PIANO DI LAVORO DI MATEMATICA Classe 4E Liceo delle Scienze Applicate

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1 Insegnante: prof. Maniglio Alessandra PIANO DI LAVORO DI MATEMATICA Classe 4E Liceo delle Scienze Applicate Obiettivi specifici della disciplina OBIETTIVI GENERALI Acquisizione di un valido metodo di studio, abituando gli allievi alla riflessione ed al ragionamento, stimolando e valorizzando le loro capacità di intuizione, logiche e di astrazione, abituandoli ad operare delle sintesi, a considerare criticamente informazioni e ipotesi; Acquisizione del formalismo e del linguaggio proprio della matematica, di chiarezza e precisione nei ragionamenti e nell'esposizione; Sviluppo della capacità di trasferire le nozioni apprese in situazioni diverse da quelle specifiche in cui sono state trattate. OBIETTIVI SPECIFICI Assimilare il linguaggio ed i simboli specifici della disciplina; Cogliere analogie strutturali in contesti di natura diversa; Acquisire gli strumenti idonei alla costruzione di algoritmi risolutivi di problemi sia di natura algebrica che geometrica; Abituare all'uso di un linguaggio rigoroso. OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO DEL SECONDO BIENNIO Alla fine del triennio lo studente dovrà essere in grado di: Utilizzare consapevolmente le tecniche e le procedure di calcolo studiate; Riconoscere e costruire relazioni e funzioni; Adoperare i metodi, i linguaggi e gli strumenti informatici introdotti. COMPETENZE CULTURALI E ABILITA DI BASE DELLA DISCIPLINA Alla fine del secondo biennio l alunno dovrà avere acquisito le seguenti competenze di base:

2 COMPETENZE ABILITA /CAPACITA CONOSCENZE Utilizzare le tecniche e le Risolvere equazioni e Definizione di valore procedure di calcolo, disequazioni irrazionali e assoluto e di radice rappresentandole anche modulari Definizione di funzione sotto forma grafica Confrontare ed analizzare figure geometriche, individuando invarianti e relazioni Risolvere equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche, anche per via grafica Risolvere equazioni e disequazioni goniometriche Rappresentare nei vari modi i numeri complessi e operare con essi Calcolare limiti di funzioni Fornire esempi di funzioni continue e non Rappresentare il grafico probabile di una funzione conoscendone dominio, intersezioni con gli assi, segno e limiti Analizzare e risolvere problemi utilizzando proprietà delle similitudini Risolvere analiticamente problemi riguardanti rette e coniche Rappresentare analiticamente luoghi di punti: riconoscere dagli aspetti formali dell equazione le proprietà geometriche del luogo e viceversa Ritrovare e usare, in contesti diversi, relazioni goniometriche Individuare e riconoscere relazioni e proprietà delle figure nello spazio Calcolare aree e volumi e delle sue proprietà. Definizione e rappresentazione grafica delle funzioni esponenziali, logaritmiche, goniometriche e goniometriche inverse Numeri complessi Definizione di limite di una funzione. Teoremi sui limiti. Infiniti e infinitesimi. Nozione di funzione continua e proprietà delle funzioni continue in un intervallo. Rappresentazione analitica di trasformazioni geometriche nel piano Luoghi di punti e sezioni coniche: rappresentazioni analitiche Misura degli angoli in radianti. Seno, coseno e tangente di un angolo. Proprietà fondamentali. Teoremi sui triangoli rettangoli e sui triangoli qualunque Coordinate polari Rette e piani nello spazio; proprietà, equivalenza, aree e volumi dei solidi Coordinate cartesiane

3 di solidi nello spazio Risolvere problemi di geometria piana e/o solida con l'utilizzo della trigonometria Individuare le strategie appropriate per la risoluzione dei problemi Confrontare modalità diverse di risoluzione di un problema Tecniche risolutive di geometria analitica, piana e solida Riconoscere situazioni problematiche riconducibili ad uno stesso modello matematico Il principio di induzione Saper utilizzare il principio di induzione per verificare proprietà in N Analizzare dati ed interpretarli sviluppando deduzioni e ragionamenti sugli stessi anche con l ausilio di rappresentazioni grafiche usando consapevolmente gli strumenti di calcolo e le potenzialità offerte da applicazioni specifiche di tipo informatico Costruire nuove funzioni e disegnare i grafici, a partire da funzioni elementari Riconoscere campo di esistenza, codominio, periodo, simmetrie, crescenza, decrescenza e positività di una funzione Individuare le relazioni tra i termini di una successione geometrica o aritmetica Saper costruire una progressione, date le relazioni tra i suoi termini Saper analizzare variabili statistiche e distribuzioni di frequenze Saper rappresentare graficamente dei dati Relazioni e funzioni Il piano cartesiano e il concetto di funzione Grafici delle coniche, della retta, delle funzioni esponenziali e logaritmiche, delle funzioni goniometriche Operazioni funzionali e corrispondenti trasformazioni dei grafici Funzione inversa e funzione composta Progressioni aritmetiche e geometriche Funzioni seno, coseno e tangente; funzioni periodiche e modelli di fenomeni oscillatori Concetto e significato di connessione, correlazione e regressione

4 Contenuti Goniometria e trigonometria: La misura degli angoli; misura in gradi e in radianti; la lunghezza di un arco e l area di un settore circolare; dai gradi ai radianti e viceversa; gli angoli orientati. La circonferenza goniometrica. Le funzioni seno e coseno; le variazioni del seno e del coseno; grafici e periodo delle funzioni seno e coseno; la prima relazione fondamentale; la funzione tangente; variazione della tangente; grafico e periodo della tangente; il significato del coefficiente angolare di una retta; la seconda relazione fondamentale; le funzioni secante e cosecante e relativi grafici; la funzione cotangente; il grafico e il periodo della cotangente; le funzioni goniometriche di angoli particolari; le funzioni goniometriche inverse; i grafici delle funzioni goniometriche e le trasformazioni geometriche (traslazione, simmetrie, con il modulo, dilatazione e contrazione, le funzioni reciproca, al quadrato e la radice di una funzione goniometrica). Identità goniometriche. Domini e codomini delle funzioni goniometriche. Le formule goniometriche: gli angoli associati; la riduzione al primo quadrante; le formule di addizione e sottrazione delle funzioni goniometriche; il grafico di y = a*senx + b*cosx e il metodo dell angolo aggiunto; l angolo tra due rette; le formule di duplicazione e di bisezione; le formule parametriche; le formule di prostaferesi e di Werner. Le equazioni e le disequazioni goniometriche: le equazioni goniometriche elementari; le riducibili ad elementari; le equazioni lineari in seno e coseno (con i metodi algebrico, grafico e dell angolo aggiunto); le equazioni omogenee di secondo grado in seno e coseno; le riducibili ad omogenee di secondo grado; le equazioni risolubili con il solo metodo grafico; le equazioni con le funzioni goniometriche inverse; i sistemi di equazioni goniometriche; le disequazioni goniometriche: le disequazioni goniometriche elementari; risoluzione utilizzando il grafico della funzione e con la circonferenza goniometrica; le non elementari comprese le fratte; sistemi di disequazioni goniometriche; campi d esistenza con funzioni goniometriche; la discussione di un equazione goniometrica parametrica ( di tipo elementare, con il grado due, lineare). La trigonometria: I triangoli rettangoli; i teoremi sui triangoli rettangoli; risoluzione di un triangolo rettangolo; problemi con i triangoli rettangoli; problemi con funzioni, equazioni e disequazioni con i triangoli rettangoli; l area di un triangolo e il teorema della corda; i triangoli qualunque: il teorema dei seni e il teorema del coseno; la risoluzione dei triangoli qualunque; problemi con i triangoli qualunque; problemi con funzioni, equazioni e disequazioni con i triangoli qualunque; problemi con la discussione; le applicazioni alla fisica, alla realtà, alla geometria solida e alla geometria analitica.

5 La geometria nello spazio: Lo spazio; posizioni reciproche tra rette e piani nello spazio; perpendicolarità fra rette e piani; teorema delle tre perpendicolari; parallelismo nello spazio; teorema di Talete nello spazio; trasformazioni geometriche nello spazio; diedri e piani perpendicolari; triedri e angoloidi; i poliedri; prisma indefinito; sezioni parallele di un prisma indefinito; prisma finito; prisma retto e prisma regolare; parallelepipedo; parallelepipedo rettangolo; diagonale del parallelepipedo rettangolo; cubo; definizione di angoloide; teorema sulla somma degli angoli al vertice di un angoloide; piramide; piramide retta; teorema sulle altezze delle facce laterali di una piramide retta; definizione di apotema; piramide regolare; tronco di piramide; proporzionalità tra sezioni del tronco di piramide e le altezze relative; poliedri regolari; i solidi di rotazione; cilindro, cono e sfera; tronco di cono; proporzionalità tra sezioni del tronco di cono e le altezze relative; parti della superficie sferica e della sfera; superficie di un poliedro; superfici di base e laterali, superficie laterale e totale del prisma retto, del parallelepipedo rettangolo; superficie del cubo, superficie laterale e totale della piramide retta, del tronco di piramide; superficie laterale e totale del cilindro; superficie laterale e totale del cono; superficie laterale e totale del tronco di cono. L area della superficie sferica e della calotta e della zona sferica; il fuso sferico; il volume di un solido come classe di equivalenza della relazione di estensione; solidi equivalenti ed equiscomponibili; il principio di Cavalieri; l equivalenza tra due prismi e tra due piramidi; l equivalenza della piramide con la terza parte di un prisma; l equivalenza tra cilindro e prisma e tra piramide e cono; anticlessidra; equivalenza tra la sfera e l anticlessidra; i parallelepipedi con basi congruenti; il volume del parallelepipedo rettangolo, del cubo, del prisma e della piramide, del tronco di piramide; volume del cilindro, del cono e del tronco di cono; volume della sfera; area della superficie sferica; i volumi delle parti di una sfera; calcolo di volumi e superfici dei solidi notevoli. Geometria analitica dello spazio Coordinate cartesiane, piani e rette: i punti; distanza tra due punti; punto medio di un segmento; equazione generale di un piano; condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra piani; distanza di un punto da un piano; equazioni generali di una retta; retta passante per due punti. Superfici notevoli: equazione di una superficie; curve; superficie cilindrica, conica e sferica; ellissoide, iperboloide e paraboloide. Le funzioni di due variabili: definizione, ricerca del dominio, grafico e linee di livello. Le trasformazioni del piano Trasformazione geometrica; equazioni di una trasformazione geometrica; trasformare grafici; i punti uniti: le figure unite; composizione di trasformazioni; trasformazioni involutorie; le isometrie. La traslazione; i vettori nel piano cartesiano; le equazioni della traslazione; la traslazione di punti e

6 di rette; le rette unite in una traslazione; la composizione di traslazioni. La rotazione rispetto all origine degli assi e rispetto ad un punto qualunque. La simmetria centrale. La simmetria rispetto all origine degli assi. La simmetria assiale; la simmetria rispetto all asse y e x; la simmetria rispetto alle bisettrici dei quadranti; la simmetria rispetto alla retta y = mx + q. I punti uniti e le rette unite in una simmetria assiale. Le isometrie. L omotetia; l omotetia con centro l origine degli assi; gli ingrandimenti e le riduzioni; l omotetia con centro un punto qualunque; proprietà di un omotetia. La similitudine; la composizione di una omotetia e di una isometria. Le affinità. Analisi matematica Le funzioni reali a variabili reali; Definizione di funzione; classificazione; il dominio di una funzione; i grafici delle funzioni e le trasformazioni geometriche; le funzioni iniettive, suriettive e biiettive; le funzioni crescenti e decrescenti e le funzioni monotone; le funzioni periodiche; funzioni pari e dispari; la funzione inversa. La topologia della retta; gli intervalli; gli insiemi limitati ed illimitati; gli estremi di una funzione; estremo inferire ed estremi superiore; gli intorni di un punto; intorni circolari e gli intorni destro e sinistro; gli intorni di infinito; i punti isolati; i punti di accumulazione. I Limiti; il limite finito per x che tende a x 0 ; definizione, interpretazione geometrica e verifica del limite; il limite infinito di una funzione per x che tende ad un valore finito; definizione, interpretazione geometrica e verifica del limite; i limiti destro e sinistro infiniti; gli asintoti verticali; il limite finito di una funzione per x che tende all infinito; definizione, interpretazione geometrica e verifica del limite; gli asintoti orizzontali; il limite infinito di una funzione per x che tende all infinito; definizione, interpretazione geometrica e verifica del limite ( casi particolari di + o infinito); primi teoremi sui limiti (enunciati e dimostrazioni); il teorema dell unicità del limite; il teorema della permanenza del segno ed il teorema del confronto. Le funzioni continue e il calcolo dei limiti; Definizione di funzione continua; continuità a destra e a sinistra; la continuità in un intervallo; dimostrazione della continuità di alcune funzioni: la funzione costante; la funzione f(x)=x, le funzioni goniometriche, la funzione esponenziale e logaritmica. Operazioni sui limiti; il limite della somma di due funzioni; le funzioni hanno limiti finiti; osservazione sulla continuità; una funzione ha limite finito e l altra ha limite infinito; le due funzioni hanno entrambe limiti infiniti concordi; funzioni con limiti di segno opposto (prima forma d indeterminazione; + - ). Il limite del prodotto di due funzioni; le funzioni hanno limiti finiti; osservazione sulla continuità; una funzione ha limite finito diverso da zero e l altra infinito; una funzione ha limite 0 e l altra infinito; altra forma d indecisione (0* ); il limite della potenza n- sima; osservazione sulla continuità delle funzioni polinomiali; il limite della radice n-sima di una funzione; il limite della funzione reciproca; il limite del quoziente di due funzioni; le funzioni

7 hanno limite finito di cui almeno uno diverso da 0; osservazione sulla continuità; una funzione ha limite finito e l altra infinito; altre due forma di indecisione (0/0; / ); il limite delle funzioni composte; altre forme di indeterminazione 0 0 ; 0; 1 ; continuità della funzione inversa. Il calcolo dei limiti e le forme indeterminate; la forma + - ; il limite di una funzione polinomiale; la forma indeterminata 0* ; la forma indeterminata / ; la forma indeterminata 0/0. I limiti notevoli; senx lim 1 x 0 x ; 1cosx 1cos x 1 lim 0 x 0 x ; lim 2 x 1 x 0 x 2; 1 e x x lim ; ln1 lim 1 x e 1 x 0 x ; lim x 1 x0 x Gli infinitesimi, gli infiniti e il loro confronto: Gli infinitesimi; infinitesimi simultanei; infinitesimi dello stesso ordine; infinitesimi non confrontabili; ordine di un infinitesimo; l infinitesimo campione; infinitesimi equivalenti; il principio do sostituzione degli infinitesimi. Gli infiniti; infiniti simultanei; infiniti dello stesso ordine; infiniti non confrontabili; ordine di un infinito; l infinito campione; infiniti equivalenti; il principio do sostituzione degli infiniti. Gerarchia degli infiniti. Gli asintoti e la loro ricerca: la ricerca degli asintoti orizzontali e verticali; gli asintoti obliqui; definizione e loro ricerca. I teoremi sulle funzioni continue: il teorema di Weierstrass; il teorema dei valori intermedi; il teorema dell esistenza degli zeri; I punti di discontinuità di una funzione: i punti di discontinuità di I, II e III specie (discontinuità eliminabile). Il grafico probabile di una funzione.. Tempi di attuazione del programma Alla fine del primo quadrimestre saranno completati i seguenti argomenti: goniometria e trigonometria. Libro di testo Matematica.blu 2.0 vol.4, M. Bergamini, A. Trifone, G. Barozzi, ed. Zanichelli Metodologia e strumenti didattici Metodologia In base alla programmazione si potrà ricorrere a: Lezione che dia ampio spazio agli interventi e nella quale l insegnante guidi le intuizioni e le riflessioni degli allievi e consideri gli errori come strumento per apprendere e per fare scaturire, in modo naturale, le relative definizioni e regole generali Lezione/applicazione (spiegazione seguita da esercizi applicativi) Insegnamento per problemi (presentazione di situazioni problematiche nuove, seguita da

8 discussione e sistematizzazione) Recupero in itinere Strumenti didattici Libri di testo Altri libri Proiettore Recupero Recupero in itinere (ritornare sugli stessi argomenti con tutta la classe, organizzare specifiche attività per gruppi di studenti, assegnare e correggere esercizi da svolgere a casa per gli studenti in difficoltà) Corsi di recupero di istituto per classi parallele o fasce di livello Modalità di verifica e criteri di valutazione Le verifiche scritte si articoleranno in: Prove strutturate Prove semistrutturate Test Esercizi (sia riproduttivi che produttivi) Le verifiche orali si articoleranno in: Interrogazioni Il numero minimo delle valutazioni nel primo quadrimestre è tre; quello delle valutazioni del secondo quadrimestre è quattro. Ulteriori elementi di valutazione saranno: Attenzione e partecipazione Impegno Progressione nell apprendimento