Scienza delle Costruzioni

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3 Raffaele Zinno Giovanna Spitaleri Giuseppe Donato Scienza delle ostruzioni ESERIZI Strutture isostatiche Geometria delle aree Travature reticolari erchi di Mohr RNE

4 opyright MMV RNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133 / Roma (06) ISN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: ottobre 005

5 Tutto è difficile prima di essere facile Thomas uller

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7 Indice 7 INDIE Prefazione 11 Vincoli 13 Sezione 1 Strutture isostatiche 15 Esercizio Esercizio. 19 Esercizio 3. Esercizio 4. 4 Esercizio 5. 7 Esercizio Esercizio 7. 3 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio. 80 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Sezione Strutture reticolari 99 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Sezione 3 Geometria delle aree 119 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

8 8 Indice Sezione 4 Geometria delle aree / Sezioni sottili 133 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Sezione 5 erchi di Mohr 149 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Sezione 6 Esercizi proposti 169 Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Esercizi proposti Sezione 7 Soluzione esercizi proposti 185 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

9 Indice 9 Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio Esercizio

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11 11 PREZIONE a Scienza delle ostruzioni ha rappresentato spesso per molti studenti in ingegneria una delle discipline cui destinare particolari sforzi ed attenzione per la comprensione dei suoi concetti fondamentali e per il loro trasferimento nella pratica applicativa. Questa difficoltà è stata frequentemente anche accompagnata dalla scarsità di testi specifici destinati alla parte esercitativa, cui gli studenti sopperivano con l ausilio degli appunti delle lezioni che i docenti, o i colleghi più anziani, mettevano loro a disposizione. Il passaggio dal vecchio al nuovo ordinamento ha molte volte acuito questo deficit, e gli utori hanno potuto sperimentarlo nello svolgimento della loro attività didattica nel corso di Scienza delle ostruzioni per la laurea di primo livello in Ingegneria per l mbiente ed il Territorio dell Università degli Studi della alabria. Per dare risposta alla richiesta dei propri allievi, gli utori hanno allora, in prima battuta, fatto uso delle moderne tecnologie informatiche che, attraverso la rete internet, hanno consentito di fornire agli studenti testi e soluzioni degli esercizi somministrati agli esami. Gli studenti, però, richiedevano, ovviamente, anche maggiore supporto nello sviluppo di esercizi preparatori all esame. Si è giunti così all idea di sviluppare questo testo, rivolgendosi particolarmente agli studenti del nuovo ordinamento in ingegneria ambientale, in ingegneria civile ed in ingegneria edile. Sono presentati cinquanta esercizi svolti e ne sono proposti altrettanti, cercando di favorire l apprendimento delle tecniche risolutive riguardanti le strutture isostatiche, le travature reticolari, la geometria delle aree e i cerchi di Mohr. Volutamente si è omessa la parte relativa alla descrizione degli esercizi base (trave appoggiataappoggiata, mensola, etc.) che descrivono le tecniche risolutive e la rappresentazione dei diagrammi delle sollecitazioni. Infatti il testo non è sostitutivo di testi ben noti e, da almeno un ventennio, utilizzati quali ausilio all insegnamento della Scienza delle ostruzioni. Gli argomenti trattati sono, ovviamente, quelli iniziali della disciplina, ma proprio per questo quelli cui dedicare un tempo sufficiente per il consolidamento del loro apprendimento, essendo propedeutici a qualunque altro argomento di maggiore complessità. a loro relativa semplicità non significa, però, scarsa importanza nella pratica applicazione degli stessi concetti e delle tecniche risolutive. Per questo motivo si è scelto di riprodurre in copertina l immagine e gli schemi statici del famoso Palazzetto dello Sport di Roma progettato da Pierluigi Nervi. Osservando tali schemi, infatti, si scopre che sono isostatici, ma essi hanno consentito di realizzare un opera che è naturale definire contemporaneamente bella e ardita. o stesso ragionamento si può fare per le strutture, quasi sempre isostatiche, in legno lamellare, per quelle prefabbricate, etc. a geometria delle aree è fondamentale per gli argomenti legati all analisi dello stato deformativo e tensionale delle strutture. e travature reticolari rappresentano una delle soluzioni per ponti, coperture, etc. da sempre utilizzate, soprattutto se si fa uso di legno o di acciaio, e che probabilmente rappresenteranno una delle soluzioni più consone all utilizzo di materiali compositi, quali i plastici fibrorinforzati pultrusi, le cui sagome sono spesso molto simili a quelle degli elementi in acciaio. Particolare attenzione, infine, si è dedicata alla descrizione delle tecniche di analisi dello stato tensionale con i erchi di Mohr, perché il testo nasce in corsi di laurea, quale quello in Ingegneria mbientale, in cui discipline affini alla Scienza delle ostruzioni, quali

12 1 Prefazione la Tecnica delle ostruzioni, la Geotecnica e la Meccanica delle Terre, fanno molto uso di tale metodo grafico-analitico per i loro scopi didattici e progettuali. Gli utori sperano, quindi, di aver contribuito a agevolare gli studenti nell apprendimento di conoscenze e nell acquisizione di competenze che non si esauriscono certo con il superamento del singolo esame scritto ed orale di Scienza delle ostruzioni, ma che dovrebbero divenire bagaglio culturale da sfruttare, immediatamente, nelle altre discipline ingegneristiche e, successivamente, nella vita professionale. Si è sicuri che, nonostante gli sforzi profusi e l attenzione dedicata nella stesura di tale testo, saranno presenti errori ed omissioni. Si sarà, quindi, grati a quanti, fra studenti, professionisti e colleghi docenti, vogliano segnalarceli in modo da correggerli in eventuali nuove edizioni. Università degli Studi della alabria, rcavacata di Rende (S), Ottobre 005 Raffaele Zinno, Giovanna Spitaleri, Giuseppe Donato

13 Vincoli 13 Vincoli Definizione dei Vincoli cinematici Si definisce vincolo cinematico ogni impedimento alla libera mobilità dei corpi. Proprietà dei vincoli Olonomi: impongono restrizioni alla sola posizione del corpo issi: indipendenti dal tempo ilaterali: ogni componente cinematica impedita lo è in entrambi i versi Privi di attrito: consentono integralmente i movimenti cui non si oppongono. Vincolo Reazioni vincolari Spostamenti non consentiti Vincoli esterni Grado di vincolo: 1 V H M v u H u Grado di vincolo: V H M u v Grado di vincolo: 3 V H M v u Grado di vincolo: 1 Vincoli interni H H M M u H H u Grado di vincolo: V H M V H M u v Sistema di riferimento y,v x,u

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15 Sezione 1 Strutture isostatiche

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17 Strutture isostatiche 17 Esercizio 1 y x / / 1) Determinare le reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica. ) Determinare almeno una reazione con il P..V. associato alle catene cinematiche. 3) Disegnare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione M, T, N. Soluzione Punto 1 Utilizzo equazioni cardinali della statica onvenzioni positive: forze v u spostamenti H V V Equazioni di equilibrio globale: 1) // x : H 0 ) // y : V V 7 3) Polo : V 0 V 11 Dalla () V Schema reazioni vincolari H V=11 V=7 Punto P..V. + catene cinematiche alcolo della reazione vincolare V 1 1 / / P..V.: V 0 alcolo della reazione vincolare V 1 V / / P..V.: V 0 1

18 18 Sezione V V alcolo della reazione vincolare H H 1 u=cost P..V.: H u 0 0 H Punto 3 Disegno diagrammi N, T, M Sforzo Normale N=0 Diagramma Sforzo di Taglio T 7 5 T= Diagramma Momento lettente M 4 fibre tese Nel punto il taglio è discontinuo perché in esso è applicata una forza concentrata ; ciò comporta un salto T nel diagramma pari ad. In corrispondenza, nel diagramma del momento, la pendenza è diversa a destra e a sinistra del punto.

19 Strutture isostatiche 19 Esercizio y q x D 1) Determinare le reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica ) Determinare almeno una reazione con il P..V. associato alle catene cinematiche 3) Disegnare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione M, T, N. Soluzione Punto 1 Utilizzo equazioni cardinali della statica onvenzioni positive: forze v u spostamenti V H H 45 D q y x D 5 sen cos Equazioni di equilibrio globale 1) // y : V q H 5 q ) Polo : H V q 3 0 3) // x : H H H 5 q Schema reazioni vincolari V=q H=5q 45 D q H=5q

20 0 Sezione 1 Punto P..V. + catene cinematiche alcolo della reazione vincolare V alcolo della reazione vincolare H V 1 D q H D q v=cost P..V.: V v q v 0 q V 1 1 M P..V.: H q 0 H q alcolo della reazione vincolare H 1 D q 1 H P..V.: H q 0 H q Punto 3 Disegno diagrammi N, T, M Diagramma Sforzo Normale N 5q q D 5q 5 5 N D V cos 45 q, N D H q, N D H cos q 5q 5 0

21 Strutture isostatiche 1 Diagramma Sforzo di Taglio T q q D K J 5q Diagramma Momento lettente M 5q 3q 1q D q K equaz. II grado J fibre tese 5q q Verifica Nodo D D 3q Nel tratto JK il diagramma del taglio è linearmente crescente mentre quello del momento è parabolicamente crescente. Il taglio è, infatti, la funzione derivata del momento.

22 Sezione 1 Esercizio 3 q y x 1) Determinare le reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica. ) Determinare almeno una reazione con il P..V. associato alle catene cinematiche. 3) Disegnare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione M, T, N. Soluzione Punto 1 Utilizzo equazioni cardinali della statica onvenzioni positive: forze v u spostamenti M H q y x V Equazioni di equilibrio globale: 1) // x : H 0 ) // y : V q 3 Polo : M V q 3) 0 q M Schema reazioni vincolari M=1q H q V=q

23 Strutture isostatiche 3 Punto P..V. + catene cinematiche alcolo della reazione vincolare V alcolo della reazione vincolare H q q H 1 1 V u = cost v = cost P..V.: V v q v 0 V q P..V.: H u 0 0 H alcolo della reazione vincolare M q 1 M 1 1 P..V.: M q 0 q M Punto 3 Disegno diagrammi N, T, M Diagramma Sforzo Normale N q Diagramma Sforzo di Taglio T q Diagramma Momento lettente M q fibre tese

24 4 Sezione 1 Esercizio 4 y x D E G H M N O P Q R / / 1) Determinare le reazioni vincolari con le equazioni cardinali della statica ) Disegnare i diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione M, T, N. Soluzione Punto 1 Utilizzo equazioni cardinali della statica onvenzioni positive: forze v u spostamenti V y x M H Equazioni di equilibrio globale: 1) // x : H ) Polo : M 0 M 0 3) // y : V 4 V