Dimensionamento di massima di una Turbina Pelton

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1 Facoltà di Ingegneria - sede di Modena Corso di Macchine C prof. Giuseppe Cantore Dimensionamento di massima di una Turbina Pelton Lunga è la strada dei precetti, breve ed efficace quella degli esempi. Seneca, Ad Lucilium. Definizione del problema idraulico. Si deve eseguire il dimensionamento di massima di una turbina idraulica tipo Pelton da installare presso una centrale idroelettrica. Il sito presso il quale la centrale deve essere realizzata consente un salto geodetico utile H u = 841m, e dalle condotte forzate provenienti dal bacino di monte scende una portata d acqua pari a Q = 7.68m 3 /s. Si considerano come parametri costanti per la definizione del problema l accelerazione di gravità g = N/kg, la densità del fluido operatore ρ = 1000kg/m 3, ed il parametro che quantifica le perdite di carico che avvengono nel distributore ad ago Doble: ϕ = In figura è riportata la geometria di riferimento per la cucchiaia, con le dimensioni caratteristiche quotate. Calcolo dei parametri idraulici generali. Innanzitutto, occorre calcolare i parametri che definiscono globalmente il funzionamento dell impianto: la potenza idraulica, la velocità del getto all ingresso della macchina, la velocità di rotazione della macchina. Per quanto riguarda la potenza idraulica disponibile, è sufficiente applicarne la definizione: 1

2 Figure 1: Geometria di riferimento della cucchiaia P idr =ρgh u Q = N kg =63.340M W. 841m 1000 kg m m3 s = Per il calcolo della velocità del getto all ingresso della girante, si modula il valore ideale calcolato per mezzo del teorema di Bernoulli a mezzo del coefficiente di perdita ϕ: c 1,t = gh u = N/kg 841m = 18.43m/s; c 1 =ϕ c 1,t = m/s = 14.57m/s. Per calcolare invece la velocità periferica che idealmente deve avere la girante della turbina è sufficiente applicare la condizione di massimo rendimento, per la quale è massimo il rendimento idraulico: η ( i ) = 0, u = u c 1 c 1 = 14.57m/s = 6.9m/s. Stanti le caratteristiche correnti, è possibile effettuare dimensionamenti differenti in funzione del differente numero di getti i nel quale è possibile frazionare la portata totale, e delle differenti possibilità in termini di numero di coppie polari p con le quali è possibile scegliere l alternatore. Ovviamente, al fine di ridurre il più possibile i costi fissi relativi all alternatore, è necessario cercare di minimizzare quest ultimo.

3 Dimensionamento dell impianto nel caso di i = 1 getto. Nel caso tutta la portata che giunge alla macchina sia afferita in un unico getto, è immediato calcolare il diametro del getto medesimo applicando la definizione di portata volumetrica: d = Q = c 1 A = c 1 πd 4 ; 4 Q π c 1 = m3 s π 14.57m/s = 0.8m. Per quanto riguarda il diametro Pelton, esso è vincolato progettualmente ad un minimo ed un massimo a causa dell ingombro geometrico delle cucchiaie, solitamente calcolato come: 8 D d 0; nel caso corrente, si suppone per semplicità di volersi porre nel caso progettuale in cui sia D/d = 10. Allora, è immediato calcolare: D = 10 d =.80m. Noto il diametro Pelton D, e nota la velocità periferica delle cucchiaie, è immediato calcolare la velocità di rotazione della girante, in radianti al secondo come in giri al minuto: ω = n = giri/(π) min/60 u D/ = 6.9m/s.80m = rad s ; = rpm = 44.61rpm. π Nella tabella 1 sono listate le velocità angolari imposte agli alternatori per la generazione di energia elettrica, in funzione del numero di coppie polari dell alternatore. Tali velocità angolari dipendono anche dalla frequenza di rete f, che può essere di 50Hz o 60Hz a seconda delle leggi vigenti nei vari Paesi del mondo. In Europa, essa è fissa e pari a f = 50Hz. Come da nozioni di Macchine Elettriche, la velocità di rotazione dell alternatore è infatti calcolabile, in funzione del numero di coppie polari p e della frequenza di rete f, come : n [rpm] = 60 p [Hz]. p Dunque, scorrendo la tabella 1 si osserva come, nella configurazione corrente, non esista un alternatore in grado di soddisfare alla condizione di massimo rendimento della turbina idraulica, per quanto quello che pià si avvicina a tale condizione possa essere individuato - in Europa - in quello avente configurazione con p = 7 coppie polari. Il parametro sul quale il progettista può agire per modificare la velocità di rotazione della griante in condizioni di massimo rendimento è il rapporto D/d tra diametro Pelton e 3

4 Table 1: Velocità di rotazione degli alternatori in funzione del numero di coppie polari e della frequenza di rete. Coppie polari p n (rpm) n (rpm) f = 50Hz f = 60Hz diametro del getto. Allora, è possibile calcolare il diametro Pelton che viene incontro alla caratteristica dell alternatore a 7 coppie polari, e successivamente verificare che il suo nuovo valore ricada ancora nei limiti dimensionali precedentemente menzionati. u D (p = 7) = ω (p = 7) = 60 s 6.9m/s min π 48.57rpm Il nuovo rapporto D/d sarà allora =.776m. D d =.776m 0.8m = 9.91; esso è ancora pienamente accettabile secondo i vincoli di dimensionamento della girante. Inoltre, aumentando ancora il rapporto D/d, sempre all interno dell intervallo consentito [8, 0], sarebbe possibile ridurre il numero di coppie polari. Tuttavia, comunque il costo dell impianto risulta essere molto elevato, es è quindi necessario valutare la soluzione alternativa di frazionamento della portata in più getti per poter ridurre il numero di coppie polari dell alternatore. Dimensionamento dell impianto nel caso di i = 4 getti. Si rivedono in questo caso del relazioni appena applicate, generalizzate al caso di i 1 getti che alimentino la girante. In questo modo, è possibile realizzare turbine di dimensioni più ridotte, aventi velocità di rotazione più elevate. Si richiamano le relazioni che governano i parametri idraulici caratteristici: 4

5 Q i =i π d i 4 c 1; d i = d 1 i. Nel caso in esame, ove i = 4, è possibile calcolare il diametro dell i-esimo getto noto quello dell unico getto calcolato precedentemente: d 4 = d 1 4 = 0.8m = 0.14m; applicando poi il rapporto D/d = 10, pari a quello applicato precedentemente, facilmente si ottiene che D 4 = 10 d 4 = 1.40m. Infine, è ora possibile ricalcolare la velocità di rotazione della girante stante la velocità periferica ottimale u, invariata rispetto al caso precedente in quanto dipendente unicamente dalla c 1 che dipende dalla portata affluente totale, e il nuovo diametro Pelton D 4 : ω = n = giri/(π) min/60 u D/ = 6.9m/s 1.40m = 88.99rad s ; = rpm = rpm. π Ripercorrendo la tabella 1, si osserva come, anche in questo caso, nessun alternatore possegga la medesima velocità di rotazione, ma quelli ad essa più prossimi sono quelli aventi, rispettivamente, p = 3 coppie polari e n = 1000rpm, e p = 4 coppie polari e n = 750 rpm. Mentre per adottare un alternatore avente 3 coppie polari sarebbe necessario ridurre il rapporto D/d oltre la soglia consentita, è invece possibile adottare l alternatore a 4 coppie polari. Il nuovo diametro Pelton risulterà dunque essere: u D 4 (p = 4) = ω (p = 4) = 60 s 6.9m/s min π rpm Il nuovo rapporto D/d sarà allora = 1.586m. D d = 1.586m 0.14m = 11.33, ancora compatibile con i limiti progettuali consentiti. 5

6 Dimensionamento del passo della turbina Pelton. Si considera dunque come possibile candidata per l installazione la macchina multigetto precedentemente dimensionata, che consente di minimizzare i costi costruttivi, a pari potenza elettrica prodotta. Risulta quindi possibile dimensionare i parametri geometrici caratteristici della girante e delle cucchiaie, quali quelli rappresentati in figura, oltre che il passo minimo ed il passo massimo tra le pale. Per quanto riguarda i parametri geometrici della girante, il produttore fornisce le dimensioni caratteristiche della geometria della cucchiaia in funzione del diametro d del getto che la cucchiaia deve elaborare. Tali dimensioni sono riassunte in tabella. Table : Parametri geometrici caratteristici della cucchiaia in funzione del diametro d del getto d acqua da elaborare. Parametro Valore relativo Valore assoluto [m] B 3 d 0.4 A 0.85 B L 1.7 d 0.38 T 0.5 B l 0.9 A l f π T 0.33 s d n 1. d β ψ Calcolo del passo minimo - massimo numero di pale, z max. Per calcolare il massimo numero di pale consentito per la girante, è necessario che la cucchiaia sia in grado di smaltire completamente la portata di fluido ad essa incidente, senza che quest ultimo vada a battere contro la pala precedente. Se così avvenisse, la variazione della quantità di moto del getto deviato dalla pala precedente sarebbe operata da un rallentamento della velocità di rotazione della girante. La figura definisce il problema per il calcolo del passo minimo p tra le cucchiaie: fissato l angolo costruttivo β, riportato in tabella, è necessario calcolare la distanza minima tra due pale che consenta il completo smaltimento della portata d acqua. In particolare, è indicato con b lo spessore del film di acqua uscente lateralmente dalla cucchiaia, e con s lo spessore metallico della pala stessa. Per ritrovare i valori di queste variabili, dal momento che è possibile considerare l acqua fluido incomprimibile, è possibile applicare la conservazione della portata in volume tra l ingresso e l uscita della cucchiaia: 6

7 Figure : Geometria di riferimento per il calcolo del passo minimo tra le pale. Figure 3: Geometria di riferimento per il calcolo del passo massimo tra le pale. Q 1 = Q. In particolare, si assume che la portata entrante Q 1 attraversi una superficie di forma circolare, avente versore normale coassiale con la velocità di trascinamento della cucchiaia, e che la portata uscente Q attraversi due superfici di forma rettangolare (ai due lati della cucchiaia stessa), aventi larghezza pari allo spessore b del film di acqua, ed altezza l dipendente dalla geometria della cucchiaia (cfr. tabella ). Dunque, si avrà che π 4 d w 1 = b l w ; 7

8 ricordando che, a causa delle perdite di carico sulla cucchiaia, la velocità in uscita avrà modulo inferiore rispetto alla velocità dell acqua in ingresso, in ragione di un coefficiente di perdita ψ [0, 1], fornito dal costruttore, allora è immediato ricavare b: π 4 d w 1 = b l ψ w 1 ; b = πd 8lψ = π (0.14m) 8 (0.313m) 0.9 = 0.06m. Affinché non avvenga interferenza ed urto tra il getto uscente dalla i- esima pala e la pala antecedente, è necessario che sia verificata la condizione geometrica: p sin β b + s p b + s ; sin β di conseguenza, il minimo passo possibile sarà p min = b + s sin β = 0.06m m sin10 = 0.36m. Infine, per calcolare il massimo numero di pale possibile per la girante, è sufficiente che la distanza tra ciascuna pala lungo tutta la circonferenza Pelton sia pari al passo minimo: z max p min = π D; [ ] [ ] π D π 1.586m z max = int = int = int [1.11] = m p min Per il calcolo del numero minimo di pale si fa riferimento allo schema di figura : il principio secondo il quale viene dimensionato consiste nello sfruttare completamente il trasferimento di energia dal fluido a ciascuna pala. Si cerca cioè che l ultima goccia di fluido che viene raccolta dalla i- esima cucchiaia deve poterla attraversare completamente, ed uscire da essa nel momento in cui la pala fuoriesce dalla traiettoria attraversata dal getto. L angolo δ di rotazione della girante all interno del quale il coltello della cucchiaia è completamente investito, per tutta la sua lunghezza, dal getto d acqua di diametro d, è un parametro che dipende sia da d che dal diametro Pelton D; di conseguenza, esso andrebbe ricalcolato per via analitica ogniqualvolta si proceda a variare uno di questi due parametri: δ = arccos D + d D + L ; Tuttavia, per semplicità si assume che questo angolo possa essere considerato costante e pari ad un dato fornito: δ = 58. Innanzitutto, occorre calcolare la velocità con la quale, mediamente, lungo il suo percorso la generica particella i acqua attraversa la cucchiaia: 8

9 w m = w 1 + w = (1 + ψ) w 1 ; inoltre, per la condizione di massimo rendimento idraulico, si ha: w m = (1 + ψ) (c 1 u) = (1 + ψ) c 1 4 = = ( ) = = m s. L angolo γ rappresenta la rotazione compiuta dalla macchina mentre la particella percorre la cucchiaia: γ = l f ω w m = γ ω = l f w m ; π 750 rad/s m 59.81m/s = 4.8. L angolo β, invece, rappresenta la rotazione della girante corrispondente al tempo impiegato dalla particella d acqua, sfuggita alla (i+1)-esima pala in Y, per raggiungere la i-esima pala in D : ( ) D D E = + L sin δ ( ) ( ) D + d δ tan γ ; ( ) D Y D = Y E D E = + L sin δ D E. Svolgendo i calcoli opportuni, è possibile trovare che Y D Dunque, β = ω Y D c 1 = π 750rad/s m 14.6m/s = 0.. Infine, per differenza è possibile trovare il rimanente angolo α: α = δ γ β = = = 0.56m. A questo punto, noti tutti i parametri geometrici è possibile calcolare il passo massimo p max ed il minimo numero di pale, z min : p max =α D = 0.179; [ ] [ ] π D π 1.58m z min =int + 1 = int + 1 = int [7.73] + 1 = m p max Dunque, abbiamo ricavato che gli estremi per il numero di pale della turbina in questione non sono coerenti: il numero minimo di pale è maggiore 9

10 del numero massimo di pale. Ciò significa che il corretto funzionamento della macchina non può essere garantito, ed è necessario trovare una soluzione al problema. In particolare, è possibile: 1. Incrementare l angolo β di fuoriuscita del getto dalla girante per poter così aumentare il numero massimo di pale; tuttavia, questa ipotesi richiederebbe una sconveniente riprogettazione della forma delle pale stesse;. Aumentare il diametro D della girante, accettando di dover adottare un alternatore avente maggior numero di coppie polari, ad esempio incrementandole da p = 4 a p = 5, corrispondentemente ad un regime di rotazione della macchina pari a n = 600rpm. Dunque, la seconda ipotesi è quella che viene svolta in seguito. Ricalcolo della macchina, per la soluzione con p = 5 coppie polari. E ora sufficiente ripercorrere tutti i passaggi precedentemente eseguiti, per calcolare i parametri della girante ridefiniti. Innanzitutto, è necessario ricalcolare il diametro Pelton D: D 4 (p = 5) = u ω (p = 5) = 60 s 6.9m/s min π rpm Il nuovo rapporto D/d sarà allora = 1.983m. D d = 1.983m 0.14m = Successivamente, è necessario ricalcolare ed il massimo numero di pale z max. Non è necessario ricalcolare il passo minimo, in quanto la geometria della pala non è cambiata, ma è sufficiente ripetere il calcolo aggiornando il nuovo diametro Pelton: [ ] [ ] π D π 1.983m z max = int = int = int [6.35] = m p min Indi, per ricalcolare il passo massimo è necessario invece ricalcolare tutti i parametri geometrici caratteristici. Mentre δ = 5, si ritrovano valori di γ = , β = 17.64, α = Con questi valori, si possono ricalcolare il passo massimo ed il minimo numero di pale: p max =α D = 0.5m; [ ] [ ] π D π 1.98m z min =int + 1 = int + 1 = int [4.79] + 1 = m p max Dunque, ora è unicamente possibile scegliere solo tra due differenti numeri di pale: z min = 5 e z max = 6. 10

11 Calcolo di rendimento e potenza della macchina. Infine, è ora possibile calcolare i parametri energetici che caratterizzano la macchina appena dimensionata: il rendimento idraulico e di conseguenza la potenza idraulica effettiva: η i = L c 1 = u c 1 ( 1 u c 1 ) (1 + ψ cos β ) = 1 (1 + ψ cos β ) = 0.953; P i,eff = ρ g H Q η i = 1000 kg m N 3 kg 841m 7.68m = MW. s Federico Perini Ultimo aggiornamento: mercoledì, 5.XI