MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE. Francesco Pellicano

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1 MECCANICA APPLICATA ALLE MACCHINE Francesco Pellicano

2 Biografia dell autore Francesco Pellicano è nato a Roma nel Si è laureato in Ingegneria Aeronautica nel 199 ed ha ottenuto il Dottorato di Ricerca in Meccanica teorica e Applicata nel 1996, presso il Dipartimento di Meccanica e Aeronautica, Università di Roma La Sapienza. È stato ricercatore presso il Dipartimento di Scienze dell Ingegneria (poi divenuto Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Civile) dell Università di Modena e Reggio Emilia, dal 1996 al 003. È Professore Associato di Meccanica Applicata alle Macchine dal gennaio 004. La sua attività di ricerca si sviluppa sui seguenti settori: vibrazioni di strutture e sistemi meccanici; stabilità biforcazione, dinamica nonlineare e caos; interazione fluido struttura; meccanica degli ingranaggi; metodi di previsione in Oceanografia. L attività didattica ha riguardato i seguenti settori: Meccanica Applicata alle Macchine; Vibrazioni; Analisi dei segnali. E membro del consiglio scientifico tecnico dell Industrial Liaison Office dell Università di Modena e Reggio Emilia dal 6/9/005. E delegato della Facoltà alle attività di tutoraggio dal CL in Ingegneria Meccanica dal 005. E responsabile delle relazioni esterne del Laboratorio SIMECH (rete HIMECH) dal 005. E tutor di un assegnista di ricerca e due dottorandi. E stato relatore di numerose Tesi di Laurea triennale e specialistica in Ingegneria Meccanica. È stato coordinatore di progetti di ricerca nazionali ed internazionali. Ha svolto attività di ricerca industriale nei settori: stabilità dei veicoli; sperimentazione e testing dinamici; ingranaggi. È revisore di oltre dieci riviste scientifiche internazionali e di progetti di ricerca. È membro dell international advisory editorial board della rivista internazionale: Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Elsevier. Ha pubblicato circa 100 lavori scientifici, tra cui un libro ed oltre 30 articoli su rivista internazionale. 1

3 Dedicato a mia moglie Roberta a mio figlio Fabio

4 Introduzione... 1 Esempi di meccanismi... Convenzioni Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà Nomenclatura Gradi di libertà Coppie cinematiche Contatto tra elementi cinematici Coppie superiori Gradi di libertà di sistemi di corpi rigidi nel piano Esempi Casi speciali Troubleshooting guide Capitolo Statica dei meccanismi Introduzione Equazioni di equilibrio Somma vettoriale di forze ed equilibrio alla traslazione, caso piano Momenti e prodotti vettoriali Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 3 forze Equilibrio di un meccanismo piano, 3 forze Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 4 forze Equilibrio di un meccanismo piano, 4 forze Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze parallele Esercizi Esercizio Esercizio Esercizio Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Parallelogrammo Quadrilatero articolato Inversione cinematica Inversione geometrica e punti morti Circuiti Analisi di posizione Analisi di posizione mediante loop closure equations : analisi esatta e numerica Esempio: quadrilatero articolato Esempio 1: meccanismo con guide Esempio : meccanismo con guide Esercizi proposti Analisi di velocità e accelerazione del corpo rigido Moti relativi Centro di istantanea rotazione Analisi di velocità dei meccanismi articolati Quadrilatero articolato: metodo grafico Analisi delle accelerazioni nei meccanismi articolati Manovellismo di spinta centrato: approccio analitico Analisi cinematica mediante funzioni complesse Esempio: manovellismo di spinta Applicazione del principio dei lavori virtuali i

5 Capitolo 4 Dinamica del corpo rigido Richiami della dinamica di sistemi di particelle Equazioni di Eulero Corpo rigido in rotazione pura Corpo rigido in rototraslazione Casi particolari Assale ferroviario Energia cinetica del corpo rigido Caso: A fisso ( O) Caso: A G Caso di moto piano (piano x,y di simmetria) Metodo delle masse di sostituzione Dinamica del manovellismo di spinta Azioni statiche Azioni dinamiche Compensazione delle forze d inerzia Capitolo 5 Forze di contatto, attrito, rendimenti Attrito radente: teoria Coulombiana Cenni sull usura e teorie sull attrito Semplice modello per la valutazione dell usura: ipotesi di Reye Attrito volvente Sfera su sfera Cilindri Effetti del rotolamento Fatica superficiale Rendimenti Definizioni Equazione dell energia Regime assoluto Regime periodico Rendimento Rendimenti di macchine in serie ed in parallelo Moto retrogrado Attrito di strisciamento nelle coppie elementari Coppia prismatica Piano inclinato: rendimento e moto retrogrado La coppia rotoidale Esempi Equilibrio delle ruote Coppia elicoidale Distribuzione delle pressioni di contatto Pattino piano Coppia rotoidale di spinta Ceppo puleggia Cuscinetti volventi Capitolo 6 Vibrazioni meccaniche Considerazioni generali Esempi di sistemi ad 1 g.d.l Sistema massa molla Esempi di sistemi vibranti L oscillatore armonico smorzato ii

6 6.4 Oscillazioni forzate armoniche Trasmissibilità Forze trasmesse al basamento Eccitazione sismica Sistemi a due gradi di libertà: lo smorzatore dinamico Equazioni del moto: sistema due masse Vibrazioni libere non smorzate Vibrazioni forzate Esempi applicativi Capitolo 7 Dinamica dei rotori Squilibrio statico Squilibrio dinamico Macchina equilibratrice Velocità critiche flessionali Capitolo 8 Trasmissioni mediante ruote dentate (cenni) Ruote di frizione Rotismi ordinari Capitolo 9 Lubrificazione (cenni) Viscosità Appendice A. Moto del corpo rigido A.1 Rotazioni finite A. Angoli di Eulero A.1.1 Teorema di Eulero A.1. Teorema di Charles A. Rotazioni infinitesime A.3 Derivata di un vettore A.4 Espressione del vettore velocità angolare in funzione degli angoli di Eulero APPENDICE B. Esercizi svolti Bibliografia Indice Analitico iii

7 Introduzione Introduzione Il presente testo di Meccanica Applicata alle Macchine è rivolto ad allievi dei corsi di Ingegneria Meccanica, Ingegneria dei Materiali ed Accademia Militare di Modena, Nuovo Ordinamento Didattico, secondo anno, Facoltà di Ingegneria (sede di Modena), Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia, che frequentano il Corso Meccanica delle Macchine. Tale testo si focalizza sullo studio dei meccanismi e delle macchine; in particolare si forniscono le nozioni di base per affrontare l analisi e la progettazione cinematica e dinamica. La base di partenza per poter affrontare questo testo consiste nelle conoscenze di analisi matematica e di meccanica teorica. Alcuni concetti base di cinematica, statica e dinamica del corpo rigido sono ripresi dai corsi di base ed estesi a meccanismi composti da più corpi rigidi. Il testo tratta i seguenti argomenti: analisi cinematica dei meccanismi, includendo metodologie teoriche e numeriche per l analisi di posizione, velocità ed accelerazione; analisi dinamica del corpo rigido con alcune applicazioni pratiche; vibrazioni di sistemi ad un grado di libertà; squilibrio, equilibratura e velocità critiche dei rotori; cenni di tribologia ed usura; cenni di lubrificazione; cenni di trasmissioni mediante ruote dentate. Il testo è disponibile unicamente in formato elettronico nel sito ( è possibile scaricarlo e stamparlo. L assenza di versioni cartacee permette di aggiornare rapidamente il testo, prego pertanto il lettore di segnalare eventuali errori, di cui mi scuso, e/o suggerire variazioni e miglioramenti. Se ne consente l utilizzo per fini personali di tipo non commerciale. La riproduzione parziale o totale è vietata, secondo le norme vigenti. 1

8 Introduzione Esempi di meccanismi Un esempio di meccanismo è il quadrilatero articolato (Figg. I.1 e I.), esso è un meccanismo largamente utilizzato nelle applicazioni pratiche ed è composto da 4 membri collegati da 4 coppie rotoidali (cerniere). Nelle figure che seguono sono indicati alcuni interessanti esempi applicativi di larga diffusione. Sospensione automobilistica Applicazione del quadrilatero articolato. Meccanismo a 4 membri (four bar linkage) 1 3 Cuscinetto ruota 4 pneumatico Sospensione automobilistica reale Meccanismo a più membri sviluppato nello spazio tridimensionale Figura I.1

9 Introduzione PINZA CON MECCANISMO ARTICOLATO PER AUMENTARE L EFFETTO LEVA (GUADAGNO MECCANICO) vite di regolazione d 4 CERNIERE (COPPIE ROTOIDALI) 4 MEMBRI (ELEMENTI DEL MECCANISMO) SOSPENSIONI MONO- AMMORTIZZATORE PROGRESSIVE Meccanismi a più membri con coppie rotoidali Figura I.. Esempi di meccanismi: quadrilatero articolato. Un altro importante meccanismo è il manovellismo di spinta (Fig.I.3), presente per esempio nella quasi totalità dei motori per autotrazione. In tale meccanismo è importante determinare il moto del pistone (velocità ed accelerazioni massime), le forze di inerzia e prevedere dispositivi per la compensazione (contrappesi all albero ed eventualmente contralberi di equilibratura). Manovellismo di spinta Figura I.3. Esempi di meccanismi: manovellismo di spinta 3

10 Introduzione Anche se non saranno trattati in questo testo è utile menzionare meccanismi molto importanti come le camme, utilizzati nella trasformazione del moto. In Figura I.4 sono indicati i meccanismi a camma utilizzate per l alzata valvole nei motori endotermici. Meccanismi con camme: coppie superiori Figura I.4. Esempi di meccanismi: meccanismi con camme. Gli esempi di meccanismo appena visti possono essere rappresentati mediante degli schemi che rappresentano gli aspetti cinematici del sistema, cioè le leggi di moto dei vari membri. Si può descrivere la cinematica, cioè determinare le leggi di moto del sistema; si possono inoltre calcolare tutte le azioni statiche e dinamiche che nascono sui vari corpi. 4

11 Introduzione Convenzioni. Si indicano alcune convenzioni usate nel testo. Simbolo corsivo es. p Scalare o componente di vettore o modulo di vettore Simbolo grassetto minuscolo es. v vettore Simbolo grassetto maiuscolo es. A Matrice o vettore Prodotto vettoriale se usato tra vettori o prodotto se usato tra numeri e quantità scalari (punto) Prodotto scalare Simbolo corsivo maiuscolo es. P Punto geometrico o materiale gdl grado(i) di libertà 5

12 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. In questo primo capitolo si introduce il concetto di meccanismo o macchina e dei suoi componenti essenziali. Attraverso dei semplici esempi si definiscono le coppie cinematiche ed il loro impiego all interno dei meccanismi. Mediante l uso di coppie cinematiche il meccanismo viene creato partendo da un insieme di corpi rigidi. Questo assieme, detto meccanismo, sarà caratterizzato innanzitutto dal numero di gradi di libertà che globalmente possiede. In questo capitolo si fornisce una metodologia elementare per il calcolo dei gradi di libertà, includendo alcuni esempi e mostrandone i limiti di applicabilità. 1.1 Nomenclatura Macchina o meccanismo Sistema meccanico il cui scopo è la trasformazione di energia (esempio: potenza all albero di un motore potenza alla ruota di un motociclo) Membri Organi che compongono un meccanismo Elemento cinematico In un meccanismo i vari organi possono essere in contatto tra loro, la zona di contatto può avere varie forme e permette particolari moti relativi. La zona di contatto è detta elemento cinematico. Coppie cinematiche L insieme di due elementi cinematici a contatto è detto coppia cinematica. 1. Gradi di libertà Il numero dei gradi di libertà (gdl) di un corpo rigido nello spazio è pari a 6: 3 coordinate di un punto del corpo, 3 angoli di Eulero. In Figura 1.1 si trova un esempio di un corpo avente 0 gdl, forma parallelepipeda e vincolamento tramite 6 sfere fisse nello spazio e a contatto con le facce del solido. Ovviamente il vincolamento proposto impedisce il movimento soltanto verso le sfere stesse, esse infatti sono un vincolo anolonomo. Similmente alla precedente situazione si può realizzare un vincolo che permetta una pura rotazione. Nella Figura 1. è proposto uno schema realizzato mediante 5 sfere, essi eliminano 5 gdl, il gdl rimanente è la rotazione indicata in Figura1.. Figura 1.1. vincolamento mediante sfere Figura 1.. vincolamento mediante sfere 6

13 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. Figura 1.3. vincolamento mediante appoggi più sfere Lo stesso tipo di rotazione si può ottenere mediante uno schema che non preveda contatti su punti, ma su linee (vedasi Figura 1.3). Infatti i contatti su punti provocano elevate pressioni di contatto con relative deformazioni e problemi di usura, perciò in generale sono sconsigliabili eccetto che per particolari applicazioni in cui gli sforzi siano molto bassi. In Figura 1.3 il contatto avviene lungo una generatrice del corpo cilindrico. 1.3 Coppie cinematiche. Generalmente si cerca di realizzare dei vincoli che garantiscano un contatto tra superfici, in modo da ottenere delle pressioni sufficientemente basse. Questi tipi di vincoli si realizzano mediante superfici combacianti o meno tra i corpi a contatto: essi sono detti coppie cinematiche. In Figura 1.4 vediamo le sei coppie inferiori, secondo la definizione di Uicker et al (003), la descrizione può essere trovata in Tabella 1.1. a) b) c) θ θ z s s z z d) e) f) θ z θ z s z θ z θ x s y s x θ y Figura 1.4. Coppie inferiori (Uicker et al. 003). 7

14 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. TABELLA 1.1 Coppie inferiori Coppia. Simbolo Variabile Gradi di libertà Moto relativo Rotoidale R θ z 1 Circolare Prismatica P s z 1 Rettilineo Eleicoidale S θ z o s z 1 Elicoidale Cilindrica C θ z e s z Cilindrico Sferica G θ x, θ y, θ z 3 Sferico Piana F s x, s y, θ z 3 Planare Coppia rotoidale. Questa coppia si realizza sagomando opportunamente i due corpi a contatto con una forma circolare cilindrica: un albero ed un foro. E permessa la rotazione dell albero nella sede. Si noti che l albero potrebbe anche traslare se non ci fosse un opportuno dispositivo (Fig. 1.4a). Coppia prismatica. Questa coppia si realizza sagomando opportunamente i due corpi a contatto con una forma cilindrica non circolare; in questo modo si permette la traslazione lungo l asse, ma non la rotazione. La coppia lascia un gdl (Fig. 1.4b). Coppia elicoidale. In questo caso i corpi sono sagomati (esternamente ed internamente) secondo un elicoide. La coppia lascia un solo gdl, ma il moto che permette è di rototraslazione. Il moto di traslazione è legato alla rotazione: per ogni giro l albero avanza di una quantità p detta passo (Fig. 1.4b). Coppie elementari (inferiori) e coppie superiori. Le tre coppie viste precedentemente fanno parte delle coppie elementari, in questa classe di coppie rientrano anche coppie che lasciano o 3 gdl. Tutte le coppie elementari sono caratterizzate da un contatto tra superfici rigide combacianti. Altri tipi di coppie sono dette coppie superiori e sono caratterizzate da contatti tra superfici rigide non combacianti (contatti su punti o linee) oppure tra superfici non rigide. Le superfici che formano una coppia cinematica sono dette superfici coniugate. Nel caso di meccanismi piani il moto si sviluppa parallelamente ad un piano, in tal caso le proiezioni delle superfici coniugate su tale piano si dicono profili coniugati Contatto tra elementi cinematici. Tra due superfici o profili a contatto si possono verificare tre tipi di moto: 1. Puro rotolamento: non c è velocità relativa tra il membro 1 ed il nel punto P, tale punto varia di posizione sui profili dei membri 1 e (Figura 1.5). Figura 1.5. Puro rotolamento P 1. Puro strisciamento: c è velocità relativa tra il membro 1 ed il nel punto P. In Figura 1.6, per esempio, tutti i punti della ruota hanno stessa velocità, perciò in P la velocità relativa è proprio v; in generale però non è detto che i corpi debbano essere in pura traslazione. Figura 1.6. Puro strisciamento P 1 v 8

15 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. 3. Rotolamento più striciamento: si tratta della combinazione dei moti precedenti. In questo caso si chiede soltanto che nel punto di contatto la velocità relativa sia tangente alle superfici (Figura 1.7), cioè si richiede impossibilità di compenetrazione e distacco (quest ultima si deve realizzare mediante dispositivi aggiuntivi). Figura 1.7. Rotolamento più strisciamento V P V P1 4. Distacco e/o urto: in questo caso la componente della velocità del punto di contatto normale alle superfici è diversa per i due corpi. Si può determinare distacco o urto (Figura 1.8). Figura 1.8. Distacco e/o urto V P1 V P 1.3. Coppie superiori Vediamo ora due esempi applicativi di coppie superiori ed inferiori. Nel primo caso (Fig. 1.9) si hanno due pulegge (membri 1 e 3) su cui impegna una cinghia (membro ), quest ultima è un elemento flessibile che si adagia sulle pulegge. Le pulegge a loro volta sono collegate ad un telaio (un supporto fisso) mediante coppie rotoidali (elementari). Per poter garantire un corretto collegamento tra le pulegge 1 e 3 la cinghia deve essere opportunamente tesa, cioè deve essere Figura 1.9. Cinghia-puleggia coppie elementari garantito il contatto mediante una azione esterna (pretensionamento o altro); l accoppiamento è detto di forza. 1 coppie superiori il membro 4 è il telaio 3 Nel secondo caso (Fig. 1.10) si hanno i due membri 1 e ancora collegati al telaio mediante coppie rotoidali; il contatto diretto tra i due membri avviene in un punto (o anche una linea se si è nello spazio tridimensionale). E ovvio che, anche in questo caso, i due corpi devono essere mantenuti in contatto mediante una azione esterna: anche in questo caso l accoppiamento 1- è di forza. Figura Camma-bilanciere coppia superiore

16 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. 1.4 Gradi di libertà di sistemi di corpi rigidi nel piano Ogni corpo rigido nel piano ha 3 gdl ed ogni coppia tra due corpi lascia un certo numero di gradi di libertà nel moto relativo. Classifichiamo le coppie in base al numero di gdl che lasciano liberi e teniamo conto del loro numero. c 1 : numero di coppie che lasciano 1 gdl, cioè ne sottraggono. c : numero di coppie che lasciano gdl, cioè ne sottraggono 1. Consideriamo un meccanismo formato da m corpi rigidi, tra cui per convenzione comprendiamo anche il telaio che, essendo fisso, ha 0 gdl. Il numero di gdl l è: l = 3( m 1) c c (formula di Grüber) Tale formula è estremamente semplice, quasi banale; essa è però di estrema utilità nell analisi preliminare dei meccanismi complessi. Vedremo in seguito però che in alcuni casi la formula 1.1 non funziona a causa della particolare conformazione del meccanismo, perciò essa va usata con cautela Esempi Il quadrilatero articolato è composta da quattro membri, di cui uno fisso e tre mobili, collegati tra loro mediante coppie rotoidali (Fig. 1.11), il numero di gradi di libertà si calcola come segue: c 1 =4, m=4, l=3 (4-1) - 4=1 Figura Quadrilatero articolato Applicazione: sospensione automobilistica a quadrilateri deformabili. Ipotesi: Pneumatico fisso e asse della ruota bloccato. Calcolo dei gradi di libertà: m=4, c 1 =4, l=3 (4-1) - 4=1 1 3 Movimento della ruota rispetto al telaio 4 10

17 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. Applicazione: autogru. Ipotesi: corpo vettura fisso, soltanto la pala è mobile, soltanto il moto piano è ammesso. Calcolo dei gradi di libertà: m=1, c 1 =15, l=3 (11) 15=3 11

18 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà. 1

19 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà Casi speciali Figura 1.1a. Meccanismo a croce. Figura 1.1b. Meccanismo a croce: schema geometrico Figura 1.1c. Meccanismo a croce modificato: 0 gradi di libertà nominali. A O A M O α ψ 3 α M 3 5 M 4 B 4 B 1 1 Consideriamo il meccanismo in Figura1.1a, il numero di gradi di libertà è: l=3 (4-1) - 4=1. Il punto M si trova in mezzeria sul membro (Fig. 1.1b) AM = AB/ ; il triangolo AOB è rettangolo e dunque: AO + OB = AB inoltre: AB AM ' = cosα OM ' = ABcosα AM' = AM' MM ' MM ' = tanα = = tanψ AM ' OM ' il triangolo AOM è dunque isoscele. Dalla OM ' = AM' segue OM = AM e dunque OM = cost. Quest ultima affermazione permette di creare un meccanismo avente apparentemente 0 gdl, ma effettivamente funzionante come un sistema ad 1 gdl. Introduciamo un quinto membro incernierato in O ed M (Fig. 1.1c), si ha: l=3 (5-1) - 6=0 Il sistema sembra ipervincolato. In verità però, dato che il punto M si muove su una circonferenza ( OM = cost ), ciò è compatibile col fatto che il membro 5 è incernierato in O. Il vincolo aggiunto è perciò soltanto apparente. 13

20 Capitolo 1 Generalità sui meccanismi, coppie cinematiche e gradi di libertà Troubleshooting guide. 14

21 Capitolo Statica dei meccanismi. Capitolo Statica dei meccanismi..1 Introduzione In questo capitolo si richiamano alcuni concetti di statica elementare e si forniscono alcuni metodi per l analisi statica dei meccanismi. In particolare si fissa l attenzione ai meccanismi aventi un solo grado di libertà, sui quali si applicano metodologie per l analisi statica grafica.. Equazioni di equilibrio Consideriamo un corpo sottoposto all azione di un sistema di N forze (Fig..1), tale corpo è in equilibrio se valgono le seguenti relazioni: N N F = 0, M = 0.1 i i= 1 i= 1 i F F 3 F 1 F i Dove F i sono le forze applicate e M i sono i momenti rispetto ad un certo polo. Isoliamo ora l N-esima forza, se valgono le.1 si può scrivere che la risultante delle prime N-1 forze N 1 è: Frisultante = FN = F i. i= 1 Scegliamo ora un punto generico P (Fig..) e consideriamo il momento risultante del sistema di N-1 forze: N 1 ( ri Fi ) = rn FN = M risultante. i= 1 Figura.1 Dove r i sono i raggi vettori che partono dal punto P e raggiungono un punto qualsiasi della retta di azione della forza F i. 15

22 Capitolo Statica dei meccanismi. F 1 r 1 r F P r N r 3 F N F 3 Figura. Si noti che per parlare di momento risultante abbiamo dovuto considerare un polo di riduzione dei momenti. Il momento risultante dipende infatti dal polo, come dimostra l equazione.. E interessante notare che, per ciò che concerne l equilibrio, una forza può essere traslata lungo la propria linea di azione senza che ciò abbia conseguenze; mentre uno spostamento lungo una direzione diversa comporta cambiamenti nello stato di equilibrio...1 Somma vettoriale di forze ed equilibrio alla traslazione, caso piano. Consideriamo 4 forze nel piano, sommiamo graficamente le 4 forze. Utilizziamo dapprima la regola del parallelogrammo, considerando la somma delle prime due forze: F=F 1 +F ; come è noto la risultante delle due forze in questione si ottiene semplicemente componendo un parallelogrammo F come indicato in Figura.3, la risultante è su una delle F diagonali del parallelogrammo stesso, essa è indicata dal 1+ F F 1 vettore che congiunge l inizio del primo vettore sommato con la fine del secondo. Sommiamo ora ad F il vettore F 3 seguendo lo stesso procedimento: F =F 1 +F +F 3 ; aggiungiamo infine l ultimo vettore, ottenendo il vettore risultante dalla somma dei quattro vettori considerati: F =F 1 + F + F 3 + F 4. Dalla Figura.3 si evince che la somma si può ottenere direttamente facendo inseguire i vettori e componendo una F 3 poligonale; il vettore risultante si ottiene subito congiungendo F l inizio con la fine della poligonale. Consideriamo ora il seguente problema: si vuole trovare il F vettore che equilibri il precedente sistema di 4 forze. Si 1 richiede pertanto: R+F =0, cioè R=-F. Il sistema di quattro forze R+F 1 + F + F 3 + F 4 è in equilibrio, cioè R+F 1 + F + F 3 + F 4 =0. Tale stato di equilibrio nel piano si concretizza in una poligonale chiusa (Fig..4). F =F 1+ F + F 3 F 3 F 4 F Figura.3. Risultante R Figura.4. Equilibrio F 4.. Momenti e prodotti vettoriali. Dato un polo P il momento risultante di un sistema di forze rispetto al polo stesso è: M = r F.3 i Cerchiamo ora di capire il significato del prodotto vettoriale nell applicazione alla statica. In Figura.5 è raffigurato un sistema di forze, un polo di riduzione dei momenti, i raggi vettori corrispondenti e gli angoli α i tra le forze ed i raggi vettori stessi. 16 i

23 Capitolo Statica dei meccanismi. F 1 r 1 r F α 1 P F i r i r 3 F 3 Figura Prodotto vettoriale. Consideriamo ora genericamente un prodotto vettoriale tra due vettori u 1 e u, fissiamo un sistema di coordinate in modo tale che il piano (x, y) corrisponda con il piano formato dai due vettori. Sia α l angolo compreso tra i due vettori e β il suo complementare. Il prodotto vettoriale si può rappresentare come un vettore ortogonale al piano (x, y), Figura.6. z u 1 u area: u 1 u sinα u β α y x u 1 Figura.6 Indichiamo i due vettori mediante le componenti nel sistema di coordinate (x,y,z): u1 cos β 0 u1 = u1 sin β, u = u indicando con i, j, k i versori del sistema (x, y, z) il prodotto vettoriale è: i j k 0 0 u1 u = u1 cos β u1 sin β 0 = 0 = u 0 u1u cos β u1u sinα 17

24 Capitolo Statica dei meccanismi. Questa relazione mostra che il prodotto vettoriale è un vettore ortogonale al piano formato dai due vettori u 1, u ed avente modulo pari all area del parallelogrammo che si costruisce sui due vettori; il verso infine è individuabile facilmente con la regola della mano destra: si ponga la mano a pugno e si immagini che le dita dal mignolo all indice seguano i due vettori, in modo circolare parallelamente al piano formato dai vettori stessi, partendo dal primo vettore del prodotto: il pollice, immaginato con una freccia, darà direzione e verso del prodotto vettoriale (Figura.7). u 1 u u 1 u... Momento di una forza. Figura.7. Regola della mano destra. Consideriamo una forza F e calcoliamo il suo momento rispetto ad un generico punto P (Fig..8). Per far ciò fissiamo un sistema di riferimento (x, y, z), con il piano (x, y) coincidente con il piano formato dal vettore F e dal vettore r congiungente il punto P con il punto di applicazione della forza F. Il momento della forza F rispetto al polo P è M=r F, che, espresso per componenti risulta essere: M = 0 = 0 = 0.6 Fr sin ( π α ) Fr sinα Fd Il momento è dato dunque, in modulo, dal modulo della forza per la distanza della sua linea di azione rispetto al polo P. E perciò ovvio che la scelta del vettore r è arbitraria, infatti per applicare il prodotto vettoriale si può scegliere qualunque vettore r che unisca il polo P con un generico punto giacente sulla retta di azione della forza F. (π-α) F α r d=r sinα P Figura.8 18

25 Capitolo Statica dei meccanismi....3 Esercizio. Un corpo rigido, Figura.9, è collegato al telaio mediante una coppia rotoidale; esso è soggetto ad una forza applicata al corpo su punto posto a distanza d dal centro O della coppia rotoidale. Sapendo che la linea di azione della forza passa per O, trovare il sistema di forze necessario per mantenere il corpo in equilibrio. F d O Figura Scomposizione delle forze. Il calcolo del momento di una forza rispetto ad un punto può essere effettuato mediante un approccio diverso. Scomponiamo la forza F nelle sue componenti ortogonale F 1 e parallela F al raggio r; dato che il momento M =r F =0 (dimostrare per esercizio) si ha che M=r F 1. Dalla scomposizione si ha inoltre che F 1 =F sinα, la componente verticale del momento M è M=M z =F 1 r=f r sin α. Ricordando l equazione.6 e la Figura.8 si ha anche M=F d. F F 1 α F r P Figura Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze. Consideriamo un corpo sottoposto all azione di due forze applicate in due punti; il corpo è in equilibrio se si rispettano le seguenti condizioni: Equilibrio alla traslazione. Le due forze hanno stesso modulo, direzione e verso opposto (F 1 =-F come da Figura.11). Equilibrio alla rotazione. Le due forze giacciono sulla stessa retta di azione. F 1 F Figura.11. Caso corretto: corpo in equilibrio. 19

26 Capitolo Statica dei meccanismi. La prima osservazione deriva dalla prima delle equazioni.1, così come la seconda osservazione deriva dalla seconda delle.1. E utile un approfondimento su questo caso banale; immaginiamo che le due forze abbiano due diverse rette di azione, come indicato in Figura.1; per la prima delle equazioni.1 si ha ovviamente F 1 =-F, N ma allora Mi 0, infatti le due forze formano una coppia M=F 1 d 0! i= 1 F 1 d F N M i= 1 i 0 Figura.1. Caso errato: corpo non in equilibrio. Se un corpo è soggetto all azione di due sole forze agenti su due punti, allora entrambe le forze devono giacere sulla retta passante per i due punti di applicazione...4 Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 3 forze. Esaminiamo ora alcuni casi di corpi soggetti all azione di tre forze Due forze note, una incognita. Un corpo soggetto a due forze note non è inizialmente in equilibrio (Figura.13) e si vuole trovare una terza forza che permetta l equilibrio statico. Ci si riduca al piano (x, y), in questo caso le equazioni di equilibrio, scritte in termini scalari, diventano: Fxi = 0 Fyi = 0 M zi = M i = 0.7 Nel caso piano interessa solamente la componente lungo z dei momenti, perciò in seguito si ometterà il pedice z. Le.7 costituiscono un sistema di tre equazioni; le incognite del problema sono: la retta di azione ( incognite) e la componente su tale retta (1 incognita). 0

27 Capitolo Statica dei meccanismi. b F a P a F b Figura.13. Corpo soggetto a due forze. Dalle prime due delle equazioni.7 si ha l equilibrio alla traslazione, indicato graficamente in Figura.14. Si noti che in questa costruzione le forze sono state traslate rispetto alla propria retta di azione, ciò è lecito solamente se si analizza l equilibrio alla traslazione; nel caso dell equilibrio alla rotazione le forze possono traslare solamente lungo la propria retta d azione. F a F F b Figura.14. Equilibrio alla traslazione. Mediante la costruzione di Figura.14 il vettore F è individuato, ma la retta di azione non è ancora nota completamente, poiché ne conosciamo solamente l inclinazione. Si individuino le rette di azione delle due forze e se ne trovi il punto di intersezione P. Le forze F a e F b danno momento nullo rispetto la punto P, infatti la distanza della loro retta d azione da P è nulla. Allora, per l equilibrio alla rotazione, anche la retta d azione di F deve passare per P (Fig..15). 1

28 Capitolo Statica dei meccanismi. F b F a P a F b Figura.15. Corpo soggetto a tre forze. Se un corpo in equilibrio è soggetto all azione di tre sole forze, allora le rette di azione di esse devono incontrarsi in un punto...4. Due forze note solamente in direzione, noto il punto di applicazione della terza forza. Anche in questo caso le informazioni in nostro possesso non permettono di risolvere immediatamente il problema, infatti solamente le direzioni di due forze ed il punto di applicazione della terza (P F ) sono noti, Figura.16. Dall equilibrio alla rotazione si ottiene immediatamente la retta di azione della terza forza, essa deve passare per P e P F. Direzione nota Direzione nota P Direzione incognita P F Figura.16. Corpo soggetto a tre forze...5 Equilibrio di un meccanismo piano, 3 forze. Il meccanismo in Figura.17 è composto da 4 membri, di cui uno è il telaio; sono presenti tre coppie rotoidali, inoltre i membri 3 e 4 rappresentano la schematizzazione di un martinetto idraulico, tali membri possono scorrere reciprocamente lungo il proprio asse ed il loro accoppiamento può essere schematizzato mediante una coppia prismatica. Il numero di gradi di libertà è perciò pari a 1. Senza entrare in dettaglio nella descrizione del martinetto idraulico possiamo dire che in esso possono nascere delle forze interne tra i membri 3 e 4 lungo l asse del martinetto stesso. In definitiva il sistema composto dai corpi 3 e 4 può sopportare forze anche in direzione assiale. Il membro è soggetto al proprio peso e a due forze provenienti dai membri 1 e 3. Esaminiamo il sistema composto dai membri 3 e 4: tale sistema è soggetto a due sole forze esterne provenienti dai

29 Capitolo Statica dei meccanismi. membri 1 e attraverso le coppie rotoidali, la retta di azione di tali forze è dunque comune e passa per i centri delle coppie stesse. Nota la direzione della forza che il membro esercita sul 3, per il principio di azione e reazione è nota anche la direzione della forza esercitata dal membro 3 sul. Dall intersezione delle rette di azione della forza peso F p e F 3, (forza che il membro 3 esercita sul ) si determina il punto P. La forza F 1, avrà una retta di azione passante per la coppia che unisce il membro al telaio 1 e per il punto P. Trovate le direzioni si ricavano le forze mediante la soluzione grafica delle equazioni di equilibrio alla traslazione, Figura.17. F 3, F p F 1, P G 3 F p 4 1 Figura.17. Meccanismo...6 Equilibrio di un corpo rigido nel piano, 4 forze. In questo caso un corpo è sottoposto all azione di quattro forze, di cui una è nota mentre le altre tre sono note in direzione, Figura.18. Direzione F F 1 P 1 Direzione F 4 Retta ausiliaria P Direzione F 3 Figura.18. Corpo soggetto a quattro forze. Anche se le tre forze F, F 3 e F 4 non sono note, possiamo pensare alla risultante R 1 =F 1 +F, la cui retta di azione passa per il punto P 1 (infatti rispetto a questo punto sia le due forze, che la risultante danno momento nullo), similmente facciamo per R =F 3 +F 4, la cui retta di azione passa per il punto P. Dato 3

30 Capitolo Statica dei meccanismi. che l equilibrio alla traslazione richiede che F 1 +F +F 3 +F 4 =0, allora R 1 = -R. Considerando le due risultanti, abbiamo idealmente ridotto il sistema di quattro forze ad un sistema di due sole forze applicate nei punti P 1 e P ; ma questo problema è già stato analizzato e sappiamo che la retta di azione delle due forze deve passare per i due punti di applicazione; questa retta è chiamata retta ausiliaria. Dalle relazioni precedenti, e conoscendo la retta ausiliaria (Fig..19), possiamo scrivere: F 1 +F +R =0; Direzione F F 1 F R P 1 Direzione F 4 Retta ausiliaria P Direzione F 3 Figura.19. Retta ausiliaria. nota R ricaviamo R 1 =-R e calcoliamo le due restanti forze (Fig..0): Direzione F F 1 F F 4 F 3 Direzione F 4 Retta ausiliaria Direzione F 3 Figura.0. Retta ausiliaria...7 Equilibrio di un meccanismo piano, 4 forze. Analizziamo il problema rappresentato in Figura.1: si tratta di un autocarro che traina un rimorchio in salita. E nota la forza peso Q e sono note le direzioni delle reazioni delle ruote (ortogonali al terreno) e della forza di trazione (per semplicità immaginata parallela al terreno). Si tratta del problema delle quattro forze applicato al sistema rimorchio (telaio più ruote). Si individua la retta ausiliaria (linea verde) accoppiando la forza peso con la reazione di sinistra e la forza di trazione con la reazione di destra. 4

31 Capitolo Statica dei meccanismi. Q Direzione F Direzione F 1 Q F 1 F T Figura.1. Retta ausiliaria...8 Equilibrio di un corpo rigido nel piano, forze parallele. I metodi visti nei paragrafi..4 e 5 non sono applicabili nel caso in cui tutte le forze siano parallele, infatti l intersezione delle rette di azione diventa il punto improprio. Trattiamo il problema per via analitica, consideriamo due forze come in Figura., e calcoliamo la risultante R=F 1 +F. La posizione della risultante è data dalla coordinata x e può essere determinata uguagliando il momento dato dal sistema di forze F 1 e F ed il momento della risultante R. P 1 P d P x F F 1 y R Figura.. Forze parallele. Scegliamo P 1 come polo di riduzione dei momenti il cui verso è positivo in senso antiorario, i momenti del sistema di forze e del risultante sono: M Pi = F d.8a M R = Rx.8b 5

32 Capitolo Statica dei meccanismi. combinando le relazioni si ha: x = Fd F + F 1.9 Si noti che x può assumere valore negativo a seconda del segno delle componenti delle forze, in tal caso la risultante sarebbe applicata su un punto esterno al segmento PP 1. Alternativamente si può procedere per via grafica: si aggiunga al sistema iniziale un sistema a risultante nulla (in termini di forze e momenti), cioè due forze uguali in modulo e direzione, ma contrarie in verso; in Figura.3 tali forze sono indicate in rosso e sommate a due a due alle forze che costituiscono il sistema. Si procede poi per via grafica come già noto. P P 1 P F F 1 R Figura.3. Forze parallele. 6

33 Capitolo Statica dei meccanismi..3 Esercizi.3.1 Esercizio F 1,3 F p F,3 1 Figura.4. Esercizio..3. Esercizio. 1 3 F 3, F 1 F 1, Figura.5. Esercizio. 7

34 Capitolo Statica dei meccanismi..3.3 Esercizio 3. Si consideri il meccanismo in Figura.6 (scala 1:1). Al membro 4 è applicata una coppia pari a 100 Nm; si determini la forza da applicare al membro 6 (indicata qualitativamente in Figura.6) per mantenere il sistema in equilibrio. 1 F=? M=100N m Ω Figura.6 Determinazione dei gradi di libertà Applicando la regola di Grüber n=3(m-1)-c 1 -c si ottiene n=3 (6-1)- 7=1 dove le coppie c 1 sono: 6 coppie rotoidali e una coppia prismatica. Equilibrio del membro 4 Sulla manovella (membro 4) agiscono: il momento motore noto M, una forza proveniente dal telaio F 14 (reazione vincolare della cerniera) e una forza dal membro 3 (F 34 ). La direzione delle forze F 14 e F 34 non è nota a priori, occorre valutare l equilibro alla rotazione del membro 3. Sul membro 3 agiscono 3 forze (F 3, F 43, F 53 ); le direzioni delle forze F 3 e F 53 sono note, infatti i membri e 5, per essere rispettivamente in equilibrio, devono scambiare forze aventi rette d azione passanti per i centri delle proprie coppie rotoidali. La direzione della forza F 43 (uguale e contraria alla F 34 ), per garantire l equilibrio alla rotazione del membro 3, deve necessariamente passare per il punto P di incontro delle rette indicanti le direzioni di F 3 e F 53 (Fig..7) 8

35 Capitolo Statica dei meccanismi. 1 F=? 5 dir F 53 P 3 6 dir F 3 4 M=100N m Ω Figura.7 Ora è possibile determinare il modulo forze F 34 e F 14 costituenti la coppia che va ad equilibrare il momento M noto (d 3.3cm): M 100N m F34 = F14 = = 3030 N d m I versi delle due forze devono essere tali da generare una coppia con momento opposto al momento M dato (solo così il membro 4 sarà in equilibrio) come mostrato in Figura.8. 1 F=? 3 5 F 34 6 d 4 M=100N m F 14 Ω Figura.8. 9

36 Capitolo Statica dei meccanismi. Per quanto riguarda la rappresentazione grafica dei moduli delle forze, una volta scelta la lunghezza della freccia corrispondente a circa 3030N, l intensità delle altre forze sarà rapportata a questa lunghezza (es. a una freccia che graficamente risulta lunga un terzo corrisponde un intensità di 1010 N). Equilibrio del membro 3 Sul membro 3 agiscono 3 forze di direzione nota (vedi considerazioni precedenti); la forza F 43 è nota anche in modulo e verso (opposto a quello della F 34 ). La determinazione dei moduli incogniti si ottiene semplicemente chiudendo il triangolo delle forze agenti sul membro 3 (Fig..9). 1 P F 3 F 43 (nota) F F=? 6 4 M=100N m Ω Figura.9 Equilibrio del membro 5 Sul membro 5 agiscono solo due forze: quella proveniente dal membro 3 e quella dal membro 6. Il membro 5 risulta in equilibrio solo sotto l azione di due forze uguali e contrarie e dirette lungo l asse (Fig..30). 30

37 Capitolo Statica dei meccanismi. 1 F=? F F 65 4 M=100N m Ω Figura.30 Equilibrio del membro 6 Sul membro 6 agiscono tre forze: la forza incognita F (di cui è nota la direzione), la forza F 56 (completamente nota) e la reazione vincolare F 16 (con direzione ortogonale alla direzione di scorrimento del membro 6). Per determinare il modulo di F occorre chiudere il triangolo delle forze agenti sul pistone F=? F 16 6 F F 56 (nota) 4 M=100N m Ω Figura.31 31

38 Capitolo Statica dei meccanismi. Esercizio suggerito: considerando lo stesso meccanismo, si determini il momento da applicare al membro per mantenere il sistema in equilibrio, sapendo che sul pistone agisce una forza nota di 1000 N con direzione indicata in Figura.31. 3

39 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. In questo capitolo sono fornite alcune informazioni di base sui meccanismi articolati piani. Si affrontano problematiche relative alla analisi di posizione, di velocità ed accelerazione. Testi di riferimento: Funaioli et al. (005), Ghigliazza e Galletti (1986), Mabie (1987), Scotto Lavina (1975). 3.1 Parallelogrammo. Il meccanismo è composto da 4 membri collegati mediante 4 coppie rotoidali; essi hanno stessa lunghezza (intesa come distanza tra le coppie di un elemento) a coppie di membri non collegati direttamente (vedere Figg. 3.1a,b). Se fissiamo un membro (telaio) il moto dei membri adiacenti sarà una rotazione, mentre quello del membro opposto sarà una traslazione pura. Questo meccanismo articolato trova molte applicazioni tra cui possiamo citare i tecnigrafi e i pantografi. Trasla senza ruotare O 1 1 O Figura 3.1a. Parallelogrammo articolato 3 4 Una variante di questo meccanismo è l antiparallelogrammo: esso è composto dagli stessi membri e stesse coppie del parallelogrammo, ma è assemblato in una seconda configurazione. Il membro opposto al telaio non trasla, ma compie un moto di rototraslazione rispetto al telaio stesso. rototraslazione O 1 O 1 Il passaggio dal parallelogrammo all antiparallelogrammo si ha quando Figura 3.1b. Anti-parallelogrammo articolato quest ultimo si trova in una particolare configurazione: tutte le coppie rotoidali sono sulla stessa retta; questo è detto punto morto ed qui il parallelogrammo può trasformarsi in antiparallelogrammo

40 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. 3. Quadrilatero articolato. Si tratta di un meccanismo piano composto da 4 membri e 4 coppie rotoidali. In Figura 3.a è riportato un esempio in cui: uno dei membri è fissato (telaio); un membro può compiere una rotazione completa (manovella); un membro può compiere una rotazione non completa, alterna, (bilanciere); un membro compie un moto di rototraslazione (biella). Il meccanismo ha un solo grado di libertà se si fissa un membro (telaio). a) Manovella (movente) Biella Bilanciere (cedente) b) c) Biella (manovella) Biella Manovella Manovella Bilanciere Bilanciere Figura 3.. Quadrilatero articolato. Si possono però presentare altre situazioni, come quelle rappresentate nelle Figure 3.b,c. In un caso (Fig. 3.b) abbiamo manovelle ed una biella, due membri possono perciò compiere una rotazione pura completa. In un altro caso (Fig. 3.c) nessun membro può compiere una rotazione pura completa ed abbiamo bilancieri ed una biella. La differenza di comportamento dipende da come sono dimensionati i membri, in particolare dalla loro lunghezza. Definizioni. Manovella: membro adiacente al telaio che può compiere un moto rotatorio continuo. Bilanciere: membro adiacente al telaio che può compiere solo un moto rotatorio alterno (sono impossibili rotazioni pari a π). Biella: membro non adiacente al telaio che in generale compie un moto di rototraslazione. Distinguiamo vari casi: Bilanciere-manovella. Doppio bilanciere. Doppia manovella. I vari casi si possono distinguere dalla conformazione dei vari membri, in particolare dalla lunghezza di essi, dove per lunghezza intendiamo la distanza tra le due cerniere appartenenti ad un membro. 34

41 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. Criterio di Grashof. La somma della lunghezza del membro maggiore e del minore di un quadrilatero articolato piano non può essere maggiore della somma delle lunghezze degli altri due membri, se si vuole permettere un moto rotatorio continuo tra due membri qualsiasi del meccanismo. Si noti che il criterio di Grashof è scritto in termini di moti relativi, si prescinde perciò dall esistenza di un telaio. Si può tradurre il criterio di Grashof in formule; definiamo le seguenti lunghezze: l = lunghezza del membro maggiore s = lunghezza del membro minore p, q = lunghezze dei membri rimanenti. 1) l + s < p + q : meccanismo di Grashof, 4 possibilità; a) Manovella-bilanciere: il membro più corto è la manovella, il telaio è uno dei membri adiacenti. b) Doppia manovella: il membro più corto è telaio. c) Bilanciere manovella: il membro più corto è cedente (analogo al caso a)). d) Doppio bilanciere: il membro opposto al più corto è telaio. ) l + s > p + q : 4 meccanismi non - Grashof; a) si hanno tre bilancieri, definiti dalla scelta del telaio, non è possibile il moto rotatorio continuo. 3) l + s = p + q : possibilità di inversione del moto; 4) l = q, s = p : caso particolare del punto 3), a) parallelogrammo o deltoide (due membri corti adiacenti); In seguito si rappresentano i casi menzionati: movente s s Figura 3.3a. Manovella bilanciere ( l + s < p + q) Figura 3.3b. Doppia Manovella ( l + s < p + q) 35

42 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. movente s movente s È possibile la rotazione completa della biella Figura 3.3c. Bilanciere Manovella (l + s < p + q) Figura 3.3d. Doppio Bilanciere (l + s < p + q) Figura 3.3e. Quadrilatero non Grashof. Triplo Bilanciere (l + s > p + q) Figura 3.3f. Meccanismo con condizione limite (l + s = p + q) Dobbiamo introdurre i seguenti concetti: Inversione Punti morti Circuiti che descriviamo in seguito mediante degli esempi Inversione cinematica. È il processo in cui si fissano diversi membri di una catena cinematica per creare diversi meccanismi. Il meccanismo resta lo stesso, ma fissando il telaio in modo diverso si ottengono diversi tipi di moto. Un esempio è il quadrilatero rappresentato nella Figura 3.4 e fa riferimento al seguente caso: l+s<p+q. 36

43 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. s s l l a) b) s l s l c) d) Un altro caso è quello rappresentato in Figura 3.5, la catena è composta di 4 membri collegati con due coppie rotoidali ed una prismatica. A seconda di come si fissa il telaio si hanno diversi meccanismi: manovellismo di spinta, glifo oscillante ed altro. 3 Figura 3.4. Quadrilatero articolato: inversione cinematica a) Manovellismo di spinta b) Inversione del manovellismo di spinta: guida rotante c) Inversione del manovellismo di spinta: guida oscillante d) Inversione del manovellismo di spinta: guida fissa Figura 3.5. Inversioni del manovellismo di spinta 3.. Inversione geometrica e punti morti. In alcuni quadrilateri articolati (Figg. 3.6) il meccanismo ha due configurazioni differenti per ogni posizione del movente; tali configurazioni sono dette inversioni geometriche (Erdman and Sandor 1991), il passaggio da una configurazione all altra avviene quando tre coppie rotoidali sono allineate (punto morto). Da questo punto il meccanismo può passare a due diverse configurazioni a parità di posizione del movente. Si noti che ciò avviene perché il movente è il bilanciere, mentre se il movente è la manovella, la posizione degli altri membri è univoca. 37

44 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati. cedente biella movente cedente biella movente a) prima inversione geometrica b) seconda inversione geometrica biella cedente movente c) punto morto: le cerniere della biella e del cedente sono allineati Figura 3.6a-c. Inversione geometrica e punti morti di un quadrilatero articolato. Figura 3.6d. Due circuiti di un quadrilatero articolato manovella-bilanciere. 38

45 Capitolo 3 Cinematica del corpo rigido e dei sistemi articolati Circuiti. Definiamo circuito l insieme di tutte le configurazioni che può avere un quadrilatero articolato, ottenute mediante un moto continuo del meccanismo, cioè senza scollegare fisicamente i vari membri. In tutti i quadrilateri di Grashof sono sempre possibili due tipi di movimento ottenibili staccando fisicamente biella e manovella (o altri due membri) e ricollegandole in una nuova configurazione. Meccanismi di Grashof manovella bilanciere e doppia manovella non raggiungono mai un punto morto e ogni circuito è composto dalla stessa inversione geometrica; i meccanismi di Grashof bilanciere manovella o doppio bilanciere hanno due punti morti su entrambi i circuiti e 4 possibili configurazioni (Fig. 3.6d). I meccanismi non-grashof hanno un solo circuito avente inversione geometrica. 3.3 Analisi di posizione. Un problema importante da affrontare nello studio dei meccanismi è l analisi di posizione. Consideriamo un meccanismo ad un grado di libertà: data la posizione del cedente si vuole determinare la posizione di tutti gli altri membri. Storicamente si eseguiva una analisi grafica, di cui un esempio è riportato in Figura 3.7: sono note le traiettorie circolari dei punti A e B, si disegna la biella su un foglio trasparente che si sovrappone al disegno originale, a questo punto, facendo coincidere i punti A e B della biella, con due punti qualsiasi delle traiettorie circolari tracciate, si determinano le posizioni della biella stessa e di tutti i suoi punti. L analisi grafica, nella sua semplicità è piuttosto laboriosa, è però molto diretta e intuitiva. Analisi esatta. Si imposta l analisi in modo rigoroso e si ottiene una soluzione in forma chiusa in termini di funzioni elementari. Il tipo di soluzione non è generale, per ogni meccanismo serve uno studio dedicato. La soluzione si ottiene soltanto per alcuni meccanismi. Non è automatizzabile Analisi di posizione mediante loop closure equations : analisi esatta e numerica. Questo tipo di analisi consiste in una parte iniziale analitica che può fornire anche una soluzione esatta in casi semplici; nella seconda parte si mostra come l approccio è generalizzabile, y mediante soluzione numerica, a qualunque r 3 tipo di meccanismo. r 4 Metodo numerico approssimato ϑ 3 Impostazione generale r Procedimento facilmente ϑ 4 automatizzabile Consideriamo il quadrilatero articolato rappresentato in Figura 3.8. Il membro 1 è telaio e il è movente. Nell analisi di posizione le incognite sono Figura 3.7. Analisi di posizione: approccio grafico. 39 ϑ r 1 Figura 3.8. Analisi di posizione: loop closure equations. x