ANDREA GILARDONI LOGICA DEDUTTIVA CLASSICA I

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1 ANDREA GILARDONI LOGICA DEDUTTIVA CLASSICA I Riteniamo di conoscere scientificamente qualcosa in senso proprio, e non accidentalmente alla maniera sofistica, quando riteniamo di conoscere la ragione per la quale la cosa è, che essa è la ragione di quella cosa, e che ciò non può essere altrimenti. [...] Se allora conoscere scientificamente è quello che abbiamo stabilito, è anche necessario che la conoscenza scientifica ottenuta per dimostrazione proceda da premesse vere, prime, immediate, più note, anteriori e tali che siano ragioni della conclusione. (Aristotele, Analitici secondi, 2, 71b) Il sillogismo è un discorso in cui, poste talune cose, qualcosa di diverso risulta necessariamente, per il fatto stesso che queste cose sono poste. (Aristotele, Analitici primi, A, 1) Quando tre termini stanno tra di essi in rapporti tali, che il minore sia contenuto nella totalità del medio, ed il medio sia contenuto, o non sia contenuto, nella totalità del maggiore, è necessario che tra gli estremi sussista un sillogismo perfetto. (Aristotele, Analitici primi, 25b)

2 I. L ENUNCIATO 1. Il termine Una frase è composta di parole, che con un linguaggio tecnico chiameremo termini. Cosa sono i termini? Per esempio, tavolo, rosso, cammina : nomi, verbi, avverbi, aggettivi. E gli articoli? E le preposizioni, le negazioni, le congiunzioni? Anch essi. Ma da, un, o sono termini che convenzionalmente hanno un significato solo nel contesto di una frase ( Angelina Jolie indossa un abito rosso ), non, invece, se presi isolatamente. Quando si dice che i termini sono dotati di senso a cosa si fa riferimento? Al fatto che essi indicano un oggetto, una persona, un azione: si riferiscono a, sono dei segni che stanno per qualcosa d altro, in modo adeguato o inadeguato. Abbiamo dunque due tipi (classi) di termini. CLASSI DI TERMINI SINCATEGOREMATICI CATEGOREMATICI termini che non sono dotati di senso autonomo e hanno bisogno di essere collegati con termini che lo sono termini dotati di senso anche presi isolatamente. 2. L enunciato Non basta dire penna, perché ciò che diciamo sia vero o falso. Occorre aggiungere qualcosa. Solo l enunciato La penna è bianca sarà vero o falso. Con enunciato si intende una connessione di un soggetto e un predicato, attraverso la quale il soggetto è incluso nel o escluso dal predicato, in modo totale o parziale. Rispetto alle funzioni del linguaggio, gli enunciati presi in considerazione nella logica deduttiva saranno tutti assertivi. La struttura dell enunciato è: S è P. L enunciato Questo tavolo è marrone, è composto di un soggetto (S, cioè il tavolo), di una copula (è) e di un predicato (P, cioè gli oggetti marroni). Soggetto e predicato si dicono termini. L enunciato è dunque composto di termini. Il soggetto ( questo tavolo ) è ciò di cui si predica il predicato (ciò a cui il predicato si riferisce), 8

3 ovvero l insieme che è incluso nel o escluso dall insieme predicato (parzialmente o totalmente). Il predicato ( le cose marroni ) è ciò che si predica del soggetto, ovvero l insieme che include o esclude (parzialmente o totalmente) l insieme soggetto. Per esempio: marrone è il predicato di questo tavolo. La copula (lat. unione ) è ciò che unisce (o separa) soggetto e predicato. 3. Qualità e quantità negli enunciati Occorre ora un ulteriore precisazione. Se prendiamo in considerazione gli enunciati seguenti: a) Tutti i gatti sono vertebrati ; b) Tutti i vertebrati sono animali ; c) Tutti i gatti sono animali ci accorgiamo che ogni enunciato è formato non da tre, bensì da quattro elementi. L enunciato a), per esempio, è composto da tutti, gatti, sono, vertebrati. La forma canonica degli enunciati è la seguente: devono iniziare con un quantificatore o indicatore di quantità (per es. tutti ogni, nessuno, qualche o alcuni ); contenere un termine-soggetto ( gatti ); contenere un termine-predicato ( vertebrati ); contenere una copula o indicatore di qualità affermativa o negativa ( è, non è, sono, non sono ), la quale ha la funzione di collegare o separare il soggetto e il predicato. I quantificatori tutti e alcuni sono indicatori di quantità positiva, il primo universale, il secondo particolare; nulla o nessuno indicano la quantità negativa (assenza di oggetti nella classe di riferimento ). Ogni enunciato (che nel sillogismo può svolgere il ruolo di premessa o conclusione) si riferisce a categorie o classi, per esempio: la classe che comprende tutti gli esseri animali; quella di tutti i mortali; quella di tutti gli uomini. Come già sappiamo, una classe è l insieme di tutti gli oggetti che hanno in comune una determinata caratteristica (animali, mortali, uomini). La copula e i quantificatori ci permettono di definire le classi di appartenenza o non appartenenza. Grazie alla copula, un enunciato può essere affermativo o negativo: A) Tutti i professori sono bravi; E) Nessun professore è bravo; I) Alcuni professori sono bravi; O) Alcuni professori non sono bravi. Quando definiamo un enunciato affermativo o negativo parliamo della sua qualità: sono affermativi gli enunciati in cui il predicato afferma qualcosa del soggetto; negativi quelli in cui il predicato nega qualcosa del soggetto. Invece, la quantità (universale e particolare) si indica attraverso i quantificatori ( tutti, alcuni ). L enunciato A) afferma che tutti i professori sono inclusi nella classe bravi : è una proposizione universale affermativa; l enunciato E) lo nega (nega che la classe dei professori sia contenuta in quella dei bravi : la prima classe è interamente esclusa dalla seconda; nessun elemento è in comune): è dunque un enunciato universale negativo. 9

4 Tutti i professori sono bravi (A) Nessun professore è bravo (E) BRAVI BRAVI PROFESSORI PROFESSORI Consideriamo gli altri due enunciati: i) Alcuni professori sono bravi e o) Alcuni professori non sono bravi. L enunciato i) è affermativo ma, affermando che alcuni elementi della classe professori sono inclusi nella classe bravi è particolare affermativo. L enunciato o) è negativo, ma, in quanto dice che alcuni elementi della classe P non sono inclusi nella classe bravi, è particolare negativo. Alcuni professori sono bravi (I) Alcuni professori non sono bravi (E) BRAVI PROFESSORI BRAVI PROFESSO RI Ritorniamo su tre degli enunciati appena visti: a) Tutti i professori sono bravi; e) Nessun professore è bravo; i) Alcuni professori sono bravi. Come sappiamo, i primi due enunciati sono universali (il termine-soggetto di entrambi si riferisce a tutti i professori, non importa se per affermare o negare la qualità di bravo), il terzo, invece, si riferisce solo ad alcuni professori (non a tutti e non a nessuno): è particolare, ma se consideriamo l enunciato Einstein è un grande fisico le cose si complicano. Ci troviamo di fronte, come abbiamo già accennato, a un enunciato singolare. Per convenzione, in logica deduttiva, un enunciato singolare è trattato alla stregua di uno universale. Inoltre, quando nell enunciato il termine-soggetto non è preceduto dal quantificatore esso si interpreta come universale: I leoni sono feroci si rende perciò con Tutti i leoni sono feroci. Possiamo distinguere ora diversi tipi di enunciato: 10

5 TIPI DI ENUNCIATO AFFERMATIVI NEGATIVI UNIVERSALI PARTICOLARI (ESISTENZIALI) SINGOLARI se affermano qualcosa: Piove se negano una certa situazione: Non piove ; se si riferiscono a tutti gli elementi di un insieme contraddistinti attraverso una certa caratteristica: Nessun bambino è un angelo ; Tutti gli impiegati di questo ufficio sono neoassunti. se si riferiscono a una parte degli elementi di un insieme contraddistinti attraverso una certa caratteristica: Alcune mamme sono apprensive ; Alcuni docenti arrivano in ritardo se si riferiscono a un soggetto ben preciso: Il tavolo è tarlato ; Pierino è una peste. Vanno considerati universali. Poiché gli enunciati singolari verranno considerati universali, nel campo della logica deduttiva avremo quattro tipi di enunciato (e solo quattro), che nello schema seguente vengono indicati secondo la consuetudine dei logici medioevali. 11

6 LA PALESTRA DELLA MENTE QUALITÀ E QUANTITÀ Nelle proposizioni seguenti manca il quantificatore: aggiungilo tu. 1* le stelle brillano di luce propria. 2 i cani abbaiano. 3..gli americani amano il baseball. 4*.uomo è immortale. 5*.uomini sono bianchi. 6.pianeta brilla di luce propria. 7*..passeggeri dell autobus sono maleducati. 8 libri sono interessanti. 9.sedia è nella stanza. 10*.è indispensabile. Stabilisci la quantità e la qualità delle seguenti proposizioni, classificandole con le lettere convenzionali indicate: A, E, I, O. 11*. Tutti i professori sono preparati. 12*. Nessun irlandese è un esploratore. 13*. Galileo fu un grande scienziato e filosofo. 14*. Tutti i giocatori di pallone sono esclusi dalla classe dei giocatori di tennis. 15*. Alcuni italiani sono bravi atleti. 16. Alcuni giornalisti non sono obiettivi. 17. Giorgio non è un grande scrittore. 18. Tutti i leoni sono feroci. 19. Alcuni artigiani sono bravi. 20. Alcuni artigiani non sono bravi. 12

7 4. Il problema dei quantificatori nel linguaggio quotidiano È il caso di riflettere sull uso di quelle vitali particelle del linguaggio che sono dette quantificatori, cioè termini come tutti, alcuni, nessuno, ogni, quasi tutti, ma anche gli articoli determinativi (il, i, lo ecc.), gli indeterminativi (un, uno ecc.) e la loro possibile assenza. Queste particelle hanno la funzione di quantificare qualcosa nella frase. Proviamo a prendere in considerazione un enunciato del tipo: «Gli italiani prediligono gli spaghetti». Dobbiamo proprio intenderlo come se fosse: Tutti gli italiani prediligono gli spaghetti? Non è da intendersi piuttosto alcuni? Allo stesso modo, se prendiamo in considerazione un affermazione come: Gli italiani sono mafiosi o Gli italiani sono razzisti, possiamo parlare di tutti? Non abbiamo piuttosto a che fare con un pregiudizio? Se affermiamo: Sono cani che mordono il nostro enunciato significa che i cani di cui si parla mordono, ma che al mondo ci sono altri cani che mordono, che non sono qui e non vengono indicati, e altri cani ancora che non mordono. Se dicessimo, invece, Sono i cani che mordono, intenderemmo che quelli di cui si parla sono tutti i cani che mordono, e che non ce ne sono altri. Un enunciato come I cani mordono (come il precedente I leoni sono feroci ), d altro lato, può, a seconda del contesto sottinteso, significare che tutti i cani in questione mordono (in una certa città), ma anche che tutti i cani esistenti, esistiti, che mai esisteranno, nessuno escluso, mordono: ecco perché l articolo e la sua assenza vengono considerati dei quantificatori. L uso di queste particelle può essere decisivo. Se io dico Distinte signore sono state viste derubare delle persone anziane lascio intendere che non tutte le distinte signore lo fanno (solo alcuni elementi di una determinata categoria, non meglio identificati ma rappresentativi), e che non lo fanno solo loro, ma posso anche sottintendere che persino loro lo fanno, figuriamoci le signore che distinte non sono. Se dicessi Alcuni distinti signori sono stati visti derubare delle persone anziane lascio intendere che non sono molti, e nemmeno rappresentativi. Proviamo a modificare ancora l enunciato: I più distinti signori sono stati visti derubare delle persone anziane. In questo caso intendo che molti, forse addirittura tutti lo fanno. Si tratta di un sottile gioco tra la generalità e la specificità dettato spesso dalla presenza o assenza degli articoli determinativi o indeterminativi, se prendiamo infatti l enunciato La parabola è una curva quadratica possiamo constatare che rende la stessa idea di Una parabola è una curva quadratica, mentre invece Il dinosauro scomparve a causa di una glaciazione non può corrispondere a Un dinosauro scomparve a causa di una glaciazione. È evidente che in questo caso siamo di fronte a un contrasto tra il generico e lo specifico che non avevamo nel primo caso. Questo contrasto ha conseguenze determinanti in riferimento alle espressioni ipotetiche (se...allora...), infatti: Non accetto una scusa tardiva significa che, 13

8 se la scusa non fosse stata tardiva, l avrei (forse) accettata, mentre invece Non accetto la tua scusa tardiva non implica nulla, se non quello che viene esplicitamente detto. Diverso sarebbe però stato Non accetto (le) scuse tardive, che sarebbe piuttosto simile al primo caso. I quantificatori, se utilizzati opportunamente, lasciano aperto il campo dell argomentazione, che può sfruttare le piccole sfumature di significato e i sottointesi. (Per approfondire la questione dei quantificatori e i problemi legati al loro uso si vedano anche le fallacie di composizione e di divisione). 5. I diagrammi di Eulero Per evitare i problemi derivanti dall ambiguità degli enunciati e dei quantificatori (cui abbiamo accennato) sono possibili due diverse strade: 1) quella intrapresa dalla logica contemporanea, che consiste in una formalizzazione degli enunciati e dei quantificatori (e che affronteremo in seguito); 2) quella proposta da Eulero, che rappresenta il rapporto tra soggetto e predicato di un enunciato rappresentandolo come rapporto tra insiemi. È il metodo da noi utilizzato per indicare i quattro diversi tipi di enunciato. Le regole della rappresentazione sono semplici: PRIMA REGOLA GLI INSIEMI SI RAPPRESENTANO CON DEI CERCHI. SE DUE INSIEMI NON HANNO UN ELEMENTO IN COMUNE, SI DISEGNANO CON DUE CERCHI SEPARATI. SECONDA REGOLA - SE DUE INSIEMI HANNO QUALCHE ELEMENTO IN COMUNE, SI DISEGNANO DUE CERCHI CHE SI INTERSECANO. TERZA REGOLA SE UN INSIEME È INCLUSO IN UN ALTRO, SI DISEGNA UN CERCHIO GRANDE CON DENTRO UN CERCHIO PICCOLO. Così, quando diciamo che tutti gli A sono B, in genere un enunciato universale affermativo non è convertibile (non si può invertire il soggetto con il predicato, come nel primo schema, che rappresenta l inclusione), ma in effetti, se abbiamo a che fare con una definizione (che conosciamo anche come condizione necessaria e sufficiente) allora soggetto e predicato sono identici, quindi l inversione sarebbe possibile. Per quanto riguarda gli enunciati universali negativi le cose non cambiano, mentre per quelli particolari affermativi è possibile una identità parziale, un inclusione del predicato nel soggetto, una identità totale e un inclusione del soggetto nel predicato. Ciò significa che bisogna capire quale sia il rapporto tra soggetto e predicato, e che l enunciato Qualche A è B è vero in ogni caso. Mentre Qualche A non è B è vera sia se vi è un inclusione/esclusione parziale, sia se il predicato è incluso nel soggetto, sia se predicato e soggetto sono disgiunti. 14

9 Tutti gli A sono B B A=B A A incluso in B A identico a B Nessun A è B A B A disgiunto da B Qualche A è B B A A B A=B B A Parzialmente A include B A identico a B A incluso in B coincidente Qualche A non è B B A A B A B Parzialmente A include B A disgiunto da B coincidente 15

10 LA PALESTRA DELLA MENTE I DIAGRAMMI DI EULERO/VENN Prendi in considerazione gli enunciati seguenti e indica quel è la rappresentazione corretta secondo il metodo dei diagrammi di Eulero/Venn 1) Tutti gli abitanti di Belluno sono italiani. 2) Qualche piatto è salato. 3) Alcune guerre sono giuste. 4) Alcuni anziani sono incapienti. Ora fai lo stesso con gli insiemi seguenti. 5)* Mastini, cani, mammiferi. A B C D 5)* Apicoltori, mastini, macchine agricole A B C D 7)* Mietitrebbia, macchine agricole, apicoltori A B C D 8) Chitarre, musicisti, strumenti musicali A B C D 16

11 6. La distribuzione dei termini negli enunciati Occorre a questo punto introdurre la fondamentale nozione di distribuzione, che si riferisce ai termini (soggetto e predicato) di un giudizio. Un termine è distribuito quando si riferisce a tutti i membri di una classe che esso denota; quando invece si riferisce solo a una parte dei membri della classe da esso denotata si dice non distribuito. Di seguito rappresentiamo graficamente (evidenziando in grigio le classi prese nella loro totalità) la distribuzione dei termini. NEGLI ENUNCIATI DI TIPO A, UNIVERSALI AFFERMATIVI, IL TERMINE SOGGETTO È DISTRIBUITO, IL TERMINE PREDICATO NON È DISTRIBUITO. Nell enunciato Tutti gli uomini sono mortali, il termine soggetto è distribuito, perché si riferisce a tutti gli uomini, ma il termine predicato non lo è, perché non ci si riferisce a tutti i mortali, quando si dice: Tutti gli uomini sono mortali. Proviamo, per controprova, a invertire soggetto e predicato: l enunciato non è più vero. Non possiamo dire: Tutti i mortali sono uomini, infatti anche i cani, i gatti, le pecore ecc. sono mortali, e non sono uomini. MORTALI UOMINI NEGLI ENUNCIATI DI TIPO E, UNIVERSALI NEGATIVI, SONO DISTRIBUITI SIA IL SOGGETTO CHE IL PREDICATO. In Nessun professore è pazzo, la classe di tutti i professori e quella di tutti i pazzi sono disgiunte completamente (l enunciato nega ogni relazione tra le due classi). Le due classi sono prese interamente, dunque il termine soggetto e il termine predicato sono entrambi distribuiti. PAZZI PROFES- SORI NEGLI ENUNCIATI DI TIPO I, PARTICOLARI AFFERMATIVI, NÉ IL TERMINE SOGGETTO NÉ IL TERMINE PREDICATO SONO DISTRIBUITI. Nell enunciato Alcuni medici sono obiettori si asserisce semplicemente che le due classi hanno almeno un membro in comune. 17

12 MEDICI OBIET- TORI NEGLI ENUNCIATI DI TIPO O, PARTICOLARI NEGATIVI, IL TERMINE SOGGETTO NON È DISTRIBUITO, MENTRE IL TERMINE PREDICATO LO È. Nell enunciato: Alcuni infermieri non sono bravi il soggetto è evidentemente considerato solo in parte (c è infatti un quantificatore di particolarità). E il predicato? Noi intendiamo che alcuni membri della classe infermieri sono esclusi dall intera classe dei bravi INFERMIERI BRAVI TAVOLA DELLA DISTRIBUZIONE DEI TERMINI ENUNCIATO CATEGORICO TERMINE SOGGETTO TERMINE PREDICATO A Distribuito Non distribuito E Distribuito Distribuito I Non distribuito Non distribuito O Non distribuito Distribuito REGOLA DELLA DISTRIBUZIONE DEI TERMINI UN TERMINE È DISTRIBUITO SE È SOGGETTO DI UN ENUNCIATO UNIVERSALE O PREDICATO DI UN ENUNCIATO NEGATIVO. 18

13 LA PALESTRA DELLA MENTE DISTRIBUZIONE DEI TERMINI Indica quali termini sono distribuiti e quali non lo sono. 21. Ogni lasciata è persa. 22.* Alcuni libri di questo scaffale non parlano di filosofia. 23. Alcuni libri di logica sono incomprensibili. 24.* Alcune maestre tentano di rovinare i bambini strappando i loro disegni. 25. Alcune case sono troppo fredde perché ci si possa abitare. 26. Tutti i miei amici sono inconsapevoli dell importanza del voto. 27. Alcune persone pensano solo al sesso, al cibo e alla televisione. 28. *Alcune persone non amano la musica. 29. Nessun paese è in grado di sopportare una tale recessione. 30. L Argentina ha una crescita economica dell 8% all anno da quando non rispetta più i dogmi liberisti del fondo monetario internazionale. 31.* Tutti i paesi che rispettano il dogma liberista del fondo monetario internazionale prima o poi entrano in crisi. 32.* Nessuna democrazia sopravvive senza un equilibrio dei poteri e senza le garanzie costituzionali. Rifletti sul fatto che non si possono capovolgere le proposizioni che iniziano con tutti, come le seguenti. Prova poi a costruire altre proposizioni simili, che cioè abbiano senso e non possano essere capovolte. 33. Tutti i gatti sono animali non si può capovolgere in Tutti gli animali sono gatti. 34. Tutti gli ingegneri sono bravi in matematica non si può capovolgere in Tutti coloro che sono bravi in matematica sono ingegneri. 35. Tutti gli abitanti di Milano sono italiani non si può capovolgere in: Tutti gli italiani sono abitanti di Milano. Cerca di spiegare il motivo per cui alcune proposizioni, se capovolte, conservano lo stesso valore: 36. Nessun cane è gatto; nessun gatto è cane. 37. Nessun leone è uomo; nessun uomo è leone. 38. Nessun assassino è felice; nessuna persona felice è un assassino. 19

14 II. INFERENZE IMMEDIATE PER OPPOSIZIONE In questo capitolo ci occuperemo delle regole che ci permettono di inferire un enunciato da un altro in modo immediato, ovvero senza la mediazione di altri enunciati. 1. Le regole degli enunciati contraddittori GLI ENUNCIATI CONTRADDITTORI DIFFERISCONO PER QUANTITÀ E QUALITÀ. ESSI NON POSSONO ESSERE CONTEMPORANEAMENTE E SECONDO LO STESSO RISPETTO ENTRAMBI VERI O ENTRAMBI FALSI. Ragionando sul quadrato delle opposizioni è possibile verificare che: da un enunciato vero A si può inferire un enunciato falso O: Se è vero che Tutti i gatti sono grigi sarà falso che Alcuni gatti non sono grigi ; da un enunciato vero I si inferisce un enunciato falso E: Se è vero che Qualche gatto è grigio, non sarà vero che Nessun gatto è grigio. V F F V 2. Le regole degli enunciati subalterni Gli enunciati subalterni differiscono per la quantità. Il rapporto tra enunciati subalterni è espresso da un principio generale, detto principio di inclusione: CIÒ CHE È AFFERMATO DEL TUTTO È AFFERMATO ANCHE DELLA PARTE (dictum de omni, dictum de parte), ovvero: se tutti gli uomini sono mortali, allora lo sarà anche il singolo uomo. Il rapporto è descrivibile attraverso 4 regole. 1. Se l enunciato universale è vero l enunciato particolare corrispondente è vero. 2. Se l enunciato universale è falso non è possibile concludere quanto alla falsità o verità dell enunciato particolare corrispondente. 3. Se l enunciato particolare è vero non è possibile concludere alla verità o falsità dell enunciato universale corrispondente. 4. Se l enunciato particolare è falso, l enunciato universale corrispondente è falso. 20

15 I A 1. A rossa I rossa; E rossa O rossa 2. A rossa I?; E rossa O? 3. I rossa A?; O rossa E? 4. I rossa A rossa; O rossa E rossa O E 3. Le regole degli enunciati contrari Gli enunciati contrari sono rappresentati dalle proposizioni universali A ed E, che differiscono per la qualità. Si tratta di una relazione di incompatibilità, ovvero tale che esse NON POSSONO ESSERE ENTRAMBE VERE MA POSSONO ESSERE ENTRAMBE FALSE. La regola generale può essere scomposta in quattro regole di dettaglio: 1. Se A è vera, allora E è falsa (infatti: se A è vera O è falsa, in quanto è la sua contraddittoria, ma se O è falsa, allora E è falsa, per relazione di subalternità, quindi se A è vera, allora E è falsa). 2. Se E è vera allora A è falsa (se E è vera allora O è vera, ma se O è vera, allora, per contrarietà, A è falsa). 3. Se A è falsa non c è conclusione possibile: E può essere o vera o falsa (infatti: se A è falsa I può essere vera o falsa, quindi non possiamo determinare la sua contraddittoria E; parimenti, se A è falsa O è vera, ma dalla verità di una particolare non si può ricavare la verità di una universale, quindi E resta indeterminata). 4. Se E è falsa, A può essere sia vera che falsa (infatti se E è falsa O può essere sia vera che falsa, e così anche A, che è la contraddittoria). 4. Le regole degli enunciati subcontrari Si dicono subcontrari gli enunciati particolari I e O, che differiscono solo per la qualità. Si tratta di una relazione di disgiunzione, cioè tale che essi NON POSSONO ESSERE ENTRAMBI FALSI MA POSSONO ESSERE ENTRAMBI VERI. Anche questa regola può essere scomposta in quattro ulteriori regole: 1. Se l enunciato I è vero, allora O è indeterminato (infatti, se I è vero, allora E è falso, in quanto contraddittorio, ma allora non c è conclusione per l enunciato subalterno O). 2. Se I è falso allora O è vero (infatti se I è falso, il suo enunciato contraddittorio E sarà vero, e, poiché dictum de omni dictum de parte, allora O sarà vero). 3. Se O è vero non c è conclusione per I (vedi regola 1) 4. Se O è falso, allora I è vero (vedi regola 2). 21

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17 LE REGOLE PER LE INFERENZE IMMEDIATE SINOSSI ENUNCIATO PRIMITIVO ENUNCIATO DERIVATO A E I O A vero - falso vero falso E vero falso - falso vero I vero indeterminato falso - indeterminato O vero falso indeterminato indeterminato - A falso - indeterminato indeterminato vero E falso indeterminato - vero indeterminato I falso falso vero - vero O falso vero falso vero - 23

18 LA PALESTRA DELLA MENTE INFERENZE IMMEDIATE PER OPPOSIZIONE 39. Che cosa possiamo inferire circa la verità o falsità degli enunciati 2, 3 e 4 se assumiamo che l enunciato 1 è vero? 1. *Tutti i professori che hanno successo sono persone intelligenti 2. *Nessun professore che ha successo è una persona intelligente. 3. *Alcuni professori che hanno successo sono persone intelligenti 4. *Alcuni professori che hanno successo non sono persone intelligenti. 40. Che cosa possiamo inferire circa la verità o falsità degli enunciati 2, 3 e 4 se assumiamo che l enunciato 1 è falso? 1. Alcuni isotopi di uranio sono sostanze altamente instabili. 2. Alcuni isotopi di uranio non sono sostanze altamenti instabili. 3. Tutti gli isotopi di uranio sono sostanze altamente instabili. 4. Nessun isotopo di uranio è una sostanza altamente instabile. 41. Considera gli enunciati seguenti e formula i corrispondenti enunciati contrari o subcontrari e stabilisci i rispettivi valori di verità: 1. se il primo è vero; 2. se il primo è falso. 1. Tutti gli uomini sono uguali. 2. Nessuna donna è un uomo. 3. Nessun ombrello è verde. 4. Alcuni uomini sono autisti. 42. Individua gli enunciati contraddittori corrispondenti degli enunciati seguenti e indica se sono veri o falsi in relazione al valore di verità indicato: 1. Nessun libro è marrone (V). 2. *Alcuni professori sono carini (V). 3. *Alcune colleghe sono gentili (F). 4. Alcuni ospiti non parlano italiano (V). 5. Alcune obiezioni non sono fondate (F). 6. Tutti gli ospiti sono dei logici (F). 42 bis Indica se gli enunciati derivati da quelli dati sono veri, falsi o indeterminati. 1. Se un enunciato di tipo A è vero, cosa ne deriva per l enunciato contraddittorio? E per il superalterno del contraddittorio di A? E per il subalterno di A? 2. Se E è falso, cosa ne deriva per il subalterno? E per il contraddittorio del subcontrario del subalterno di E? 24

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20 III. INFERENZE IMMEDIATE PER TRASFORMAZIONE In breve Oltre alle inferenze immediate esaminate in base al quadrato delle opposizioni è possibile individuare altre inferenze immediatamente derivabili per via di conversione, obversione e contrapposizione. È così possibile passare immediatamente da un tipo di enunciato categorico A, E, I, O a un altro, anche se di forma grammaticale e forza retorica diversa (Boniolo & Vidali 2002: 21). L enunciato che si otterrà sarà converso, obverso o contrapposto. Si tratta di un argomento complesso, che per una prima introduzione alla logica può essere trascurato. Una sua trattazione viene comunque presentata nei paragrafi seguenti: è da considerarsi un approfondimento. La conversione (o antistrofe o reciprocazione) consiste nell invertire i termini di una proposizione mantenendo la qualità e la verità della proposizione. Perciò Certi pittori sono musicisti si converte in Certi musicisti sono pittori (conversio simplex). Ma tale operazione è possibile solo se i due termini (soggetto e predicato) hanno la medesima estensione (e questo vale per E e I). Per quanto concerne A la conversione è possibile solo se l enunciato converso diviene I (conversio per accidens). La proposizione O non può essere convertita (Thiry 1998:96), infatti se Certi logici non sono giuristi non è detto che Certi giuristi non siano logici. L obversione di una proposizione consiste in una sua diversa formulazione mantenendo lo stesso senso, cambiando la sua qualità per negare il suo predicato: Se Tutti gli uomini sono mortali, allora Nessun uomo è nonmortale. L obversa di un universale affermativa sarà una negativa universale e viceversa. L obversa di una affermativa particolare sarà una negativa particolare e viceversa. Si contrappone una proposizione permutando il suo soggetto e il suo predicato (conversione) e negando i due termini: Tutti i lavoratori sono comunisti diventa Nessuna comunista è non-lavoratore. La contrapposta di una proposizione è una proposizione della stessa quantità, della stessa qualità e dello stesso valore di verità. Ma le contrapposte sono di difficile formulazione ed è possibile che solo una proposizione di tipo A possa essere davvero contrapposta. 26

21 1. Conversione La conversione procede semplicemente cambiando il termine soggetto con il termine predicato della proposizione (Boniolo & Vidali 22; Copi-Cohen 252 seg): Una proposizione categorica in forma normale viene detta la conversa (simplex) di un altra quando è formata semplicemente scambiando il termine soggetto e il termine predicato dell altra proposizione (detta convertenda). Usiamo il termine convertenda per indicare la premessa di un inferenza immediata. La conclusione di tale inferenza è detta conversa. La conversione è perfettamente valida nel caso delle proposizioni I ed E, infatti Nessun uomo è un angelo rappresenta un asserzione equivalente a Nessun angelo è un uomo, e ciascuna delle due può essere validamente inferita dall altra. Lo stesso vale per I: Alcuni giudici sono donne equivale a Alcune donne sono giudici, per conversione ciascuna delle due proposizioni può essere validamente inferita dall altra. La proposizione Nessun realista è un poeta è la convertenda della proposizione Nessun poeta è un realista (conversa). I problemi per la conversio simplex si pongono nel momento in cui si prendono in considerazione proposizioni con termini soggetto e predicato con diversa distribuzione. La conversa simplex di una proposizione A in generale non segue validamente da quella proposizione. Se Tutti i gatti sono animali la conversa Tutti gli animali sono gatti non segue dalla proposizione originaria (la convertenda è vera, mentre la conversa è falsa). D altro lato, però, qualcosa di simile alla conversione è valido anche per le proposizioni di tipo A. Infatti, come abbiamo visto, tra A (Tutti gli S sono P) e I (Alcuni s sono P), c è un rapporto di subalternazione (vedi quadrato delle opposizioni) e, siccome A dice qualcosa riguardo a tutti gli elementi di S, mentre I fa un affermazione più limitata, che riguarda solo alcuni elementi di S, ma la conversa simplex di I è valida (l abbiamo appena detto), allora data A (Tutti gli S sono P), la sua subalterna può essere inferita immediatamente per subalternazione (Alcuni S sono P) e da quella subalterna, per conversione, si può inferire Alcuni P sono S. Per esempio. Se da Tutti gatti sono animali si inferisce che Alcuni gatti sono animali, allora è possibile convertire quest ultima in Alcuni animali sono gatti. Il che significa che da Tutti gli S sono P si può validamente inferire Alcuni P sono S. Questo modello di inferenza, chiamato conversione per accidens (per limitazione) procede interscambiando il termine soggetto e il termine predicato e cambiando la quantità della proposizione da universale a particolare. La conversa (per limitazione) di A non è dunque A ma I, che non può avere lo stesso significato della sua convertenda, e quindi non è logicamente equivalente ad essa. 27

22 La conversa di E è una proposizione E, e la conversa di I è una proposizione I. In questi due casi convertenda e conversa hanno la stessa quantità e sono quindi logicamente equivalenti. Infine: la conversione di O non è mai valida. Se Alcuni animali non sono gatti è chiaramente vera, la sua conversa Alcuni gatti non sono animali è evidentemente falsa. In conclusione: la conversa di una proposizione contiene sempre esattamente gli stessi termini della proposizione data (ma l ordine è invertito) e ha sempre la stessa qualità. Non sempre, però, la stessa quantità (in tal caso è conversa per accidens). TAVOLA DELLE CONVERSIONI Convertenda Conversa A: Tutti gli S sono P I: Alcuni P sono S (per accidens) E: Nessun S è un P E: Nessun P è un S I: alcuni S sono P I: Alcuni P sono S O: Alcuni S non sono P (Conversione non valida) 2. Obversione. Che cos è una classe? Come abbiamo visto, una classe è l insieme di tutti gli oggetti che hanno un certo attributo comune (tale attributo è la caratteristica che definisce la classe), che può anche essere complesso, per es.: Studentessa, mancina, con i capelli rossi, che indossa una gonna. Che cos è una classe complementare o classe complemento? L insieme di tutte le cose che non appartengono alla classe originale: la classe complemento di tutte le persone è la classe di tutte le cose che non sono persone. Si tratta di un attributo negativo, ma il contenuto può essere positivo e virtualmente infinito: navi, scarpe, quaderni, penne, ma nessun insegnante. Se facciamo riferimento alla classe complemento della classe di tutte le persone possiamo chiamarla La classe di tutte le non-persone. Il complemento della classe S è la classe S. Il termine votante ha come complemento non-votante. Ma occorre fare attenzione: in primo luogo il complemento di non-votante è votante (cioè non-non-votante, ma la doppia negazione può essere tolta); in secondo luogo, il termine contrario non corrisponde al termine complemento. Se eroe e codardo sono contrari (nessuno può essere un eroe e un codardo allo stesso tempo e secondo lo stesso rispetto), non è detto che ogni persona (e soprattutto ogni cosa) sia o un eroe o un codardo (ci può essere una via di mezzo, e quindi non-codardo non è necessariamente solo un eroe), né che ogni non-vincitore sia un vinto (si può non essere vinti e non aver vinto, per esempio 28

23 perché lo scontro si è concluso con un pareggio, o perché non si è affatto giocato, allora non si è vinti, ma si è non-vincitori). Che cos è, allora, l obversione? Un inferenza immediata nella quale il termine soggetto resta immutato e immutata resta anche la quantità della proposizione che viene obvertita, ma la sua qualità (affermativa/negativa) cambia e si rimpiazza il termine predicato con il suo complemento. La proposizione A Tutti i lavoratori sono comunisti ha come sua obversa la proposizione E Nessun lavoratore è un non-comunista. Le due proposizioni sono logicamente equivalenti, perciò ognuna delle due può essere validamente inferita dall altra. L obversione è immediatamente valida quando viene applicata a qualunque proposizione categorica in forma normale. L obvertenda E Nessun politico è sincero ha come obversa la proposizione A Tutti i politici sono non-sinceri. L obvertenda I Alcuni metalli sono conduttori è una proposizione O Alcuni metalli non sono non-conduttori. L obvertenda O Alcune nazioni non sono belligeranti si obverte in I Alcune nazioni sono non-belligeranti In conclusione: l obversa di una proposizione si ottiene lasciando immutati la quantità e il termine soggetto e cambiando la qualità della proposizione tramite la sostituzione del termine predicato con il suo termine complemento. TAVOLA DELLE OBVERSIONI Obvertenda Obversa A: Tutti gli S sono P E: Nessun S è non-p E: Nessun S è un P A: Tutti gli S sono non-p I: Alcuni S sono P O: Alcuni S non sono non-p O: Alcuni S non sono P O: Alcuni S sono non-p 3. Contrapposizione. Il terzo tipo di inferenza immediata può essere ricondotto ai primi due. Per formare la contrapposta di una data proposizione occorre rimpiazzare il suo termine soggetto con il complemento del suo termine predicato e il suo termine predicato con il complemento del suo termine soggetto. La contrapposta di A Tutti i membri del PCI sono votanti è la proposizione A Tutti i non-votanti sono non-membri del PCI. Queste due proposizioni sono logicamente equivalenti. Per questo la contrapposizione è una forma valida di inferenza immediata. Se diciamo che A Tutti gli S sono P (Tutti i membri del PCI sono votanti), da questa possiamo ottenere per obversione E: Nessun S è non-p (Nessun membro del PCI è non votante) e quindi, per conversione Nessun non-p è S 29

24 (Nessun non-votante è membro del PCI), la cui obversa è Tutti i non-p sono non-s. Come scrivono Copi & Cohen (237): la contrapposta di qualunque proposizione A è l obversa della conversa dell obversa di quella proposizione. In altri termini: la regola della contrapposizione è: 1. obvertere l enunciato primitivo; convertirlo; obverterlo di nuovo; oppure: 2. mutare il soggetto con il predicato negato e il predicato con il soggetto negato, ad eccezione dei casi in cui l enunciato di partenza sia di tipo E o di tipo I: nel primo caso bisogna cambiare anche la quantità, nel secondo non c è contrapposta. La contrapposizione può essere utile quando si lavora con le proposizioni A, ma è una forma valida di inferenza immediata anche quando viene applicata alle proposizioni O. La contrapposta della proposizione O Alcuni studenti non sono maggiorenni è la proposizione O Alcuni non-maggiorenni non sono nonstudenti (le due sono equivalenti, infatti se applichiamo l obversione a Alcuni S non sono P otteniamo Alcuni S sono non-p, che si converte in Alcuni non-p sono S, la quale si obverte in Alcuni non-p non sono non-s, che è la contrapposta). Per le proposizioni di tipo I non c è contrapposta, infatti un proposizione di tipo I (vera): Alcuni cittadini sono non-sindaci, ha come sua contrapposta Alcuni sindaci sono non-cittadini (che è falsa). Perché? Riportiamo la spiegazione di Copi & Cohen (1999: 237): se tentiamo di derivare la contrapposta di una proposizione I per successive obversione, conversione e obversione, l obversa di I Alcuni S sono P è la proposizione O Alcuni S non sono non-p, la cui conversa in generale non segue validamente da essa. La contrapposta della proposizione E Nessun S è P è Nessun non-p è non- S, che in generale non segue validamente dall originale, se infatti E Nessun lottatore è gracile è vera, la sua contrapposta Nessun non-gracile è un nonlottatore è falsa. Perché? Se tentiamo di derivare la contrapposta di E per successiva obversione, conversione e obversione, troviamo la ragione di questa invalidità. L obversa della proposizione E Nessun S è P è infatti la proposizione A Tutti gli S sono non-p, che, in generale, non può essere validamente convertita se non per limitazione (per accidens). Se la convertiamo per limitazione otteniamo O Alcuni non-p sono S, e se obvertiamo quest ultima otteniamo O alcuni non-p non sono non-s, che è contrapposta per limitazione. 30

25 TAVOLA DELLE CONTRAPPOSIZIONI Contrapponenda Contrapposta A: Tutti gli S sono P A: Tutti i non-p sono non-s (conversio simplex) E: Nessun S è un P O: Alcuni non-p non sono non-s (conversio per accidens) I: Alcuni S sono P (Contrapposizione non valida) O: Alcuni S non sono P O: Alcuni non-p non sono non-s (conversio simplex) TAVOLA SINOTTICA DELLE INFERENZE IMMEDIATE PER TRASFORMAZIONE LA PALESTRA DELLA MENTE INFERENZE IMMEDIATE PER TRASFORMAZIONE Determina le converse degli enunciati seguenti: 43. Nessun guidatore ubriaco è una persona imprudente. 44. Alcuni professionisti sono evasori totali. Determina le obverse degli enunciati seguenti: 45. Alcuni atleti sono alti. 46. Tutti i libri della biblioteca di casa mia sono catalogati. Determina le contrapposte degli enunciati seguenti: 47. Tutti i profeti sono apocalittici Alcuni non-cittadini non sono non-residenti 31