MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A

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1 MODELLI E METODI MATEMATICI DELLA FISICA A.A Prof. A. Degasperis 3 luglio 007 Argomenti trattati nel corso 1. Spazi lineari con dimensione finita ed infinita. Funzioni generalizzate (distribuzioni) 3. Applicazioni Contenuto di queste note 1. Programma del corso. Riferimenti bibliografici 3. Richiami sugli spazi vettoriali 4. Contenuto delle lezioni 5. Compiti di esonero e d esame degli anni precedenti 1

2 PROGRAMMA DEL CORSO SPAZI LINEARI CON DIMENSIONE FINITA ED INFINITA Lo spazio lineare astratto e le sue strutture: algebrica, geometrica ed analitica. Spazio di Banach e spazio di Hilbert. Rappresentazioni di spazi lineari con vari esempi. Gli spazi V N, l ed L (a, b). Dipendenza ed indipendenza lineare di p vettori. Ortonormalizzazione di p vettori. Definizione di base. Sottospazi finito-dimensionali ed infinito-dimensionali. Disuguaglianza di Bessel. Limite forte e limite debole di una successione di vettori e loro proprieta. Rappresentazione di un vettore dello spazio di Hilbert in una base ortonormale. Ortonormalizzazione delle potenze {x n } n=0 in L ( 1, 1) e polinomi di Legendre. Trasformazioni lineari tra spazi lineari. Dominio di definizione di una trasformazione lineare, nucleo ed invertibilita. Funzionali lineari e forme in V N. Spazio lineare duale. Base duale. Funzionali lineari limitati su uno spazio di Hilbert. Teorema di Fisher Ritz (senza dimostrazione). Esempi di funzionali non limitati in L. Operatori lineari. Commutatori, regole di calcolo di commutatori ed identita di Jacobi. Operatori integrali, di moltiplicazione e differenziali. Operatore Hermitiano coniugato. Operatori limitati Hermitiani. Operatori non limitati Hermitiani ed operatori autoaggiunti (con esempi). Operatori di Sturm Liouville. Esempi di problemi di Sturm Liouville e esempi di basi ortonormali in L ( 1, 1), L (0, + ) e L (, + ). Proprieta dei polinomi di Legendre, Laguerre ed Hermite. Base di Fourier in L (a, b) e suo limite per a e b +. Trasformata di Fourier e sue proprieta. Trasformazione di Fourier di operatori lineari. FUNZIONI GENERALIZZATE ( DISTRIBUZIONI ) Funzionali lineari nello spazio di Schwartz. Funzionali lineari non regolari con esempi in fisica. Limite di successioni di funzionali lineari e definizione di distribuzione. Distribuzione di Dirac e sue proprieta. Derivate della distribuzione di Dirac. Distribuzione di Heaviside. Trasformata di Fourier di una distribuzione. Trasformata di Fourier della distribuzione di Heaviside. Formule di Plemelij. APPLICAZIONI L oscillatore armonico forzato: funzione di Green ritardata e soluzione del problema del transiente. Moto di una particella in un potenziale sulla retta: i) meccanica classica: equazioni di Hamilton, parentesi di Poisson ed analisi qualitativa; ii) meccanica quantistica: equazione di Schrödinger, soluzioni stazionarie, coefficienti di riflessione e di trasmissione e loro calcolo nell approssimazione di Bohr.

3 RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI Attenzione: non esiste il libro di testo. Gli argomenti del corso sono trattati in numerosi libri. Qui di seguito sono elencati alcuni testi tra i tanti adatti alla consultazione ed allo studio di parti del programma. 1. Bernardini C, Ragnisco O,Santini P M Metodi Matematici della Fisica La Nuova Italia Scientifica, Roma Dennery P, Krzywicki A Mathematics for Physicists Harper&Row Halmos P R Finite dimensional Vector Spaces Van Nostrand Comp Hirsch M W, Smale S Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra Academic Press Ince E L Ordinary Differential Equations Dover Publ., New York Kolmogorov A N e Fomin S V Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale MIR Reed M e Simon B Methods of modern mathematical physics Vol I Functional analysis Academic Press Rossetti C Metodi Matematici per la Fisica Libreria Ed.Univ. Levrotto&Bella, Torino Shilov G E An Introduction to the Theory of Linear Spaces Prentice Hall Smirnov V III Corso di Matematica Superiore Editori Riuniti, Roma Taylor A E Introduction to Functional Analysis John Wiley&Sons Vladimirov V Distributions en Physique Mathèmatique MIR, Moscou Per le funzioni elementari e speciali, il calcolo di serie e di integrali consultare 1. Abramowitz M, Stegun I A Handbook of Mathematical Functions Dover Publ., New York Gradshstein I S, Ryzhik I M Table of Integrals, Series and Products Academic Press, New York

4 Richiami sugli spazi vettoriali Queste note, alle quali ha contribuito il Dr. F. Zamponi, sono tratte da: A.N.Kolmogorov, S.V.Fomin, Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, MIR, 1980, Capitolo III, par. 1 e 4 e Capitolo IV, par. 5. Spazi vettoriali (o lineari) complessi Uno spazio vettoriale è un insieme V sul quale sono definite una operazione di somma e una operazione di prodotto per un numero complesso 1 tali che, x, y, z V e λ, µ C: x + y = y + x (1) (x + y) + z = x + (y + z) () 0 V : x + 0 = x (3) x V : x + ( x) = 0 (4) λx V (5) λ(µx) = µ(λx) = (λµ)x (6) se λ = 1, λx = x (7) (λ + µ)x = λx + µx (8) λ(x + y) = λx + λy (9) Esercizio: verificare che gli spazi seguenti sono spazi vettoriali definendo opportunamente la somma di due vettori e il prodotto di un vettore per un numero complesso. 1. Spazio dei vettori complessi n-dimensionali C n : x = (x 1,, x n ), x i C. a 11 a 1n. Spazio delle matrici m n complesse M(m, n): x = a 1 a n , a ij C. a m1 a mn 3. Spazio delle funzioni f(x) : [a, b] C continue. 4. Spazio delle funzioni f(z) analitiche in un dominio D del piano complesso z. 5. Spazio l delle successioni {x n } n=1, x n C, tali che n=1 x n <. 6. Spazio L [a, b] delle funzioni f(x) : [a, b] C tali che b a dx f(x) <. Definizione: dato uno spazio vettoriale V, un suo sottoinsieme W si dice sottospazio se e esso stesso uno spazio vettoriale. Esempio: il sottoinsieme dei vettori x di C n tali che x = (x 1 = 1, x,, x n ) non e un sottospazio di C n mentre il sottoinsieme dei vettori x tali che x = (x 1 = 0, x,, x n ) e un sottospazio di C n di dimensione n 1. 1 E possibile definire uno spazio vettoriale su un campo K qualunque. Noi consideriamo solo il caso K = C per semplicità. 4

5 Indipendenza lineare e dimensione di uno spazio vettoriale: n vettori {x 1,, x n } si dicono linearmente indipendenti se, {λ 1,, λ n }, λ i C, n λ i x i = 0 λ i = 0 i (10) i=1 La dimensione di uno spazio vettoriale è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti che si possono trovare nello spazio stesso. Ovvero, se in uno spazio vettoriale si possono trovare al massimo n vettori linearmente indipendenti, lo spazio ha dimensione n. Se per qualunque n N è possibile trovare un insieme di n vettori linearmente indipendenti si dice che lo spazio ha dimensione infinita. Base di uno spazio vettoriale: Se uno spazio vettoriale V ha dimensione n, ogni n pla di vettori e 1,, e n linearmente indipendenti si chiama base dello spazio V. Questo termine e giustificato dal teorema: ogni vettore x dello spazio è una combinazione lineare dei vettori della base, ovvero, x V, x = n i=1 x ie i, x i C. La dimostrazione si ottiene osservando che gli n + 1 vettori {x, e 1,, e n } sono necessariamente linearmente dipendenti ovvero esistono n + 1 numeri complessi {λ, λ 1,, λ n } tali che λx + n i=1 λ ie i = 0 con λ 0. I numeri complessi x i = λ i /λ sono le componenti o coordinate del vettore x nella base. Esercizi: 1. Dimostrare che lo spazio C n ha dimensione n.. Scrivere una base per lo spazio M(m, n). 3. Dimostrare che lo spazio dei polinomi di grado N di variabile complessa, P N (z) = c N z N +c N 1 z N c 0, e uno spazio vettoriale di dimensione N Dimostrare che lo spazio delle funzioni f(z) analitiche nel cerchio di centro 0 e raggio 1 ha dimensione infinita (suggerimento: utilizzare il risultato dell esercizio precedente). 5. Dimostrare che lo spazio l e lineare ed ha dimensione infinita (suggerimento: provare a costruire esplicitamente n vettori linearmente indipendenti per ogni intero n). Prodotto scalare: un prodotto scalare su uno spazio vettoriale complesso V è una funzione (, ) : V V C che verifica le seguenti proprietà (notazione: se λ è un numero complesso, λ è il suo complesso coniugato): (x, y) = (y, x) (11) (x, λy) = λ(x, y) (1) (x, y + z) = (x, y) + (x, z) (13) (x, x) 0, (x, x) = 0 x = 0. (14) Osserviamo che (x, y) in generale è un numero complesso; tuttavia, dalla (11) segue che (x, x) R per cui la disuguaglianza (14) è ben definita 3. Il numero reale e non negativo x = (x, x) e il modulo del vettore x. Esercizi: 1. Dimostrare che (λx, y) = λ (x, y). Usiamo sempre un indice alto per i vettori, mentre un indice basso per i numeri complessi. 3 Ricordiamo che le disuguaglianze fra numeri complessi non sono definite, per cui non avrebbe senso chiedersi se (x, x) 0 se (x, x) fosse complesso. 5

6 . Dimostrare la disuguaglianza di Cauchy Bunjakovskij Schwartz: (x, y) x y. (suggerimento: calcolare x + µy per µ = (y, x)/ y ). 3. Verificare che (x, y) = n i=1 x i y i è un prodotto scalare su C n. 4. Verificare che (x, y) = n i= x i y i non è un prodotto scalare su C n. 5. Verificare che (x, y) = n i=1 x iy i non è un prodotto scalare su C n. 6. Verificare che (A, B) = TrA B è un prodotto scalare 4 su M(n, n). 7. Verificare che (f, g) = b a dxf (x)g(x) è un prodotto scalare su L [a, b]. Basi ortonormali, isomorfismo fra spazi vettoriali e cambiamenti di base Base ortonormale: una base e i, i = 1,, n, è detta ortonormale se (e i, e j ) = δ ij. Esercizio: verificare che se (e i, e j ) = δ ij i vettori e i sono linearmente indipendenti (suggerimento: calcolare (e k, i λ ie i )). In ogni spazio vettoriale V di dimensione finita esiste una base ortonormale. Infatti sia f k, k = 1,, n una base per lo spazio V. Per costruire una base ortogonale si procede nel modo seguente (metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt): Esercizi: g 1 = f 1 g = f (g1, f ) (g 1, g 1 ) g1 g 3 = f 3 (g1, f 3 ) (g 1, g 1 ) g1 (g, f 3 ) (g, g ) g k 1 g k = f k i=1 1. Verificare che i vettori g k sono tra loro ortogonali. (g i, f k ) (g i, g i ) gi. Verificare che g k = 0 se i vettori f k sono linearmente indipendenti. Per ottenere una base ortonormale e 1,, e n dalla base ortogonale g 1,, g n è sufficiente dividere ogni vettore g k per il suo modulo g k. Dalla formula esplicita si vede che i vettori e k sono combinazioni lineari dei vettori f k. Gli n vettori e 1,, e n sono ovviamente una base perche, essendo ortogonali, sono linearmente indipendenti. Ogni spazio vettoriale V di dimensione n è isomorfo a C n. Due spazi vettoriali U,V si dicono isomorfi se esiste una corrispondenza biunivoca tra vettori di U e vettori di V tale che, se x, y U corrispondono rispettivamente a x, y V, allora x + y corrisponde a x + y e λx corrisponde a λx per ogni numero complesso λ. Se due spazi sono isomorfi essi possono essere pensati 4 La matrice A è definita da (A ) ij = A ji. 6

7 come rappresentazioni diverse di uno stesso spazio, perchè tutte le proprietà di uno spazio vettoriale sono determinate dalle operazioni di somma e prodotto scalare su di esso definite. Data una base ortonormale e k dello spazio V (costruita per esempio come sopra), ogni vettore x è rappresentabile come n x = x k e k (15) k=1 da cui si ottiene la seguente corrispondenza biunivoca tra V e C n x {x k } n k=1 : x k = (e k, x) ; {x k } n k=1 x : x = n x k e k (16) cioè ad ogni vettore corrisponde l insieme delle sue componenti 5 nella base e k, che è proprio un elemento di C n. Si verifica facilmente che alla somma di due vettori corrisponde la somma delle loro coordinate e che il vettore λx ha componenti {λx k } n k=1. Dunque, ogni spazio vettoriale V è isomorfo a Cn ovvero, in pratica, ogni spazio vettoriale di dimensione n può essere pensato come una rappresentazione di C n. Il prodotto scalare di due vettori si rappresenta in termini delle loro componenti nel modo seguente. Per ogni coppia di vettori x, y V si ha (ricordando che (λx, y) = λ (x, y)): ( n ) ( n 1,n 1,n (x, y) = ( x i e i, y k e )) k = x i y k (e i, e k ) = x i y k δ ik = i=1 k=1 i,k i,k k=1 n x ky k x y. (17) Quest ultima espressione si ottiene generalizzando ai vettori il prodotto righe colonne tra matrici rettangolari nel modo seguente: alla n pla {x k } n k=1 si associa la matrice n 1 di una sola colonna x 1 x = x n e quindi con x si indica la sua Hermitiana coniugata, cioe la matrice 1 n di una sola riga x = (x 1,, x n). La matrice x y e dunque una matrice 1 1, ovvero un numero (il prodotto scalare (x, y)). Dunque il prodotto scalare di due vettori x, y V viene indicato spesso, in termini delle coordinate, proprio come il prodotto scalare x y. Riassumendo, ogni spazio vettoriale V di dimensione n con un qualunque prodotto scalare può essere pensato come una rappresentazione di C n con il prodotto scalare x y. Esercizi: 1. Verificare che le coordinate x i di un vettore x V rispetto a una base ortonormale e i sono date da x i = (e i, x).. Costruire una base ortonormale per lo spazio M(, ) col prodotto scalare (A, B) = TrA B. 5 Ricordate che dal momento che lo spazio vettoriale è complesso, le componenti saranno in generale numeri complessi. k=1 7

8 3. Costruire una base ortonormale per lo spazio dei polinomi trigonometrici P N (cos θ, sin θ), θ [0, ] (serie di Fourier troncate all ordine N) col prodotto scalare (P, Q) = () 1 dθp (θ)q(θ). 0 Suggerimento: è sempre possibile scrivere P N (cos θ, sin θ) = a 0 + N (a n cos nθ + b n sin nθ ) n=1 4. Dimostrare che, se e i e f i sono due basi ortonormali, si ha f i = n j=1 U ije j dove U ij = (f i, e j ) è una matrice n n unitaria, cioè tale che U U = 1. (Nota: il coniugato nella formula dell espansione del vettore f I nella base {e j } n j=1 perché sarà utile in seguito.) è stato messo solo Trasformazioni di coordinate tra basi ortonormali 6 : consideriamo due basi ortonormali, e i e f i. Abbiamo appena mostrato che f i = n j=1 U ij ej con U ij = (f i, e j ). Inoltre U è una matrice unitaria, U U = 1. Vediamo ora come si trasformano le coordinate di un vettore x. Nella base e i si ha x = i x ie i con x i = (e i, x). Nella base f i si avrà x = i x i f i e n n n x i = (f i, x) = ( Uije j, x) = U ij (e j, x) = U ij x j x = Ux (18) j=1 j=1 Dunque le coordinate nella nuova base si ottengono applicando alle coordinate nella vecchia base la trasformazione unitaria U. Esercizio: verificare che il prodotto scalare di due vettori, espresso in termini delle loro coordinate dalla formula (x, y) = x y, non dipende dalla scelta della base, purchè ortonormale. Operatori lineari e matrici Un operatore lineare su uno spazio vettoriale 7 V è una funzione A : V V tale che, x, y V e λ C: A(x + y) = A(x) + A(y) A(λx) = λa(x) D ora in poi utilizziamo la notazione Ax invece di A(x) per semplicità. Dati due operatori lineari A e B e un numero complesso λ, possiamo definire 8 gli operatori A + B e λa come (A + B)x Ax + Bx (λa)x λ(ax) 6 Come al solito, ci restringiamo alle basi ortonormali per semplicità, ma formule analoghe possono essere derivate per basi qualsiasi. 7 Consideriamo solo operatori lineari da uno spazio V in sé stesso per semplicità. 8 Un operatore è definito dalla sua azione su un generico vettore x: cioè, se per ogni vettore x sappiamo costruire il vettore Ax, l operatore A è completamente determinato. j=1 8

9 Possiamo inoltre definire l operatore prodotto AB come ABx = A(Bx); quindi possiamo definire l operatore A = AA e per iterazione l operatore A n = AA n 1. Inoltre gli operatori AB e BA in generale non coincidono con l implicazione che il prodotto tra operatori non e generalmente commutativo. Esercizi: 1. Verificare che gli operatori I e O definiti come Ix = x e Ox = 0, x V, sono operatori lineari per qualunque spazio vettoriale V.. Verificare che gli operatori A + B, λa e AB sono effettivamente operatori lineari. 3. Verificare che l insieme degli operatori lineari su uno spazio vettoriale V con le operazioni di somma e prodotto per un numero complesso definite sopra è uno spazio vettoriale complesso (suggerimento: utilizzare come operatore nullo l operatore O definito nell esercizio 1. Osserviamo che, se A e lineare, non e necessario dare il vettore Ax per ogni vettore x di V per definire l azione di A. Infatti, se {e i } n i=1 e una base di V e x = n i=1 x ie i, allora Ax = n i=1 x iae i, per cui, per definire l operatore A, e sufficiente conoscere la sua azione solo sui vettori della base cioe Ae i per i = 1,, n. Esercizio : verificare che i seguenti operatori sono operatori lineari. 1. y = Ax con y i = n j=1 A ijx j, dove A ij è una matrice complessa n n e x C n.. P y x = (y, x) (y, y) y dove y V è un vettore fissato (l operatore P y è detto proiettore su y). 3. (Df)(z) = d dz f(z), f(z) V dove V è lo spazio delle funzioni analitiche in un dominio D del piano complesso. 4. (Kf)(x) = b dyk(x, y)f(y) dove K(x, y) è una funzione continua e f V = C[a, b]. a Abbiamo appena visto che una matrice complessa n n può essere pensata come un operatore lineare sullo spazio vettoriale C n. Sappiamo anche che lo spazio delle matrici complesse n n è uno spazio vettoriale. Mostriamo ora che lo spazio (vettoriale) degli operatori lineari che agiscono su uno spazio vettoriale complesso di dimensione n è isomorfo allo spazio delle matrici complesse n n ovvero, in termini più semplici, che ogni operatore lineare su uno spazio V di dimensione n è rappresentato da una matrice sullo spazio C n delle coordinate dei vettori di V. Infatti, per stabilire questa corrispondenza (isomorfismo), consideriamo una base ortonormale 9 e i di V. Per ogni x V si ha n n y = Ax = A x i e i = x i Ae i i=1 Decomponendo y nelle sue componenti y i = (e i, y), si ha y i = (e i, n x j Ae j ) = j=1 i=1 n x j (e i, Ae j ) (19) 9 Il ragionamento può essere ripetuto per una base qualunque di V, ma è leggermente più complicato. Per comodità consideriamo direttamente una base ortonormale (tanto esiste sempre!). j=1 9

10 Definiamo la matrice A ij = (e i, Ae j ). Allora l azione dell operatore A su un vettore x V si rappresenta, in termini di coordinate, come n y i = A ij x j (0) j=1 Dunque, fissata una base ortonormale e i, come ad ogni vettore x corrisponde la n pla x i = (e i, x), cosi ad ogni operatore lineare A su uno spazio vettoriale V corrisponde la matrice A ij = (e i, Ae j ) che agisce sullo spazio C n delle coordinate dei vettori di V, come volevamo dimostrare. Esercizi: 1. Mostrare che all operatore A + B corrisponde la matrice A ij + B ij.. Mostrare che all operatore λa corrisponde la matrice λa ij. 3. Mostrare che all operatore AB corrisponde la matrice prodotto righe per colonne di A ij e B ij. (AB) ij = n A ik B kj (y, x) 4. Sia P y il proiettore sul vettore y, P y x = (y, y) y, mostrare che la matrice P yij che rappresenta P y e y iy P yij = P j n k=1 y, ovvero, nella notazione introdotta sopra, si ha P k y = yy y y. 5. Sia e i una base ortonormale dello spazio V e P i P e i il proiettore sul vettore e i della base. Scrivere esplicitamente la matrice che rappresenta P i. k=1 Trasformazioni tra basi ortonormali: vediamo come si trasforma la matrice che rappresenta l operatore A nel passaggio tra due basi ortonormali e i e f i = n j=1 U ije j. Abbiamo già visto che le coordinate dei vettori si trasformano con la matrice U, ovvero, se x sono le coordinate nella base f i e x quelle nella base e i, x = Ux. Nella base e i, la matrice che rappresenta A è data da 10 A ij = e i Ae j. La matrice A ij che rappresenta A nella base f i è quindi data da ( n ) ( n ) 1,n 1,n A ij = f i Af j = U ik e k A U jl e l = U ik (e k Ae l )U jl = U ik A kl U lj (1) ovvero A = UAU. Esercizi: k=1 l=1 1. Ricordando che nel cambiamento di base si ha x = Ux e A = UAU, verificare che y = Ax si trasforma in y = Uy.. Verificare che x, y V la quantità y Ax (detta elemento di matrice dell operatore A tra i vettori x e y) non cambia nel cambiamento di base, ovvero che, in coordinate, y Ax = y A x. k,l k,l 10 Attenzione: se la base non è ortonormale, questa espressione non è corretta. 10

11 Operatore aggiunto: dato un operatore A, si definisce il suo operatore aggiunto A richiedendo che, per ogni coppia di vettori x, y V, si abbia, dato un prodotto scalare su V, (x, Ay) = (A x, y) () Verifichiamo che l operatore A è rappresentato dalla matrice (A ) ij = A ji. Infatti, la matrice B ij che rappresenta l operatore A è data da B ij = (e i, A e j ) = (A e j, e i ) = (e j, Ae i ) = A ji = (A ) ij (3) Operatore inverso: sia dato un operatore A tale che l equazione y = Ax ammette una ed una sola soluzione. Allora l operatore A è detto invertibile e si definisce l operatore inverso A 1 in modo che A 1 A = I (4) dove I è l operatore unità tale che Ix = x, x V. Dal momento che l operatore I è rappresentato dalla matrice 1 e che il prodotto di due operatori è rappresentato dal prodotto delle matrici corrispondenti, è evidente che A 1 è rappresentato dalla matrice inversa di A. Operatori hermitiani e unitari: un operatore hermitiano è definito dalla condizione A = A ed è rappresentato da una matrice hermitiana. Un operatore unitario è definito dalla condizione U = U 1 ed è rappresentato da una matrice unitaria. Esercizi: (ricordare che det AB = det A det B e TrABC = TrBCA) 1. Mostrare che una matrice unitaria soddisfa la condizione det U = 1 e che per una matrice hermitiana det A R.. Mostrare che se U è unitaria si ha Tr(U AU) = TrA. 3. Mostrare che l operatore di proiezione P i è hermitiano e non è invertibile. Autovalori ed autovettori di un operatore Un numero complesso λ è detto autovalore dell operatore A se l equazione Ax = λx (5) ha delle soluzioni x = v V diverse da 0. L insieme degli autovalori di un operatore A è detto spettro dell - operatore. Se λ è un autovalore di A, un vettore v 0 tale che Av = λv è detto autovettore corrispondente all autovalore λ. Dal momento che ogni operatore è rappresentato da una matrice complessa, d ora in poi considereremo direttamente la rappresentazione matriciale degli operatori supponendo di aver fissato una base 11 nello spazio V. Autovalori: l equazione Ax = λx può essere riscritta come (A λi)x = 0. Questa equazione ha una soluzione x = v non nulla se e solo se det(a λ1) = 0. Gli autovalori sono quindi le soluzioni dell equazione 11 Osserviamo ancora che per rappresentare gli operatori come matrici non è necessario considerare una base ortonormale, e dunque non è necessario neanche introdurre un prodotto scalare sullo spazio V. Tuttavia, salvo diversamente specificato, considereremo sempre una base ortonormale per semplicità. 11

12 P (λ) = det(a λ1) = 0. P (λ) è un polinomio di grado n ed è detto polinomio caratteristico della matrice A. L equazione P (λ) = 0 ammette sempre n soluzioni complesse: dunque, un operatore A che agisce su uno spazio di dimensione n ha sempre n autovalori complessi (alcuni eventualmente coincidenti). Diremo che l autovalore λ i ha molteplicità m i se è soluzione di P (λ) = 0 con molteplicità m i. Dunque, se ci sono k autovalori distinti, si avrà k i=1 m i = n. Autovettori: ad ogni autovalore λ i corrisponde almeno un autovettore v i, e lo stesso autovettore non può corrispondere a due autovalori diversi. E possibile inoltre mostrare (vedi gli esercizi che seguono) che autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Dunque, se gli autovalori sono tutti distinti, ci saranno n autovettori distinti linearmente indipendenti, per cui gli autovettori di A sono una base per lo spazio V (in generale non ortonormale). In questo caso si dice che l operatore A è diagonalizzabile. Se invece ci sono autovalori con molteplicità m > 1, possono darsi due casi: 1. Per ogni autovalore di molteplicità m > 1 è possibile trovare m autovettori linearmente indipendenti. In questo caso gli autovettori di A costituiscono ancora una base per lo spazio e l operatore è diagonalizzabile.. Per almeno uno degli autovalori di molteplicità m > 1 non è possibile trovare m autovettori linearmente indipendenti. In questo caso l operatore non è diagonalizzabile. Esercizio : dimostrare che autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti seguendo i passaggi elencati. 1. Dimostrare che un autovettore v di A, corrispondente ad un autovalore λ, non può essere combinazione lineare di altri autovettori v i linearmente indipendenti corrispondenti ad autovalori λ i λ. Suggerimento: scrivere, per assurdo, v = i c iv i e confrontare i due membri dell uguaglianza Av = λv.. Dimostrare che due autovettori corrispondenti ad autovalori distinti non possono essere proporzionali. 3. Completare la dimostrazione per induzione. Esercizi: 1. Calcolare gli autovalori e gli autovettori della matrice ( 0 i i 0 ).. Calcolare gli autovalori e gli autovettori dell operatore P i. 3. Si consideri lo spazio dei polinomi di secondo grado P (z) = a + bz + cz con c 0 e l operatore lineare AP (z) = dp dz = b + cz. Calcolare autovalori e autovettori di questo operatore. Verificare che non è diagonalizzabile. Suggerimento: in questo caso non conviene cercare di rappresentare A su una base ortonormale. 4. Si consideri lo spazio dei polinomi trigonometrici P 1 (cos θ, sin θ) = C 0 + C 1 cos θ + S 1 sin θ e l operatore lineare AP (θ) = P ( π θ). Calcolare autovalori e autovettori di A e verificare che A è diagonalizzabile. 5. Sullo stesso spazio considerato nell esercizio precedente, considerare l operatore K definito da (KP )(θ) = 1 0 dψ cos(θ ψ)p (ψ) Calcolare autovettori ed autovalori di K e verificare che è diagonalizzabile. Suggerimento: utilizzare la relazione cos(θ ψ) = cos θ cos ψ + sin θ sin ψ. Diagonalizzazione di un operatore e cambiamento di base: la rappresentazione di un operatore come matrice dipende, come abbiamo visto, dalla base che si è scelta nello spazio V. Abbiamo detto che un operatore è diagonalizzabile se i suoi autovettori costituiscono una base per lo spazio V : anche se in generale 1

13 la base degli autovettori di A non e ortonormale, questo implica che nella base degli autovettori l operatore A è rappresentato da una matrice diagonale. Infatti, se λ i e v i sono, rispettivamente, gli n autovalori ed autovettori di A, e se x = n i=1 x iv i, allora y = Ax = n i=1 λ ix i v i = n i=1 y iv i ovvero y i = λ i x i, cioe A e rappresentato dalla matrice diagonale Λ = diag{λ 1,, λ n }. Dal momento che un cambiamento di base nello spazio V induce un corrispondente cambiamento di coordinate, la diagonalizzazione dell operatore A corrisponde ad un cambiamento di coordinate nello spazio V. Come caso particolare, possiamo considerare un operatore A i cui autovettori costituiscono una base ortonormale dello spazio V 1. L operatore A sarà rappresentato da una matrice A ij in una certa base ortonormale e i. Il passaggio dalla base e i alla base v i degli autovettori di A è una trasformazione fra basi ortonormali, quindi la matrice D che rappresenta A nella base v i sarà data da D = UAU (6) dove U ij = (v i, e j ). La matrice D è diagonale, perchè rappresenta A nella base dei suoi autovettori: dunque, la matrice A è una matrice che può essere diagonalizzata da una matrice unitaria U. Esercizi: 1. Verificare che la matrice U ha come righe le coordinate degli autovettori v i nella base e i, cioè che (U ) ij = Uji = (vi ) j = (e i, v j ).. Verificare che la matrice ( β α ) α β, α, β R e α 0, ha autovalori distinti ed autovettori ortogonali pur non essendo hermitiana. Operatori hermitiani Gli operatori hermitiani, cioè tali che A = A, hanno una serie di proprietà di notevole interesse per la fisica 13, per cui meritano una trattazione piu dettagliata. Ci interessa mostrare due proprietà fondamentali: 1. Un operatore hermitiano ha autovalori reali.. Gli autovettori di un operatore hermitiano possono essere scelti in modo da costituire una base ortonormale dello spazio V. Come abbiamo già visto, una conseguenza interessante della seconda proprietà è che un operatore hermitiano può essere diagonalizzato con una trasformazione unitaria. Esercizi: 1. Dimostrare che un operatore hermitiano A ha autovalori reali (suggerimento: sia λ un autovalore e v un autovettore corrispondente. Utilizzare la relazione (v, Av) = (Av, v)).. Dimostrare che, se λ e µ sono due autovalori distinti di un operatore hermitiano A e v, w sono gli autovettori corrispondenti, si ha (v, w) = 0. (Suggerimento: utilizzare una relazione simile alla precedente.) 3. Dimostrare che, se v è un autovettore di un operatore hermitiano A, il sottospazio ortogonale a v è invariante sotto l azione di A, cioè che, se (v, x) = 0, anche (v, Ax) = 0. 1 Questa ipotesi in generale non è verificata, ma lo è ad esempio per gli operatori hermitiani, come discuteremo tra breve. 13 Ad esempio, rappresentano le grandezze osservabili in meccanica quantistica. 13

14 Per dimostrare 14 che gli autovettori di un operatore hermitiano formano una base ortogonale si sfrutta la proprietà dimostrata nell esercizio 3. Consideriamo un primo autovalore λ 1 e un autovettore corrispondente v 1 che esistono sicuramente. Dal momento che l insieme dei vettori ortogonali a v 1 si trasforma in sè stesso sotto l azione dell operatore A, possiamo considerare la restrizione dell operatore A su questo sottospazio, che è ancora un operatore hermitiano A () su uno spazio di dimensione n 1. L operatore A () avrà almeno un autovalore λ e un autovettore corrispondente v che per costruzione è ortogonale a v 1. Iterando il procedimento si ottengono n autovettori ortogonali di A che formano quindi una base. Esercizi: 1. Calcolare autovalori e autovettori dell operatore AP (θ) = i dp dθ sullo spazio dei polinomi trigonometrici P (θ) = f + a cos θ + b sin θ con il prodotto scalare (P, Q) = () 1 0 dθp (θ)q(θ). Mostrare che gli autovettori di A sono ortogonali.. Dimostrare che l operatore AP (θ) = i dp dθ sullo spazio dei polinomi trigonometrici P (θ) = P N(cos θ, sin θ) è hermitiano. Suggerimento: scrivere la matrice che rappresenta A e verificare che è hermitiana, oppure utilizzare direttamente la definizione di operatore aggiunto e integrare per parti. 3. Dimostrare che l operatore (Kf)(x) = b dyk(x, y)f(y) dove K(x, y) è una funzione continua e f a V = C[a, b] è hermitiano rispetto al prodotto scalare (f, g) = b a dxf (x)g(x) se K(x, y) = K (y, x). Spazio vettoriale delle matrici hermitiane Le matrici hermitiane n n formano uno spazio vettoriale reale. Infatti, è facile vedere che se A e B sono due matrici hermitiane anche aa + bb è hermitiana se a e b sono coefficienti reali (ma non se sono complessi). Esercizi: 1. Verificare che la dimensione dello spazio delle matrici hermitiane n n è n. Suggerimento: contare quanti numeri reali servono per specificare completamente una matrice hermitiana n n. ), σ1 = ( ), σ = ( 0 i ), σ3 = ( ) sono una base. Verificare che le matrici di Pauli σ 0 = 1 = ( i 0 per lo spazio delle matrici hermitiane ortonormale rispetto al prodotto scalare (A, B) = 1 Tr(AB). 3. Dedurre dall esercizio precedente che ogni matrice A hermitiana si può scrivere come A = 3 i=0 a iσ i, dove a i = 1 Tr(Aσ i). 14 Per una discussione più dettagliata si può consultare un qualunque libro di algebra lineare. 14

15 CONTENUTO DELLE LEZIONI 18/04/07 Presentazione del corso. Lo spazio lineare astratto e la sua struttura algebrica sui complessi. La struttura geometrica caratterizzata dal prodotto scalare. Proprieta del prodotto scalare. Definizione di norma (o modulo) di un vettore e sue proprieta. Versore associato ad un vettore. Definizione di sottospazio di uno spazio vettoriale. Definizione di dipendenza e indipendenza lineare di p vettori dati. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale. Cenni allo spazio lineare con dimensione infinita. 0/04/07 Criterio numerico per stabilire se p vettori dati sono linearmente indipendenti. Caso dello spazio di dimensione finita n e definizione di base. Dimostrazione che ogni vettore dello spazio e una combinazione lineare dei vettori di una qualunque base. Definizione delle componenti (o coordinate) di un vettore rispetto ad una base data. Il problema della corrispondenza biunivoca (uno a uno) tra i vettori e le loro componenti in una base data. Convenienza delle basi ortonormali nel risolvere il problema della corrispondenza vettore componenti. Definizione di isomorfismo tra spazi vettoriali. Dimostrazione che lo spazio lineare astratto di dimensione finita n e isomorfo allo spazio C n. Dimostrazione della disuguaglianza di Schwartz e della disuguaglianza triangolare. Definizione di spazio normato (non necessariamente lineare). 3/04/07 Svolgimento dell esercizio 5. di pag.4. Dimostrazione della linearita dello spazio l (ovvero: se le serie i=1 x i e i=1 y i sono convergenti allora anche la serie i=1 x i + y i e convergente). Dimostrazione dell esistenza del prodotto scalare (x, y) = i=1 x i y i in l (ovvero: se le serie i=1 x i e i=1 y i sono convergenti allora anche la serie i=1 x i y i e convergente). Svolgimento simile dell esercizio 6. di pag.4 sullo spazio L [a, b] (ovvero: se gli integrali b a dx f(x) e b a dx g(x) sono convergenti allora anche l integrale b a dx f(x)+g(x) e convergente). Dimostrazione dell esistenza del prodotto scalare (f, g) = b a dxf (x)g(x) in L [a, b] (ovvero: se gli integrali b a dx f(x) e b a dx g(x) sono convergenti allora anche l integrale b a dxf (x)g(x) e convergente). Esempi di funzioni f(x) che appartengono o non appartengono a L [a, b]. Definizione di funzioni ortogonali ( (f, g) = b a dxf (x)g(x) = 0) ed esempi. Svolgimento degli esercizi 4. e 5. di pag.5. Introduzione all analisi negli spazi lineari. Definizione di distanza d(x, y) e sue proprieta in uno spazio arbitrario. Defizione di norma x e sue proprieta. Dimostrazione che la funzione d(x, y) = x y e una distanza. Definizione di distanza in uno spazio vettoriale come d(x, y) = x y = (x y, x y). 7/04/07 Definizione di limite di una successione di vettori mediante la distanza d(x, y) = x y. Discussione del problema dell esistenza del limite di una successione: il caso dell insieme dei numeri razionali (esempio della successione che tende a ). Il problema della completezza di un insieme. Definizione di successione di Cauchy e definizione di completezza dello spazio. Definizione di spazio di Banach come spazio normato e completo. Definizione di spazio di Hilbert. Completezza di uno spazio vettoriale con dimensione finita (senza dimostrazione). Definizione di limite forte (o limite in norma) limf n x n di una successione {x n } di elementi di uno spazio di Hilbert. Definizione di limite debole limd n x n di una successione {x n } di vettori di uno spazio di Hilbert. Dimostrazione che una successione di vettori che possiede il limite forte possiede anche il limite debole ed i due limiti coincidono. Costruzione esplicita di una successione di vettori di uno spazio infinito dimensionale che non possiede il limite forte ma possiede il limite debole: sia {e i } i=1 una qualunque successione di vettori ortonormali, (e i, e j ) = δ ij, e sia x un arbitrario vettore, allora, se x i = (e i, x), dalla disuguaglianza x n i=1 x ie i 0 si deduce che n i=1 x i x con l implicazione che la serie i=1 x i e convergente. Poiche questa convergenza implica che lim i x i = lim i (e i, x) = 0 si ha che limd i e i = 0. D atra parte l uguaglianza e i e j = per i j implica che la successione {e i } non possiede limite forte. 15

16 COMPITO 1 1. Trovare una funzione f(x) tale che: f(x) L [ 1, 1], f(x) / L [ 1, 1] f(x) L [0, + ], f(x) / L [0, + ] f(x) L [, + ], f(x) / L [, + ]. Trovare due vettori ortogonali appartenenti a l, L [ 1, 1], L [0, 1], L [0, + ], L [, + ] 3. Ortonormalizzare le tre funzioni f 0 (x) = 1, f 1 (x) = x, f (x) = x negli spazi L [ 1, 1] e L [0, 1] 0/05/07 SVOLGIMENTO COMPITO 1 DEL 7/04/07 1. Affinche f(x) L [ 1, 1], cioe 1 1 dx f(x) <, e sufficiente che f(x) sia limitata nell intervallo chiuso 1 x +1, per esempio 1 + x 3, exp(x ), 1/(4 + x) appartengono ad L [ 1, 1]. Anche funzioni non limitate possono appartenere ad L [ 1, 1], per esempio x 1/4 o, piu in generale x a con a < 1/. Affinche f(x) L [0, + ], cioe + dx f(x) <, e sufficiente che f(x) sia limitata 0 per 0 x < + e che f(x) vada a zero per x + in modo che lim x + x 1+ɛ f(x) = 0 per qualche ɛ > 0. Per esempio 1/(1 + x ) appartiene a L [0, + ], come anche exp( x) e exp( x ). Esempi di funzioni che non appartengono a L [0, + ] sono 1/( x), exp(3x), x. E facile fare simili esempi circa l appartenenza, o non appartenenza, a L [, + ].. Esempi semplici di vettori ortogonali sono: l : (x, y) = i=1 x i y i = 0 se x = {x i } i=1 con x 1 = 1, x i = 0 per i > 1 e y = {y i } i=1 con y 1 = 0, y i = (1/) i per i > 1 L [ 1, 1] : (f, g) = 1 1 dxf (x)g(x) = 0 se f(x) = x e g(x) = x, f(x) = 1 e g(x) = 1 3x L [0, 1] : (f, g) = 1 0 dxf (x)g(x) = 0 se f(x) = 1 e g(x) = cos(πx), f(x) = 1 x e g(x) = 1 3x L [0, ] : (f, g) = dxf (x)g(x) = 0 se f(x) = x exp( x) e g(x) = df(x)/dx = (1 0 x) exp( x) L [, ] : (f, g) = dxf (x)g(x) = 0 se f(x) = x exp( x ) e g(x) = exp( x ) 3. ortonormalizzando le tre funzioni f 0 (x), f 1 (x), f (x) si costruiscono le tre funzioni ortonormali g 0 (x), g 1 (x), g (x), (g n, g m ) = δ nm, in L [ 1, 1] : g 0 (x) = 1/, g 1 (x) = 3/ x, g (x) = 5/8(1 3x ) ; in L [0, 1] : g 0 (x) = 1, g 1 (x) = 3(1 x), g (x) = 5(1 6x + 6x ) Defizione di sottospazio di uno spazio di Hilbert. Differenza tra il caso di un sottospazio finito dimensionale e quello di un sottospazio infinito dimensionale. Il problema della base in uno spazio di Hilbert infinito dimensionale. Costruzione di un sottospazio di uno spazio di Hilbert come insieme delle combinazioni lineari di p vettori ortonormali assegnati. Calcolo esplicito della distanza tra un generico vettore dello spazio di Hilbert ed un suo sottospazio di dimensione p (osservazione : dati comunque p vettori ortonormali e 1, e e p ed un vettore generico x, il vettore x p i=1 x ie i, con x i = (e i, x),e ortogonale ad ognuno dei vettori e 1, e e p ). Estensione di questo calcolo al caso di un sottospazio infinito dimensionale. Derivazione della disuguaglianza di Bessel e definizione di base di uno spazio di Hilbert infinito dimensionale. Definizione di spazio di Hilbert separabile. Discussione della distanza tra vettori nello spazio L [a, b] e uguaglianza tra vettori rappresentati da funzioni che differiscono solo su un sottoinsieme dell intervallo [a, b] di misura nulla. 16

17 04/05/07 Sia H lo spazio di Hilbert astratto, se la successione di vettori {e i } i=1 e una base ortonormale, (ei, e j ) = δ ij, ogni vettore x H si rappresenta in questa base con le serie x = i=1 x ie i la cui convergenza e forte (cioe lim n x n i=1 x ie i = 0). Espressione del prodotto scalare e della norma in H tramite le componenti in una base ortonormale: (x, y) = i=1 x i y i, x = i=1 x i. Dalla convergenza della serie i=1 x i segue che la successione dei numeri complessi {x i } i=1 (componenti del vettore x) e un elemento dello spazio l, quindi, data una base ortonormale in H si ottiene una corrispondenza biunivoca, un isomorfismo, tra H ed l, essendo x i = (e i, x). Lo spazio funzionale L [a, b] e una rappresentazione dello spazio di Hilbert H (osservazione: lo spazio L [a, b] e completo rispetto alla definizione di integrale secondo Lebesgue ma non secondo Riemann). Quindi gli spazi L [a, b] ed l sono isomorfi tra loro. Espressione della b distanza tra due funzioni, f(x) e g(x), di L [a, b], distanza = f g = a dx f ( x) g(x). Limite in media (alias limite forte) di una successione {f n (x)} n=1 di funzioni di L [a, b]. Se {g i (x)} i=1 e una base ortonormale in L [a, b], b a dxgi (x)g j (x) = δ ij, allora una generica funzione f(x) L [a, b] e espressa dalla serie f(x) = i=1 f ig i (x), con f i = b a dxgi (x)f(x), che generalmente non converge in ogni punto x dell intervallo [a, b] ma converge solo in media (convergenza forte). Esempio di base in L [ 1, 1]: i polinomi ortogonali di Legendre come ortogonalizzazione delle potenze di x, cioe delle funzioni 1, x, x,, x n,. Funzioni lineari H H definite su uno spazio lineare H a valori in un altro spazio lineare H : x = F (x) con x H e x H tale che F (c 1 x 1 + c x ) = c 1 F (x 1 ) + c F (x ). Una funzione lineare e definita in ogni vettore x H se e definita su una qualunque base di H. Struttura di spazio lineare dell insieme delle funzioni lineari. Funzioni lineari limitate e funzioni lineari continue. Funzioni lineari definite su spazi finito dimensionali e loro dominio di definizione. Funzioni lineari definite su spazi infinito dimensionali, loro dominio e co dominio. Definizione di sottoinsieme ovunque denso di un spazio vettoriale. Dominio di una funzione lineare ovunque denso in H. Insieme delle forme φ(x) ovvero delle funzioni lineari che mandano un vettore x di H in un numero complesso, φ(x) C: H C. Spazio delle forme come spazio duale H dello spazio H. Corrispondenza tra forme e vettori e isomorfismo tra H e H. Rappresentazione di una forma come prodotto scalare nel caso di spazio finito dimensionale e di spazio infinito dimensionale (teorema di Fisher Ritz, senza dimostrazione). Defizione di base φ j di H duale di una base ortonormale e i di H; φ j (e i ) = δ ij. Espansione di una generica forma F (x) nella base duale di H : F = j=1 F (ej )φ j. COMPITO ) 1. Calcolare exp (iασ, dove σ = ( ) 0 i i 0 e α R.. Calcolare tanh A dove A = ( 1 ) 1 (suggerimento: calcolare A 1 ). 3. Se A ij sono gli elementi di matrice della matrice n n A, mostrare che üf ij (A) = A ij è un funzionale lineare sullo spazio delle matrici n n. Dato il prodotto scalare (A, B) = Tr(A B), identificare il vettore F ij tale che F ij (A) = (F ij, A). 07/05/04 SVOLGIMENTO COMPITO DEL 04/05/07 1. Dalla proprieta (σ ) = ( ) = 1 della matrice di Pauli σ si ottiene (σ ) m = 1 e (σ ) m+1 = σ. Quindi dalla serie di Taylor exp(z) = n=0 zn n! si ha exp(iασ ) = (iα) m (iα) m=0 (m)! + σ m+1 m=0 (m+1)! da cui, risommando le serie, si ricava il risultato exp(iασ ) = cos(α) + iσ sin(α).. Poiche A = 0 e quindi A n = 0 per n > 1, conviene usare lo sviluppo di Taylor tanh(z) = z + c 3 z 3 + c 5 z 5 +. Si ottiene quindi tanh(a) = A. 17

18 3. Poiche, per definizione, (A, B) = TrA B = n l,k=1 A lk B lk, se indichiamo con F ij lk le componenti del vettore F ij che rappresenta la forma F ij, si ha F ij (A) = (F ij, A) = Tr(F ij A) = n l,k=1 F ij lk A lk che, confrontata con il risultato voluto (F ij, A) = A ij, per l arbitrarieta della matrice A implica F ij lk = δ liδ kj. Funzioni lineari H H limitate: F (x) C x, e funzioni continue: F (x) F (y) < ɛ per x y < δ. Le funzioni limitate sono continue e viceversa. Definizione di norma di una funzione lineare e limitata: F (x) F =sup x H x. Forme limitate e calcolo della loro norma. Definizione del nucleo di una funzione lineare. Dimostrazione che il nucleo di una funzione lineare e un sottospazio lineare. Una funzione lineare e invertibile se e solo se il suo nucleo coincide con il sottospazio banale contenente solo il vettore nullo{0}. Esempio: nucleo di una forma lineare definita su uno spazio finito dimensionale. Operatori lineari come funzioni lineari definite in H a valori nello stesso spazio H: H H, ovvero x y = F (x) = Ax con x, y H. Ax Operatore A limitato: Ax C x e definizione di norma di un operatore limitato: A =sup x H x. Operatore non limitato con dominio ovunque denso in H. Definizione di operatore compatto come operatore che trasforma successioni di vettori limitati in successioni di Cauchy: se x i c allora esiste il limf i Ax i. COMPITO 3 Nel seguito, le matrici σ i sono le matrici di Pauli, e con polinomio trigonometrico P (θ) di grado N intendiamo una funzione della forma P (θ) = N n=0 (a n cos nθ +b n sin nθ). Il prodotto scalare di due polinomi trigonometrici è definito da: (P, Q) = 1 dθp (θ)q(θ). Inoltre un operatore lineare M che agisce sui 0 vettori dello spazio di Hilbert H e completamente definito dalla sua azione sui vettori di una base ortonormale { e i }, (e i, e j ) = δ ij, cioe dai vettori Me i : Me i = j=1 M ji e j dove i numeri complessi M ji = (e j, Me i ) sono definiti come gli elementi di matrice dell operatore M. Si dice che la matrice {M ji } rappresenta l operatore M nella base ortonormale { e i }. Se lo spazio vettoriale H e finito dimensionale con dimensione n allora la matrice {M ji } che rappresenta M e una matrice n n. 1. Mostrare che F(P ) = dp (θ) dθ cos θ 0 dθ è un funzionale lineare sullo spazio dei polinomi trigonometrici P (θ) = N n=0 [a n cos(nθ) + b n sin(nθ)]. Dare la dimensione di questo spazio e scrivere la matrice che rappresenta l operatore di derivata d/dθ.. Dato il funzionale F(P ) definito nell esercizio precedente, e dato il prodotto scalare (P, Q) = 1 dθp (θ)q(θ), trovare il vettore F tale che F(P ) = (F, P ) Trovare il polinomio trigonometrico F (θ) tale che il funzionale F(P ) = 1 sin 3θ d cos θp (θ) 0 dθ rappresenta come F(P ) = (F, P ). 4. Siano v (1), v () e v (3) i vettori di una base ortormale dello spazio V 3 e sia A l operatore Hermitiano ed a traccia nulla tale che Av (1) = v () e A v (1) = v (1) + v () + v (3). Determinare la matrice M che rappresenta A in questa base. 5. Sia definito su L ( π, π) il funzionale F (f) = π π dx sin (x)f(x). Calcolare la norma F ed almeno due funzioni di L ( π, π) per le quali F (f) = Determinare i valori del parametro reale a per i quali la funzione f(x) = {exp[ (1 + a)x]}/(1 ax ) appartiene ad L (0, + ) 7. Determinare i valori del parametro reale a per i quali la funzione f(x) = sin(ax)/(1 + ax ) appartiene ad L ( 1, 1). si 18

19 8. Siano v (1), v () e v (3) i vettori di una base ortormale dello spazio V 3 e sia M l operatore lineare tale che Mv (1) = v () + v (3), M v (1) = 3v () + v (3) e M 3 v (1) = v () + 3v (3). Calcolare lo spettro di M. 09/05/07 SVOLGIMENTO COMPITO 3 DEL 07/05/07 1. La linearità di F segue facilmente dalle proprietà di linearità dell integrale e della derivata. La dimensione dello spazio di questi polinomi trigonometrici e pari al numero N + 1 dei coefficienti complessi a n e b n che definiscono il generico polinomio P (θ) ovvero questo spazio e isomorfo allo spazio vettoriale C N+1. Usando questo isomorfismo P (θ) {a 0, a 1,, a N, b 1, b,, b N } si puo definire la matrice D che agisce su C N+1 che corrisponde all operatore di derivata d/dθ che agisce sullo spazio dei polinomi trigonometrici: se P (θ) u dove u = {a 0, a 1,, a N, b 1, b,, b N } allora dove D e la matrice (N +1) (N +1) da trovare. Poiche si ha che il vettore Du corrispondente a per cui la matrice D e D = dp (θ) dθ dp (θ) dθ Du = N n=1 [(nb n) cos(nθ) (na n ) sin(nθ)] dp (θ) dθ e Du = {0, b 1, b,, Nb N, a 1, a,, Na N } N N A N N A N N N N dove 0 N N e la matrice nulla N N e A e la matrice diagonale N N i cui elementi di matrice sulla diagonale principale sono i primi N interi, A = diag{1,,, N}.. Integrando per parti si ha F(P ) = 0 dθ sin θp (θ) = (sin θ, P (θ)). Dunque F (θ) = sin θ. 3. Sapendo che M ij = (v (i), Av (j) ), TrM = 0 e M ij = M ji, e notando che A v (1) = Av () = v (1) + v () + v (3) si trova M = π 4. Poichè dalla disuguaglianza di Schwartz si ha F (f) f π π dx sin4 (x) = π dx sin4 (x) si ha F = 3π/. Essendo sin x una funzione pari, per qualunque funzione dispari g(x) (g( x) = g(x)) si ha F (g) = 0, per esempio per g(x) = x. Si ha anche, comunque, F (cos(x)) = Per avere convergenza all infinito deve essere a 1. Inoltre se a > 0 la funzione ha due poli in x = ±1/ a che danno luogo a singolarità non integrabili e delle quali quella positiva si trova nel dominio d integrazione. Dunque deve essere 1 a Per a 0 la funzione non ha poli nell intervallo 1 x 1 e l integrale converge. Per a < 0 la funzione ha due poli in x = ±1/ a. I poli si trovano all interno dell intervallo chiuso [ 1, 1] per a 1 e danno luogo a singolarità non integrabili. Dunque deve essere a > 1. Inoltre f(x) L ( 1, 1) anche per i valori a n = n π per n = ±1, ±, perche in questo caso lo zero del numeratore elimina quello del denominatore. 19

20 11/05/07 I COMPITO D ESONERO 11/05/07 ATTENZIONE: scrivere su ciascun foglio il cognome ed indicare chiaramente l inizio e la fine di ogni esercizio. 1. Sia dato il funzionale lineare F (f) = 1 1 dxx(x + i)f(x) definito in L [ 1, 1]. Calcolare la sua norma F...[ 9 ]. Determinare tutti i valori del parametro reale a per i quali la funzione f(x) = appartiene allo spazio L [ 1, 1] e la funzione x(x 1) [x + (a )x a] sin(πx) g(x) = cosh(ax) exp( x)/(a + x) appartiene allo spazio L [1, + ]...[ 11 ] 3. Sia e 1, e, e 3 una base ortonormale di uno spazio 3 dimensionale e sia M un operatore lineare tale che Me 1 = 3e + e 3, Me = e 1 + 3e, M e 1 = 3e 1 e 3. Calcolare il vettore u = M 1 e 1.[ 10 ] 4. Siano {e 1, e e p } p vettori ortonormali. Dimostrare che i vettori {Ae 1, Ae Ae p } sono linearmente indipendenti se il nucleo dell operatore A contiene solo il vettore nullo...[ 30 ] IL NUMERO RIPORTATO ALLA FINE DI CIASCUN ESERCIZIO E IL VOTO MASSIMO. 14/05/07 SVOLGIMENTO DEL I COMPITO D ESONERO 11/05/07 1. Sia dato il funzionale lineare F (f) = 1 1 dxx(x + i)f(x) definito in L [ 1, 1]. Calcolare la sua norma F. SVOLGIMENTO: Poiche F (f) = (g, f) = 1 dxx(x + i)f(x), si ha g(x) = x(x i) e poiche 1 1 F = g = 1 dxx (x + 1) si ottiene F = 4/ 15.. Determinare tutti i valori del parametro reale a per i quali la funzione f(x) = appartiene allo spazio L [ 1, 1] e la funzione appartiene allo spazio L [1, + ] x(x 1) [x + (a )x a] sin(πx) g(x) = cosh(ax) exp( x)/(a + x) SVOLGIMENTO: La condizione 1 1 dx f(x) < impone che gli zeri del denominatore x + =, x = a stiano fuori dall intervallo d integrazione 1 x 1. Quindi deve essere a > 1 e a < 1. Poiche gli zeri semplici della funzione sin(πx) al denominatore in x = ±1 ed in x = 0 0

21 si eliminano con quelli del numeratore, f(x) e in L ( 1, 1) per a > 1 mentre per a = ±1 lo zero del denominatore in x = 1 diventa doppio e non si ha eliminazione. Quindi f(x) L ( 1, 1) solo per a > 1. La condizione + dx g(x) < impone sia che il numeratore cosh(x) exp( x) sia 1 limitato per x +, sia che lo zero del denominatore x 0 = a stia fuori del dominio d integrazione 1 x +. La prima condizione impone a mentre la seconda condizione impone a > 1. Quindi g(x) e in L (1, + ) per 1 < a. 3. Sia e 1, e, e 3 una base ortonormale di uno spazio 3 dimensionale e sia M un operatore lineare tale che Me 1 = 3e + e 3, Me = e 1 + 3e, M e 1 = 3e 1 e 3. Calcolare il vettore u = M 1 e 1. SVOLGIMENTO: l espressione del vettore u nella base e u = u 1 e 1 + u e + u 3 e 3 e dalla condizione u = M 1 e 1 si ha e 1 = Mu = u 1 Me 1 +u Me +u 3 Me 3 e quindi e 1 = u 1 (3e +e 3 )+u (e 1 +3e )+u 3 Me 3. Per calcolare il vettore Me 3 basta applicare l operatore M alla prima equazione Me 1 = 3e + e 3 ottenendo M e 1 = 3(e 1 + 3e ) + Me 3 ed usare la terza. Si ottiene quindi Me 3 = 9e e 3. Inserendo questa espressione nella precedente si ha e 1 = u e 1 + (3u 1 + 3u 9u 3 )e + (u 1 u 3 )e 3 che implica che u 1 =, u = 1, u 3 = 1, ovvero u = e 1 + e + e 3, 4. Siano {e 1, e e p } p vettori ortonormali. Dimostrare che i vettori {Ae 1, Ae Ae p } sono linearmente indipendenti se il nucleo dell operatore A contiene solo il vettore nullo. SVOLGIMENTO: Si dimostra per assurdo: supponiamo che i vettori {Ae 1, Ae Ae p } siano linearmente dipendenti, allora esiste la combinazione lineare y = x 1 Ae 1 + x Ae + + x p Ae p tale che y = 0 con qualche coefficiente x i 0. Questo implica che per il vettore x = x 1 e 1 + x e + + x p e p, che e certamente non nullo, x 0, si ha Ax = 0. Questo e assurdo per l ipotesi fatta sul nucleo di A quindi i vettori {Ae 1, Ae Ae p } devono essere necessariamente linearmente indipendenti. Definizione di prodotto di operatori lineari: se x H, A e B sono operatori lineari che agiscono su H, allora se y = Bx e z = Ay l operatore prodotto (AB) porta x in z: (AB)x = z. Non commutativita del prodotto di operatori con esempi. Definizione di commutatore [A, B] e di anticommutatore {A, B}. Esempio: anticommutatori delle matrici di Pauli. Calcolo con commutatori: regola di Leibnitz ( [C, AB] = A[C, B] + [C, A]B) e identita di Jacobi ( [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 ). Breve rassegna delle proprieta di operatori su uno spazio finito dimensionale. La dimostrazione o verifica di molte delle affermazioni che seguono e lasciata allo studente. Data una base ortonormale e 1,, e n, ogni operatore lineare A si rappresenta in questa base con la matrice n n che ha gli elementi di matrice A ij = (e i, Ae j ). Su ogni vettore x = n i=1 x ie i l azione dell operatore A, y = Ax, e descritta dalla trasformazione delle componenti di x con la matrice A ij : y i = n j=1 A ijx j. L operazione di prodotto di due operatori, C = AB si rappresenta nella base data con il prodotto c delle corrispondenti matrici: C ij = n k=1 A ikb kj. Risulta conveniente generalizzare questo prodotto tra matrici quadrate alle matrici rettangolari (numero di righe diverso dal numero di colonne). Se M e una matrice n m e L e una matrice m p allora la matrice prodotto righe colonne Q = ML e una matrice n p. Un vettore e quindi rappresentato da una sola colonna cioe da una matrice n 1 per cui l espressione y = Ax e rappresentata dal prodotto y 1 A 11 A 1n x 1 =.... y n A n1 A nn Come per le matrici quadrate, la matrice Hermitiana coniugata di una matrice rettangolare si ottiene scambiando le righe con le colonne e prendendo i complessi coniugati degli elementi di matrice. Se x e un vettore colonna allora x e il vettore riga x = (x 1,, x n). Dati due vettori x, y il prodotto righe colonne y x. x n 1