Induzione completa. smo osm. Aggiornato: 1 dicembre 2015 vers

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1 Olimpiadi Svizzere della Matematica smo osm Induzione completa Aggiornato: 1 dicembre 01 vers 100 Una delle tecniche di dimostrazione più importanti nella matematica è l' induzione (completa) Supponiamo di avere, per ogni numero naturale n, un'aermazione A(n) che può essere vera oppure falsa Esempi di aermazioni di questo tipo potrebbero essere: 1 Il numero n è pari n = n(n + 1)/ 3 Esiste almeno un numero primo p tale che n p < n Se riusciamo a dimostrare l'esistenza di un n 0 per cui A(n 0 ) è vera (Inizio, Start dell'induzione), e che, per ogni n n 0, dalla veridicità di A(n) segue quella di A(n + 1) (Passo, step dell'induzione), allora tutte le aermazioni A(n), per n n 0, sono vere Questo perché la veridicità salta da un n al prossimo Vediamo alcuni esempi Esempio 1 Dimostra che per tutti i numeri naturali n vale che n = n(n + 1) Dimostrazione Inizio: L'uguaglianza è sicuramente vera per n = 1, perchè sia a sinistra che a destra dell'uguale si ha 1 Passo: Supponiamo che l'uguaglianza sia vera per n e dimostriamo che allora è vera anche per n + 1 In eetti vale n + (n + 1) = = = n(n + 1) + (n + 1) n(n + 1) + (n + 1) (n + 1)((n + 1) + 1) Nella prima riga abbiamo utilizzato l'ipotesi dell'induzione, cioè che l'uguaglianza è vera per n Esempio In Sikinia ogni coppia di città è collegata da esattamente una strada Dimostra che esiste sempre una città che può essere raggiunta da ogni città direttamente o passando per al massimo un'altra città 1

2 Dimostrazione Procediamo con un'induzione completa sul numero n di città Inizio: L'aermazione è sicuramente vera per n = (oppure anche per n = 1, questo caso non è però particolarmente interessante) Passo: Supponiamo che l'aermazione sia vera per n città Una città che soddisfa la condizione del problema, la chiamiamo buona Consideriamo n + 1 città Scegliamo arbitrariamente una città C e consideriamo le restanti n città Per ipotesi, tra queste n città ne esiste una buona, diciamo la città B Suddividiamo le restanti n 1 città in due insiemi: l'insieme D delle città da cui si può raggiungere direttamente B, e l'insieme E di città per cui questo non è possibile Visto che B è buona, ogni città appartenente all'insieme E possiede una strada diretta verso una delle città in D Cosideriamo due casi: (1) C'è una strada diretta da C verso B oppure verso una città in D In questo caso B è una città buona per tutte le n + 1 città () Da B e da ogni città in D esiste una strada diretta verso C Allora C è buona, perché S è raggiungibile direttamente da B e da ogni città in D, ed è raggiungibile da ogni città in E attraverso una strada che passa per una città in D (vedi spiegazione sopra) Possiamo quindi aermare che esiste sempre una città buona Il secondo esempio mostra come, con l'induzione, si possano dimostrare delle aermazioni piuttosto complesse, e non solamente delle formule Inoltre mostra che l'argomentazione può risultare veramente complicata Le dimostrazioni per induzione completa non sono sempre semplici! Esiste un'altra forma di induzione completa, la cosiddetta induzione forte La dierenza consiste nel fatto che nel passo dell'induzione, per dimostrare che A(n+1) è vera si suppone la veridicità non solo di A(n), ma quella di tutte le aermazioni A(k), k n Questo metodo spesso è più comodo e semplice Esempio 3 Ogni numero naturale n possiede una scomposizione in fattori primi (cioè, n è il prodotto di un numero nito di numeri primi) Dimostrazione Utilizziamo un'induzione forte su n L'aermazione è giusta per n =, visto che è un numero primo Ora supponiamo che tutti i numeri k < n possiedano una scomposizione in fattori primi, e che però n non la possieda n non è sicuramente un numero primo, quindi è il prodotto di due numeri naturali a > 1 e b > 1 Vale che a, b < n, quindi a e b per ipotesi si possono descrivere como prodotti di numeri primi Segue quindi che anche n = ab è un prodotto di numeri primi, in contraddizione con la nostra supposizione n possiede dunque una scomposizione in fattori primi, e il passo dell'induzione è terminato I seguenti esercizi servono ad avere un'idea delle numerose applicazioni dell'induzione completa Esercizi

3 1 Dimostra che per ogni numero naturale n vale n = n(n + 1)(n + 1) 6 Dimostra: n 3 = ( n) 3 (Serie geometrica) Per q 1 e per ogni numero intero n 0 vale 1 + q + q + + q n = qn+1 1 q 1 4 Dimostra che per ogni n vale n(n + 1) < 1 Per ogni numero naturale n, il numero n 3 + n è divisibile per 6 6 I numeri 1007, 10017, , , sono tutti divisibili per 3 7 La somma di tutti i numeri naturali minori di 10n che non sono divisibili né per né per equivale a 0n 8 La successione a n è denita da a 1 = 1 e a n+1 = a n Dimostra che la successione è monotona crescente e limitata 9 Per n 1 e 0 x k 1 (1 k n) vale Quando vale l'uguaglianza? n (1 x k ) 1 k=1 n x k 10 (Sviluppo binomiale ) Per due numeri naturali arbitrari a, b vale (a + b) n = n k=0 k=1 ( ) n a k b n k k 11 (Successione di Fibonacci ) La successione di Fibonacci è denita ricorsivamente da (a) Vale la formula di Binet: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n 1 + F n, n F n = 1 [( 1 + ) n ( 1 ) n ] (b) F n = ( n 1 0 ) + ( n 1 ) + ( n 3 ) + 3

4 (c) n i=1 F i = F n F n+1 (d) mcd(f n, F n+1 ) = 1 per ogni n 0 (e) Sia a n il numero di parole di lunghezza n costruite sull'alfabeto {0, 1}, per cui due cifre 1 non sono mai distanti posti una dall'altra Trova una formula per a n con l'aiuto della successione di Fibonacci 1 Su una pista rotonda ci sono n automobili identiche In tutto hanno tanta benzina quanta ne sevirebbe a un'auto per fare un giro completo della pista Un'auto parte, mentre le altre restano ferme Quando quest'auto raggiunge un'auto ferma, prende la benzina dell'auto ferma Dimostra che esiste un'auto che riesce a fare il giro di tutta la pista senza restare senza benzina 13 Nello spazio siano indicati n punti Tra almeno n + 1 coppie di punti sia disegnata la linea che collega i due punti Dimostra che ci sono tre punti tutti collegati tra di loro 14 Dimostra: n ( ) n + k 1 k = k n k=0 1 Nel piano siano disegnati n cerchi diversi Questi cerchi suddividono il piano in diverse regioni Dimostra che si possono sempre colorare queste regioni di bianco o di nero, in modo che due regioni adiacenti (che hanno in comune un pezzo di un cerchio) siano colorate con colori diversi 16 Nel piano siano disegnate n > rette, in modo che non ce ne siano di parallele e che tre rette non abbiano mai un punto d'intersezione in comune Queste rette suddividono il piano in diverse regioni Dimostra che si può assegnare a ogni regione un numero intero con valore assoluto n, in modo che la somma dei numeri dalle due parti di ogni retta sia uguale a 0 17 Per ogni numero naturale N vale 3 4 (N 1) N < 3 18 Considera tutti i sottoinsiemi non vuoti di {1,,, n} che non contengono due numeri consecutivi contengono Per ognuno di questi sottoinsiemi calcola il prodotto degli elementi che Dimostra che la somma dei quadrati di tutti questi prodotti è uguale a (n + 1)! 1 (Per esempio per n = 3: (1 3) = 3 = 4! 1) 19 Sia a 0 un numero reale tale che a + 1/a Z Dimostra che a n + 1 Z per ogni n N an 0 Sia n = k Dimostra che tra (n 1) numeri interi se ne possono sempre scegliere n in modo che la loro somma sia divisibile per n 4

5 1 Siano indicati n 3 punti, che non appartengono a una stessa retta Dimostra che almeno n delle rette che collegano due punti sono diverse Siano x 1, x,, x n e y 1, y,, y m numeri naturali, m, n, tali che le somme x x n e y 1 + +y m siano uguali e minori di mn Dimostra che dall'equazione x 1 + +x n = y y m si possono cancellare dei numeri (non tutti), in modo da ottenere un'altra equazione 3 n persone siedono al ristorante ad un tavolo rotondo Si possono scegliere 3 menu Nessuna persona vuole mangiare lo stesso menu dei suoi due vicini In quanti modi possono ordinare i loro pranzi queste persone? Consigli per esercizi scelti 1-3 Analogamente all'esempio 1 4 Prova per cominciare a trovare una formula per la somma in questione, quindi una formula che non contenga più somme di questo tipo Potresti aiutarti con una tabella per piccoli valori di n Poi dimostra questa formula per induzione - 6 Per il passo dell'induzione, dimostra che la dierenza tra due numeri consecutivi è divisibile per 6 o rispettivamente per 3 8 Comincia a dimostrare per induzione che a n è limitata Un limite superiore adatto non è dicile da trovare 9 Induzione su n Nota: è richesta anche una condizione per avere l'uguaglianza Per cominciare si deve quindi riettere su quali casi abbiano eettivamente l'uguaglianza Si deve poi dimostrare per induzione da una parte la disuguaglianza, e dall'altra parte la condizione per l'uguaglianza Procedere con cautela! 10 ( ) ( n Qui si deve applicare la formula k = n 1 ) ( k + n 1 k 1) per i coecienti binomiali Ricordati che vale ( ) n n! = k k!(n k)! Con questo la formula è facilmente dimostrabile 11 Per la parte (d), applica l'algoritmo di Euclide, rispettivamente l'uguaglianza mcd(a, b) = mcd(a, b ± a) e la formula ricorsiva per F n Nella parte (e) si deve per prima cosa trovare una formula ricorsiva per a n Confrontando con i numeri di Fibonacci si ottiene una formula esplicita per a n 1 Per poter fare il passo dell'induzione si deve in qualche modo togliere un'auto Per farlo in modo che funzioni, si deve però eliminare anche un pezzo di pista (perché?) Cosa succede con la benzina di qeust'auto? Una volta che si capisce come funziona questo, il resto non è dicile Consiglio più specico: c'è un'auto che con la sua benzina riesce ad arrivare almeno alla prossima auto (come mai?) Elimina quest'auto e il pezzo di pista tra quest'auto e la prossima Togli tanta benzina a quest'auto, quanta gliene serve per arrivare alla prossima,

6 e metti quella che resta nel serbatoio della prossima auto Adesso si può applicare l'ipotesi dell'induzione 13 Anche qui si devono eliminare dei punti, per poter utilizzare l'ipotesi dell'induzione, in eetti se ne devono togliere Si deve però fare attenzione a non cancellare troppe linee che congiungono due punti (perché?) È sempre fattibile? 14 Usa la formula del consiglio per l'esercizio Questo è un esercizio dicile Si devono avere due buone idee Il problema è troppo specico, è molto più semplice dimostrare questa generalizzazione: m (m + 1) N < m + 1 per ogni m N Questa formula si può dimostrare per induzione su m (e non su N!), ma al contrario, cioè: ssa N e dimostra la disuguaglianza prima per m = N, e poi giù 19 La semplice ma geniale idea è quella di provare a descrivere a n + 1/a n attraverso a + 1/a Prova con n =, 3, 4 e vedi come potrebbe essere Inoltre: non scriverlo in modo completamente esplicito, se no diventa troppo dicile Basta accorgersi di come, grosso modo, si possa descrivere a n + 1/a n 1 Qui si deve usare un teorema che dimostreremo più tardi: Se n punti non giacciono tutti su una stessa retta, allora esiste una retta su cui giacciono esattamente due punti La dimostrazione di questo teorema è molto corta e elegante, ma dicile da trovare Potete quindi semplicemente applicare il teorema Per il nostro esercizio, questo teorema ci dà quindi una retta che contiente esattamente due punti A e B Cancella uno di qeusti due punti e applica l'ipotesi dell'induzione Si può orientarsi con l'esempio Induzione su m + n Il caso m = n = è semplice Per il passo dell'induzione si deve riettere bene su quali numeri si possono cancellare, il che non è così semplice 3 Sia a n questo numero Per cominciare si deve pensare a una formula ricorsiva per a n, il resto è calcolo combinatorio allo stato puro Alla ne si dovrebbe trovare una formula esplicita per a n Per questo è utile calcolare i primi termini della successione e trovare un modello Poi puoi dimostrarlo per induzione Consiglio più specico: per n 4 valgono a = a 3 = 6 e a n = a n 1 + a n 6