COMMISSIONE REVISIONE DEL DIMA DOCUMENTO FINALE SULLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA

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1 COMMISSIONE REVISIONE DEL DIMA DOCUMENTO FINALE SULLA LAUREA TRIENNALE IN MATEMATICA In sintesi, le linee guida che la Commissione Revisione ha seguito sono: (a) rispondere ad alcune esigenze espresse dal mondo del lavoro e dalla Matematica Applicata (in particolare, contenuti applicati e modellistici già dai primi anni); (b) offerta di una triennale di carattere generalista per quanto possibile ad ampio spettro; (c) revisione dei contenuti e della collocazione dei corsi, anche alla luce di alcune criticità rilevate dai questionari degli studenti; (d) esigenza di rendere maggiormente flessibile il percorso di studi. Vanno nella direzione (a) l'entrata di Statistica Descrittiva al I anno, l'anticipazione di Programmazione 1 al I anno e quella di Fondamenti di C.N. al II; i contenuti di questi corsi sono richiesti dal mondo del lavoro (sia nel privato che nel pubblico), e la Commissione ritiene debbano essere bagaglio comune di ogni matematico. Per non appesantire troppo il I anno, Fisica 1 viene spostata al II e Fisica 2 al III. Questi cambiamenti hanno portato anche alla possibilità di avere un I anno totalmente in comune tra Matematica e SMID. Sempre nella direzione (a) c'e una revisione del curriculum Matematica Applicata (che assume questa denominazione fin dalla triennale), che anticipa alla triennale alcuni contenuti ritenuti importanti per un soddisfacente sviluppo del curriculum nell'arco dei cinque anni di LT e LM. Infatti, la Commissione considera i 5 anni come arco temporale in cui pensare la laurea in Matematica. Nella direzione (b) vanno alcune delle innovazioni sopra menzionate, ed anche la struttura del III anno del curriculum Matematica Generale, che pur tenendo ferme le obbligatorietà in varie discipline offre una maggiore flessibilità agli studenti, permettendo di assolverle entro il I anno della LM. Analoga strategia per andare nella direzione (d) è stata adottata per gli altri curricula. Nella direzione (c) va lo spostamento di Probabilità al III anno e la diversa distribuzione di alcuni argomenti di Analisi. Un punto che la commissione ha inoltre ritenuto importante è stata la proposta di contenuti di massima prefissati (ma sostanzialmente standard per una ragionevole preparazione di base) per i corsi obbligatori, che vengono riportati in appendice al documento. In questo si è anche tenuto conto delle indicazioni provenienti dai questionari degli studenti, che evidenziavano negli ultimi anni criticità in alcuni insegnamenti. Quanto sopra è condiviso all'unanimità dalla Commissione. Nelle ultime riunioni è emersa la proposta di un terzo curriculum al III anno della Laurea Triennale (come per i due precedenti curricula), che assumerebbe la nuova denominazione Matematica per la Didattica. Gli insegnamenti obbligatori proposti per questo curriculum sono in parte quelli di MATGEN e in parte quelli di MATAPPL, con l'aggiunta di Teoria dei Numeri 2. La commissione si è espressa a leggera maggioranza contro l'attivazione di questo curriculum (fermo restando che permane il curriculum Didattico alla LM), ma si è comunque deciso di sottoporre al CCS le due proposte in alternativa, ovvero: - 2 curricula (MATGEN e MATAPPL) - 3 curricula (MATGEN, MATAPPL e MATDID).

2 Sinteticamente, le motivazioni per 2 soli curricula sono: - la convinzione che gli studenti possano specializzarsi in didattica nel percorso magistrale, mentre nella triennale debbano consolidare le loro basi, scegliendo tra l'indirizzo MATGEN o MATAPPL a seconda dei loro interessi (è stato verificato che tutti gli insegnamenti che sono ritenuti importanti per il Didattico possono essere inseriti tra triennale e magistrale, senza impegnare le 4 scelte libere, anche partendo dal curriculum MATGEN o MATAPPL); - l'esiguo numero di studenti ultimamente osservato (al momento 1 al didattico, 8 al generale e 19 all applicativo); - l assenza di insegnamenti obbligatori caratterizzanti del settore didattico (che sono invece presenti nel percorso magistrale). Le motivazioni a favore dei 3 curricula sono: - venire incontro alla richiesta di avere come propedeutici per l'indirizzo didattico della laurea magistrale sia l'insegnamento di Statistica inferenziale che quello di Logica, che insieme non appartengono agli obbligatori di nessuno degli altri due indirizzi; - l opportunità, anche per motivi di immagine, di dare visibilità al Didattico dimostrando l attenzione del corso di laurea, fin dal livello triennale, verso questo sbocco professionale; - dare maggiore possibilità di scelta al III anno per gli studenti interessati al percorso; - il significativo numero di studenti che storicamente hanno scelto il curriculum (una decina all anno fino al ), e il conseguente dubbio che il recente crollo possa essere un fenomeno transitorio; - il rischio di creare un asimmetria tra i curricula della LM nella distribuzione degli studenti, che potrebbero tendere a restare all interno del curriculum scelto precedentemente. Segue il prospetto dei vari percorsi proposti. Le caselle in cui compaiono più insegnamenti sono da intendersi come segue: lo studente opera le sue scelte all interno delle opzioni proposte, e gli insegnamenti non scelti al III anno sono obbligatori entro il I anno della Magistrale.

3 Ordinamento Matematica I anno (tot: 60 CFU) Analisi Matematica 1 [Mat/05] 16 Algebra Lineare e Geometria Analitica [Mat/02+Mat/03] 16 Algebra 1 [Mat/02] 9 Programmazione 1 [Inf/01] 8 Inglese 3 Statistica Descrittiva [Secs-S/01] 8 II anno (tot: 63 CFU) Geometria (Mat/03) 15 Analisi Matematica 2 [Mat/05] 8 Analisi Matematica 3 [Mat/05] 7 Algebra 2 [Mat/02] 8 Mecc. Analitica (ex SDMA) [Mat/07] 8 Fisica 1 [Fis/xx] 9 Fondamenti di Calcolo Num. [Mat/08] 8 III anno (tot: 57 CFU) curriculum Matematica Generale Probabilità [Mat/06] 8 Fisica 2 [Fis/xx] 7 IAS1 [Mat/05] / Analisi Compl. [Mat/05] / IGS [Mat/03] / Logica Mat. [Mat/01] / Geo. Diff. [Mat/03] (*) IAS1 / Analisi Compl. / IGS / Logica Mat. / Geo. Diff. (*) IAS1 / Analisi Compl. / IGS / Logica Mat. / Geo. Diff. (*) (*) possibili semestri diversi 7 Scelta libera studente (*) 7 7 Scelta libera studente (*) 7 7 Altre attività (*) 3 Prova finale 4

4 III anno (tot: 57 CFU) curriculum Matematica Applicata Probabilità [Mat/06] 8 Fisica 2 [Fis/xx] 7 IAS1 [Mat/05] 7 Calc. Num. [Mat/08] / Stat. Inferenziale [Secs-S/01] / Ricerca Op. [Mat/09] / Eq. 7-8 Diff. [Mat/05] (*) Calc. Num. / Stat. Inferenziale / 7-8 Scelta libera studente (*) 7 Ricerca Op. / Eq. Diff. (*) Scelta libera studente (*) 7 Altre attività (*) 1-3 (*) possibili semestri diversi Prova finale 4 III anno (tot: 57 CFU) curriculum Matematica per la Didattica (eventuale) Probabilità [Mat/06] 8 Fisica 2 [Fis/xx] 7 Logica Matematica [Mat/01] 7 Stat. Inferenziale [Secs-S/01] 8 IAS1 [Mat/05] / Calc.Num. [Mat/08] 7-8 Scelta libera studente 7 / Teo.Num.2 [Mat/02] Scelta libera studente 7 Altre attività 1-2 Prova finale 4

5 PROGRAMMI DI MASSIMA ANALISI MATEMATICA 1 Numeri reali; limiti; continuità; calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale; primi esempi di equazioni differenziali: equazioni a variabili separabili, lineari del primo ordine e del secondo ordine a coefficienti costanti. ALGEBRA LINEARE e GEOMETRIA ANALITICA Geometria analitica in R^2 e R^3: vettori, piani e rette nel piano e nello spazio; accenni a curve e superfici; matrici, determinante, caratteristica e sistemi lineari; spazi e sottospazi vettoriali, applicazioni lineari, matrici associate ad un omomorfismo; omomorfismi e matrici diagonalizzabili. Spazi vettoriali euclidei, ortogonalizzazione, automorfismi ortogonali, proiezioni ortogonali; diagonalizzazione delle matrici simmetriche reali e delle matrici hermitiane; spazi proiettivi, dualità, proiettività dello spazio proiettivo; gruppo lineare proiettivo; birapporto; classificazione proiettiva e affine di coniche e quadriche. ALGEBRA 1 Insiemi, applicazioni, surgettive, iniettive e bigiettive; operazioni binarie e loro proprietà; relazioni di equivalenza, insiemi quozienti; cardinalità, insiemi numerabili e più che numerabili; permutazioni, binomio di Newton e induzione; gli interi: algoritmo euclideo e applicazioni; numeri primi e fattorizzazione unica; algebra modulare; teorema dei resti cinese; numeri complessi; polinomi; fattorizzazione unica per polinomi; criteri di irriducibilità; quozienti; campi finiti; interpolazione; introduzione alla teoria dei gruppi; sottogruppi ed omomorfismi; sottogruppi normali e quozienti; teorema di Lagrange. PROGRAMMAZIONE 1 Introduzione alla programmazione. Il corso dovrà in particolare, attraverso una significativa esperienza in laboratorio, introdurre gli studenti ai linguaggi di programmazione Matlab e C attraverso la costruzione e l'implementazione di semplici algoritmi. STATISTICA DESCRITTIVA Indici statistici e rappresentazioni grafiche univariate e bivariate; statistica multivariata: cluster analysis, analisi in componenti principali, modello lineare. Attività di laboratorio: analisi esplorative di dati con il software R. ANALISI MATEMATICA 2 Successioni e serie numeriche e di funzioni, serie di potenze, serie di Taylor; funzioni di più variabili reali: limiti, continuità, calcolo differenziale, formula di Taylor, estremi relativi; funzioni implicite, teorema di Dini, invertibilità locale, estremi condizionati; equazioni differenziali ordinarie, esistenza e unicità locale, prolungamento di soluzioni, equazioni e sistemi lineari. ANALISI MATEMATICA 3 Misura e integrale di Lebesgue; teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale; cenni su teorema di Fubini e di integrazione per sostituzione; integrali dipendenti da parametro; curve e superfici; lunghezza e area; integrazione curvilinea e superficiale; forme differenziali di grado 1; integrazione di 1-forme differenziali su curve orientate; 1-forme differenziali chiuse ed esatte; teoremi del gradiente, del rotore e della divergenza.

6 GEOMETRIA Introduzione alla Topologia Generale: spazi metrici; spazi topologici; continuità, omeomorfismi; assiomi di separazione; prodotti di spazi topologici; quozienti di spazi topologici; connessione; compattezza; complementi sugli spazi metrici; teorema di metrizzabilità di Urysohn; spazi di Baire. Introduzione alla Topologia Algebrica: omotopia di funzioni continue; spazi omotopicamente equivalenti; gruppo fondamentale di uno spazio topologico puntato e sue proprietà funtoriali; rivestimenti di spazi topologici; gruppo fondamentale della circonferenza; prodotti liberi e prodotti amalgamati; teorema di Seifert-van Kampen. ALGEBRA 2 Gruppi lineari, gruppi di permutazioni, gruppi finiti di ordine basso; teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati; forme canoniche; anelli, anelli commutativi, unitari, campi, domini di integrità, anelli ridotti; ideali; ideali primi, massimali, radicali, propri; quozienti di anelli; ideali in anelli quozienti; anelli euclidei, ad ideali principali e fattoriali; massimo comune divisore in anelli; anelli di polinomi; localizzazioni; estensioni di campi, elementi algebrici e trascendenti; chiusura algebrica; funzioni simmetriche e teorema di Newton; il campo complesso è algebricamente chiuso. MECCANICA ANALITICA In questo corso verranno trattati i fondamenti della meccanica analitica sia lagrangiana che hamiltoniana e della teoria della stabilità: spaziotempo della fisica classica; meccanica relativa; sistemi di punti materiali e corpi rigidi; formulazione lagrangiana delle leggi della dinamica per sistemi olonomi; elementi della teoria della stabilità alla Liapunov e teorema di Dirichlet-Lagrange sulla stabilità meccanica; trasformata di Legendre e formulazione Hamiltoniana delle leggi della dinamica; parentesi di Poisson, trasformazioni canoniche e loro funzione generatrice; introduzione alla teoria di Hamilton-Jacobi. FISICA 1 Verranno presentati gli aspetti di base e pratici della Meccanica con una enfasi sui bilanci energetici di un processo fisico; la parte finale del corso riguarda i sistemi di particelle e dei corpi rigidi estesi studiandone il moto collettivo, attraverso le leggi fondamentali sulla quantità di moto e sul momento angolare, e l energia e le trasformazioni interne attraverso una introduzione alle leggi fondamentali della Termodinamica. FONDAMENTI di CALCOLO NUMERICO Teoria degli errori; soluzione numerica di sistemi lineari; metodi iterativi per il calcolo di autovalori; approssimazione ai minimi quadrati di dati discreti; decomposizione ai valori singolari; soluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie. Attività di laboratorio in Matlab: sperimentazione di alcuni metodi visti a lezione. PROBABILITA' Introduzione alla modellistica di fenomeni aleatori: spazi di probabilità; probabilità condizionale e indipendenza; variabili aleatorie; speranza e varianza; leggi notevoli (binomiale, geometrica, poisson, uniforme, esponenziale, normale, gamma); vettori aleatori (vettori gaussiani); speranza condizionata; funzione caratteristica; convergenza q.c., in probabilità e in legge; legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale.

7 FISICA 2 Elettrostatica nel vuoto: campo elettrico e potenziale; sistemi di conduttori; elettrostatica in presenza di dielettrici (cenni); corrente elettrica stazionaria; campi magnetici stazionari nel vuoto; magnetismo nella materia (cenni); campi elettrici e magnetici variabili nel tempo; equazioni di Maxwell; correnti alternate; onde elettromagnetiche: spettro, energia, sorgenti; riflessione e rifrazione; interferenza e diffrazione. ISTITUZIONI di ANALISI SUPERIORE 1 Complementi di teoria dela misura: teorema di Radon-Nikodym; misure complesse; funzioni a variazione limitata e assolutamente continue; elementi di analisi funzionale: spazi di Banach e di Hilbert; operatori limitati; spazi Lp e dualità. ANALISI COMPLESSA Serie di potenze e funzioni analitiche; derivazione complessa e funzioni olomorfe; teorema di Cauchy e sue conseguenze: equivalenza tra funzioni analitiche e olomorfe, principio del massimo modulo; serie di Laurent; teorema dei residui e sue applicazioni: calcolo di integrali, principio dell'argomento; funzione Gamma; rudimenti sul prolungamento analitico. ISTITUZIONI di GEOMETRIA SUPERIORE Introduzione alle varietà - in particolare curve - algebriche: preliminari sulle varietà algebriche; ipersuperficie dello spazio proiettivo; sistemi lineari; curve proiettive; genere di una curva proiettiva; curve ellittiche; estensioni di campi. LOGICA MATEMATICA Linguaggi del prim'ordine, teorie; calcolo della deduzione naturale, confronti con altri calcoli deduttivi; modelli, teorema di completezza, teorema di compattezza; aritmetica, funzioni ricorsive, rappresentabilità, teorema di incompletezza di Gödel e sue estensioni; soluzione di tre problemi proposti da Hilbert. GEOMETRIA DIFFERENZIALE Curve in R^n; sottovarietà di R^n; varietà differenziabili; spazio tangente e campi vettoriali; teorema di Frobenius; calcolo tensoriale e forme differenziali; superfici in R^3; curvatura gaussiana e teorema egregium; varietà riemanniane; operatori differenziali e integrazione su varietà; tensore di curvatura; geodetiche; gruppi di Lie e loro algebre di Lie; coomologia di de Rham. CALCOLO NUMERICO Metodi iterativi per la soluzione di sistemi lineari, minimizzazione di forme quadratiche; metodi per la soluzione di equazioni non lineari; interpolazione e approssimazione di funzioni (polinomiale, spline, trigonometrica); formule di quadratura per l'integrazione numerica. Attività di laboratorio in C: richiami sul linguaggio; implementazione di un unico progetto ampio e complesso.

8 EQUAZIONI DIFFERENZIALI Equazioni quasilineari del primo ordine; equazioni lineari classiche della Fisica Matematica: equazioni di Laplace, di Poisson, del calore e delle onde; proprietà delle soluzioni dell'equazione di Laplace: proprietà di media, principio di massimo, stime dell'energia e loro conseguenze; proprietà delle soluzioni dell'equazione delle onde: curve caratteristiche, dominio di dipendenza e di influenza dei dati, velocità di propagazione finita; formule risolutive esplicite per domini con geometria semplice; alcune tecniche generali per ottenere formule risolutive esplicite: separazione di variabili, funzione di Green, metodo di riflessione, principio di Duhamel, medie sferiche, metodo di discesa. STATISTICA INFERENZIALE Campionamento casuale semplice; intervalli di confidenza; test statistici; modello lineare multiplo e analisi della varianza da un punto di vista inferenziale. RICERCA OPERATIVA Formulazione di modelli; complessità computazionale; problemi NP; grafi; problemi su grafi: cammino minimo, alberi, flussi, matching, matching pesato; applicazioni; algoritmi euristici; modelli lineari; algoritmo del simplesso e sue varianti; dualità e complementarità; problemi lineari interi; applicazioni. TEORIA dei NUMERI 2 Richiami su estensioni di campi; aritmetica dei domini di Dedekind, in particolare degli anelli di interi in campi di numeri; norma, traccia e polinomio caratteristico; fattorizzazione unica di ideali, norma di un ideale, gruppo delle classi di un campo di numeri; reticoli, teorema di Minkowski e calcolo del gruppo delle classi; campi quadratici e campi ciclotomici; teorema delle unità di Dirichlet; cenni all'aritmetica dei campi locali e alla teoria della ramificazione; applicazioni a equazioni diofantee.