4 m

3 2) E necessario recintare un terreno di forma triangolare con i lati lunghi 42 m, 48 m e 60 m. Per far ciò dovranno essere sistemati dei pali di sostegno della recinzione, tutti alla stessa massima distanza tra loro, facendo in modo che ci sia un palo in ogni vertice. A quale distanza andranno piantati i pali? Quanti pali occorreranno? Soluzione: i pali dovranno essere distribuiti alla stessa distanza tra loro, quindi occorre cercare un divisore comune tra 42, 48 e 60. Poiché la distanza tra i pali deve essere la massima possibile, dobbiamo cercare il massimo divisore comune, M.C.D. 42 = 2 x 3 x 7 48 = 2 4 x 3 60 = 2 2 x 3 x 5 M.C.D.: 2 x 3 = 6 I pali andranno piantati ad una distanza di 6 m l uno dall altro. Poiché il perimetro del triangolo misura = 150 m, dividendo questa lunghezza per 6 otterremo il numero di pali necessari 150 : 6 = 25 pali occorrenti.

4 3) Giovanni il fioraio dispone di 24 margherite, 60 ciclamini e 84 tulipani. Quanti mazzetti uguali tra loro potrà fare e quale sarà la loro composizione? Soluzione: il problema ci chiede di calcolare il mcd tra 24, 60 e 84. Quindi: 24 = 3 x =5 x 3 x =2 2 x 7 x 3 mcd = 3 x 2 2 = 12 mazzi di fiori 24:12=2 margherite 60:12=5 ciclamini 84:12=7 tulipani

5 Problemi risolvibili con il m.c.m. 1) In una piazza si trova il capolinea di tre linee di tram: A, B, e C. Il tram A parte ogni 10 minuti, il tram B ogni 15 minuti, il tram C ogni 20 minuti. Se alle ore 11 i tre tram partono assieme, a che ora si troveranno di nuovo tutti contemporaneamente nella stessa piazza, per la prima volta? Soluzione: Il numero dei minuti che dovranno trascorrere dopo le 11, affinché si verifichi l'evento, dovrà essere necessariamente multiplo di 10, di 15, e di 20. Inoltre, poiché si richiede a che ora, dopo le 11, si verificherà per la prima volta l'evento, tale multiplo dovrà essere il minore tra tutti i multipli comuni. 10 = 2 * 5 15 = 3 * 5 20 = 2² * 5 il m.c.m. (10, 15, 20) = 2² * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60. I tre tram si ritroveranno assieme per la prima volta nella stessa piazza dopo 60 minuti, cioè alle ore 12.

6 2) Due amici sono nati nello stesso paese, ma si vedono raramente perché sempre in viaggio. Considerando che tornano a casa il primo ogni 35 giorni, il secondo ogni 25 giorni, quando si incontreranno di nuovo nel paese dove sono nati? Soluzione: in questo caso viene richiesto il calcolo del mcm tra 25 e 35. Quindi: 25 = = 5 x 7 mcm = 7 x 5 2 = 175 giorni

7 3) Maria, Luigi e Giuseppe vanno in bicicletta percorrendo varie volte un circuito. Partono tutti e tre dallo stesso punto e nello stesso momento. Maria impiega 12 minuti per ritornare al punto di partenza, Luigi ne impiega 6 e Giuseppe invece ritorna al punto di partenza ogni 9 minuti. Dopo quanti minuti si incontreranno nuovamente tutti insieme al punto di partenza? Soluzione: I minuti che dovranno passare per far sì che i tre si incontrino nuovamente dovranno essere un multiplo di 12, 6 e 9, il minimo comune multiplo. Effettuata la scomposizione in fattori primi, risulta che: 12 = 2 2 x 3 6 = 2 x 3 9 = 3 2 m.c.m.: 2 2 x 3 2 = 36 I tre amici si incontreranno nuovamente al punto di partenza dopo 36 minuti.

8 ATTENZIONE!!! E necessario recintare un terreno di forma rettangolare con i lati lunghi 14 m e 4 m. Per far ciò dovranno essere sistemati dei pali di sostegno della recinzione, tutti alla stessa distanza tra loro, facendo in modo che ci sia un palo in ogni vertice. Quanti pali saranno posizionati sul lato più lungo? a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 8

9 Soluzione: i pali dovranno essere distribuiti alla stessa distanza tra loro, quindi occorre cercare il MCD 14 e 4, MCD(14,4)=2 I pali andranno piantati ad una distanza di 2 m l uno dall altro. Perimetro=(14+4)x2 = 36, saranno necessari 18 pali. Sul lato maggiore saranno posizionati (14:2)+1 pali ovvero 8 pali.

10 PROVA DI AMMISSIONE AL CORSO DI LAUREA IN MEDICINA VETERINARIA Domanda n. 28. Anno Accademico 2016/2017 Lungo i lati di una piazzetta di forma rettangolare con lati pari a 45 metri e 75 metri si devono disporre dei platani, a intervalli regolari e tali da assicurare tra un albero e l'altro la massima distanza possibile, cosicché in ogni vertice della piazzetta vi sia un platano. A quale distanza l'uno dall'altro bisogna porre i platani? A) 15 metri B) 30 metri C) 7,5 metri D) 20 metri E) 12 metri

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