Le frazioni algebriche

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1 CAPITOLO Le frazioni algebriche. LE FRAZIONI ALGEBRICHE CON DERIVE La sola difficoltaá di scrittura di un'espressione algebrica sta nell'uso appropriato delle parentesi. Abbiamo giaá evidenziato piuá volte che si possono usare solo parentesi rotonde eventualmente nidificate e che per la divisione si deve usare il simbolo =. Nella finestra di Algebra vi eá poi a volte una difficoltaá di lettura dell'espressione percheâ tutti i simboli di divisione vengono scritti mediante una linea di frazione. Per esempio, per inserire la seguente espressione (scritta nel modo a noi familiare) dobbiamo digitare questo testo: y y y y y y y : y y 5 y y = y^ y y = y y = y = y^ y 5 = y y Nella finestra di Algebra troviamo scritto y dove il simbolo di divisione eá stato sostituito da una linea di frazione. Normalmente, quindi, usando Derive per la semplificazione delle espressioni algebriche, avremo a che fare con espressioni a termini frazionari. Il comando di semplificazione eá quello ormai noto Semplifica/Base (oppure l'icona con il simbolo =); si ottiene comunque quasi sempre lo stesso risultato anche con i comandi Semplifica/Sviluppa e Semplifica/Fattorizza. Occorre peroá tenere presente che questi comandi agiscono in modo diverso: n Semplifica/Base tende a ridurre la complessitaá di un'espressione, esegue quindi i calcoli e cerca di determinare il risultato nella forma piuá semplice possibile n Semplifica/Sviluppa espande un'espressione; per esempio, nel caso di una frazione algebrica, tende a vederla come il risultato di una somma di altre frazioni Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE

2 n Semplifica/Fattorizza esegue la fattorizzazione dei polinomi che compaiono in un'espressione, eventualmente semplificando le frazioni algebriche. Se usiamo questi comandi sulla nostra espressione troviamo: y con i comandi Semplifica/Base e Semplifica/Fattorizza y y 5 5 y 5 y con il comando Semplifica/Sviluppa y In questo secondo caso il comando ha scomposto la frazione y y 5 aventi ciascuna come denominatore uno dei fattori di y y 5. come somma di due frazioni, Esercizi Semplifica con Derive le seguenti frazioni algebriche.... x y bx by x x 6 x x ax ax a x x 8. x bx b x b x b 5. Dopo aver semplificato l'espressione x x x x x ed aver osservato i risultati ottenuti x con i tre comandi di semplificazione esaminati, calcola il valore che essa assume in corrispondenza dei seguenti valori della variabile: x ˆ, x ˆ, x ˆ Sono date le seguenti frazioni algebriche A ˆ x x B ˆ x x x 6 C ˆ x x Dopo averle assegnate ciascuna ad una variabile, calcola: a. A B C b. A B C c. A B C. Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

3 Definiamo l'operazione nel modo seguente: se a e b sono due numeri positivi, allora a b ˆ a b.si considerino le seguenti asserzioni: a b ˆ a b ˆ a b ˆ ab Quali di esse sono vere per ogni valore positivo di a e b? a. solo la b. solo la c. solo la d. solo la ela e. solo la ela e: Š Dimostrare che se x, y, z sono tre numeri tali che x y xy y z yz z x ˆ 0 allora almeno due tra i xz numeri x, y, z sono uguali. x y x z z y xy yz xz Un numero di due cifre viene sommato al numero ottenuto invertendo le sue cifre.si divide quindi la somma ottenuta per la somma delle cifre del numero dato e si eleva al quadrato il risultato.che numero si ottiene? a. 6 b. 9 c. 00 d. e. dipende dalle cifre del numero dato d: Š Un corridore si allena su un percorso che non eá mai piano.quando corre in discesa ha una velocitaá costante doppia di quella (costante) che ha in salita, parte da un punto A e ritorna ad A per la stessa strada.qual eá il rapporto tra la sua velocitaá media e la sua velocitaá in salita? (Suggerimento: la velocitaá media eá il rapporto fra lo spazio totale percorso e il tempo impiegato a percorrerlo) 5 Supponiamo che b sia un numero tale che b ˆ b.dire quale delle seguenti uguaglianze non eá verificata: a. b ˆ b b b. b 6 ˆ b b c. b ˆ b b d. b b ˆ b e. b b ˆ b e: Š 6 Se a, b, c sono tre numeri tali che b a ˆ e c b a. 8 b. 5 c. d. ˆ, quanto vale b c? e. a: Š 7 Siano a, b, c tre numeri reali tali che c ˆ 0ea b c ˆ.Qual eá il valore di a b c? a. b. c. d. e. le due relazioni non sono sufficienti a determinare il valore di a b c. b: Š Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE

4 Risparmi e investimenti Un promotore finanziario propone a un amico di investire una piccola somma di denaro con la speranza di avere un ritorno economico maggiore di quello che potrebbe dare un deposito in un conto corrente bancario o in un libretto di risparmio. Egli parla di Btp, Cct, Bot, azioni e il suo amico, che non eá uno sprovveduto, prima di decidere qualsiasi cosa, cerca di informarsi sul significato di questi termini e, piuá in generale, su che cosa significhi fare degli investimenti. Tutte le banche hanno oggi dei libretti informativi che danno chiarimenti sui termini piuá importanti che un investitore dovrebbe conoscere. L'amico si reca in una banca e dalla lettura di questi documenti ricava parecchie informazioni con le quali si costruisce un suo piccolo vocabolario; ecco in sintesi che cosa ha imparato. Un'obbligazione eá un titolo emesso da uno Stato (in particolare dal Tesoro che eá un dipartimento del Ministero dell'economia e della Finanza, come i sopradetti Btp, Cct, Bot), da una banca o da un'azienda, i quali si impegnano a: restituire il capitale a una certa scadenza (un'obbligazione ha una durata che eá compresa fra e 0 anni) pagare le cedole, cioeá gli interessi periodici sul valore dell'obbligazione. Ogni titolo ha un rendimento che eá sostanzialmente la somma che chi ha emesso il titolo deve pagare per compensare l'investitore di avergli dato il suo denaro; deriva dalle cedole, che vengono pagate ogni sei mesi o una volta all'anno, e vengono calcolate sul valore nominale del titolo stesso, cioeá sul valore che dovraá essere rimborsato alla scadenza. Tutti gli investimenti presentano sempre un rischio, piuá o meno elevato, dovuto al fatto che esiste la possibilitaá che il valore del titolo diminuisca nel tempo. Vendere il titolo prima della scadenza puoá quindi comportare un guadagno, oltre a quello derivato dalle cedole, o una perdita; se il titolo viene tenuto fino alla scadenza non ci si deve invece preoccupare delle oscillazioni del prezzo sul mercato percheâ in questo caso si ottiene il capitale investito. Il rischio eá legato al rendimento di un titolo. Di solito un debitore poco affidabile deve offrire all'investitore un titolo con un alto rendimento al fine di compensare il rischio elevato di mancato rimborso; un debitore affidabile non ha invece bisogno di offrire rendimenti elevati percheâ l'investitore sa che il suo capitale ha un'ottima probabilitaá di essere restituito. Occorre poi distinguere tra titoli a tasso fisso, come i Btp (Buoni del Tesoro poliennali) che staccano una cedola fissa per tutta la loro durata, e titoli a tasso variabile, come i Cct (Certificati di credito del Tesoro) che hanno un tasso di rendimento variabile, di solito legato all'andamento del mercato dei Bot (Buoni ordinari del Tesoro). L'andamento del mercato, inoltre, fa si che il valore del titolo possa non essere costante nel tempo; se si deve vendere prima della scadenza occorre prestare attenzione alle oscillazioni del suo valore. Il rischio di mancato rimborso dell'investimento viene misurato con un indicatore accettato in tutto il mondo che si chiama rating. Il rating eá costituito da una serie di lettere a partire dalla A fino alla D ciascuna delle quali ha un significato particolare; nella tabella che segue abbiamo rappresentato solo i primi livelli (prima colonna) e il corrispondente significato in termini di rischio (seconda colonna). Abbiamo poi affiancato una terza colonna Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA

5 nella quale abbiamo dato, in modo del tutto arbitrario, un significato numerico al rating; tale numero eá necessariamente compreso fra 0 (livello piuá basso di rischio) e (massimo livello di rischio). Rating Giudizio sintetico del titolo Valore del rischio AAA probabilitaá di rimborso estremamente elevate 0,98 AA probabilitaá di rimborso molto elevate 0,90 A probabilitaá di rimborso elevate 0,8 BBB BB titolo che presenta caratteristiche adeguate, ma che puoá deteriorarsi in caso di circostanze avverse titolo con possibili incertezze nella capacitaá di rimborso, specie in circostanze avverse B titolo con elementi di possibile vulnerabilitaá 0,65 Prova a rispondere alle seguenti domande. 0,75 0,70 Si investe un capitale C in Btp ad un tasso fisso pari al k% con stacco annuale delle cedole; il costo del titolo eá pari al 98% del suo valore.se si porta il titolo alla scadenza, che eá dopo quattro anni dal suo acquisto, si ha un rimborso pari al 00% del valore nominale del titolo.qual eá l'espressione che esprime il guadagno netto che si ricava dall'investimento? Si investe un capitale X in una obbligazione a tasso fisso del k% con stacco annuale delle cedole che ha un valore di mercato pari al 96% del valore nominale; si investe poi un capitale Y in Cct a tasso variabile ad un valore di mercato del 99%.Dopo tre anni l'obbligazione eá alla sua scadenza e rimborsa quindi il 00% del valore del titolo, mentre i Cct valgono il 0% del valore nominale.l'ammontare complessivo delle cedole staccate nei tre anni eá pari a del capitale Y.Qual eá l'espressione che indica il valore del 9 capitale complessivo che viene ritirato dopo tre anni? Un tale ha investito un capitale X in un titolo abbastanza sicuro che ha un rating pari a AA e un capitale Y in un titolo che ha un rating pari a BBB; qual eá l'espressione che valuta la sua propensione media al rischio? Se l'investitore del problema precedente avesse investito E 0000 nel titolo che ha rating AA e E 5000 nel titolo che ha rating BBB, considerando la sua propensione media al rischio, potrebbe investire in un titolo che rating A? 96 Xk Y 0,90X 0,75Y X Y no 9 C k Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA Tema - Cap. : LE FRAZIONI ALGEBRICHE 5