T A. Li M. Rita Poletti. Figure. Principato. libro. misto. Casa Editrice Principato

Transcript

1 E T A MLAND Rita Poletti Figure libro Li M misto Principato

2 Rita Poletti MATE LAND Figure PRINCIPATO

3 Direzione editoriale: Franco Menin Redazione: Marco Mauri Progetto grafico e impaginazione: Edit 4 Copertina: Giuseppina Vailati Canta Disegni: Edit 4, Domenico Di Leo ISBN Numeri e lettere + Figure 3 ISBN Figure 3 Prima edizione: febbraio 2009 Ristampe VI V IV III II I * Printed in Italy Proprietà letteraria riservata. È vietata la riproduzione, anche parziale, con qualsiasi mezzo effettuata, compresa la fotocopia, anche ad uso interno o didattico, non autorizzata. Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n Le riproduzioni per finalità di carattere professionale, economico o commerciale, o comunque per uso diverso da quello personale, possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana 108, Milano, segreteria@aidro.org e sito web Casa Editrice G. Principato S.p.A. Via G.B. Fauché Milano UNI EN ISO info@principato.it Stampa: STIAV srl Calenzano (FI)

4 Indice Casa Editrice Principato unità 1 capitolo Indice 1 3 Ciclometria Misura della circonferenza e area del cerchio 1 2 storia 3 4 Lunghezza della circonferenza Area del cerchio Il calcolo di π Lunghezza di un arco e area di un settore circolare Geometria con Cabri MISURA DELLA CIRCONFERENZA 17 Geometria con GeoGebra CICLOMETRIA CON GEOGEBRA 18 DISEGNA E CALCOLA LA LUNGHEZZA 18 DI UN ARCO DALL ARCO ALL ANGOLO AL CENTRO RICORDA 19 VERIFICA le tue conoscenze 20 Per l AUTOVALUTAZIONE 35 Per RECUPERARE 36 Per APPROFONDIRE

5 4 Indice unità 2 Figure solide capitolo 1 Enti fondamentali nello spazio 1 Dal piano allo spazio 40 storia 2 Rette e piani nello spazio 44 3 Angoli nello spazio RICORDA 50 VERIFICA le tue conoscenze 52 Per l AUTOVALUTAZIONE 63 Per RECUPERARE 64 Per APPROFONDIRE 65 capitolo 2 Prismi e piramidi 1 I poliedri 66 2 Il cubo 68 3 Solidi equivalenti 72 4 Il parallelepipedo 74 5 Il prisma 77 6 Angoloidi e piramidi 79 7 Tronco di piramide 86 8 I poliedri regolari Geometria con GeoGebra I POLIEDRI CON GEOGEBRA 91 DISEGNA UN CUBO E UN PARALLELEPIPEDO 91 DISEGNA UNA PIRAMIDE QUADRANGOLARE REGOLARE 91 LABORATORIO RELAZIONI TRA ELEMENTI DI POLIEDRI 92 RICORDA 94 VERIFICA le tue conoscenze 96 Per l AUTOVALUTAZIONE 139 Per RECUPERARE 140 Per APPROFONDIRE 141

6 capitolo Indice Casa Editrice Principato 3 5 Solidi di rotazione 1 2 ia r o 3 st 4 Cilindro Cono Sfera Altri solidi di rotazione LABORATORIO LE COORDINATE GEOGRAFICHE 156 RICORDA Soluzioni Soluzioni Soluzioni Soluzioni 154 VERIFICA le tue conoscenze Per l AUTOVALUTAZIONE Per RECUPERARE Per APPROFONDIRE in AZIONE sul web Per l AUTOVALUTAZIONE Per RECUPERARE Per APPROFONDIRE sul web sul web sul web

7 unità 1Ciclometria 1 Misura della circonferenza e area del cerchio

8 Che cosa saprai fare spiegare il significato del numero π e alcuni metodi per approssimarlo scrivere le formule per trovare l area del cerchio e la lunghezza della circonferenza conoscendo il raggio 7

9 capitolo 1Misura della circonferenza e area del cerchio Simpatici disegni Da un cartoncino colorato sono state ritagliate due faccine stilizzate formate da cerchi o parti di esso. La bocca ha il raggio di 6 cm, il viso ha un diametro che è sei volte quello della bocca, gli occhi hanno raggio congruente a 2/3 di quello della bocca. Per dipingere le due faccine devi usare la stessa quantità di colore? È possibile considerare il cerchio come una qualunque figura piana? [risposta a pag. 16] 1 Lunghezza della circonferenza [esercizi a pag. 21] La circonferenza è costituita dagli infiniti punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza costante tra il centro e uno qualunque dei punti della circonferenza è il raggio. Tra le corde, cioè i segmenti che congiungono due punti della circonferenza, quelle che passano per il centro si chiamano diametri. Utilizzando il teorema di Pitagora abbiamo calcolato la lunghezza di corde, segmenti di tangente e lati di poligoni inscritti e circoscritti. Come possiamo misurare la lunghezza della circonferenza? Poiché la circonferenza è una linea curva, non possiamo misurarla utilizzando gli strumenti che abbiamo introdotto per i poligoni. Possiamo tuttavia cercare di risolvere il problema utilizzando un modello conosciuto. Disegna una circonferenza, quindi con uno spago sottile cerca di seguirne esatta-

10 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del Editrice cerchio Principato 9 mente il contorno. Taglia lo spago quando hai coperto per intero la linea. Se distendi lo spago è come se tu stendessi la circonferenza facendola diventare un segmento. Una circonferenza distesa a diventare rettilinea si chiama circonferenza rettificata. circonferenza circonferenza rettificata Misura la circonferenza rettificata e calcola il rapporto tra questa lunghezza e quella del diametro. Il valore che ottieni è di poco superiore a 3. In relazione alla precisione con cui hai costruito il tuo modello puoi ottenere numeri decimali come 3,1 oppure 3,14 oppure 3,141. In ogni caso puoi verificare che, data una circonferenza qualsiasi, il rapporto tra la sua lunghezza e quella del diametro corrispondente è circa 3,14. Il problema del calcolo del rapporto tra la lunghezza della circonferenza rettificata e quella del diametro ha interessato molti matematici nel corso dei secoli, come vedremo in seguito. Il risultato che possiamo trovare con un modello materiale come quello precedente è approssimato. In generale vale la seguente definizione: DEFINIZIONE Il rapporto tra la circonferenza rettificata e il diametro è π (pi greco). Il numero π è costituito da una successione infinita di cifre ma non è periodico. Con i moderni elaboratori è possibile calcolarne una grande quantità, ecco le prime: 3, È impensabile eseguire dei calcoli con tutte queste cifre, perciò si usa approssimare π con un valore decimale. A seconda delle necessità si usa l approssimazione all unità, ai decimi, ai centesimi, ai millesimi e così via. In generale il valore approssimato di uso comune è quello ai centesimi, quindi 3,14.

11 10 unità 1 Ciclometria Come conseguenza di quanto affermato in precedenza si ha la seguente regola: REGOLA La lunghezza γ di una circonferenza è uguale al prodotto del diametro d per π: γ = d π Poiché il diametro è doppio del raggio otteniamo che: REGOLA Per calcolare la lunghezza γ di una circonferenza si moltiplica la lunghezza del raggio r per 2π: γ = 2π r Usando l approssimazione ai centesimi si può scrivere: γ = 2π r = 2 3,14 r = 6,28 r. Nei calcoli solitamente non si usa l approssimazione ma si lascia indicato π. In relazione alle considerazioni precedenti, la lunghezza di una circonferenza di raggio 25 cm si calcola semplicemente in questo modo: γ = (2π 25) cm = 50π cm in AZIONE Vero o falso? Verifica se le seguenti affermazioni sono vere o false e correggi gli errori a. r = 10 cm γ = 10π cm V F b. d = 50 cm γ = 50π cm V F c. γ = 48π cm r = 48 cm V F d. γ = 628 cm r = 50 cm V F e. γ = 31π cm d = 31 cm V F f. r = 18 cm γ = 18π cm V F Nel calcolo letterale in genere le lettere assumono valori qualunque, in matematica tuttavia esistono lettere particolari, che indicano numeri non razionali come ad esempio π. Nel corso dei tuoi studi incontrerai altri numeri non razionali indicati con particolari lettere. Fai bene attenzione al significato della scrittura 50π perché rappresenta il prodotto di 50 e 3,14 o una qualunque delle altre approssimazioni di π, quindi in termini numerici vale circa 157. Dimenticare di indicare il simbolo π nella misura della lunghezza della circonferenza significa considerare non il numero richiesto ma circa la sua terza parte, cioè la lunghezza del diametro.

12 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del Editrice cerchio Principato 11 2 Area del cerchio [esercizi a pag. 26] Per calcolare l area del cerchio possiamo seguire il ragionamento fatto in precedenza per le figure con contorno non rettilineo. Disegna un cerchio con raggio di 2,5 cm e sovrapponi ad esso un reticolo centimetrato. I quadretti esterni alla figura sono 25, mentre quelli interni sono 9. Possiamo affermare che l area del cerchio è compresa tra 9 cm 2 e 25 cm 2. Ricerchiamo una migliore approssimazione. Dividiamo ogni quadrato in due triangoli e rifacciamo il conteggio. Otteniamo un valore compreso tra 17 e 22 quadretti. Per ottenere misure più precise dobbiamo suddividere ulteriormente i triangoli, ma il valore che si determina è ancora molto approssimato. È possibile trovare una regola che permetta un calcolo preciso? La circonferenza può essere considerata come la figura che separa i poligoni inscritti da quelli circoscritti ad essa. Infatti sia un poligono inscritto sia un poligono circoscritto con un numero elevato di lati presentano un contorno che tende a coincidere con la curva. Se in particolare consideriamo poligoni regolari possiamo cercare di valutare l area del cerchio considerandolo come un poligono regolare con un numero estremamente grande di lati. Osserva la circonferenza e il dodecagono ad essa circoscritto rappresentati nella figura seguente. L area del cerchio differisce di poco da quella del poligono: in base a quanto abbiamo stabilito per i poligoni regolari: 2p a A = 2

13 12 unità 1 Ciclometria Se consideriamo il cerchio, il suo perimetro 2p non è altro che la circonferenza γ e l apotema a è il raggio r, quindi: C γ a = = 2 2πr r 2 = πr 2 REGOLA L area di un cerchio si ottiene moltiplicando per π il quadrato del raggio. C = πr 2 esempio Calcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio di raggio 7 cm. Ip: AO = 7 cm Ts: γ, C A Applichiamo le regole appena stabilite: O (2π 7) cm = 14π cm γ (π 7 2 ) cm 2 = 49π cm 2 C in AZIONE Utilizzando 3,14 come approssimazione di π, calcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio che ha lo stesso raggio di quella dell esempio svolto e osserva analogie e differenze rispetto ai calcoli precedenti. 3 Il calcolo di π storia Un calcolo nella Bibbia Il problema di calcolare l area di un cerchio o la lunghezza di una circonferenza, si è presentato fin dall antichità nell ambito di situazioni concrete. Nella Bibbia, ad esempio, si parla di una corda di 30 cubiti, che fa il giro di un pozzo di 10 cubiti di diametro. In questo caso il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro, cioè π, viene considerato uguale a 3. Un risultato degli Egizi Presso gli Egizi si trova un primo calcolo di π, tutto sommato abbastanza preciso. Il problema indicato con il numero 50 del papiro Rhind dice: Metodo di operare con un campo rotondo di 9 khet di diametro. Qual è l ammontare di esso in area?

14 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del Editrice cerchio Principato 13 L interpretazione della soluzione non è molto chiara: ne proponiamo una piuttosto verosimile. Osserva la figura: al cerchio è stato sovrapposto un reticolo quadrettato. L area del cerchio C è minore dell area del quadrato, quindi possiamo concludere che C < 81 quadretti. Se consideri ogni quadretto, il suo lato è 1/9 del diametro, indichiamo con q questa misura, si ha dunque C < 81q 2. Il cerchio ha inoltre un area maggiore di quella del quadrato interno che ha lato circa 6 quadretti, quindi C > 36q 2. Considera ora l ottagono ottenuto smussando il quadrato con quattro triangoli rettangoli aventi l ipotenusa tangente alla circonferenza: il cerchio risulta più piccolo di questo ottagono, ma più grande della figura formata dal quadrato interno e da quattro trapezi inscritti nei segmenti circolari. L area dell ottagono si ottiene togliendo dal quadrato esterno i quattro triangoli, la cui area complessiva è circa 14q 2. Di conseguenza l area dell ottagono è: A ottagono = 81q 2 14q 2 = 67q 2 L area della figura interna è la somma del quadrato piccolo e dei quattro trapezi, ognuno dei quali ha area circa 27q 2 /4 (base maggiore circa 6q, base minore 3q e altezza circa 3/2q), quindi: A interna = 36q q 2 = 63q 2 Come approssimazione tra 63q 2 e 67q 2 per il valore dell area del cerchio gli Egizi scelgono 64q 2. Poiché q = 1/9 d (diametro), l area del cerchio diventa: d C = e sostituendo il diametro con il raggio si ottiene: storia 64 4r C = 81 da cui si ricava che: 256 π = = 3,

15 14 unità 1 Ciclometria storia I Greci e la quadratura del cerchio Come il problema dell incommensurabilità tra la diagonale e il lato del quadrato, anche quello del calcolo dell area del cerchio ha interessato molti matematici. Per 2000 anni essi si sono posti il problema della quadratura del cerchio, cioè di trovare un quadrato che avesse area uguale a quella del cerchio, per poterlo rappresentare con riga e compasso. Tra i primi si annoverano Anassagora ( a.c.), Ippia (V sec a.c.) che costruì una famosa curva che sembrava risolvere il problema e Eudosso ( a.c.). Archimede, nel 240 a.c., partendo dall esagono regolare inscritto e raddoppiando successivamente il numero dei lati, arrivò a considerare i perimetri di un poligono regolare circoscritto e inscritto di 96 lati, stabilendo che: < π < cioè: 3, < π < 3, Dal Medioevo fino alla fine dell Ottocento Gli scritti di Archimede sulla quadratura del cerchio ebbero una notevole diffusione anche nel Medioevo, e lo sconforto dei matematici del tempo di fronte alla complessità del problema della quadratura del cerchio è preso come termine di paragone da Dante Alighieri nella Divina Commedia canto XXXIII del Paradiso Qual è geometra che tutto s affigge per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond elli indige, tal ero io... Il rifiorire delle scienze matematiche nei secoli successivi riporta alla ribalta il problema. Viète ( ), matematico francese contemporaneo di Galileo, esprime come valore di π il numero 3, , ma il risultato più interessante per l epoca è quello di van Ceulen che alla fine del 1500 calcola un approssimazione di π con 35 cifre. Molti altri si sono occupati della ricerca del valore di π, finché nel 1883 Lindemann dimostra che non è possibile risolvere il problema della quadratura del cerchio con riga e compasso e che quindi non è possibile rappresentare tutte le cifre del numero π. Tuttavia il calcolo di un valore sempre più preciso di π interessa anche i matematici contemporanei che utilizzando i moderni calcolatori elettronici stanno ricercando approssimazioni sempre migliori, ben sapendo però che sarà sempre possibile migliorare il risultato raggiunto. 4 Lunghezza di un arco e area di un settore circolare [esercizi a pag. 32] La semicirconferenza è la parte di circonferenza limitata dagli estremi di un diametro, quindi la sua lunghezza corrisponde a metà della lunghezza della circonferenza. L angolo al centro corrispondente ha ampiezza 180. Se consideriamo un angolo al centro di 90, l arco risulta 1/4 dell intera circonferenza, mentre se consideriamo un angolo di 60, l arco è 1/6 del totale.

16 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del Editrice cerchio Principato Per calcolare la lunghezza l di un arco generico, possiamo osservare che il rapporto tra la lunghezza della circonferenza γ e il corrispondente angolo al centro (cioè 360 ) è uguale al rapporto tra l arco da calcolare e l angolo α che gli corrisponde. È possibile quindi costruire la proporzione: γ : 360 = l : α da cui si ricava che: B l α A γ REGOLA La lunghezza l di un arco di circonferenza è l = γ α 360 in AZIONE In base alle ipotesi assegnate calcola quanto richiesto a. r = 5 cm α = 30 l =... b. r = 12 cm l = 2 3 π cm α =... c. α = 60 l = π 3 cm γ =... d. α = 135 l = π 3 cm r =... Abbiamo definito segmento circolare la parte di cerchio individuata da una corda. Congiungendo gli estremi della corda con il centro si ottiene il triangolo isoscele AOB. O settore A segmento B DEFINIZIONE Si chiama settore circolare la parte di cerchio individuata da due raggi.

17 16 unità 1 Ciclometria REGOLA Il settore è quindi la somma del segmento e del triangolo AOB. Ripetiamo il ragionamento fatto in precedenza considerando alcuni particolari settori. Se consideriamo il semicerchio, esso è limitato da due raggi adiacenti ed è metà del cerchio. Due raggi perpendicolari individuano un settore che è la quarta parte del cerchio. Si può perciò impostare una proporzione tra l area del cerchio C e quella del generico settore, analoga a quella utilizzata per la determinazione della lunghezza degli archi, pertanto C : 360 = s : α da cui da cui si ricava che: L area s di un settore circolare è C s α = 360 Per calcolare l area del segmento si sottrae l area del triangolo AOB da quella del settore. Ricorda che si utilizzano normalmente i settori circolari per costruire gli aerogrammi e quindi la conoscenza della formula per il calcolo dell area di un settore circolare è importante anche nelle rappresentazioni grafiche utilizzate in statistica. in AZIONE Dati i raggi dei cerchi, calcola l area dei settori corrispondenti agli angoli al centro considerati a. r = 13 cm α = 60 s =... b. r = 15 cm α = 120 s =... c. r = 10 cm α = 150 s =... d. r = 20 cm α = 300 s =... [risposta] Non si usa la stessa quantità di colore perché le due facce hanno area diversa. Per misurare quest area devi sottrarre all area del viso (cerchio di raggio 36 cm) l area degli occhi e della bocca in ciascuna delle due situazioni. Prova tu a ricavare i valori numerici. Il cerchio può essere interpretato come un particolare poligono regolare avente un numero infinito di lati e questa analogia è utile in molti casi pratici.

18 17 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del Editrice cerchio Principato MISURA DELLA CIRCONFERENZA Con Cabri è molto semplice verificare che il rapporto tra una qualunque circonferenza e un suo diametro è costante e uguale a π. Con lo strumento Circonferenza disegna una circonferenza delle dimensioni che vuoi e traccia un qualunque diametro utilizzando l opzione Segmento del pulsante Rette. Con lo strumento Misura fai calcolare al programma la lunghezza della circonferenza e quella del diametro che hai tracciato. Esso fornisce le lunghezze con un approssimazione ai centesimi. Tra le opzioni dello strumento Misura trovi anche Calcolatrice. Se la selezioni, nella parte bassa dello schermo compare una calcolatrice vera e propria. Esegui la divisione tra la lunghezza della circonferenza e quella del diametro. Il programma fornisce il valore, come sempre approssimato ai centesimi, di π, quindi 3,14. Geometria con CABRI Prova ora a modificare le dimensioni della circonferenza, vedi modificarsi automaticamente sia il valore della lunghezza della circonferenza sia quello del diametro. Imposta i nuovi valori che hai scelto ed esegui la divisione. Il risultato è sempre 3,14. Puoi anche verificare che corrisponde a 3,14 il rapporto tra l area del cerchio e il quadrato del raggio. Prova ad eseguire tu questa verifica con una procedura analoga alla precedente, ma facendo calcolare a Cabri l area del cerchio. CONTINUA Riproduci le figure dell esercizio 31, dell esercizio 74 e degli esercizi da 120 a 124 con raggio a tua scelta e utilizza il programma per calcolare quanto richiesto.

19 unità 1 Ciclometria CICLOMETRIA CON GEOGEBRA GeoGebra, come già abbiamo visto, permette di eseguire in modo semplice molte costruzioni relative alla circonferenza. Inoltre, data una qualunque circonferenza, mediante i pulsanti e,il programma visualizza immediatamente la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio, come vedi nella figura a fianco, assumendo il valore di π approssimato ai centesimi, cioè 3,14. DISEGNA E CALCOLA LA LUNGHEZZA DI UN ARCO È possibile calcolare velocemente anche la misura di archi, che possono essere disegnati mediante due opzioni del pulsante di costruzione della circonferenza. Se utilizzi il pulsante disegni l arco dato il centro della circonferenza e due punti su di essa. Puoi quindi controllare sia la lunghezza del raggio sia l ampiezza dell angolo al centro corrispondente all arco che devi disegnare. Se utilizzi il pulsante disegni un generico arco passante per tre punti. In entrambi i casi puoi valutare la loro lunghezza con il pulsante della misura. In modo analogo agli archi puoi disegnare e valutare l area di parti di cerchio mediante due opzioni: con il pulsante disegni un settore circolare con angolo al centro convesso, con il pulsante disegni invece un settore corrispondente a un angolo al centro concavo. In entrambi i casi con il pulsante area ne calcoli la superficie. DALL ARCO ALL ANGOLO AL CENTRO Geometria con GEOGEBRA La costruzione che proponiamo recupera conoscenze che fanno parte del tuo bagaglio con un procedimento al contrario rispetto al solito. Disegna un arco qualunque passante per tre punti. Essi possono essere considerati come vertici di un triangolo che disegni utilizzando il pulsante apposito. La figura che hai considerato è inscritta nella circonferenza alla quale appartiene l arco e il suo centro è il circocentro, punto di incontro degli assi dei lati del triangolo. Costruisci gli assi e determina il punto cercato. Verifica che la circonferenza che ha tale centro e passa per un punto dell arco passa anche per gli altri due. Congiungi ora il centro con gli estremi dell arco e con l apposita opzione misura l ampiezza dell angolo al centro corrispondente all arco disegnato. Nelle figure seguenti sono visualizzati alcuni passaggi di questa costruzione.

20 RICORDA Misura della circonferenza e area del cerchio 19 La circonferenza è una linea chiusa non intrecciata formata dall insieme dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza tra un punto qualunque della circonferenza e il centro si chiama raggio. Per calcolare la lunghezza γ di una circonferenza si moltiplica la lunghezza del raggio per 2π: γ = 2π r Usando l approssimazione ai centesimi di π si può scrivere γ = 2π r = 2 3,14 r = 6,28 r. circonferenza centro raggio γ = 2π r Il cerchio è la parte di piano limitata da una circonferenza. L area C di un cerchio si ottiene moltiplicando per π il quadrato del raggio: C = π r 2 cerchio C = π r 2 L arco è la parte di circonferenza limitata da due punti. La sua lunghezza si ricava mediante la proporzione: γ α γ : 360 = l : α da cui l = 360 α l = γ α 360 Il segmento circolare è la parte di cerchio delimitata da una corda, il settore circolare è la parte di cerchio limitata da due raggi. Il settore è quindi la somma del segmento e del triangolo AOB. La sua area si ricava dalla proporzione C : 360 = s : α da cui s C α = 360 segmento circolare O B A α s = settore circolare C α 360

21 20 unità 1 Ciclometria VERIFICA le tue conoscenze 1 La circonferenza è una linea curva chiusa formata dagli infiniti punti equidistanti dal centro. V F 2 Si chiama circonferenza rettificata un segmento che ha lunghezza congruente a quella della circonferenza. V F 3 La lunghezza della circonferenza si calcola moltiplicando la lunghezza del... per π oppure per il suo valore approssimato... 4 La circonferenza si misura con un unità di a lunghezza b superficie 5 Si definisce cerchio... 6 L area del cerchio si calcola moltiplicando il... per... 7 Il cerchio si misura con un unità di a lunghezza b superficie 8 a Una semicirconferenza è l arco corrispondente a un angolo al centro di... b Un angolo al centro di 90 corrisponde a un arco che... dell intera circonferenza. c Un arco la cui lunghezza è 1/3 della circonferenza corrisponde a un angolo al centro di... 9 Un quarto di cerchio è un arco che corrisponde alla quarta parte della circonferenza. In questa definizione sono stati commessi alcuni errori. Riscrivila in modo corretto Si chiama: a semicerchio... b corona circolare... c settore circolare... d segmento circolare... Individuali nelle seguenti figure

22 METTITI ALLA PROVA 21 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del cerchio Editrice Principato 1 Lunghezza della circonferenza [teoria a pag. 8] Calcola la lunghezza della circonferenza di raggio r = 13 cm. La lunghezza della circonferenza si calcola moltiplicando il raggio per 2π quindi: (13 2π) cm = 26π cm γ γ r Calcola il diametro di una circonferenza lunga 12,56 cm. Fai attenzione che in questo caso è stato considerato il valore di π approssimato ai centesimi, quindi per calcolare il diametro occorre dividere la circonferenza per 3,14. (12,56 : 3,14) cm = 4 cm diametro 1 Calcola la lunghezza di una circonferenza avente il raggio di 10 cm. 20π cm 2 Calcola la lunghezza della circonferenza avente diametro 12 dm. 12π dm 3 Calcola il diametro e la misura di una circonferenza di raggio 25 cm. 50 cm; 50π cm 4 5 Il diametro di una circonferenza misura 34 cm. Calcola la lunghezza del raggio e la lunghezza della circonferenza....; 34π cm Il diametro di una circonferenza misura 42 cm. Calcola il raggio e la lunghezza della circonferenza. 21 cm; 42π cm 6 Calcola il diametro di una circonferenza che misura 50π dm. 50 dm 7 Calcola il raggio di una circonferenza che misura 64π cm. 32 cm 8 Calcola il raggio di una circonferenza lunga 18,84 dm. 3 dm

23 22 unità 1 Ciclometria 9 Completa la seguente tabella di misure in cm relative a circonferenze. Raggio Diametro Circonferenza Raggio Diametro Circonferenza ,5 250π π 75, Il raggio di una circonferenza misura 26 cm. Determina la sua lunghezza eseguendo il calcolo sia con π sia con 3,14. 52π cm; 163,28 cm Una circonferenza misura 48π cm. Calcola la sua lunghezza utilizzando l approssimazione di π e determina la misura del raggio. 150,72 cm; 24 cm Il diametro di una circonferenza misura 36 cm. Calcola il raggio e la lunghezza della circonferenza eseguendo il calcolo sia con π sia con 3, cm; 36π cm; 113,04 cm La somma dei raggi di due circonferenze è 44 cm e la loro differenza 10 cm. Calcola la lunghezza delle due circonferenze. 54π cm;... La differenza tra i raggi di due circonferenze è 14 cm. Sapendo che il diametro della prima è 5/3 di quello della seconda, calcola la lunghezza delle due circonferenze....; 42π cm I raggi di due circonferenze sono uno i 7/6 dell altro e la loro somma è 26 dm. Calcola la lunghezza delle due circonferenze. 28π dm;... Le lunghezze di due circonferenze sono una i 3/5 dell altra e la loro differenza è 12π cm. Calcola i raggi. 9 cm;... La somma delle lunghezze di due circonferenze è 64π cm e la loro differenza 36π cm. Calcola i raggi. 25 cm;... Determina la posizione di due circonferenze lunghe 36π cm e 24π cm, sapendo che la distanza tra i centri è 20 cm. I centri di due circonferenze distano 18 cm. Sapendo che le circonferenze sono lunghe rispettivamente 20π cm e 18π cm, determina la loro posizione reciproca. Due circonferenze lunghe 48π dm e 56π dm, hanno centri che distano 10 dm. Determina la loro reciproca posizione. Due circonferenze lunghe 24π dm e 18π dm sono tangenti esternamente. Calcola la distanza tra i loro centri. Calcola la distanza tra i centri di due circonferenze tangenti internamente, lunghe rispettivamente 14π cm e 9π cm.

24 23 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del cerchio Editrice Principato Due circonferenze tangenti internamente hanno i centri che distano 21 cm e il raggio della maggiore è 8/5 di quello della minore. Calcola la lunghezza delle due circonferenze. 112π cm; 70π cm I raggi di due circonferenze tangenti esternamente sono uno i 3/8 dell altro e la distanza tra i centri è 22 cm. Calcola la lunghezza delle due circonferenze. 12π cm; 32π cm Due circonferenze secanti hanno la corda comune che misura 30 cm. Sapendo che sono lunghe 156π cm e 100π cm, calcola la distanza tra i loro centri. 124,2 cm Un rettangolo ha la base che misura 24 cm ed è 4/3 dell altezza. Sulla base e sull altezza si disegnano due semicirconferenze. Calcola il perimetro del poligono mistilineo che si ottiene. Ip: Ts: AB = 24 cm AB 4/3 BC 2p Calcoliamo la lunghezza della circonferenza di diametro CD e dividiamo a metà la sua lunghezza: γ 1 D C γ 2 24 π =,, = =, cm 2 2 γ 1 A B Analogamente per la circonferenza di diametro BC: [(24 : 4) 3] cm = 18 cm BC 18 π =,, = =, cm 2 2 γ 2 Calcoliamo il perimetro: ( , ,26) cm = 107,94 cm 2p La diagonale di un rettangolo è 25 cm e l altezza è 3/5 di essa. Esternamente al rettangolo si disegnano due semicirconferenze che hanno per diametro le due dimensioni maggiori. Calcola il perimetro della figura mistilinea così ottenuta. 92,8 cm Un rettangolo ha la base congruente a 11/5 dell altezza e il perimetro che misura 128 cm. Disegna, internamente al rettangolo, una semicirconferenza che ha per diametro una delle dimensioni minori. Calcola il perimetro della figura mistilinea ottenuta. 139,4 cm In un triangolo isoscele la base è 8/3 dell altezza e la loro somma misura 22 cm. Esternamente al triangolo si disegnano due semicirconferenze che hanno per diametro i due lati congruenti. Calcola il perimetro della figura mistilinea ottenuta. 47,4 cm In un triangolo isoscele il lato è 13/12 dell altezza e la loro differenza misura 6 dm. Esternamente al triangolo disegna una semicirconferenza che ha per diametro la base del triangolo. Calcola il perimetro della figura mistilinea ottenuta. 250,2 cm

25 24 unità 1 Ciclometria Sui lati di un triangolo rettangolo si disegnano tre semicirconferenze aventi per diametro i lati stessi. Sapendo che la somma dei cateti è 92 cm e la loro differenza 28 cm, calcola il perimetro della figura ottenuta. 251,2 cm Calcola la lunghezza del contorno colorato delle seguenti figure, in base alle ipotesi assegnate. AB = 30 cm ~ ~ ~ ~ A O B A O B Calcola la lunghezza della circonferenza circoscritta a un rettangolo di area 432 cm 2 e altezza 18 cm. γ Ip: Ts: BC = 18 cm A=432 cm 2 γ Con la formula inversa dell area è possibile determinare la base del rettangolo (432 : 18) cm = 24 cm AB Il diametro della circonferenza è la diagonale del rettangolo, che si può calcolare con il teorema di Pitagora = = 900 = 30 cm quindi: 30 π = 30π cm γ D A AC E C B 32 Calcola la lunghezza della circonferenza circoscritta a un quadrato di lato 48 cm π cm Un quadrato avente il perimetro di 44 cm è circoscritto a una circonferenza. Calcola l area del quadrato e la lunghezza della circonferenza. 121 cm 2 ;... Una circonferenza è circoscritta a un rettangolo con le dimensioni di 15 cm e 8 cm. Qual è la sua lunghezza? 17π cm In una circonferenza lunga 240π cm è inscritto un rettangolo con una dimensione di 144 cm. Calcola area e perimetro del rettangolo. 672 cm;... Un trapezio isoscele ha il lato obliquo di 25 cm e l altezza di 20 cm. Calcola il perimetro e l area del trapezio e la lunghezza della circonferenza circoscritta al trapezio, sapendo che la base maggiore coincide col diametro....; 41,7π cm

26 25 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del cerchio Editrice Principato Un triangolo isoscele inscritto in una circonferenza lunga 50π cm ha l altezza che misura 32 cm. Calcola il perimetro e l area del triangolo....; 768 cm 2 Un triangolo isoscele ha l altezza di 36 cm ed è inscritto in una circonferenza con il raggio di 50 cm. Calcola il perimetro e l area del triangolo e la lunghezza della circonferenza....; cm 2 ;... In una circonferenza è inscritto un rettangolo che ha la base congruente a 3/4 dell altezza. Sapendo che il perimetro misura 140 cm, calcola la lunghezza della circonferenza. 50π cm Il perimetro e una dimensione di un rettangolo inscritto in una circonferenza misurano rispettivamente 102 cm e 36 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza. 39π cm In una circonferenza lunga 94,2 cm è inscritto un trapezio isoscele che ha le basi situate da parti opposte rispetto al centro. Sapendo che esse sono una i 3/4 dell altra e che la loro somma misura 42 cm, calcola perimetro e area del trapezio....; 441 cm 2 Calcola la lunghezza della circonferenza circoscritta a un rettangolo di area 1680 cm 2 con una dimensione di 70 cm. 74π cm Un rombo ha il lato che misura 97 dm e la diagonale maggiore 144 dm. Calcola la lunghezza della circonferenza inscritta nel rombo. 96,5π dm Un rombo ha una diagonale congruente a 5/12 dell altra. Calcola la lunghezza della circonferenza inscritta nel rombo sapendo che le diagonali differiscono di 28 cm. 18,5π cm Calcola la lunghezza della circonferenza inscritta in un quadrato di area 1225 dm 2. 35π dm Un quadrato ha il perimetro di 72 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza inscritta e di quella circoscritta al quadrato....; 18π cm Una circonferenza misura 30π cm. Calcola il perimetro e l area del quadrato inscritto e di quello circoscritto alla circonferenza....; 450 cm 2 ; 120 cm;... La corda AB di una circonferenza lunga 188,4 cm divide il diametro CD ad essa perpendicolare in due parti che sono una i 9/16 dell altra. Calcola il perimetro e l area del quadrilatero inscritto che ha per vertici gli estremi delle corde date. 168 cm; Calcola il perimetro di un esagono inscritto in una circonferenza che misura 44π cm. 132 cm 50 Calcola il perimetro e l area di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza lunga 40π dm dm; In una circonferenza lunga 471 cm è inscritto un triangolo isoscele che ha l altezza congruente a 32/25 del raggio. Calcola area e perimetro del triangolo cm 2 ;...

27 26 unità 1 Ciclometria Una corda lunga 42 cm dista 28 cm dal centro di una circonferenza. Calcola la lunghezza della circonferenza e l area del rettangolo inscritto che ha un lato coincidente con la corda. 70π cm; 2352 cm 2 In una circonferenza lunga 50π cm è tracciata una corda lunga 40 cm. Calcola il perimetro e l area di ognuno dei due triangoli isosceli inscritti nella circonferenza che hanno per base la corda....; 800 cm 2 ;...; 200 cm 2 Una corda misura 24 cm ed è congruente a 24/5 della sua distanza dal centro. Calcola la lunghezza della circonferenza a cui appartiene la corda. 26π cm Da un punto distante 25 cm dal centro di una circonferenza si traccia una tangente lunga 15 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza. 40π cm Calcola la lunghezza della circonferenza circoscritta a un triangolo rettangolo sapendo che un cateto misura 16 cm ed è congruente a 15/8 dell altro. 34π cm I cateti di un triangolo rettangolo hanno rapporto 3/4 e somma 56 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza circoscritta al triangolo. 40π cm 2 Area del cerchio [teoria a pag. 11] Calcola l area di un cerchio che ha il raggio r = 22 cm. L area di un cerchio si calcola moltiplicando per π il quadrato del raggio, quindi: (22 2 π) cm 2 = 484π cm 2 C r Ricorda che puoi utilizzare il valore 3,14, cioè l approssimazione di π ai centesimi. Il calcolo precedente diventa: 484π cm 2 = 484 3,14 cm 2 = 1519,76 cm 2 C 58 Il raggio di una circonferenza è 15 cm. Calcola la sua lunghezza e l area del cerchio....; 225π cm Il diametro di una circonferenza è 60 m. Calcola la lunghezza della circonferenza e l area del cerchio che hanno raggio uguale alla metà di quello della circonferenza data. 30π m;... La lunghezza di una circonferenza è 120π cm. Calcola l area del corrispondente cerchio. 3600π cm 2 61 Un cerchio ha area di 576π cm 2. Calcola la lunghezza della circonferenza. 48π cm

28 27 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del cerchio Editrice Principato 62 Completa la seguente tabella dove γ indica la lunghezza della circonferenza e C l area del cerchio: r D γ C π 125,6 48π Una circonferenza misura 60π cm. Calcola la lunghezza della circonferenza e l area di un cerchio che ha raggio uguale a 4/5 di quella data. 48π cm;... La somma dei raggi di due circonferenze è 33 cm è uno è 5/6 dell altro. Calcola la lunghezza delle due circonferenze e l area dei due cerchi. 30π cm;...;...; 324π cm 2 La somma dei raggi di due circonferenze è 28 cm e la loro differenza è 12 cm. Calcola le lunghezze delle due circonferenze e l area dei due cerchi. 16π cm;...;...; 400π cm 2 66 Due circonferenze sono tangenti internamente. Sapendo che la distanza tra i centri è 12 cm e il raggio della più piccola è 9 cm, calcola l area della parte di piano limitata dalle due circonferenze. O O 360π cm 2 67 Calcola l area della corona circolare limitata da due cerchi con raggi di 24 cm e 16 cm. 24 cm 16 cm π cm 2 Una corona circolare è limitata da due circonferenze. Una ha raggio 12 cm, l altra ha lunghezza 60π cm. Calcola la sua area. 756π cm 2 Una corona circolare ha area 3136π cm 2 mentre una delle due circonferenze ha raggio 33 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza maggiore. 130π cm

29 28 unità 1 Ciclometria La differenza tra le aree di due cerchi è 64π cm 2 e la più piccola ha raggio di 15 cm. Calcola la lunghezza della circonferenza maggiore. 34π cm Il rapporto tra i raggi di due circonferenze concentriche è 2/3 e la loro differenza misura 6 cm. Calcola l area della corona limitata dalle due circonferenze. 180π cm 2 La somma dei raggi di due circonferenze concentriche è 52 cm e la loro differenza è 8 cm. Calcola l area della corona limitata dalle due circonferenze. 416π cm 2 Il rapporto tra le aree di due cerchi concentrici è 49/9 e l area della corona circolare da essi individuata misura 360π cm 2. Calcola la lunghezza delle circonferenze che la delimitano....; 18π cm Calcola il perimetro e l area della parte colorata nelle seguenti figure in relazione alle ipotesi assegnate. AO = 12 cm A O B C D AB = 32 cm AB = 36 cm A B A B A B C AC = 34 cm AH = 30 cm A H AB + CD = 126 cm 4 AB CD 3 CH = 12 cm D A B H C B AO = 11 cm O A O A

30 29 capitolo1 Misura della circonferenza e area Casa del cerchio Editrice Principato Una corda lunga 72 cm è distante 15 cm dal centro di una circonferenza. Calcola l area del cerchio π cm 2 In una circonferenza con raggio di 6,5 cm è inscritto un rettangolo con la base di 5 cm. Calcola il perimetro e l area della figura limitata dalla circonferenza e dal rettangolo....; 72,7 cm 2 Un quadrato ha area di 676 cm 2. Esternamente al quadrato si considerino quattro semicerchi aventi per diametro il lato del quadrato. Calcolare il perimetro e l area della figura ottenuta....; 1 737,3 cm 2 Un rettangolo ha l area di 600 cm 2 e la base di 30 cm. Internamente al rettangolo si considerano due semicirconferenze aventi per diametro l altezza. Calcola il perimetro e l area della figura mistilinea che si ottiene. 122,8 cm;... Un triangolo equilatero ha il perimetro di 90 cm. Esternamente al triangolo si costruiscono tre semicerchi aventi per diametro il lato del triangolo. Calcola l area della figura ottenuta cm 2 80 In una semicirconferenza di diametro AB = 37 cm è inscritto il triangolo ABC. Di che triangolo si tratta? Sapendo che AC = 12 cm, calcola l area della parte di piano limitata dal cerchio e dal triangolo. C A B 864,67 cm In un cerchio di area 1225π cm 2 è data una corda di 56 cm. Calcola l area della parte di piano limitata dal cerchio e dal triangolo isoscele inscritto nella circonferenza che ha per base tale corda ,5 cm 2 Un triangolo rettangolo ha i cateti che sono uno i 5/12 dell altro e la loro somma è 119 cm. Calcola l area della parte di piano limitata dal triangolo e dal semicerchio circoscritto ,3 cm In un cerchio con diametro 85 cm, sono inscritti due triangoli rettangoli aventi l ipotenusa in comune e situati da parti opposte rispetto ad essa. Sapendo che un cateto del primo triangolo è 13 cm e un cateto del secondo è 36 cm, calcola l area della parte di piano limitata dal poligono e dal cerchio. Calcola l area della parte colorata evidenziata nella figura a fianco, sapendo che la lunghezza della circonferenza misura 275π cm e la diagonale BD è 24/25 del diametro. C B D 3 739,6 cm 2 A ,6 cm 2