MATEMATICA APPLICATA ALLA GEOFISICA

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1 Relazione Plenaria 1: MATEMATICA APPLICATA ALLA GEOFISICA Stefano Pierini Dipartimento di Scienze per l Ambiente Università di Napoli Parthenope

2 Matematica applicata alla Geofisica Teoria dei Sistemi Dinamici Nonlineari Geofisica della Terra Fluida Verrà messa in risalto l attività di ricerca svolta da scienziati italiani in questo settore (ma riferimenti a ricerche svolte da stranieri saranno necessari per dare alla presentazione un carattere organico)

3 Parte I INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI SISTEMI DINAMICI NONLINEARI Sistemi dinamici conservativi e dissipativi, attrattori Stabilità lineare, teorema di Hartman-Grobman Analisi della stabilità di un punto fisso Biforcazioni locali e globali Transizione al caos Parte II APPLICAZIONI ALLA GEOFISICA DELLA TERRA FLUIDA Equilibri multipli Transizioni stocastiche Transizioni deterministiche Risonanza stocastica e di coerenza Caos Lagrangiano ATMOSFERA OCEANO CLIMA

4 Parte I INTRODUZIONE ALLA TEORIA DEI SISTEMI DINAMICI NONLINEARI

5 Sistemi dinamici conservativi e dissipativi, attrattori Un sistema dinamico nonlineare è una varietà Γ di dimensione N (detta spazio delle fasi) munita di una legge di evoluzione φ t che, per ogni t, mappa Γ su se stesso. Ogni punto X Γ rappresenta un possibile stato del sistema. L evoluzione può essere fornita da un sistema di ODEs: dx (per sistemi autonomi F non = F ( X,λ) dipende esplicitamente da t) dt dove λ rappresenta parametri di controllo. Un teorema di unicità esclude la possibilità di intersezione di due traiettorie. In questa definizione possono rientrare sistemi descritti da PDEs: u t ( r, t) = G k [{ u ( r, t) }, { u ( r t) }] i, i j j (si pensi alle equazioni di Navier-Stokes, nel qual caso r rappresenta il vettore posizione dello spazio ordinario). Infatti, in un opportuno spazio di Hilbert [ (dunque munito di un prodotto scalare) è possibile proiettare u su una base ϕ j ortonormale ( ϕ ϕ = δ ) e completa in [ : n m nm { ( r) }

6 Sistemi dinamici conservativi e dissipativi, attrattori da cui deriva: u i = m ( r, t) c ( t) ϕ ( r) dc dt im = F im im m [{ c }] jn Un esempio classico è dato dal modello che E. N. Lorenz propose nel 1963 all MIT per modellare, mediante una radicale riduzione del numero di gradi di libertà (N=3), la convezione atmosferica (descrivendo così il problema di Rayleigh-Bénard): dx dy dz = σ ( X + Y ), = rx Y XZ, = XY bz dt dt dt E detto varietà invariante (compact invariant manifold) un oggetto immerso in Γ che mappa su se stesso (di dimensione d < N). immagini tratte da Nicolis (1995)

7 Sistemi dinamici conservativi e dissipativi, attrattori Sia ρ(x) la densità di traiettorie in Γ. Il numero di traiettorie contenuto in un volumetto Γ dello spazio delle fasi deve conservarsi, quindi: dρ = ρ F dt ( F ) 0 ( F) < 0 Sistema conservativo: = Sistema dissipativo: (Hamiltoniano) t t Esempio di deformazione di Γ in un sistema conservativo dotato di un punto iperbolico Esempio di contrazione di Γ in un sistema dissipativo: aggiustamento su un ciclo limite immagini tratte da Nicolis (1995)

8 Sistemi dinamici conservativi e dissipativi, attrattori In un sistema dinamico dissipativo è chiamato attrattore un invariant manifold di volume nullo in Γ (quindi di dimensione strettamente minore di N) al quale tende Γ se inizialmente localizzato in un opportuno bacino di attrazione. Gli attrattori possono essere punti fissi, cicli limite, tori, attrattori strani: d=0 d=1 d=2 dimensione frattale, estrema dipendenza Un diagramma di questo tipo rappresenta il cosiddetto ritratto di fase del sistema dinamico dalle condizioni iniziali (caos) esempi tratti da Vulpiani (1994)

9 Stabilità lineare, teorema di Hartman-Grobman Sia X s uno stato di riferimento su un invariant manifold: d dt X s = F ( X,λ) X s può essere un punto fisso X 0 (nel qual caso X s (t) X 0, con F X 0, λ = ), un ciclo limite, ecc.. Limitiamoci qui al caso di un punto fisso. Ci si chiede quale sia l evoluzione di un punto X che si discosti inizialmente poco da X s : s ( ) 0 Si dice che X s è: ( t) = X s x( t) X + stabile alla Lyapunov se U ε, U δ ( ε ) : ogni traiettoria che emana da U rimane in U ; asintoticamente stabile se, inoltre, ogni traiettoria che emana da tende a X s per t ; U δ ( ε ) instabile se NON U δ ε ( ) : δ ( ε ) ε

10 Stabilità lineare, teorema di Hartman-Grobman Come analizzare la stabilità di X s? La perturbazione x soddisferà l equazione di evoluzione: dx dt =L ( λ ) x + h( x,λ) La sua versione linearizzata sarà: dx dt 2 Fi 1 Fi, dove: L ij =, hi = +... x x j xk 2! X X Un sistema di ODEs lineari del 1 ordine è immediatamente risolubile : x L t ( t) = e x0, dove Se si suppone che lo JacobianoLsia diagonalizzabile, nel suo sistema di assi principali ~ l equazione matriciale ~ x L t t = e ~ x fornisce (ω j sono gli autovalori di L): ( ) 0 ~ x = i j =L ~ x 0i e e X x ω t i s L t 1 t = =0 n! n j, k n L n j k X s

11 Stabilità lineare, teorema di Hartman-Grobman La stabilità (asintotica) lineare di X s richiede che ~ x( t) 0 per t. Ma, dato e( j ) t i m( j )t che ~ R ω I ω x ( t) ~ x e e, ciò equivale alla condizione: j = 0 j ( ω ) < 0 j R e j, D altronde, X s sarà linearmente instabile se esiste almeno un j tale che Re ω ( ) > 0 j Che si può dire sulla stabilità nonlineare di X s? Il teorema di Hartman-Grobman assicura che se X s è asintoticamente stabile o instabile rispetto all evoluzione linearizzata, allora lo è anche rispetto all evoluzione nonlineare (in termini più rigorosi, il ritratto di fase vicino a un punto fisso iperbolico è topologicamente equivalente al corrispondente ritratto di fase della dinamica linearizzata, ovvero esiste un omeomorfismo che mappa il primo ritratto di fase sul secondo) Se invece X s è solo stabile linearmente, nulla si può dire rispetto all evoluzione nonlineare.

12 Analisi della stabilità di un punto fisso Come esempio analizziamo la stabilità di un punto fisso in un sistema dinamico con Tr[ L] ± 2 d=2. I due autovalori di F sono: ω ± =, = Tr[ L] - 4 det[ L] 2 (si noti che Tr = F, quindi i sistemi conservativi richiedono Tr = ). [ L ] [ L] 0 X s >0, det>0 <0 nodo repulsore fuoco >0, det<0 punto di sella esempi tratti da Nicolis (1995)

13 Analisi della stabilità di un punto fisso Caso d=3 (esempi): manifold instabile (repulsore) saddle-focus Il problema nonlineare originale non permette il runaway e può produrre traiettorie che rimangono confinate, implicando il merging dei manifolds stabile e instabile. Ciò può condurre all esistenza di orbite omocline orbite omocline manifold stabile (fuoco stabile) orbite eterocline Shil nikov esempi tratti da Nicolis (1995) e Dijkstra (2005)

14 Biforcazioni locali e globali Le caratteristiche di stabilità di un punto fisso possono cambiare (e lo stesso punto fisso può essere creato o distrutto) in corrispondenza di particolari valori dei parametri di controllo. Tali cambiamenti qualitativi (ed altri ancora coinvolgenti cicli limite, ecc.) della dinamica del sistema vengono denotati col termine biforcazione. In termini più rigorosi, per certi valori dei parametri di controllo si ha una biforcazione se si registra un cambiamento nella struttura topologica del ritratto di fase del sistema dinamico

15 Biforcazioni locali e globali diagramma di biforcazione x & = r + 2 x saddle-node bifurcation x& = rx 2 x transcritical bifurcation esempi tratti da Strogatz (1994) x& = rx 3 x pitchfork bifurcation

16 Biforcazioni locali e globali Consideriamo, come esempio, un sistema dissipativo che si aggiusta all equilibrio attraverso oscillazioni smorzate con velocità di decadimento controllata dal parametro µ. Può succedere che, in corrispondenza di un valore critico µ c il decadimento si trasformi in amplificazione, così che per µ c il punto fisso perda la sua stabilità. In molti casi il moto risultante prende la forma di un oscillazione di piccola ampiezza o, in altri termini, di un ciclo limite intorno al punto fisso instabile. 3 r& = µ r r & θ = ω + br 2 Questa è una biforcazione di Hopf ω 1 (µ) ω 2 (µ) Im ω Re ω In 2D ciò avviene quando due autovalori complessi coniugati transitano dal semipiano negativo al semipiano positivo di Re ω. esempio tratto da Strogatz (1994)

17 Biforcazioni locali e globali Abbiamo già visto cos è un orbita omoclina. Si dice biforcazione omoclina una biforcazione che conduce alla creazione di tale orbita. x& = y Un esempio è il seguente: 2 y& = µ y + x x + xy esempio tratto da Strogatz (1994) Le biforcazioni omocline rientrano nella categoria delle (le precedenti biforcazioni sono dette locali). biforcazioni globali In una biforcazione globale si passa da traiettorie che rimangono nelle vicinanze di un punto fisso instabile (ad esempio un ciclo limite) a traiettorie che coinvolgono un altro punto fisso instabile (ad esempio un punto di sella). Come vedremo, queste biforcazioni (in un contesto caotico) rivestono una particolare rilevanza in dinamica del clima.

18 Transizione al caos Col termine caos si intende un comportamento aperiodico in un sistema dinamico (deterministico) che esibisce una forte dipendenza dalle condizioni iniziali. In uno stato caotico, dunque, la predicibilità è fortemente limitata. In un sistema dinamico autonomo il caos può esistere solo per d 3. Le seguenti immagini mostrano una transizione al caos nel modello di Lorenz al variare di r: Ciclo limite Caos Evoluzione di X, Y e Z nel modello di Lorenz con r=160 Evoluzione di Z nel modello di Lorenz con r=143 per due diverse condizioni iniziali pressochè identiche: X 0 = 20 Y0 = 0 Z0 = 163 X 0 = 20 Y0 = 0 Z0 = 166 immagini tratte da Hilborn (2000)

19 In un sistema dinamico nonlineare la transizione da una situazione non caotica al caos (al variare di certi parametri di controllo λ) può seguire percorsi diversi. Tuttavia la casistica è molto meno ampia di quanto l incredibile varietà con la quale il caos si manifesta nei più disparati ambiti non lasci presagire. Percorso 1: period-doubling Il caos viene raggiunto (a partire da un ciclo limite) attraverso una sequenza di biforcazioni per λ=λ n, in corrispondenza di ciascuna delle quali si registra il raddoppio del periodo. Il periodo cresce fino a diventare infinito per λ che tende a λ c, oltre il quale si ha il caos. Feigenbaum (JSP 1978, 1979) ha mostrato come il numero λn λn δ = lim 1 = n λ λ n+ 1 regoli (con un carattere di universalità) la transizione al caos in questa modalità. n Transizione al caos immagini ed esempi tratti da Strogatz (1994) e Hilborn (2000)

20 Transizione al caos Percorso 2: quasi-periodicità Un segnale che possiede due frequenze Ω 1 e Ω 2 è periodico se R= Ω 1 /Ω 2 è un numero razionale. Se invece R è un numero irrazionale si parla di quasi-periodicità. Un orbita quasi-periodica ricopre densamente il toro senza mai richiudersi su se stessa. Anche questo percorso inizia con un ciclo limite. Al variare di λ nasce una nuova frequenza con R irrazionale. Un ulteriore variazione di λ conduce al caos senza che si passi attraverso la creazione di ulteriori frequenze. Questo è lo scenario di Ruelle-Takens (1971) che ha importanti implicazioni circa la transizione alla turbolenza in un fluido (lo scenario proposto da Landau e Lifshitz (1959) è stato abbandonato di conseguenza). Risultati di un esperimento di Gollub e Swinney (1975) sul flusso di Couette-Taylor immagini ed esempi tratti da Hilborn (2000) e Ott (2002)

21 Percorso 3: intermittenza In questo percorso compaiono periodi di comportamento caotico in un segnale altrimenti periodico. Al variare di λ il comportamento caotico può invadere l intero segnale. Transizione al caos Dietro questo comportamento si cela la scomparsa di punti fissi per determinati valori di λ. Anche nel modello di Lorenz si manifesta l intermittenza. Nel grafico in alto il comportamento è periodico. In quello in basso il comportamento è intermittente. immagini ed esempi tratti da Strogatz (1994) e Hilborn (2000)

22 Percorso 4: Transizione al caos transiente caotico (orbite omocline ed eterocline) Questo percorso differisce dagli altri per una differenza molto importante: mentre i primi tre meccanismi derivano da biforcazioni locali, questo meccanismo deriva da biforcazioni globali. A partire dall esistenza di attrattori di vario tipo (anche caotici), per un certo valore di λ la traiettoria lascia le vicinanze di un punto di sella lungo il suo unstable manifold e vaga su ampi settori dello spazio della fasi. La traiettoria poi può riconnettersi al punto di sella rientrandovi attraverso il suo stable manifold (traiettoria omoclina) oppure può raggiungere un altro punto di sella per poi riconnettersi a quello di partenza (traiettoria eteroclina). Le traiettorie omocline e le connessioni eterocline rivestono un importanza particolare nella dinamica caotica dei fluidi geofisici. modello di Rössler (1976) modello di Lorenz (1963) immagini ed esempi tratti da Nicolis (1995) e Hilborn (2000)

23 Parte II APPLICAZIONI ALLA GEOFISICA DELLA TERRA FLUIDA

24 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA Un idea classica della teoria della circolazione generale dell atmosfera è quella di considerare i pattern ricorrenti (sulla bassa frequenza: T > 5 giorni) osservati d inverno alle medie latitudini settentrionali come stati di equilibrio (punti fissi nella terminologia della DST) delle equazioni che regolano la dinamica atmosferica. Analizzare l esistenza e il carattere di questi stati e comprendere le modalità di transizione tra di essi ha implicazioni molto rilevanti per quanto concerne la fattibilità di un extended range weather forecast e l individuazione robusta di cambiamenti climatici. Charney e DeVore (JAS 1979) hanno per primi messo in evidenza la possibile esistenza di equilibri multipli nella circolazione alle medie latitudini utilizzando un modello QG barotropico (troncato e non) in un canale zonale sul piano-β con topografia.

25 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA ). Malguzzi e Speranza (JAS 1981) hanno esteso questo studio introducendo una topografia non sinusoidale. Gli stati multipli di Charney e DeVore sussistono ma sono localizzati in diverse regioni del piano β. Questa manifestazione regionale degli stati multipli è rilevante nell interpretazione dei fenomeni di blocking

26 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA Altri rilevanti contributi: Benzi, Malguzzi, Speranza e Sutera (QJRMS 1986) e Benzi, Speranza e Sutera (JAS 1986), che considerano, tra l altro, gli effetti della wave self-advection nonlineare e della baroclinicità (tenuta in conto mediante un modello QG a 2 strati). L evidenza sperimentale dell esistenza di equilibri multipli è stata analizzata in vari studi basati su analisi statistiche di dati prodotti da modelli previsionali. Benzi e Speranza (JC 1989) hanno analizzato l altezza geopotenziale a 500 mb di dati NMC analyses nel range giorni mediante opportuni metodi statistici. A destra è riportata la PDF (probability density function), dove U è il flusso zonale e A l ampiezza d onda. Un comportamento bimodale è chiaramente presente in A.

27 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA Hansen e Sutera (JAS 1986, 1995) hanno calcolato un indicatore di ampiezza d onda su 17 anni di dati NMC di altezza geopotenziale a 500 mb, applicando poi la tecnica della maximum penalized likelihood (MPL). A destra in alto è riportata la loro stima della MPL-PDF. In basso la stessa stima è stata corretta per filtrare variabilità interannuali. Questi risultati mostrano come sia delicato, ma possibile, trasporre il concetto di punto fisso della DST in un contesto sperimentale (o, più precisamente, su dati previsionali)

28 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA Transizioni stocastiche Un limite della teoria di Charney e DeVore consiste nell impossibilità di transizione tra i due stati (zonale e bloccato), trattandosi di punti fissi stabili. Transizioni possono essere indotte da fluttuazioni non risolte dal sistema troncato, che possono, a loro volta, essere parametrizzate da un forzante stocastico: Benzi, Hansen e Sutera (QJRMS 1984), Sura (JAS 2002). In questa slide sono riportati alcuni significativi risultati di Sura. E1 E3 E1 E3 E1 E3 E1 E3

29 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA Transizioni deterministiche Nella parte introduttiva di questa presentazione abbiamo visto come due punti fissi instabili possano (in un determinato range parametrico) essere raggiunti alternativamente da traiettorie caotiche attraverso connessioni eterocline. Questo meccanismo di connessione tra diversi equilibri dinamici è puramente deterministico (nessuna componente stocastica è richiesta nel forzante). Crommelin, Opsteegh e Verhulst (JAS 2004) evidenziano in maniera chiara ed elegante come questo meccanismo agisca in un modello QG troncato che è una variante di quello di Charney e DeVore.

30 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA Transizioni deterministiche Crommelin (JAS 2003) presenta evidenza di connessioni eterocline in un più realistico modello QG barotropico T21 con 231 variabili:

31 Equilibri multipli, transizioni - ATMOSFERA Transizioni deterministiche Sterk, Vitolo, Broer, Simò, Dijkstra (submitted to Physica D 2009) ottengono orbite eterocline in un modello troncato (N=46) shallow water a 2 strati per un atmosfera zonale alle medie latitudini. Da sottolineare la derivazione di un diagramma di biforcazione e l uso di un modello baroclino alle equazioni primitive (non QG).

32 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Il problema della variabilità oceanica, degli eventuali equilibri multipli e delle rispettive transizioni, si pone in maniera molto diversa rispetto al corrispondente problema atmosferico. Nonostante vi siamo importanti aspetti fisici comuni tra i moti di grande scala nell atmosfera e negli oceani (le equazioni di base QG e SW, le onde di Rossby, i meccanismi di instabilità baroclina e barotropica, ecc.), grandi sono le differenze quando si consideri la fenomenologia e gli effettivi meccanismi di formazione della circolazione media e delle variabilità. La rappresentazione dell atmosfera alle medie latitudini mediante un canale zonale periodico non può, per ovvie ragioni, avere nessun corrispettivo oceanico, se si eccettua l Oceano Meridionale (per il quale una simile schematizzazione è idonea per lo studio della Corrente Circumpolare Antartica). Altre devono essere le schematizzazioni geometriche, per non parlare di quelle dinamiche, da adottare nello studio della dinamica oceanica.

33 Nonostante le forti differenze nella dinamica dei due fluidi geofisici, l applicazione dei metodi della teoria dei sistemi dinamici evidenzia forti similarità tra oceano e atmosfera sia nei meccanismi di transizione al caos sia nelle modalità di connessione tra stati multipli. La circolazione di grande scala degli oceani può essere raggruppata in due grandi categorie: circolazione termoalina: Equilibri multipli, transizioni - OCEANO è guidata da gradienti di densità, a loro volta determinati da buoyancy fluxes alla superficie. Coinvolge grandi profondità, è responsabile della parte profonda della conveyor belt oceanica. circolazione indotta dal vento: L applicazione della teoria dei sistemi dinamici nonlineari alla variabilità oceanica è trattata in grande dettaglio nel libro di Dijkstra (2000). è guidata dallo stress superficiale del vento ed è composta da correnti superficiali di Ekman e da correnti geostrofiche barotropiche e barotrocline generate indirettamente dal vento attraverso la divergenza del trasporto di Ekman. Si manifesta nell oceano superiore.

34 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione termoalina L Atlantico settentrionale riceve un input netto di calore alle basse latitudini e registra una perdita di calore alle alte: ciò produce un gradiente meridionale di densità. Contemporaneamente la forte evaporazione alle basse latitudini produce un aumento locale di salinità, che contribuisce all aumento di densità. Dunque i flussi di calore e quelli di acqua dolce producono due effetti opposti. Cosa accade al variare del peso relativo dei due effetti? Stommel (1961) ha sviluppato un modello minimale che permette di analizzare questo problema. In un certo range parametrico il sistema ammette un unico stato di equilibrio. Aumentando il flusso di salinità emergono equilibri multipli. La loro esistenza deriva da un meccanismo di feedback positivo tra il flusso e il trasporto di sale chiamato di salt-advection. In questo contesto Cessi e Young (JFM 1992) hanno identificato equilibri multipli stabili in un modello bidimensionale (sul piano x-z) della circolazione termoalina.

35 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione termoalina transizioni deterministiche Sempre su un piano meridionale y-z Quon e Ghil (JFM 1992) e Dijkstra e Molemaker (JFM 1997) ottengono diagrammi di biforcazione che mostrano la nascita di oscillazioni di rilassamento. I primi autori seguono un approccio empirico mentre i secondi ricorrono al più sofisticato pseudo arc length continuation method. Quon e Ghil Dijkstra e Molemaker Dijkstra e Weijer (JMR 2003) studiano il problema degli equilibri multipli della circolazione termoalina considerando una gerarchia di modelli. In particolare analizzano l effetto, sulla struttura degli equilibri e sulle relative transizioni, dello stress del vento e delle asimmetrie dei continenti e del flusso superficiale di acqua dolce.

36 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione termoalina transizioni deterministiche Anche nell analisi della variabilità della circolazione termoalina del Mar Mediterraneo hanno trovato applicazione i paradigmi della DST. Pisacane, Artale, Calmanti e Rupolo (CR 2006) usano un OGCM eddypermitting con forzante perpetuo ad alta frequenza (anno 1988). I risultati suggeriscono che il bacino orientale possa presentare oscillazioni decadali di carattere bimodale di origine intrinseca. I risultati relativi ad un esperimento numerico con mixed boundary conditions per il flusso di sale mostrano un chiaro segnale bimodale, come evidenziato in queste immagini.

37 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione termoalina transizioni stocastiche Un esempio rilevante di transizioni guidate da un forzante stocastico nel contesto della circolazione termoalina è fornito dallo studio dell Atlantic Multidecadal Oscillation (AMO). L AMO è un modo di variabilità interno all oceano che si manifesta in un oscillazione della SST media del Nord Atlantico (con un picco significativo nella banda di frequenza tra 50 e 70 anni) e con una struttura spaziale ben definita. Frankcombe, Dijkstra e von der Heydt (JPO 2009) presentano, in un modello 3D idealizzato, un modo oceanico interno con caratteristiche simili all AMO, la cui eccitazione (con conseguente transizione tra stati) può essere indotta da un rumore sovrapposto al forzante superficiale di heat flux.

38 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento L analisi della variabilità di bassa frequenza (su scale temporali interannuali fino alle interdecadali) della circolazione oceanica indotta dal vento ha riguardato sostanzialmente i sistemi di western boundary currents (WBC, Corrente del Golfo, Kuroshio) e le loro estensioni. L approccio classico è basato su modelli QG (e pià raramente SW) implementati in domini tipicamente rettangolari, con forzante stazionario. Questa classe di modelli è detta a double-gyre. Jang, Jin e Ghil (JPO 1995) mostrano come in un modello SW double-gyre (DG) a gravità ridotta emergano equilibri multipli nello stato della WBC extension: essi originano da una perturbed pitchfork bifurcation messa chiaramente in evidenza dal diagramma di biforcazione. Quest ultimo è stato costruito mediante una continuazione empirica (ovvero effettuando molte integrazioni temporali per diversi valori di un parametro di controllo).

39 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento In un simile setup modellistico, ma utilizzando le equazioni QG, Cessi e Ierley (JPO 1995) individuano ben 5 equilibri del sistema. McCalpin e Haidvogel (JPO 1996) sviluppano un modello DG QG a gravità ridotta per un dominio di più ampia estensione zonale, ottenendo diversi stati di equilibrio. Negli ultimi 15 anni è stato pubblicato un numero impressionante di studi basati sull approccio DG. Un esauriente rassegna è fornita da Dijkstra (book 2005) e Dijkstra e Ghil (RG 2005).

40 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento transizioni deterministiche Simonnet, Ghil, Ide, Temam e Wang (JPO 2003) propongono un modello DG SW a 2 ½ layers. Mostrano come il sistema possa transitare tra un equilibrio e l altro attraverso connessioni eterocline derivanti da una biforcazione globale (homoclinic explosion). Simonnet, Ghil e Dijkstra (JMR 2005) approfondiscono questo importante aspetto analizzando la transizione al caos in un modello DG QG a gravità ridotta.

41 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento transizioni deterministiche La modellistica double-gyre ha evidenziato come l oceano sia in grado di produrre variabilità di bassa frequenza delle estensioni di WBC mediante meccanismi intrinseci. Inoltre, le oscillazioni di rilassamento associate a orbite omocline ed eterocline presentano caratteristiche spaziali e temporali qualitativamente in accordo con le osservazioni. Tuttavia, un limite della modellistica double-gyre classica riguarda l incapacità di questi modelli nel produrre flussi oceanici confrontabili quantitativamente con dati reali. Pierini (JPO 2006) ha applicato l approccio DG all Estensione del Kuroshio includendo nel modello essenziali elementi di realismo. Questo ha permesso, per la prima volta in tale contesto, di ottenere un oscillazione di rilassamento in sostanziale accordo quantitativo con dati altimetrici. Ciò ha supportato l ipotesi di una generazione intrinseca del fenomeno.

42 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento transizioni deterministiche Analizzando dati altimetrici ottenuti dalle missioni satellitari TOPEX/Poseidon, ERS-1/2 e Jason-1, Qiu e Chen (JPO 2005) hanno caratterizzato in maniera chiara ed esaustiva un oscillazione bimodale dell Estensione del Kuroshio (EK) con carattere decadale, anche mediante l uso di indici che esprimono la latitudine media e la lunghezza dell asse del getto. L accordo dei risultati modellistici di Pierini con questi dati sperimentali è sorprendente, se si considera la semplicità dell approccio modellistico.

43 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento transizioni deterministiche Pierini (JPO 2008) analizza in dettaglio il motivo per il quale modelli DG apparentemente molto simili al suo non hanno prodotto risultati altrettanto realistici. Ci sono due caratteristiche geometriche di grande rilievo che spiegano tale differenza. L introduzione di una costa (per quanto schematica) a Sud del Giappone gioca un ruolo di assoluta importanza nella formazione dell oscillazione di rilassamento. L importanza di una corretta estensione zonale del dominio (9000 km) è altrettanto evidente. Un estensione ridotta (4500 km) abbatte di un fattore 2 l input di momento e vorticità attraverso il bilancio integrato di Sverdrup, alterando sostanzialmente l intensità del getto.

44 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento transizioni deterministiche Pierini, Dijkstra e Riccio (JPO 2009) procedono ad una sistematica analisi della transizione al caos mediante l effettuazione di un gran numero di integrazioni temporali al variare del coefficiente di eddy viscosity. Qui si mostra il drammatico cambiamento che si registra nello spazio delle fasi in corrispondenza della biforcazione globale che conduce alla vigorosa oscillazione di rilassamento dell EK.

45 Equilibri multipli, transizioni - OCEANO Circolazione indotta dal vento transizioni deterministiche Uno dei modi più efficaci per caratterizzare il comportamento caotico di un sistema dinamico è quello di calcolare gli esponenti di Lyapunov, che rappresentano l inverso della scala temporale sulla quale avviene la divergenza esponenziale di due traiettorie che originano da condizioni iniziali vicine tra loro. Qui si mostra il campo di esponenti di Lyapunov a tempo finito su un opportuno piano delle fasi, e il suo corrispettivo Lagrangiano. In particolare quest ultimo parametro è rivelatore di un interessante, e in qualche misura inaspettato, comportamento di questo sistema caotico.

46 Equilibri multipli, transizioni - CLIMA Un problema di grande rilevanza riguarda la capacità di distinguere, nei recenti cambiamenti climatici, tra cause antropogeniche e manifestazioni della naturale variabilità climatica. È opinione diffusa che la variabilità di origine antropica sia distinta da quella naturale. D altronde, sulla base di modelli caotici Palmer (Weather 1993, JC 1999) suggerisce che la risposta antropogenica si proietti essenzialmente sui modi naturali della variabilità climatica. Corti, Molteni e Palmer (Nature 1999) usano dati atmosferici dell emisfero settentrionale per sostanziare questa tesi. I recenti cambiamenti climatici si rifletterebbero in una diversa frequenza di occorrenza di regimi climatici naturali.

47 Equilibri multipli, transizioni - CLIMA Alla luce di quei risultati si pone una domanda fondamentale: i modelli climatici sono in grado di simulare in maniera adeguata i regimi naturali di circolazione e le relative variabilità? In caso contrario non c è da aspettarsi che gli stessi possano fornire informazioni attendibili circa i cambiamenti climatici in atto. Corti, Gualdi e Navarra (AG 2003) effettuano un integrazione di 200 anni col GCM accoppiato SINTEX e confrontano le leading EOFs modellistiche con i corrispondenti modi sperimentali. I risultati indicano che il modello è in grado di simulare l attrattore climatico, in particolare la sua struttura non-gaussiana.

48 Equilibri multipli, transizioni - CLIMA La capacità dei modelli climatici di simulare la variabilità atmosferica invernale alle medie latitudini dell emisfero settentrionale è stata considerata in dettaglio da Lucarini, Calmanti, Dell Aquila, Ruti e Speranza (CD 2007). Sono stati confrontati i risultati di 19 modelli climatici inclusi nel 4 th Assessment Report dell IPCC con i dati NCEP-NCAR e ECMWF reanalyses per il periodo Questo confronto si avvale di una misura integrale della variabilità in diversi subdomini spettrali. I risultati indicano che i principali modelli climatici non sono ancora pienamente soddisfacenti nella loro rappresentazione delle proprietà spettrali spazio-temporali, almeno per quanto riguarda la variabilità atmosferica alle medie latitudini. Lucarini, Speranza e Vitolo (PD 2007) discutono questi temi, con particolare riferimento alla definizione di un modello climatico minimale, mettendo in evidenza la necessità di sviluppare robusti ed efficienti paradigmi scientifici parallelamente all approccio di forza bruta, che troppo spesso è seguito con ingiustificata fede.

49 Risonanza stocastica, Risonanza di coerenza Il meccanismo di risonanza stocastica svolge un ruolo di particolare rilievo nella dinamica del clima, nell ambito della quale fu proposto da Benzi, Sutera e Vulpiani (JPA 1981) e Benzi, Parisi, Sutera e Vulpiani (SIAM 1983). Il meccanismo può agire in un sistema nonlineare che possiede due punti fissi stabili ed è soggetto ad un forzante periodico oltre che ad una componente stocastica (rumore). forzante periodico rumore sistema nonlineare bistabile output α Immaginiamo che il forzante periodico (di periodo T) sia troppo debole per permettere la transizione da uno stato stazionario all altro. Il rumore può tuttavia indurre sporadiche transizioni. Il salto tra uno stato e l altro può sincronizzarsi col forzante periodico se T/2 è confrontabile col tempo medio di residenza T R in uno stato, che in generale cresce al diminuire dell intensità α del rumore. immagine ed esempio tratti da Gammaitoni et al. (1998)

50 Risonanza stocastica, Risonanza di coerenza L alternanza delle glaciazioni e dei periodi interglaciali durante il Pleistocene mostra un picco significativo intorno ai 100 ky. Viene spontaneo associare questa periodicità al ciclo di Milankovitch relativo alla variazione dell eccentricità dell orbita terrestre. Tuttavia questo forzante è considerato troppo debole per produrre sul sistema climatico una risposta tanto rilevante. Il meccanismo di risonanza stocastica applicato ad un modello climatico semplificato (Budyko-Sellers) è stato invocato per spiegare la forte amplificazione dell effetto del forzante. Benzi, Parisi, Sutera e Vulpiani (1983)

51 Risonanza stocastica, Risonanza di coerenza Esiste un meccanismo, detto di risonanza di coerenza (coherence resonance) che è un parente stretto della risonanza stocastica, differenziandosene però in maniera significativa. I sistemi potenzialmente soggetti a questo meccanismo sono quelli cosiddetti eccitabili, che possiedono, cioè, un modo interno nonlineare che, se eccitato, si rilassa su una scala temporale intrinseca T i. rumore sistema nonlineare eccitabile output In genere il sistema risiede su un suo attrattore (può essere un punto fisso, un ciclo limite o anche un attrattore strano). Se però il sistema è disturbato da un adeguato forzante stocastico il modo interno può essere eccitato, producendo così una risposta coerente. Il termine risonanza sta ad indicare che, affinchè questo accada, occorre che l ampiezza del rumore sia all interno di un range ottimale (se il rumore è troppo debole il modo non si eccita, se è troppo intenso la risposta diventa essa stessa stocastica e perde di coerenza).

52 Risonanza stocastica, Risonanza di coerenza Il meccanismo di risonanza di coerenza è stato invocato per spiegare l esistenza degli eventi di riscaldamento di Dansgaard-Oeschger durante l ultimo periodo glaciale da Ganopolski e Rahmstorf (Nature 2001, PRL 2002). Nel loro modello climatico accoppiato oceano-atmosfera l Atlantico glaciale è un sistema eccitabile, nel quale un evento di DO si manifesta come una transizione temporanea (eccitata da perturbazioni stocastiche del bilancio di salinità nel Nord Atlantico) da un modo stabile (freddo) ad uno instabile (caldo). Lo stato interglaciale (ad esempio il presente Olocene) risulta bistabile, quindi non è ammesso il rilassamento al modo freddo.

53 Risonanza stocastica, Risonanza di coerenza Pierini (JPO 2009) ha mostrato come l oscillazione di rilassamento dell Estensione del Kuroshio ottenuta da Pierini (2006) possa essere considerata come un paradigma oceanico del meccanismo di risonanza di coerenza. Nel range parametrico RANGE1 l oscillazione, come si è già visto, scaturisce spontaneamente come effetto di una biforcazione omoclina. In RANGE2, viceversa, tale oscillazione non si manifesta nel sistema autonomo. Tuttavia viene mostrato che anche in questo secondo range esiste un modo interno del sistema che è praticamente identico all oscillazione di cui sopra. Si avanza quindi l ipotesi che, in RANGE2, il sistema sia eccitabile. In effetti, la presenza, nel forzante, di un rumore colorato può eccitare il modo interno attivando la risonanza di coerenza.

54 Risonanza stocastica, Risonanza di coerenza Il modello viene forzato dal campo di vento ( x y, t) ( x, y), dove τ 0 è il forzante stazionario, ε è un numero adimensionale minore di 1 e y è un rumore rosso soluzione dell equazione differenziale stocastica di Ornstein-Uhlenbeck: y & = ay + bη, dove η è un rumore bianco Gaussiano di varianza unitaria. Per questo 1 processo il tempo di autocorrelazione è = a. T s τ ( t) y 1 + ε σ y, = τ 0 Un vento bianco non è in grado di eccitare il modo interno; può invece farlo un vento rosso con T s che va da O(1 mese) a O(1 anno) a seconda della dissipazione. Questo comportamento è tipico della risonanza di coerenza: è richiesto un livello ottimale di ampiezza del rumore affinché possa emergere un segnale coerente.

55 Caos Lagrangiano Consideriamo un sistema dinamico con d=3 dx = F ( X,λ) dt in cui X x, dove x rappresenta il punto dello spazio Euclideo ordinario e F u, dove u rappresenta un dato campo di velocità definito in un certo dominio spaziale: dx = u dt ( ) x,λ In altri termini lo spazio delle fasi coincide con lo spazio Euclideo ordinario. Questo sistema di ODEs fornisce la legge di evoluzione di un punto trasportato lagrangianamente dal campo di velocità Euleriano u. Tale problema è alla base della descrizione del trasporto, della diffusione e del mixing di traccianti passivi, ed è quindi di grande importanza per la geofisica della terra fluida (Crisanti, Falcioni, Vulpiani RNC 1991). Abbiamo già visto che un sistema dinamico autonomo può esibire un comportamento caotico se d 3. In questo contesto si parla di caos Lagrangiano (estrema dipendenza delle traiettorie dalle condizioni iniziali, esponenti di Lyapunov positivi).

56 Caos Lagrangiano Ancora una volta il modello di Lorenz ci fornisce un significativo esempio del problema in questione: E importante notare che se il campo u è solenoidale (se, ad esempio, è soluzione delle equazioni di Navier-Stokes per un fluido incompressibile), il sistema dinamico è conservativo (Hamiltoniano), infatti: per d=2 la condizione u = 0 ci permette di introdurre una streamfunction ψ : da cui: u dx dt ψ = x 1, 2 ψ = x 1, 2 che non sono altro che le equazioni di Hamilton. u 2 dx dt ψ = x 2 1 ψ = x 1 Immagine tratta da Strogatz (1994)

57 Caos Lagrangiano Il caso bidimensionale (d=2) riveste un importanza particolare nella fluidodinamica geofisica (basti pensare che la maggior parte degli studi di processo dalla mesoscala in su si basano su equazioni quasi-geostrofiche o shallow water, entrambe intrinsecamente bidimensionali). Tuttavia se d=2 sappiamo che il sistema dinamico non può essere caotico. Questo però è vero solo per sistemi autonomi. Se u non è stazionario ma dipende dal tempo il caos Lagrangiano può comparire anche per d=2. In questo contesto, oltre ad un u dipendente dal tempo si usa considerare anche un processo stocastico additivo η al fine di parametrizzare effetti Euleriani turbolenti, ottenendo così l equazione di Langevin: dx = u( x,λ, t) + η( t) dt La sua versione Euleriana è data dall equazione di Fokker-Plank: θ 2 + u θ = χ θ t dove θ è la concentrazione di tracciante passivo e χ è il coefficiente di diffusione turbolento (in applicazioni geofisiche spesso si introduce un Laplaciano anisotropo). Ovviamente, a η=0 corrisponde χ=0.

58 Caos Lagrangiano: : applicazioni La mesoscala oceanica e atmosferica è caratterizzata dalla presenza di vortici coerenti sostanzialmente bidimensionali che permettono la localizzazione coerente di energia e di vorticità per tempi molto più lunghi di quelli tipici della turbolenza locale. Naturalmente la presenza di tali vortici influenza in maniera importante le proprietà di trasporto e di dispersione di traccianti passivi (Provenzale ARFM 1999). Provenzale, Babiano, Bracco, Pasquero e Weiss (LNP 2008) analizzano il problema generale del trasporto di traccianti associato a vortici coerenti. Babiano e Provenzale (JFM 2007) studiano numericamente il trasferimento, sulle varie scale, di estrofia e di varianza di tracciante passivo in turbolenza bidimensionale. Bracco, von Hardenberg, Provenzale, Weiss e McWilliams (PRL 2004) analizzano le proprietà Lagrangiane della turbolenza quasigeostrofica 3D (baroclina) risolvendo numericamente sia le equazioni QG 2D che quelle 3D. La conclusione è che le proprietà del caso 2D si trasportano praticamente invariate al caso 3D

59 Caos Lagrangiano: : applicazioni Un importante applicazione riguarda l analisi del trasporto e del mixing indotti da un getto meandriforme che schematizza le estensioni di WBC, come la Corrente del Golfo e il Kuroshio. Cencini, Lacorata, Vulpiani e Zambianchi (JPO 1999) ne analizzano la dispersione zonale e meridionale suddividendo il campo di moto in diverse regioni dinamiche (jet, ricircolazioni, campo lontano), analizzando lo scambio tra di esse in termini di exit times e costruendo la matrice di transizione tra differenti regioni, e valutando la probabilità di exit times e scambi in termini Markoviani. Differenti regioni dinamiche

60 Caos Lagrangiano: : applicazioni Il mixing in un sistema finito è chiaramente non descrivibile con strumenti asintotici come quelli tipici della diffusione classica. Nel caso in cui il numero di ricircolazioni è molto grande la differenza è trascurabile, ma in quello, realistico, di dimensioni zonali non troppo maggiori della scala zonale tipica del campo di velocità (estensioni di western boundary currents) il ricorso a parametrizzazioni del tipo markoviano risulta essere molto più efficace. In questo contesto Castiglione, Cencini, Vulpiani e Zambianchi (CHAOS 1999) analizzano il trasporto di traccianti passivi in sistemi finiti dotati di streamlines aperte e con un numero finito di zone di ricircolazione. 3 ricircolazioni 10 ricircolazioni 100 ricircolazioni 1000 ricircolazioni Distribuzione di probabilità del primo exit time dal jet (linea spezzata) e relativa previsione markoviana calcolata a partire dalla matrice di transizione tra le regioni (linea continua); nei primi due pannelli è anche indicata (linea tratteggiata) la previsione con un modello diffusivo classico

61 Caos Lagrangiano: : applicazioni La metodologia Lagrangiana riveste una notevole importanza nell analisi di dati oceanografici ottenuti da drifters e floats. Rupolo, Hua, Provenzale e Artale (JPO 1996) ottengono leggi di potenza per gli spettri delle traiettorie a 700 m nell Atlantico Nord-Occidentale. Nel contesto della parametrizzazione della diffusività turbolenta Rupolo (JPO 2007) propone di utilizzare il rapporto y=t a /T v tra le scale temporali tipiche delle accelerazioni e delle velocità per separare le traiettorie Lagrangiane oceaniche in classi omogenee. I parametri statistici ottenuti mediando sulle classi così determinate evidenziano il ruolo delle strutture coerenti nei processi di dispersione.

62 Caos Lagrangiano: : applicazioni Sempre in un contesto oceanografico Pierini e Zambianchi (in book 2003) hanno studiato il caos Lagrangiano indotto da un campo di modi normali di Rossby in un dominio circolare. Lo stirring e folding delle linee materiali è evidenziato, nelle ultime 3 linee, per 3 diversi valori dell intensità del campo: I modo II modo I diversi stadi del mixing Lagrangiano sono analizzati mediante la particle pair α correlation function H( r) r, dove α è la dimensione di correlazione:

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