Esercizi sulle frazioni per il progetto Leonardo

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1 Esercizi sulle frazioni per il progetto Leonardo. Una stanza rettangolare ha dimensioni cm. Si vuole pavimentare la stanza con il minor numero possibile di mattonelle quadrate. Quante mattonelle sono necessarie?. Un rubinetto impiega da solo 5 giorni a riempire una vasca; un altro rubinetto, sempre da solo, impiega invece 6 giorni; quanto tempo impiegheranno insieme per riempire la vasca? E se volessi riempire la vasca esattamente in un solo giorno, come devo scegliere il terzo rubinetto?. Un tubo di gomma lungo metri deve essere diviso in due parti una il doppio dell altra: dove si deve tagliare? E se il tubo fosse lungo metri? 4. Una squadra di pallavolo ha vinto i 5 delle partite di un torneo, ne ha perse 4 e ha pareggiato le rimanenti. Se le partite sono state 6, quante sono state, complessivamente, le partite giocate? 5. Se un capitale perde il 0%, quale deve essere la percentuale di aumento affinché torni al valore iniziale? 6. I programmi giornalieri di una rete televisiva sono così ripartiti: 5 all informazione e ai documentari, 4 a film e telefilm, 0 ai programmi per ragazzi, ai varietà e il 5 tempo restante è dedicato alla pubblicità. Qual è la percentuale di tempo dedicata alla pubblicità? 7. Una bottiglia piena d acqua pesa kg. Sapendo che la bottiglia vuota pesa un quinto dell acqua che può contenere, calcolare la sua capacità. 8. In una classe il numero di promossi è 5; sapendo che tale numero è i 5 degli altri 4 studenti della classe, trovare il numero totale degli alunni della classe e quello dei non promossi. 9. Un pastore vende 9 pecore, equivalenti ai pecore rimaste. 0 del suo gregge; determinare il numero di 0. Si sa che i 5 della distanza fra due città sono 7 km; quanto sono distanti le due città?. Policrate, tiranno di Samos, domanda a Pitagora il numero dei suoi allievi. Pitagora risponde che: la metà studia le belle scienze matematiche; l eterna Natura è l oggetto dei lavori di un quarto; un settimo si esercita al silenzio e alla meditazione; vi sono inoltre tre donne. Quanti allievi aveva Pitagora?

2 . Tre amici devono dividersi la somma di 80 euro in modo che il primo abbia il doppio del secondo e quest ultimo il triplo del terzo. Determinare la somma che riceve ciascuno dei tre amici.. Due recipienti contengono acqua rispettivamente a 0 C e 80 C. Quanti litri di acqua si devono prendere dal primo e quanti dal secondo per ottenere 90 litri di acqua a 60 C? 4. Un dvd recorder ha due modalità di registrazione: SP e LP. Con la seconda modalità è possibile registrare il doppio rispetto alla modalità SP. Con un dvd dato per ore in SP, come è possibile registrare un film della durata di ore? (Voglio registrare il più possibile in SP, essendo di qualità migliore rispetto all altra). 5. I sette nani mangiano in tutto 7 bignè; sapendo che il secondo ne ha mangiati il doppio del primo, il terzo il doppio del secondo e così via.. quanti bignè ha mangiato ciascuno di loro? Molto interessante secondo me è il seguente problema sull orologio: A quali ore del giorno le lancette delle ore e dei minuti sono esattamente sovrapposte? Anche l epitaffio di Diofanto può essere un problema utile. Un utilizzo delle frazioni che può rivelarsi utile nello studio delle equazioni lineari è secondo me il seguente; parto da un esempio (è un classico): Un mattone pesa un kg più mezzo mattone; quanto pesa un mattone? Se visualizziamo il tutto con una bilancia a due piatti, ci accorgiamo che possiamo mettere un mattone su un piatto e sull altro invece possiamo appoggiare il kg e il mezzo mattone; se dividiamo il mattone intero sul primo piatto ci accorgiamo che possiamo togliere i due mezzi mattoni, restando solo con un mezzo mattone sul primo piatto e con il kg sul secondo. Il procedimento è generalizzabile anche per situazioni più complesse: Un terzo di mattone pesa mezzo kg più un settimo di mattone; quanto pesa un mattone? Qui si può osservare che non è possibile, come invece succedeva nel caso descritto prima, suddividere uno solo tra il terzo di mattone ed il settimo di mattone; in questo caso particolare dobbiamo invece suddividerli entrambi. Ma come? Qui il minimo comune multiplo ci viene in aiuto, indicandoci in quante parti dobbiamo dividere i due pezzi: il terzo di mattone dobbiamo suddividerlo in 7 parti mentre l altro (il settimo di mattone) in sole parti. In questo modo è allora possibile isolare su un piatto il solo peso (in questo caso è un mezzo chilo) e si può risolvere agevolmete il problema. Nel caso seguente si può ragionare in due modi diversi: Un ottavo di mattone pesa un etto più un dodicesimo di mattone; quanto pesa un mattone? E possibile dividere il primo pezzo in parti uguali ed il secondo in 8 parti uguali, ma è più conveniente suddividere il primo in parti ed il secondo a metà (in parti). Questo esempio è uno dei tanti che può far capire ai ragazzi che per sommare delle frazioni non è necessario considerare per forza il minimo comune multiplo dei denominatori; dobbiamo puntare sul fatto che è più conveniente, questo sì.

3 Somme di potenze e geometria. Un esempio di applicazione della serie geometrica è la seguente: considerato un quadrato di lato unitario, costruiamo una successione di quadrati e rettangoli così fatta: Figura : La successione di rettangoli e quadrati è limitata dal rettangolo esterno di area. La somma delle aree può essere così scritta: osservando che ogni frazione è una potenza di troviamo: = = = = k=0 = k =. La somma infinita delle aree è quindi pari all area del rettangolo esterno: quest ultimo, in pratica, viene riempito dalla successione considerata. Osservazione. E possibile rivedere la somma delle aree osservando che l omotetia di centro Q = ( ; ) (l origine è presa nel vertice in basso a sinistra) e rapporto fa corrispondere (rispettivamente) i quadrati e i rettangoli (le aree sono in progressione geometrica di ragione = ). 4

4 Se analizziamo la figura formata dal quadrato e dal rettangolo a lui adiacente (di area + = ), la somma delle aree può essere riscritta nel modo (del tutto equivalente al precedente): = = ( ) = 4 =. Consideriamo ora la successione definita nel modo seguente: Figura : La successione in questo caso converge ad un punto interno. Prendendo in considerazione l estremo sinistro inferiore dei quadrati,, 5, 7,... si ha per la coordinata x: = = 4 4 mentre per la coordinata y: = ( ) = 4 =. 4

5 Figura : Costruzione geometrica del punto limite. Curiosità aritmetiche Gli sviluppi decimali offrono molti spunti didattici; si potrebbe fare un elenco lunghissimo di esempi. Riporto qui un caso numerico interessante: guardando le cifre decimali del numero = 0, si nota che nelle prime posizioni ci sono le potenze di ; è una coincidenza? Come mai poi appare 65, mentre ci aspettavamo 64? Andando a calcolare la somma infinita si scopre che: k= k 0 = ( 50)k k k= = 50 = 49 La ragione di quel 65 sta nel fatto che la prima potenza di a tre cifre è 8 e la frazione 8 0, sommandosi alle altre, fa aumentare di una unità il 64 precedente. Questa osservazione fa capire come è possibile generare frazioni che ammettano uno sviluppo decimale simile. Ad esempio, si verifica facilmente che 997 = 0,

6 Per dare un senso pratico alla relazione 0, 9 = può essere interessante pensare al seguente problema: Una fontana ha infiniti rubinetti: il primo impiega 0 ore per riempire 9 fontane, il secondo ne impiega 00 per riempirne 9, il terzo 000 per riempirne 9, etc. Quanto tempo impiegheranno a riempire la fontana tutti assieme? Il problema si risolve sommando le frazioni: = 0, 9 + 0, , = 0, 9 = 000 Legami con la cinematica Questa parte è ripresa dalla mia relazione di tirocinio del secondo anno SSIS; mi è venuta in mente perché venerdì, quando abbiamo visto il metodo babilonese per il calcolo della radice quadrata, c era di mezzo la media armonica. Un corpo percorre 00 Km alla velocità di 0 Km/h ed i successivi 00 Km ad una velocità pari a 80 Km: qual è la velocità media nell intero percorso? E facile aspettarsi dalla classe la risposta 00 Km/h (la scelta dei numeri invita infatti a dare proprio quella risposta, trattandosi, appunto, di una velocità media); in questo caso è allora opportuno ricordare ai ragazzi che la velocità è sempre un rapporto tra la distanza percorsa ed il tempo impiegato a percorrerla, e che l errore consiste proprio nel considerare la media aritmetica delle due velocità, perché le due distanze non sono state percorse in tempi uguali. Per i primi 00 Km è stato necessario il tempo t, pari a t = 00 Km 0 Km/h 0.8 h mentre il tempo t che il corpo impiega a per percorrere i secondi 00 Km è t = 00 Km 80 Km/h.5 h. Il tempo totale è dunque t = t + t.08 h e la velocità media sull intero percorso è data da v media = ( ) Km ( ) h 96 Km/h Per valori generici dello spazio s (consideriamo uguali i due tratti) e delle due velocità v e v, la velocità media è fornita dalla formula 6

7 s v media = s + s = v v + () v v La () indica che non è la media aritmetica la media giusta da fare, ma è quella armonica. Per dimostrare che questo problema non può essere risolto con l utilizzo della media aritmetica, è possibile seguire un procedimento limite : supponiamo infatti che il primo tratto sia percorso ad una velocità altissima, avente un ordine di grandezza non confrontabile con quello della seconda velocità (consideriamo v = 0000 Km/h e v = Km/h); in questo caso il primo tratto viene percorso in un tempo piccolissimo e praticamente non dà contributo al tempo complessivo che quindi viene a coincidere con il tempo del secondo percorso. La velocità media risulterà allora essere pari a v media = ( ) Km ( ) h = 00 Km ( )h = Km/h mentre la media aritmetica tra v e v è uguale circa a 5000 Km/h (in questo modo forse è possibile far comprendere meglio la differenza tra i due calcoli). Devo dire che tutte le volte che viene richiesta una velocità o un accelerazione media, da parte dei ragazzi c è sempre la tendenza a fare la media aritmetica delle grandezze in gioco; purtroppo nella risoluzione di molti esercizi che vengono loro proposti questo procedimento non giustificato fornisce i risultati corretti (semplicemente perché vengono considerati intervalli di tempo di uguale lunghezza). Ritengo allora opportuno presentare esercizi in cui non vi siano grandezze una multipla dell altra, in modo tale da evitare facili divisioni a occhio : i ragazzi dovrebbero per prima cosa ricavare algebricamente la formula da utilizzare e in un secondo momento sostituire i valori numerici nelle variabili che vi compaiono. I risultati della verifica sulla Cinematica sono risultati molto negativi: nella ALT, dei 7 ragazzi presenti (0 erano assenti) solo due hanno raggiunto la sufficienza (con un 6) e ben hanno conseguito una votazione inferiore a 5. 7