Appunti di Teoria dei Giochi per la Strategia di Impresa

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1 Appunti di Teoria dei Giochi per la Strategia di Impresa Mauro Sylos Labini Scuola Superiore Sant Anna, Pisa. Gennaio Introduzione Il Capitolo di Teoria dei Giochi ha ormai conquistato un posto stabile nei manuali adottati nei corsi base di Microeconomia e Strategia di Impresa. In genere tali manuali trattano l argomento con pochi esempi (si parte di solito dal dilemma del prigioniero...) e qualche accenno al concetto di equilibrio di Nash (reso popolare dal film A beautiful Mind, vincitore di diversi premi oscar) 1. Il rischio è quello di passare ad alta velocitá su argomenti che invece richiedono un maggiore grado di approfondimento. In queste pagine il mio obiettivo è, da un lato, offrire una trattazione appena piú formale di alcuni concetti base, senza per altro richiedere al lettore la conoscenza di nozioni di matematica sofisticate; dall altro, evidenziare sia le luci che le ombre dell applicazione della Teoria dei Giochi allo studio della Strategia di Impresa. Il motivo dominante sará quello di rimarcare come, per provare ad analizzare rigorosamente l interazione strategica di agenti i cui obiettivi possono essere in conflitto, sia necessario fare delle assunzioni sul tipo di razionalitá che tali agenti Queste pagine vogliono essere un riassunto preliminare (da non far circolare per evitarmi brutte figure!) e non esaustivo dei principali argomenti di Teoria dei Giochi trattati durante il corso di Strategia di Impresa (anno accademico 2003/04, secondo periodo didattico, Universitá di Camerino). Scuola Superiore Sant Anna, P.zza Martiri della Liberta 33, Pisa, Italy. syloslabini@sssup.it. 1 Al lettore curioso si consiglia di dare un occhiata al contributo di Marco Li Calzi sull argomento Nash e la teoria dei giochi al sito: 1

2 hanno. In particolare, per ottenere soluzioni piú precise a problemi complessi, l approccio della teoria dei giochi è quello di fare assunzioni forti (e quindi restrittive!) sulla razionalitá degli agenti. Un ultima osservazione riguarda, in pillole, l utilitá e, al tempo stesso, la problematicitá della teoria dei giochi per chi si avvicina allo studio della Strategia di Impresa. Tale materia ha a volte finalitá positive (capire come le imprese si comportano), a volte finalitá normative (cosa dovrebbe fare un manager che deve prendere decisioni concrete). La teoria dei giochi offre contributi in entrambe le direzioni. L utilitá risiede nell affrontare formalmente questioni che di solito sono lasciate all intuizione, al buon senso o (peggio!) a razionalizzazioni ex-post dei comportamenti delle imprese. L importante, e qui siamo alla problematicitá, è capire quali siano i limiti in entrambe le direzioni su menzionate: in un ottica positiva la realtá economica è in genere piú complessa di un gioco, in un ottica normativa solo raramente gli attori economici conoscono la teoria dei giochi e quindi attenzione a comportarsi seguendo le sue regole quando si interagisce con tali individui. 2 I giochi in forma strategica e alcuni modi per risolverli 2.1 Qualche definizione Per prima cosa occorre chiarire che in queste pagine ci occuperemo soltanto di giochi non cooperativi: l unitá d analisi è il singolo giocatore che cerca di compiere le scelte per sé migliori date le regole del gioco e i vincoli posti dall interazione strategica con altri giocatori (in maniera un po imprecisa non possono essrere fatti ex-ante accordi vincolanti con altri giocatori che ex-post conviene infrangere). In questo tipo di giochi nulla vieta che i giocatori possano giocare strategie cooperative 2. Il primo tipo di giochi che consideriamo sono i quelli definiti in forma strategica (o normale). Un gioco in forma strategica è definito da una tripla G = {N, S, Π} Dove N = 1, 2,..., n indica il numero dei giocatori, S l isieme delle strategie di tutti i giocatori (indicheremo con s i S i una particolare strategia del giocatore del giocaatore i esimo che appartiene al suo insieme di strategie) e Π rappresenta l insieme delle vincite o risultati (payoff per chi non sa l Italiano). Inoltre definiamo u i : S Π i come quella funzione che associa a ciascun insieme delle strategie una vincita. Cosí, per esempio, scriveremo π i = u i (s i, s i ) per indicare le vincite del 2 L esperienza ci insegna che (quando conviene!) persino i piú cinici cooperano. 2

3 giocatore i-esimo e di tutti gli altri nel caso egli abbia giocato la strategia s i e gli altri le strategie s i 3. Nella stragrande maggioranza dei nostri esempi tratteremo giochi con due giocatori, per i quali è conveniente offrire rappresentazioni matriciali del tipo Uomo Donna partita cinema partita 2,1 0,0 cinema 0,0 1,2 Tale gioco rappresenta una versione della cosiddetta battaglia dei sessi (o gioco delle coppie), la cui rappresentazione non richiede particolari spiegazioni (soprattutto per chi abbia un fidanzato o una fidanzata). Basti osservare che il primo numero in ciascuna casella rappresenta la vincita di Uomo e il secondo quella di Donna (d ora in poi il primo numero rappresenterá la vincita del giocatore riga e il secondo quella di colonna). Il problema fondamentale del gioco sembra quello di coordinarsi per evitare di essere in un posto diverso da quello del proprio compagno e beccarsi uno Primi passi di razionalitá Il gioco forse piú conosciuto è il cosiddetto dilemma del prigioniero nel quale le vincite (si fa per dire) sono gli anni di galera. Ognuno puó raccontarsi la storia come meglio crede e la sua rappresentazione è Prigioniero 1 Prigioniero 2 confessa non confessa confessa 2, 2 0, 3 non confessa 3, 0 1, 1 Nonostante la sua soluzione, come vedremo piú avanti, porti ad una sorta di dilemma, il gioco presenta una caratteristica che lo rende piuttosto banale. Entrambi i giocatori, infatti, hanno una strategia (confessa) che conduce a vincite piú alte indipendentemente da cosa faccia l altro. Si parla in questo senso di dominanza. Piú formalmente 3 Per chi sa cosa significhi, s i è un vettore con n 1 componenti. Possiamo anche osservare che la vincita dipende dall esito del gioco (che a sua volta dipende dalle strategie giocate) e non dal modo in cui a tale esito si è arrivati. Il lettore appassionato di filosofia avrá notato che questo tipo si assunzione è legato alle premesse dell utilitarismo. A poker si puó vincere sia bluffando che avendo dei punti alti e per alcuni giocatori le due vincite non sono equivalenti. La Teoria dei Gochi, di solito, non considera queste complicazioni. 4 La cosa puó non essere scontata per chi ha un alta propensione al tradimento. 3

4 Def 1 Una strategia s i è (debolmente) dominante per i se u i (s i, s i ) u i (s i, s i ), s i S i, s i S i. Sembra, quello di dominanza, un requisito piuttosto neutro: se c è una strategia che ci da vincite piú alte indipendentemente da quello che fanno gli altri, sembra ragionevole giocarla. Un problema potrebbe essere, in giochi complicati, la difficoltá di individuare tale proprietá, ma in questa sede, come chiarito all inizio, tutti i giocatori hanno seguito almeno un corso base di Teoria dei giochi e sono bravi ad individuare strategie dominanti. In situazioni appena piú complesse, comunque, il criterio di dominanza non basta. Procediamo con un altro esempio Riga Colonna sinistra centro destra su 1,0 1,2 0,1 giú 0,3 0,1 2,0 Qui né Colonna né Riga hanno a disposizione strategie dominanti e quindi, per capire come giocano (ottica positiva) o dargli dei consigli su come giocare (ottica normativa), bisogna espandere i requisiti di razionalitá. In particolare possiamo chiederci se è ragionevole giocare una strategia se ne esiste un altra per la quale, qualsiasi cosa faccia l avversario, quest ultima porta a vincite maggiori. Piú formalmente Def 2 Una strategia s i è strettamante dominata da s i per il giocatore i se u i (s i, s i ) < u i (s i, s i ), s i S i. Se ci fermassimo a tale definizione e al requisito di ragionevolezza al evidenziato sopra non andremmo lontano. Potremmo infatti soltanto eliminare la strategia destra di Colonna che è strettamente dominata da centro. Entra qui in gioco l ipotesi di conoscenza comune per la quale non solo tutti gli ingividui sono razionali, ma sanno che gli altri giocatori sono razionali, sanno anche che che tutti sanno che tutti sono razionali... e cosí via fino all infinito. Data questa ipotesi, infatti, possiamo affermare che Riga sa che Colonna non gioca destra e, quindi, puó individuare su come strategia dominante nella restante parte del gioco. Colonna, a questo punto, sa che su è dominante per Riga e sceglierà di giocare centro. E opportuno osservare che se nella nostra spiegazione sembra ci sia stato una dimensione temporale nella individuazione della soluzione, i giochi in forma normale sono statici. Il processo descritto è implicito nella mente di ciascun giocatore e ognuno gioca simultaneamente la sua strategia. Nel caso si eliminassero piú di una strategia 4

5 dominate occorre quindi procedere con ordine: partendo da uno qualsiasi dei giocatori e successivamente passando a quello che eventuialmente eliminerebbe l altro. Non possiamo cioè elinare due strategie consecutive dello stesso giocatore perchè strettamente dominate. 2.3 Risposte ottime ed Equilibrio di Nash Siamo finalmente arrivati al piatto forte. Possiamo, ancora una volta, motivare questo paragrafo con un esempio. Riga Colonna sinistra centro destra su 0,4 4,0 5,3 centro 4,0 0,4 5,3 giú 3,5 3,5 6,6 Non sembra che in tale gioco ci siano strategie dominanti o strategie strettamente dominate. La razionalità definita da Def 1 edef 2 non ci basta piú né per capire cosa succederá nel gioco, né per dare consigli sensati ai giocatori. Per arrivare ad una soluzione, nonostante molti dei lettori avranno giá identificato utilizzando il buon senso quale sembra un buon esito del gioco, ci serviremo del concetto di equilibrio di Nash. Prima peró conviene definire cos è una risposta ottima. Def 3 Una strategia s i è di risposta ottima a s i per il giocatore i se u i (s i, s i) u i (s i, s i), s i S i. Se prendiamo per data la strategia dell avversario, la nostra risposta ottima è quella strategia che ci permette di far meglio. Vale la pena notare che una strategia di risposta ottima (nei giochi a strategie finite) esiste sempre (e spesso ne esiste piú di una). Un Equilibrio di Nash puó essere definito come un insieme di strategie, una per ogni giocatore, che sono mutualmente risposte ottime. Formalmente, chiarendo che indica una risposta ottima: Def 4 Un equilibrio di Nash (EN) è un insieme completo di strategie (s i, s i) per cui vale che: u i (s i, s i) u i (s i, s i), i. Ci sono almenno tre motivi per cui tale concetto è molto importante: 5

6 Come vedremo un EN ci permette di formulare previsioni piú accurate in giochi in cui il concetto di dominanza non basta. Esiste un teorema che ci dice che se eliminiamo tutte le strategie strettamente dominate, fra le rimanenti troveremo l EN 5. E un equilibrio: nessun giocatore trae vantaggio dal deviare dalla propria strategia. Se torniamo al gioco mostrato all inizio del paragrafo, è facile identificare la coppia di strategie (giú,destra) come l unico equilibrio di Nash. Esistono due procedure (la seconda sembra spesso più conveniente) per individuare l EN nei giochi espressi in forma matriciale: Ispezionare tutti gli esiti possibili del gioco e vedere quelli nei quali nessun giocatore ha incentivi a deviare. Individuare per ciascun giocatore tutte le risposte ottime per date strategie (bisogna considerarle tutte!) degli altri giocatori. Quindi, individuare gli esiti del gioco nei quali siamo in presenza di strategie mutualmente ottime. Per concludere questo paragrafo accenniamo ad alcuni dei possibili problemi dell EN. 1. Nel caso in cui non esista un unico EN, è estremamente difficile sia fare previsioni sugli esiti del gioco, che dare consigli su come giocare. La battaglia dei sessi è un classico esempio di questo problema. 2. Una seconda osservazione deriva dalla soluzione del dilemma del prigioniero. Le vincite dell EN non sono necessariamente le migliori che gli individui possono realizzare. Se entrambi i prigionieri non confessassero, passerebbero meno anni in galera. Lascio al lettore la valutazione su se e come questo rappresenti un problema. Quello che appare evidente è che in alcune situazioni non è affatto vero che se gli individui fanno ciò che è meglio per loro, il sistema nel complesso raggiunge esiti migliori, persino per gli individui in questione 6. Forse nel caso dei prigionieri la cosa non ci dispiace poi troppo, ma con uno sforzo minimo possiamo immaginare casi in cui cooperare (confessare nel nostro caso) è molto importante per la collettivitá: stabilire delle regole sulle emissione di sostanze inquinanti delle imprese, limitare la costruzione di armi di distruzione di massa, raggiungere accordi sul libero commercio. La teoria dei giochi ci suggerisce che soggetti razionali possono prendere decisioni che sono nel complesso peggiori persino per loro. 5 Questo significa che la razionalitá richiesta per gicare Nash è piú forte. 6 La mano invisibile tanto cara agli apologeti del mercato non sempre funziona. 6

7 3. Qual è l importanza del concetto di EN se i giocatori con cui interagiamo non riescono ad individuarlo (e.g. non conoscono la definizione, oppure, in situazioni piú complesse, non riescono ad applicare le semplici regole per trovarlo)? Se non vi è un modo evidente a tutti di gocare Nash a che serve tale cocetto? Anche qui lascio il problema alla riflessione del lettore. 4. Un ultimo punto potrebbe essere la non esistenza di un EN. Che fare in questi casi? Nel seguito (non lungo!) di queste dispense ci occuperemo sopratutto del primo punto, ma non resisteremo alla tentazione di accennare anche al resto, dato che sono in gioco (perdonate il gioco di parole) alcuni dei concetti piú affascinanti della Teoria dei Giochi. 3 I giochi in forma estesa 3.1 Qualche definizione In questo tipo di giochi assume grande importanza la sequenza temporale delle azioni che gli individui possono prendere. Possiamo identificare in modo poco rigoroso un azione come una scelta presa in un dato momento del gioco. Una strategia sará quindi, in questo contesto, una sequenza di azioni una per ogni momento in cui il giocatore si trova a prendere decisioni. Gli elrmenti di questo tipo di giochi sono: nodi: punti nei quali gli agenti si trovano a scegliere le loro azioni. liste (o vettori) di numeri: equivalenti alle vincite dei giochi in forma normale. frecce: corrispondono alle azioni e partono da nodi per raggiungere altri nodi o i vettori di numeri. etichette: specificano quale giocatore scegle in ciascun nodo e il nome delle azioni che compiono. insiemi informativi: se non specificato diversamente coincidono con i nodi. Alternativamente possono essere insiemi di nodi. In questo secondo caso i giocatori non sanno in quale dei nodi appartenenti all insieme si trovano. Dati questi elementi vi sono due regole che non vengono mai violate: Ogni nodo ha almeno una freccia che parte da esso e al massimo una freccia che punta verso di esso (in realtá tranne il primo nodo, che non ha alcuna freccia, tutti gli altri hanno una ed una sola freccia che li punta). 7

8 Iniziando a ritroso da un qualsiasi nodo (a) non si torna mai allo stesso nodo e (b) si finisce sempre al nodo iniziale. 3.2 Esempi 8