I problemi di matematica e la comprensione del testo. Pietro Di Martino Dip. Matematica Università di Pisa

Transcript

1 I problemi di matematica e la comprensione del testo Pietro Di Martino Dip. Matematica Università di Pisa dimartin@dm.unipi.it

2 fox.dm.unipi.it/indagine Partecipate e divulgate!

3 Episodio I ATTIVITÀ 1 Il problem solving Fare un esempio di problema di vita quotidiana Analizzare se esistono caratteristiche comuni a tutti gli esempi di problema riconosciuti come tali nella fase precedente A partire da tali caratteristiche comuni definire cosa è un problema

4 La definizione di problema Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945 Psicologia della Gestalt

5 La definizione di problema Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945 problema / compito

6 La definizione di problema Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945 Quale meta? Esempio di Von Neumann

7 La definizione di problema Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla Karl Duncker, 1945 problema / esercizio

8 Pratica tradizionale Nella pratica scolastica si tende a far fare ai ragazzi tanti problemi o tanti esercizi?

9 Pratica tradizionale Nella pratica scolastica si tende a far fare ai ragazzi tanti problemi o tanti esercizi? Ma se non facciamo vedere come si fa, poi non riescono a farlo, sbagliano

10 Un contro esempio

11 Parliamo di quella certa pratica scolastica ripetitiva secondo la quale per far capire bene (per esempio, una certa tipologia di strategie per la risoluzione di una classe di problemi o esercizi) occorre far fare alla classe più volte lo stesso esercizio. Nella memoria di alcuni di noi c è il ricordo fisso della mortificazione intellettuale e una vaga idea di inutilità e della stupidità di questo modo di fare. Un conto è ripetere le tabelline fino a farle diventare Bruno D Amore un automatismo in modo che, senza pensare, uno Problemi e laboratori dica <45> allo stimolo <5 per 9> (e ciò semplifica poi Metodologie per addirittura la complessità della risoluzione di l apprendimento della matematica problemi). Ma ben altro è indurre soluzioni di problemi per tipologie. Chi non conosce la dichiarazione tipica che molti discenti fanno imbattendosi in un nuovo problema <Noi non siamo ancora arrivati a risolvere questi problemi>, come se di dovesse saper risolvere solo problemi già una volta risolti

12 Cosa è un problema Confronto tra inizio e fine primaria

13 COSA VI VIENE IN MENTE SE DICO LA PAROLA PROBLEMA? Raccogliere le risposte individuali e rappresentarle graficamente. Provare a fare ipotesi risolutive Disegnare le soluzioni possibili Cosa è un problema TEMPI: una settimana, due lezioni MODALITA D USO: prima parte (punto 1 e 2) individuale; seconda parte (punti 3 e 4) a coppie, confronto finale nel gruppo classe

14 Cosa è un problema Classe prima È una cosa grave È quando qualcuno si fa male Quando si perde qualcosa Quando succede un incidente (qualcuno o qualcosa si rompe, si brucia, si allaga ) Classe quinta E una cosa difficile da risolvere E un esercizio di matematica E un esercizio da risolvere E un testo che ti chiede qualcosa E un problema di famiglia Un problema di salute E un testo dove ci sono i numeri e più domande

15 Come si risolve Classe prima Pensando Provando Cercando Chiedendo aiuto senza mai arrendersi! Classe quinta Con il dottore Parlando Facendolo insieme Con i dati.. Con la soluzione Con il diagramma Con la risposta Con l equivalenza Con la logica Con l espressione

16 Si fa problem solving a scuola? In particolare: Si fa problem solving attraverso l attività usuale di soluzione di problemi? No!

17 Ma se non facciamo vedere come si fa, poi non riescono a farlo, sbagliano Una delle caratteristiche della matematica è di essere una materia scientifica, questo comporta molti aspetti positivi, ma anche negativi. Ad esempio non vengono accettati errori Stella Non vengono accettati da chi?

18 Focus sui problemi, sul nuovo e difficile Il primo a dover vincere le proprie paure è l insegnante stesso Ma se non facciamo vedere come si fa, poi non riescono a farlo, sbagliano Un bel problema, anche se non lo risolvi, ti fa compagnia se ci pensi ogni tanto E. De Giorgi

19 Perché fare problem solving? Due parole sui problemi. Ve ne sono molti, e solo un studente eccezionale potrebbe risolverli tutti. Alcuni servono solo a completare dimostrazioni del testo, altri hanno lo scopo di illustrare i risultati ottenuti e far pratica su di essi. Molti non vengono proposti tanto per essere risolti, quanto per essere affrontati. Il valore di un problema non sta tanto nel trovarne la soluzione, quanto nelle idee che fa sorgere in chi la affronta e nei tentativi messi in atto

20 Lavorare su problemi" Lavoro sul problem solving Programmi per la scuola elementare 1985 Indicazioni per il curricolo 2007 Indicazioni Nazionali Il pensiero matematico è caratterizzato dall attività di risoluzione di problemi Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate spesso alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo

21 Lavorare su problemi" Lavoro sul problem solving Indicazioni Nazionali Le indicazioni nazionali 2012 Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola......gradualmente, stimolato dalla guida dell'insegnante e dalla discussione con i pari, l'alunno imparerà ad affrontare con fiducia e determinazione situazioni problematiche, rappresentandole in diverse modi, conducendo le esplorazioni opportune, dedicando il tempo necessario alla precisa individuazione di ciò che è noto e di ciò che s'intende trovare, congetturando soluzioni e risultati, individuando possibili strategie risolutive

22 La voce dei bambini Quando devo affrontare un problema mi suscita un bel po di paura, perché sono in quinta e siccome non sono abbastanza sicura di quello che scrivo, e ho paura che mi prendano in giro. Luca 5P Paolo 5P Io con la matematica non mi ci trovo un granchè bene. L incubo peggiore che ho a proposito di questa materia sono quelli arcimaledetti problemi! perché mi devo spremere il cervello al massimo, e non è detto che riesca a capire come risolverli. Io durante le ore di matematica immagino le insufficienze che volano nella classe felici e allegre.

23 La matematica non mi piace molto, anzi a dire la verità alcune volto la odio. Quando la maestra dà un problema che per me è difficile, non riesco a pensare ad altro, sono tutto agitata. Poi mi faccio coraggio e vado dalla maestra; lei mi spiega cosa devo fare, ma quando non capisco faccio finta di aver capito perché alcune volte mi annoia, allora non ascolto. Quando un problema o alcune operazioni non mi riescono sudo, mi sento come mi scoppiasse la testa. E per stare un minuto da sola vado ad appuntare le matite o vado al bagno. Lucia 4P

24 Ma c è una cosa che quando la faccio mi blocco e rimango lì a pensarci e ripensarci perché ho paura di sbagliare e questa cosa sono i problemi!!. In certe occasioni quando la maestra Laura mi chiama per andare alla lavagna ho un po di paura perché penso dentro di me: Se sbaglio? Se la maestra ci dà una verifica li per lì sono felice perché credo di finirla a pieni voti ma quando arrivo alle cose difficili mi sento come un tremolio in tutto il corpo e come un grande freddo però quando ci penso intensamente e mi riesce ritorno la Sara di sempre. Sara 5P

25 La voce dei bambini...cresciuti Il mio rapporto con la matematica fin dalle origini non è mai stato dei migliori. Il mio rapporto con la matematica alle elementari non andava molto per la quale. Ricordo quando andavo alle elementari e la maestra ci obbligava a imparare quella odiosa tabellina o a fare quei problemi per me completamente inutili; I Problemi, erano la mia ossessione, non riuscivo mai a portarne uno (concluso) risolto alla maestra. Andrea 4S Jessica 5S mi sono sempre chiesta: perché studiare una materia così arida e lontana dal nostro modo di pensare?!

26 L educazione matematica invece di sviluppare «la voglia di affrontare problemi nuovi» sembra alimentare, e nel corso degli anni accentuare, la paura dei problemi, la paura di sbagliare e del difficile: in conclusione la paura della matematica! L educazione matematica sembra sviluppare comportamenti irrazionali nella risoluzione di problemi!

27 Come succede che l allievo si trasformi da curiosity machine a mathematical idiot? Quand è che appaiono per la prima volta i segni della avversione verso la matematica? Come si riconoscono questi segni al loro insorgere nel contesto dell apprendimento? Todos los niños son artistas. El problema es cómo seguir siendo artista cuando creces G. Mandler Pablo Picasso

28 Episodio II Il problem solving e le competenze linguistiche ATTIVITÀ 2 A cosa servono le competenze linguistiche nel problem-solving?

29 Le indicazioni nazionali 2012 La costruzione del pensiero matematico è un processo lungo e progressivo nel quale concetti, abilità, competenze e atteggiamenti vengono ritrovati, intrecciati, consolidati e sviluppati a più riprese; è un processo che comporta anche difficoltà linguistiche e che richiede un'acquisizione graduale del linguaggio matematico. Caratteristica della pratica matematica è la risoluzione di problemi, che devono essere intesi come questioni autentiche e significative, legate alla vita quotidiana, e non solo esercizi a carattere ripetitivo o quesiti ai quali si risponde semplicemente ricordando una definizione o una regola

30 Le difficoltà nei problemi: le interpretazioni dei ricercatori Secondo molti ricercatori (e insegnanti) le difficoltà degli allievi sono spesso dovute a difficoltà nella fase iniziale di comprensione Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione problematica Nella ricerca queste difficoltà sono state messe in evidenza con due tecniche: la richiesta di riformulare il testo del problema (retelling) la richiesta di drammatizzarlo

31 RIFORMULAZIONE Joe ha 3 palline. Tom ha 5 palline più di Joe. Quante palline ha Tom? viene ripetuto così Joe ha 3 palline. Tom ha 5 palline. Quante palline ha Tom?

32 DRAMMATIZZAZIONE Pete ha 3 mele. Ann gli dà altre 5 mele. Quante mele ha adesso Pete?" I: (Intervistatore): Proviamo insieme. Io ti leggo la storia frase per frase e tu la devi rappresentare usando questi pupazzi e questi blocchi. Facendo così troverai la risposta. Pete ha 3 mele. B: (Bambina): (prende 3 blocchi e li mette con il pupazzo che rappresenta Pete). I: O.K. Ann gli dà altre 5 mele. B: E impossibile! I: Perché? B: Perché Ann non ha mele. I: Puoi darle quante mele vuoi.

33 La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo: Si comprende il problema Si compila un piano Si sviluppa il piano Si procede alla verifica George Polya

34 La comprensione del testo è la prima fase di un processo risolutivo: Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione problematica Difficoltà di comprensione Rinuncia alla comprensione

35 A volte però i comportamenti messi in atto dai bambini di fronte ai problemi verbali sembrano testimoniare una rinuncia a priori a comprendere, in quanto le strategie utilizzate sembrano prescindere dalla comprensione del testo Rosetta Zan

36 comprensione testo dovrebbe LaLa comprensione deldel testo è la prima fase essere la prima faserisolutivo: di un processo di un processo risolutivo: Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione problematica Rinuncia alla comprensione

37 Comportamenti tipici degli allievi di fronte ad un problema scolastico Trovando i numeri e sommando Cercando di indovinare l operazione Guardando i numeri e da quelli risalire all operazione giusta Provando tutte le operazioni e scegliere in base al risultato Cercando parole chiave Larry Sowder Decidendo se il risultato deve essere maggiore o minore dei numeri dati, e scegliendo l operazione di conseguenza COMPORTAMENTI A caso PATOLOGICI

38 ISRAELE Quale sarà la temperatura dell acqua in un recipiente se metto insieme una caraffa d acqua a 10 gradi ed una a 40? studenti "31 col resto di 12" (29%) "31" (18%) = 50 Un camion dell esercito può portare 36 soldati. Se bisogna trasportare 1128 soldati alla loro base, quanti camion servono? Su un battello ci sono 36 pecore. 10 muoiono affogate. Quanti anni ha il capitano? STATI UNITI FRANCIA i bambini rispondono!!!!

39 Il ruolo delle scelte didattiche Nell attività di risoluzione di problemi la pratica didattica è molto influenzata dalla tradizione e dai libri di testo... Si sta veramente suggerendo di leggere al bambino? O in realtà si suggerisce una lettura selettiva del testo e un procedimento automatico e non strategico? DATI OPERAZIONI

40 La struttura del problema verbale STRUTTURA MATEMATICA STRUTTURA NARRATIVA Rosetta Zan

41 Permettere la ricostruzione della situazione In realtà è usataproblematica e vista STRUTTURA NARRATIVA esclusivamente come contenitore di dati che servono per rispondere alla Agevolare l attivazione Favorire del pensiero logicodomanda scientifico necessario per la risoluzione del problema pratiche di controllo sul risultato

42 PROBLEMA = CONTESTO CONTENITORE DI DATI + DOMANDA

43 PROBLEMA Su un battello ci sono 36 pecore. CONTESTO 10 muoiono affogate. + Quanti anni ha il capitano? DOMANDA CONTENITORE DI DATI i bambini rispondono!

44 Lettura selettiva del testo Dati numerici Parole chiave Quale sarà la temperatura dell acqua in un recipiente se metti insieme una caraffa d acqua a 10 e una a 40? = 50

45 Lettura selettiva di un testo capire come si deve fare per avere la risposta comprendere il testo di un problema costruire una rappresentazione mentale della situazione (un modello mentale )

46 Lettura selettiva di un testo La comprensione del testo comprendere il testo di un problema costruire una rappresentazione mentale della situazione (un modello mentale )

47 Lettura selettiva di un testo La comprensione del testo Lavorare sulla comprensione è una scelta didattica, meno semplice di scorciatoie spesso suggerite dai libri di testo... comprendere il testo di un problema costruire una rappresentazione mentale della situazione (un modello mentale )

48 Lavorare sulla comprensione è una scelta didattica, meno semplice di scorciatoie spesso suggerite dai libri di testo... Dati numerici Parole chiave Lettura selettiva del testo

49 Lavorare sulla comprensione è una scelta didattica, meno semplice di scorciatoie spesso suggerite dai libri di testo... Richiede tempo, tempo ben speso perché legato agli obiettivi formativi essenziali dell educazione matematica......obiettivi in linea con i traguardi per competenze delle Indicazioni! comprendere il testo di un problema costruire una rappresentazione mentale della situazione (un modello mentale )

50 Prova 2a Primaria 2012/13 Dati numerici Parola chiave Risposta: 9+10=19!

51 comprensione testo dovrebbe LaLa comprensione deldel testo è la prima fase essere la prima faserisolutivo: di un processo di un processo risolutivo: Spesso sembra mancare una effettiva ricostruzione della situazione problematica Difficoltà di comprensione Rinuncia alla comprensione

52 La struttura narrativa del problema verbale Se la struttura matematica è in primo piano per quanto riguarda le scelte dell insegnante nell attività di risoluzione di problemi, è soprattutto alla struttura narrativa che fa riferimento il processo di comprensione o rappresentazione del problema. E quindi solo parlando esplicitamente di struttura narrativa che possiamo riconoscere in modo adeguato l importanza della fase di rappresentazione del problema Rosetta Zan

53 La struttura narrativa del problema verbale In un problema le informazioni rilevanti per comprendere una storia non sono di tipo logico, in particolare non sono necessariamente le informazioni necessarie per risolverlo. Quelli che in un problema spesso vengono liquidati come 'dettagli' irrilevanti possono avere un ruolo fondamentale per permettere al bambino di comprendere e quindi di rappresentare la storia, per poi fondare su tale rappresentazione i processi risolutivi Rosetta Zan

54 Da una ricerca di D Amore et al. La ri-formulazione dei testi dei problemi scolastici standard Ad allievi delle scuole elementari e medie viene proposto il testo di un problema standard. Si richiede senza risolverlo! di riformularlo per proporlo ad altri allievi nel modo che ritengono migliore Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro?

55 Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti insieme, e ogni volta impiegano 6 ore. Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare. Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma devono fare lo stesso lavoro. Secondo te, impiegheranno più tempo o meno tempo? Perché? Calcola quanto tempo impiegheranno Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro? Viene riformulato così

56 Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro?

57 Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro? AIUTO! Mi fa male il piede! AIUTO

58 Tre operai impiegano 6 ore a fare un certo lavoro. Quanto tempo impiegheranno 2 operai a fare lo stesso lavoro? POVERO GIACOMO POVERINO SI DEVE ESSERE FATTO TANTO MALE

59 Queste modifiche del testo non sono finalizzate a facilitare i processi risolutivi, ad aumentare cioè le probabilità di ottenere risposte corrette riducendo la complessità del problema sono invece finalizzate a restituire al contesto la complessità necessaria: per comprenderlo (tanto che il testo diventa più lungo) per ancorarlo saldamente alla richiesta ed in definitiva per basare su tale comprensione eventuali processi risolutivi

60 Tre operai fanno tutti i giorni un certo lavoro, tutti insieme, e ogni volta impiegano 6 ore. Ma uno di loro si ammala e non va a lavorare. Quel giorno, quindi, gli operai sono solo in 2, ma devono fare lo stesso lavoro. Secondo te, impiegheranno più tempo o meno tempo? Perché? Calcola quanto tempo impiegheranno Non è un dato essenziale per risolvere il problema Ma è un dato essenziale per comprenderlo!

61 Bei problemi si possono......costruire CONTESTO Carlo compra un quaderno e due penne. Spende 2. Una penna costa 0,6. Quanto costa il quaderno? DOMANDA Esempio Rosetta Zan non ha una struttura narrativa consistente, in particolare non descrive una situazione problematica!

62 Carlo compra un quaderno e due penne. Spende 2. Una penna costa 0,6. Quanto costa il quaderno? Andrea deve comprare un quaderno ma non può andare in cartoleria. Chiede allora a Carlo di comprarglielo. Carlo però oltre al quaderno per Andrea compra per sè due penne da 0,6 l una. Spende in tutto 2. Quando Andrea gli chiede: Quanto ti devo dare per il mio quaderno?, Carlo non sa cosa rispondere. Come può fare Carlo a sapere quanto costa il quaderno di Andrea?

63 Queste modifiche del testo non sono finalizzate a facilitare i processi risolutivi, ad aumentare cioè le probabilità di ottenere risposte corrette riducendo la complessità del problema sono invece finalizzate a restituire al contesto la complessità necessaria: per comprenderlo (tanto che il testo diventa più lungo) per ancorarlo saldamente alla richiesta ed in definitiva per basare su tale comprensione eventuali processi risolutivi

64 Esempio sperimentazione Follonica CONTESTO Giacomo ha nel suo borsellino 15,00; suo fratello Marco ha il doppio dei suoi soldi e il fratello più piccolo, Antonio, ha 5,00 meno di Giacomo. DOMANDA Hanno in tutto 60,00? Se no, quanto manca? non ha una struttura narrativa consistente, in particolare non descrive una situazione problematica!

65 Giacomo ha nel suo borsellino 15,00; suo fratello Marco ha il doppio dei suoi soldi e il fratello più piccolo, Antonio, ha 5,00 meno di Giacomo. Hanno in tutto 60,00? Se no, quanto manca? Giacomo, Marco e Antonio sono tre fratelli. Hanno visto un gioco per la Play Station che vorrebbero comprare e così hanno deciso di mettere insieme i loro risparmi per vedere se hanno i soldi necessari per farlo. Giacomo ha 15,00; Marco ha il doppio dei suoi soldi e Antonio, ha 5,00 meno di Giacomo. Il gioco costa 60,00. Se non hanno i soldi necessari, la nonna ha detto che darà loro i soldi che mancano: quanto dovranno chiedere alla nonna?

66 ATTIVITÀ 3 Costruire un bel problema Prendere un problema dal vostro libro di testo e provarlo a modificare in questo senso Babbo, sono vivo, e... è vero. Sono un bambino vero!

67 GRAZIE