Come usare questo libro

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1 COME USARE QUESTO LIBRO 9 Come usare questo libro Gli esercizi presentati sono stati suddivisi in tre categorie: esercizi con i numeri, esercizi su forme e spazio ed esercizi con i problemi. In alcuni si richiedono prevalentemente capacità matematiche, mentre per altri è più importante la cognizione dello spazio. Nell ultima parte si richiede in particolare l individuazione di relazioni nascoste tra numeri e ragionamento logico. La maggior parte dei quesiti esigono un procedimento di analisi e lo svolgimento secondo percorsi precisi per individuare la soluzione. Ciascuna categoria contiene esercizi di natura simile o legati ad un tema comune, spesso a diversi livelli di difficoltà; si è cercato inoltre di presentarli secondo un ordine di difficoltà crescente. Spetta all insegnante esaminare e individuare gli esercizi più adatti al livello di conoscenze e alle capacità dei propri allievi. Gli «Esercizi con i numeri» sono stati suddivisi in esercizi che prevedono inizialmente numeri inferiori a cento, quindi numeri fino al mille, e infine numeri superiori al mille. Non si è seguito invece nessun ordine per la presentazione dei quesiti nelle sezioni «Esercizi su forme e spazio» e «Esercizi con i problemi». Questi esercizi integrativi devono essere fatti corrispondere con i programmi individualizzati di apprendimento dei ragazzi, in modo che le nozioni e le loro capacità matematiche possano essere applicate ed esercitate nell ambito di un processo di apprendimento più globale. Molti testi didattici non contengono un numero sufficiente di esercizi perché i ragazzi possano esercitarsi e assimilare completamente i procedimenti e le tecniche necessarie. Nell affrontare ogni nuovo tipo di quesito probabilmente il ragazzo avrà bisogno di essere aiutato dall insegnante, al quale si suggerisce di risolvere tutti gli esercizi prima di sottoporli ai ragazzi in modo da individuare i processi mentali e i concetti matematici necessari, e quindi il tipo di calcolo richiesto per la soluzione. L insegnante sarà così in grado di poter selezionare il tipo di esercizio adatto allo studente, condizione necessaria per il successo del programma. Inoltre, l insegnante che ha già analizzato in precedenza un problema matematico potrà aiutare gli alunni con maggiore efficacia. Avrà valutato, infatti, qual è il procedimento migliore da seguire per arrivare alla soluzione e come spiegarlo in classe nella maniera più semplice e chiara. Alcuni quesiti, ad esempio, possono essere suddivisi in due o più parti oppure essere spiegati in un altro modo.

2 10 COME USARE QUESTO LIBRO Gli studenti, se lasciati troppo a se stessi, tendono a considerare concluso un esercizio quando hanno ottenuto solo una o alcune delle risposte necessarie alla soluzione completa del problema. Ciò accade perché non possiedono una strategia in grado di comprendere tutte le varie possibilità o richieste. L insegnante dovrà quindi guidare i ragazzi e far loro seguire percorsi più ordinati e sistematici. Spesso annotare le varie fasi intermedie di un procedimento, secondo metodi ben precisi, può essere utile a fare chiarezza nel ragionamento del ragazzo. Alcuni oggetti, un diagramma o l utilizzo di schemi grafici per l annotazione dei risultati possono rivelarsi degli aiuti preziosissimi. Una volta che lo studente ha acquisito familiarità con il quesito è possibile aprire una discussione con l insegnante, che si concentrerà sul ragionamento seguito e potrà così intervenire in maniera opportuna. La maggior parte delle sezioni comprende delle note ad uso dell insegnante, relative agli esercizi presentati. Queste note sono varie nel contenuto e includono indicazioni per la soluzione, altri esercizi svolti, suggerimenti che sono già stati impiegati con successo da studenti e insegnanti. È necessario incoraggiare l uso delle calcolatrici perché con esse si elimina parte del tedio legato a esercizi matematici ripetitivi o complessi, si giunge più rapidamente alla soluzione e si mantiene più vivo l interesse. Alcuni degli esercizi contengono nomi propri e cognomi che, quando necessario, potranno essere variati dall insegnante e sostituiti con altri più adatti o più familiari. In fondo al libro sono riportate le soluzioni di tutti gli esercizi.

3 ESERCIZI CON I NUMERI A10 Quanti sono e quanti anni hanno? (soluzioni a p. 114) Da risolvere 1. Una donna ha 4 bambini. Il più grande ha 3 anni in più del secondo il quale ha 3 anni in più del terzo, il quale a sua volta ha 3 anni in più del minore. Se il più giovane ha la metà degli anni del più vecchio quanti anni hanno i bambini? 2. Avevo dei dolci ma ne ho mangiati la metà e poi ne ho dati 3 a Daniela. Dei dolci che mi erano rimasti ne ho mangiati la metà e ne ho poi dati altri 3 a Daniela. A questo punto non mi sono rimasti più dolci. Quanti dolci avevo all inizio? 3. Sabrina aveva dei dolci, ne ha mangiati la metà più mezzo e quindi ha dato metà dei restanti più un mezzo dolce a Giulia, dei dolci che le erano rimasti ne ha poi dato la metà più un mezzo dolce a Gabriele. A questo punto Sabrina non aveva più dolci. Quanti dolci aveva Sabrina all inizio? 4. Cristina, Paolo e Marina fanno collezione di monete straniere. Cristina e Paolo hanno in totale 28 monete, Paolo e Marina ne hanno in totale 32, mentre Cristina e Marina ne hanno in totale 40. Quante monete hanno i bambini in totale e quante singolarmente? Note per l insegnante Esempio Piero aveva dei dolci, ne ha mangiati la metà e quindi ne ha dati 2 a Paola. Ha poi mangiato metà di quelli rimasti e ne ha dati altri 2 a Paola. A questo punto non gli sono rimasti più dolci. Quanti dolci aveva all inizio? La soluzione a questo quesito può essere trovata per mezzo di un metodo per approssimazioni successive come quello riportato nella figura. Inizio Mangiati Dati Dolci Mangiati Dati Dolci a Silvia rimasti a Silvia rimasti /2 * * Troppi all inizio Troppi all inizio Non sono ammesse le metà Esatto All inizio Piero aveva 12 dolci. Tutti i quesiti inclusi in questa sezione possono essere risolti con questo metodo ma per ciascuno di essi sarà necessario realizzare una griglia specifica per la raccolta dei dati. 24

4 ESERCIZI CON I NUMERI A24 Più uno, meno uno (soluzioni a p. 125) Da risolvere In queste operazioni risultati compresi l effettivo valore di ciascuna cifra che compone i numeri è maggiore o minore di 1 rispetto al valore indicato. Individuare l effettivo valore dei numeri = 27 = 30 = x x = 734= 735= x x :4= = 733 = = x 734= :4=234 Note per l insegnante Suggerite agli alunni di sostituire i possibili valori effettivi ai termini delle operazioni e di risolverle; dite poi di confrontare quindi i risultati ottenuti con quelli errati riportati. Il risultato in cui le cifre sono inferiori o maggiori di 1 rispetto a quelle riportate rappresenta la soluzione. Il procedimento risulterà più chiaro osservando l esercizio svolto di seguito. Esempio Se 23 x 5 = 219, e i valori effettivi sono maggiori o minori di 1 rispetto a quelli indicati, individua i valori esatti. L effettivo valore di 23 potrebbe essere 14, 34, 12 o 32, mentre quello del moltiplicatore potrebbe essere 4 o 6. I valori esatti per le operazioni potrebbero quindi essere: 14 x 04= x 204= x 04= x 204= x 06= x 206= x 06= x 206= 192 Confrontando ciascuno dei risultati con 219 osserviamo che quello le cui cifre sono tutte maggiori o inferiori di 1 è 128. Perciò 32 x 4 = 128 è la soluzione esatta. Le addizioni, le sottrazioni e le divisioni presentate possono essere risolte nello stesso modo. 49

5 ESERCIZI CON I NUMERI A26 Completare le sequenze (soluzioni a p. 126) Da analizzare Determina i tre numeri successivi che completano le seguenti sequenze. 1. 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23,,, 2. 1, 8, 15, 22, 29, 36, 43,,, 3. 2, 13, 24, 35, 46, 57, 68,,, 4. 1, 2, 4, 8, 16, 32,,, 5. 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,,, 6. 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,,, 7. 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28,,, 8. 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30,,, 9. 1, 2, 5, 10, 17, 26, 37,,, 10. 3, 6, 11, 18, 27, 38, 51,,, 11. 4, 11, 22, 37, 56, 79, 106,,, 12. 1, 7, 19, 37, 61, 91, 127,,, 13. 1, 11, 27, 49, 77, 111,151,,, 14. 2, 5, 11, 23, 47, 95,,, Note per l insegnante In ogni sequenza fate osservare se ciascun numero è: a) maggiore o minore di quello precedente di una quantità fissa, ad esempio di 3 come nella serie 5, 8, 11, 14, 17,... b) maggiore o minore di quello precedente in una proporzione fissa, ad esempio il triplo come nella serie 2, 6, 18, 54, 162,... c) ricavato dalla somma dei due numeri precedenti come nella serie 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68,... Se nessuno di questi suggerimenti dovesse rivelarsi utile, provate a lavorare con delle sottrazioni. Esempio Individua i tre numeri successivi nella sequenza 9, 14, 21, 30, 41, 54, * * * 1 a serie di differenze * * * 2 a serie di differenze * * * Ottenendo sempre 2 nella seconda serie di differenze possiamo proseguire la prima serie (15, 17, 19) e completare la sequenza. I tre termini successivi saranno perciò 69 ( ), 86 ( ) e 105 ( ). 51

6 ESERCIZI CON I PROBLEMI C5 Qual è? (soluzioni a p. 135) Da risolvere 1. Il Signor Rossi, la Signora Bianchi e la Signora Verdi hanno una macchina ciascuno. Una macchina è rossa, una è blu e l altra è azzurra. La macchina della Signora Verdi non è rossa e la Signora Bianchi ha la macchina del colore con il maggior numero di lettere. Di che colore è la macchina di ognuno? 2. In un negozio Elisa, Lucia e Franca hanno comperato un articolo ciascuna. Complessivamente hanno comperato una bibita, una barretta di cioccolata e un gelato. Prima di entrare nel negozio Lucia aveva detto che faceva troppo freddo per mangiare un gelato, Elisa aveva detto di avere fame ma di non avere sete e Franca aveva detto che non voleva comperare una bibita. Che cosa ha comperato ciascuna persona? 3. La Signora Sandri, il Signor Bruni e la Signora Genovesi sono andati dal fruttivendolo e ciascuno ha comperato un tipo diverso di frutta. Complessivamente hanno comperato delle banane, delle mele e dell uva. La frutta che ha comperato il Signor Bruni non è gialla e non ha torsolo. La frutta comperata dalla Signora Sandri non ha forma rotonda. Che tipo di frutta ha comperato ciascuna persona? 4. Daniela ha comperato 3 vasi di fiori. Uno dei vasi era bianco, uno verde e l altro marrone. I fiori erano gialli, blu e bianchi. Ciascun vaso conteneva fiori di un solo colore e i fiori erano sempre di un colore diverso da quello del vaso. I fiori gialli non erano nel vaso bianco e quelli bianchi non erano in quello marrone. Di che colore erano i fiori in ciascun vaso? 5. Il Signor Astuti, il Signor Veronesi e la Signora Parisi hanno una macchina ciascuno. Una macchina è blu, una è grigia e l altra è marrone. La macchina del Signor Astuti non è marrone e quella del Signor Veronesi non è né grigia né marrone. Di che colore è la macchina di ciascuna persona? 6. Un pilota, un cuoco e un marinaio si chiamano Giuliani, Vettori e Battisti. Giuliani e Battisti non sanno cucinare e Giuliani non sa nuotare e soffre di mal di mare. Come si chiamano il pilota e il cuoco? 7. Tre ragazzi si chiamano Roberto, Barbara e Vittorio e i loro cognomi sono Bianchi, Rossi e Verdi. Nessuno dei ragazzi ha un cognome che comincia con la stessa iniziale del nome e Verdi non è una femmina. Quali sono i nomi e i cognomi dei ragazzi? 8. La Signora Bruni, la Signora Sarti e la Signora Conti hanno una figlia ciascuna. Le ragazze si chiamano Teresa, Giulia e Maria. Giulia non si chiama Bruni, Teresa non si chiama Sarti e Maria non si chiama Conti. Quali sono i cognomi delle ragazze? 94

7 ESERCIZI CON I PROBLEMI 9. Alice, Maria e Giorgio hanno come cognomi Belli, Fiore e Paoli. Il cognome di Giorgio non è Fiore, quello di Alice non è Paoli e quello di Maria non è Belli. Come si chiamano i tre ragazzi? 10. Daniele, Lucia e Giulia hanno di cognome Adami, Carli e Rossi. Giulia è amica di Adami. Lucia è più alta di Rossi ma più bassa di Carli e Daniele vive vicino a Rossi. Come si chiamano i tre ragazzi? 11. Davide, Giada e Sofia hanno di cognome Vincenzi, Taddei e Romani. Vincenzi e Sofia vanno spesso a fare spese insieme. Giada è più alta di Taddei ma più bassa di Romani e Davide abita vicino a Taddei. Come si chiamano i tre ragazzi? 12. Giuseppe, Enrico e Caterina hanno di cognome Verdi, Rossi e Bianchi. Verdi è più alto di Enrico. Caterina e Bianchi sono amici. Giuseppe è più vecchio di Verdi e il cognome di Enrico non è Rossi. Come si chiamano i tre ragazzi? 13. Rita, Bruno, Valeria e Nicola hanno di cognome Rossi, Bianchi, Verdi e Neri. Nessuno fra loro ha un cognome che comincia con la stessa lettera del nome e sappiamo che: Bruno è più alto di Verdi, Rita è più vecchia di Neri, Bruno non si chiama Neri, Valeria non si chiama Bianchi e Rita non si chiama Verdi. Come si chiamano i quattro ragazzi? 14. Carolina, Sara e Lucia hanno una matita per ciascuno. Una delle matite è rossa, una è nera e l altra è blu. La matita rossa non appartiene a Sara e quella blu non appartiene a Carolina. La matita di Sara è più lunga di quella di Carolina e sia quella nera che quella blu sono più corte di quella di Lucia. Quale è il colore della matita di ciascuna ragazza? Qual è la più lunga? Quale la più corta? 15. Lucia, Clara e Rita sono tre ragazze. Una indossa una camicetta bianca, una invece una camicetta rosa e l altra una camicetta verde. Una porta una gonna blu, una indossa una gonna grigia e la terza una gonna marrone. Lucia non indossa né la camicetta grigia né la gonna verde. Rita non indossa né la camicetta bianca né la gonna blu. Caterina indossa la camicetta verde ma non la gonna grigia. Sappiamo inoltre che la camicetta bianca è indossata con la gonna blu. Che cosa indossano le ragazze? 16. Sara, Carla e Linda sono amiche. Una ha i capelli biondi, una castani e l altra neri. Una indossa una gonna grigia, l altra una verde e la terza una azzurra. Carla non indossa la gonna grigia e non ha i capelli neri. Sara non indossa la gonna verde e non ha i capelli biondi. La ragazza dai capelli castani non indossa la gonna azzurra mentre la ragazza dai capelli biondi indossa la gonna grigia. Come sono vestite le ragazze? Note per l insegnante Dite agli alunni di scrivere i nomi, i colori o qualsiasi altro tipo di informazione su dei foglietti di carta in modo da poterli spostare sul tavolo a seconda dei dati forniti. In alternativa a ciò possono realizzare dei diagrammi con delle frecce o delle griglie quadrate 3 x 3 o 4 x 4, come mostrato nell esempio riportato nella pagina seguente. 95

8 ESERCIZI CON I PROBLEMI Esempio Anna, Michele e Lisa hanno un automobile ciascuno. Un automobile è bianca, una è blu e la terza è grigia. L automobile blu non appartiene né a Lisa né ad Anna e quella di Anna non è bianca. Di che colore è l automobile di ognuno? L automobile blu non è L automobile di Anna Perciò l automobile né di Lisa né di Anna, non è bianca di Lisa quindi è di Michele perciò deve essere grigia deve essere bianca Anna bianca Anna bianca Anna bianca Lisa blu Lisa blu Lisa blu Michele grigia Michele grigia Michele grigia Per collegare i nomi con i colori delle automobili potete realizzare dei diagrammi con delle frecce mano a mano che introducete i dati, oppure delle griglie come quelle indicate qui sotto. L automobile blu non è Perciò Michele deve avere L automobile di Anna né di Lisa né di Anna l automobile blu non è bianca bianca blu grigia bianca blu grigia bianca blu grigia Anna Anna Anna Lisa Lisa Lisa Michele Michele Michele Allora l automobile di Anna è grigia E l automobile di Lisa è bianca bianca blu grigia bianca blu grigia Anna Anna Lisa Lisa Michele Michele L automobile di Anna è grigia, quella di Michele blu e quella di Lisa bianca. 96