Confronto tra modelli teorici e osservazioni di Galassie Ellittiche

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1 Università degli studi di Firenze Scuola di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Corso di Laurea in Fisica e Astrofisica Confronto tra modelli teorici e osservazioni di Galassie Ellittiche Comparison between theoretical models and observations of Elliptical Galaxies Tesi di Laurea di: Andrea Vagnoli Relatore: Prof. Alessandro Marconi Anno Accademico /2014

2 Indice Introduzione 2 1 Modelli teorici I sistemi auto-gravitanti Il modello di King Il modello di King con taglio a brevi distanze sulle interazioni Prospettive del modello Profili di brillanza di Galassie Ellittiche Galassie ellittiche e ammassi galattici Le osservazioni e scansioni dei profili Analisi dati Calcolo delle masse nel modello King modificato Confronto con le osservazioni Conclusioni 33 Appendice A - Confronto con la galassia 1075 Virgo 35 Appendice B - Confronto con la galassia 303 Fornax 39 Bibliografia 43 1

3 Introduzione Le Galassie Ellittiche sono i prototipi di sistemi a molti corpi con interazioni a lungo raggio e per studiarne le proprietà si sono costruiti vari modelli analizzati nella letteratura scientifica degli ultimi anni. Oggetto principale della tesi è il confronto con le osservazioni di un modello di King per un sistema auto-gravitante modificato con l introduzione di una lunghezza di taglio (da qui in poi utilizzeremo il termine inglese cutoff ) sulle interazioni gravitazionali del sistema. Il modello è stato sviluppato da Lapo Casetti e Cesare Nardini e viene confrontato con le osservazioni dei profili di brillanza superficiale di Galassie Ellittiche dell Ammasso della Vergine e della Fornace. Questo confronto tra un nuovo possibile modello per la descrizione di sistemi auto-gravitanti e i dati sperimentali (nel nostro caso ci occupiamo di Galassie Ellittiche, ma la trattazione potrebbe essere ampliata ad altri sistemi come gli Ammassi Globulari) è di fondamentale importanza per la verifica o meno della validità dello stesso modello. Le conclusioni derivanti dal confronto infatti potranno confermare il modello o dare nuovi spunti per una nuova e corretta formulazione che meglio si adatti alle osservazioni. Il presente lavoro è organizzato come descritto in seguito. Nel primo capitolo è presente l introduzione e l analisi di vari modelli per i sistemi auto-gravitanti, partendo dal caso di Sfera Isoterma, passando poi al modello di King ed infine alla modifica di questo con l introduzione del cutoff sulle interazioni. In particolare al termine di questa prima parte, mi soffermerò sulla forma dei profili di densità dati dal modello teorico con varie lunghezze di cutoff a e all aumentare del parametro W 0 del sistema. Questo parametro esprime l indice di collasso del sistema e quindi per valori sempre più alti di W 0, che corrispondono ad energie potenziali sempre più basse, si evidenzia l esistenza di un core compatto più denso rispetto al resto del sistema. Dopo una rapida descrizione qualitativa delle galassie ellittiche e degli ammassi galattici, nel secondo capitolo della tesi riporterò le caratteristiche e le 2

4 proprietà ricavate dalle osservazioni che verranno utilizzate per il confronto, ovvero i profili di brillanza superficiale di Galassie Ellittiche rappresentati nell articolo di Côté et al.(2007). Si spiegherà in particolare come si estraggono i dati che verranno poi utilizzati dai grafici delle curve di luminosità. Nel terzo capitolo si presenta l analisi dei dati che si articolerà in più parti. Per prima cosa analizzeremo i profili teorici del modello col taglio sulle interazioni soffermandoci in particolare sul calcolo delle masse delle due componenti che si evidenziano nel sistema, con l aumentare del parametro W 0, e il rapporto tra la massa della componente interna e la massa totale. Passeremo poi al vero e proprio confronto dei profili numerici del modello con le osservazioni estratte e rielaborate dall articolo di riferimento. Il quarto e conclusivo capitolo, infine, riassume i risultati trovati nello svolgimento della tesi e presenta possibili approfondimenti del lavoro svolto. 3

5 Capitolo 1 Modelli teorici Sistemi auto-gravitanti, come le Galassie Ellittiche e gli Ammassi Globulari, sono i prototipi di sistemi a molti corpi con interazioni a lungo raggio. In generale, i sistemi di particelle classiche auto-gravitanti possono essere studiati con gli stessi strumenti standard della meccanica statistica ma a condizione che il potenziale sia regolarizzato a piccole distanze e il sistema sia confinato in una scatola. Quest ultima condizione non è molto fisica poiché i sistemi in questione non sono contenuti in nessun genere di scatola: è quindi lecito chiedersi cosa cambi considerando i sistemi auto-gravitanti reali. Come base di partenza per la mia trattazione, considererò il Modello di King che descrive un sistema auto-consistente confinato (senza ausilio di scatola esterna) ma con stato stazionario non termico. Quindi considererò un modello di King modificato con l introduzione di una lunghezza di taglio (cutoff ) a corto raggio sulle interazioni, riferendomi all articolo di Lapo Casetti e Cesare Nardini, Caloric curve of star clusters [2]: il taglio introdotto stabilizza la fase di bassa energia e genera una curva calorica molto simile a quella dei modelli confinati e regolarizzati ma con l assenza della fase gassosa ad alta energia. Guardando invece i profili di densità al variare del raggio, si evidenzia la presenza di due componenti che contribuiscono alla massa del sistema. 4

6 1.1 I sistemi auto-gravitanti Considerando un sistema di N particelle puntiformi di massa m interagenti mediante forza gravitazionale, l Hamiltoniana risulta essere: H(r 1,..., r N, v 1,..., v N ) = m 2 N vi 2 Gm 2 i=1 N i=1 N j>i 1 r i r j (1.1) scritta come funzione delle posizioni r i e delle velocità v i delle particelle, dove v i = v i e G è la costante di gravitazione universale di Newton. Le proprietà di equilibrio del sistema ad energia costante E si può derivare dall entropia microcanonica dove ω(e) è la densità degli stati definita come ω(e) = S(E) = log ω(e) (1.2) δ[h(r 1,..., r N, v 1,..., v N ) E] N dr i dv i (1.3) L integrale nell eq. (1.3) però è ben definito solo quando il potenziale di interazione è regolarizzato per piccole distanze e il sistema è racchiuso in un volume V finito; andando adesso nel limite N (approssimazione di Campo-Medio ) 1 posso considerare il caso della Sfera Isoterma. I più semplici sistemi stellari sono sferici e uno studio di modelli sferici non è solo una buona introduzione alla struttura dei sistemi più generali ma ha anche un interesse pratico poiché molte galassie ellittiche, ammassi galattici e ammassi globulari hanno una struttura con buona approssimazione sferica. Però dal punto di vista astrofisico una sfera isoterma ha un importante difetto: una massa infinita. Considero quindi un sistema confinato all interno di una sfera di raggio R dove lo stato è descritto da una funzione di distribuzione di singola particella f(r, v) normalizzata, per cui la sua massa totale sarà data da M = f(r, v)drdv. (1.4) In questa situazione l entropia microcanonica sarà un funzionale della f e gli stati di equilibrio corrisponderanno ai massimi dell entropia. Imponendo quindi le condizioni di stazionarietà si trova che la funzione di 1 Per sistemi con N > 2 il calcolo analitico di ω(e) è impossibile. i=1 5

7 Figura 1.1 Densità adimensionale ϱ( r) della Sfera Isoterma (la linea tratteggiata rappresenta il profilo nel caso di Sfera Isoterma Singolare). distribuzione ha simmetria sferica e dipende solamente dall energia di singola particella f(r, v) = f(r, v) = Ce γ[v2 /2+ϕ(r)] (1.5) dove C è una costante di normalizzazione che dipende dalla massa M, γ è proporzionale all inverso della temperatura e ϕ(r) è il potenziale gravitazionale che obbedisce all equazione di Poisson 2 ϕ(r) = 4πGϱ(r). (1.6) La densità di massa ϱ che genera il potenziale gravitazionale del sistema sarà legata a f da ϱ(r) = f(r, v)dv. (1.7) Trovato l f corrispondente al massimo locale dell entropia allora il problema si risolve tramite l eq. di Poisson (1.6) e la (1.5) accoppiata con la (1.7). Arriviamo quindi alla soluzione di Sfera Isoterma Singolare che ha una densità infinita per r 0; operando un riscalamento con nuove variabili adimensionali 2 ϱ e r otteniamo il profilo di densità rappresentato in Figura Ovvero, prendendo ϱ 0 la densità centrale e r 0 il raggio di King, ho che ϱ = ϱ e r = r 9v 2 dove r 0 =. (1.8) ϱ 0 r 0 4πGϱ 0 6

8 Figura 1.2 Curva calorica della Sfera Isoterma (la linea rossa tratteggiata corrisponde agli stati instabili). Analizziamo adesso la curva calorica, ovvero la relazione tra la temperatura 3 T e l energia E = K + U, dove K energia cinetica e U energia potenziale gravitazionale, nel caso di Sfera Isoterma 4 : se si introducono le quantità adimensionali ϑ e ε ϑ = RE (1.10) GM 2 ε = RT (1.11) GM 2 si trova la curva calorica ϑ(ε) rappresentata in Figura 1.2. In particolare si vede che intorno all energia minima si hanno stati instabili dovuti al fatto che non abbiamo regolarizzato le interazioni a piccole distanze: come vedremo in seguito, l introduzione della regolarizzazione stabilizza la fase di basse energie. 3 In tutta la nostra trattazione faremo la semplificazione β = T 1. 4 Nell approssimazione di Campo-Medio ho che U = 1 ϱ(r)ϕ(r)dr e K = 1 v 2 f(r, v)drdv = 3T (1.9) poiché T = (ds/de) 1. 7

9 1.2 Il modello di King I sistemi auto-gravitanti reali, come Galassie Ellittiche ed Ammassi Globulari, non presentano stati di equilibrio termodinamico poiché non sono racchiusi in una scatola. Inoltre hanno forma sferica con un ottimo grado di approssimazione ma non possono essere efficacemente descritti dal modello di sfera isoterma poiché hanno dimensione finita. Per esprimere la finitezza del sistema introduciamo quindi un raggio massimo, indicato come raggio mareale (tidal radius) r t dove la densità ϱ data dall equazione (1.7) va a 0. In sostanza, l idea alla base del modello di King è una modifica al caso della Sfera Isoterma : lo stato del sistema è definito tramite una funzione di distribuzione di singola particella a simmetria sferica f K (r, v) dove la massa totale M è data dall eq. (1.4) e la distribuzione delle velocità si ottiene tramite l abbassamento di una Maxwelliana, cioè facendo in modo che le particelle non possano avere una velocità maggiore di una certa velocità di fuga v e (r). La funzione di distribuzione di King è una modifica della (1.5) e vale ] Ce [e 2γϕ(r) γv2 e γv2 e(r) se v 2 < v f K (r, v) = e(r) 2. (1.12) 0 se v 2 ve(r) 2 Detto questo, tutto procede come nel caso della Sfera Isoterma: il potenziale ϕ(r) obbedisce all equazione di Poisson (1.6) e otteniamo un equazione differenziale la cui soluzione fornisce f, ma a differenza del caso della Sfera Figura 1.3 Profili di densità di quattro modelli di King con diversi potenziali centrali di partenza ϕ 0. 8

10 Isoterma, l f ottenuto non è un punto stazionario dell entropia microcanonica. In pratica si sceglie un valore per il potenziale centrale ϕ 0 o per la densità centrale ϱ 0 = ϱ(0) e si integra l equazione differenziale per ottenere il profilo di densità ϱ(r). In Figura 1.3 sono rappresentati quattro diversi profili per il modello di King. Se r t, allora il modello di King diventa uguale al caso della sfera isoterma con R e M. Per esempio, confrontando questo modello con le osservazioni, si vede che genera profili di densità che ben si adattano a circa l 80% degli Ammassi Globulari della Via Lattea, mentre non si adattano al restante 20% che corrisponde ad Ammassi che hanno subito un collasso nella zona centrale. A differenza del caso della Sfera Isoterma, la forma della curva calorica adimensionale 5 ϑ(ε) si ha direttamente dal Teorema del Viriale 6 e quindi avrò la relazione ϑ = 2 3 ε. (1.14) Dalla Figura 1.4 si nota come la simulazione numerica del modello dia valori corrispondenti alla legge viriale trovata. 1.3 Il modello di King con taglio a brevi distanze sulle interazioni Passo adesso a illustrare un modello di King modificato con l introduzione di un taglio (cutoff ) a piccole distanze sulle interazioni, sviluppato da Lapo Casetti e Cesare Nardini. Questo taglio deve essere introdotto non solo per ben definire la densità degli stati (1.3), ma anche perché non esistono sistemi fisici dove il potenziale d interazione gravitazionale è predominante a tutte le lunghezze scala! 7 5 L unità di energia in questo caso è GM 2 /r t. 6 Dove l energia cinetica K e potenziale U sono dati dalla formula (1.9), dove però il potenziale ϕ(r) non è il potenziale della (1.12) ma il potenziale che si annulla all infinito ϕ = ϕ(r) ϕ( ) = ϕ(r) GM/r t e quindi avrò U = GM 2 2r t rt + 2π ϱ(r)ϕ(r)r 2 dr. (1.13) 0 7 Per la trattazione teorica in questo paragrafo assumeremo la lunghezza di taglio come un parametro esterno fisicamente non ben definito: la sua caratterizzazione fenomenologicamente necessaria verrà discussa nel prossimo paragrafo. 9

11 Figura 1.4 Curva calorica del modello di King: la linea nera rappresenta la legge viriale (1.14) e i pallini blu indicano i valori di ϑ e ε calcolati usando funzioni di distribuzione di King. Vediamo quindi come viene modificato il modello di King. Come funzione di distribuzione assumiamo quella del modello di base, ovvero f K (r, v) data dall eq. (1.12), ma per regolarizzare il potenziale si considera il Plummer softening espresso dalla sostituzione formale 1 r r 1 (1.15) r r 2 + a 2 dove a è la lunghezza di taglio. Quindi il potenziale gravitazionale regolarizzato ϕ (r) generato dalla densità di massa ϱ risulta ϕ (r) = G ϱ(r ) r r 2 + a 2 dr (1.16) che indichiamo con ϕ poiché si azzera per r, per distinguerla dal potenziale ϕ che compare nella funzione di distribuzione di King (1.12) che si azzera a r t. Considerando che ϱ(r) = 0 se r > r t, dalla definizione di raggio mareale, posso riscrivere il potenziale ϕ (r), che dipenderà solamente da r poiché siamo in condizioni di simmetria sferica, e successivamente ottenere il potenziale 10

12 ϕ(r) dell equazione (1.12) sottraendo al ϕ (r) il ϕ (r t ), ottenendo rt [ Θ(r) ϕ(r) = 2πG r ϱ(r ) Θ(r ] t) dr (1.17) 0 r r t dove ho posto Θ(z) = (r + z) 2 + a 2 (r z) 2 + a 2 (1.18) Si può verificare che ϕ(r t ) = 0. A differenza del modello di King standard, questo potenziale non obbedisce all equazione di Poisson o un equazione simile; allora per trovare esplicitamente il profilo di densità ϱ(r) dobbiamo risolvere l equazione della densità come funzione del potenziale, ovvero la (1.7) con f data da (1.12), e (1.17) definendo il potenziale come funzione della densità. Conviene adesso definire il potenziale adimensionale W come W (r) = 2γϕ(r) (1.19) dove γ è l inverso del potenziale scala dell equazione (1.12). Analogamente W con ϕ al posto di ϕ. Per definizione, W 0 se r r t, con W (r t ) = 0, pertanto se integriamo la (1.7) con la f data dalla (1.12) otteniamo dove ϱ(r) = 4πC Φ[W (r)] (1.20) 3γ3/2 W Φ(W ) = 2e W e η2 η 4 dη (1.21) e C è la costante di normalizzazione 8. Inoltre per procedere è conveniente introdurre quantità adimensionali delle varie grandezza in gioco e, prendendo r t come unità di lunghezza, M come unità di massa e GM 2 /r t come unità di energia, definisco il raggio adimensionale x come x = r (1.23) r t 0 8 Posso esprimere la costante di normalizzazione tramite la massa totale M 3γ 3/2 M C = 16π 2 r t 0 Φ[W (r)]r2 dr e poiché W (r t ) = 0, la (1.20) mi implica ϱ(r t ) = 0 come da precedente definizione. (1.22) 11

13 la densità di massa adimensionale ψ ψ = ϱr3 t M (1.24) l inverso del potenziale scala adimensionale j 2 e la lunghezza di taglio adimensionale α j 2 = γgm r t (1.25) α = a r t (1.26) Usando queste quantità il sistema di equazioni adimensionali da risolvere numericamente è: Φ[W (x)] ψ(x) = 4π 1 Φ[W (1.27) 0 (y)]y2 dy W (x) = 4πj2 x 1 0 W (x) = W (x) W (1) (1.28) [ (y yψ(y) + x)2 + α 2 ] (y x) 2 + α 2 dy (1.29) con Φ dato dall eq. (1.21). Le equazioni precedenti vanno risolte iterativamente partendo da una condizione iniziale per la densità adimensionale ψ 0 (x). 9 In pratica, dopo aver fissato il valore di α, si sceglie un valore di W 0 e pongo j 2 in modo che W (0) = W 0 : quindi diamo a ψ una condizione iniziale ψ 0 (x) che soddisfa i vincoli della procedura. Poi calcoliamo W dalle eq. (1.28) e (1.29) e inseriamo la funzione W (x) che otteniamo nella (1.27), trovando una nuova ψ(x) che rimettiamo nella (1.29). Si itera la procedura finché la differenza integrata tra le due densità dei due diversi livelli della procedura diventa più piccola di una soglia predeterminata. Questo fornisce il profilo di densità adimensionale desiderato corrispondente al valore prescelto di W 0, alle diverse lunghezze di taglio adimensionali α. 9 Durante la procedura iterativa devono essere soddisfatti i vincoli che densità e potenziale debbano svanire per x = 1 (ovvero ψ(1) = W (1) = 0) e 4π 1 0 ψ(x)x 2 dx = 1. (1.30) A causa della forma delle equazioni (1.27), (1.28) e (1.29), i vincoli sono automaticamente soddisfatti durante la procedura iterativa una volta che la condizione iniziale ψ 0 (x) scelta è compatibile con i vincoli. 12

14 (a) (b) Figura 1.5 Curve caloriche del modello di King con cutoff : in fig.(a) per α 2 = 10 3, in fig.(b) per α 2 = Dato il profilo di densità ψ(x) e il corrispondente profilo W (x) posso calcolarmi le energie cinetiche e potenziali adimensionali, rispettivamente κ e u, e quindi l energia totale adimensionale ε ε = κ + u (1.31) e data la temperatura adimensionale ϑ = T r t /(GM 2 ) tale che ϑ = 2 3 κ (1.32) ottengo le curve caloriche ϑ(ε) del modello di King con vari cutoff, rappresentate in figura 1.5. Osservandola emergono tre principali aspetti: per prima cosa si ha una stabilizzazione della fase vicino all energia minima ε α min = u α min = 1 2α (1.33) e poiché ε α min < ε King min, ho una zona di basse energie più estesa. Secondo, la regione ad alte energie è confrontabile col modello di King senza cutoff a patto che α , ovvero a cutoff adimensionali sempre più bassi. 10 Infine questo modello King modificato genera una curva calorica molto simile a quella dei modelli confinati e regolarizzati ma con l assenza della regione a fase gassosa ad alta energia Infatti nel limite di α 0, ovvero a 0, si ritorna al modello di King originale. 11 Le curve caloriche tipiche di un modello di un sistema auto-gravitante regolarizzato e confinato (vedi Figura 1.6) hanno per alte energie una fase gassosa, dove la curva 13

15 Analizziamo adesso i profili di densità adimensionali ψ(x) che ottengo alle varie lunghezze di taglio α per diversi valori di W 0 (e quindi per diverse energie totali ε), guardano in particolare come cambia la forma del profilo: questi risultati del modello saranno la base per il confronto oggetto della tesi. In particolare ci riferiamo alle Figure (1.7) (1.8). Ad alte energie (ovvero per W 0 che tende a 0), dove per α 2 = 10 5 le curve caloriche con o senza taglio sono appena distinguibili (Figura 1.9), il profilo di densità è praticamente uguale al profilo del modello di King originale, che è piatto al centro e diminuisce col raggio senza flessioni. A basse energie (ovvero con l aumentare di W 0 ) compare un punto di flesso e cresce il nucleo centrale, a cui mi riferirò come core. Più si alza in valore di W 0, più il flesso si accentua e il core aumenta di densità. Inoltre si nota che per la più piccola delle due lunghezze di taglio, il cambiamento tra i due profili è più brusco. 1.4 Prospettive del modello Dalla descrizione di questo modello di King modificato col cutoff possono partire numerosi spunti di riflessione per future analisi: in particolare è interessante analizzare il motivo fisico alla base dell introduzione della lunghezza di taglio a, e quindi nel caso adimensionale α. A proposito di questo fatto, il valore di questo parametro può essere stimato, calorica è quasi una retta con pendenza positiva (C > 0, calore specifico positivo), poi al decrescere dell energia prima una fase con C < 0 ed infine a basse energie una fase regolare dominata dal cutoff con di nuovo C > 0. Figura 1.6 Curva calorica tipica di modelli per sistemi auto-gravitanti confinati e regolarizzati. 14

16 Figura 1.7 Profili di densità adimensionali ψ(x) in funzione del raggio adimensionale x per il modello di King con cutoff, con α 2 = 10 3 (linea nera: W 0 = 0.1, blu: W 0 = 10, verde: W 0 = 20, rossa: W 0 = 30, azzurra: W 0 = 40). Figura 1.8 Come in Figura 1.7 con α 2 = 10 5 (linea nera: W 0 = 0.1, blu: W 0 = 10, verde: W 0 = 20, rossa: W 0 = 30, azzurra: W 0 = 40). 15

17 Figura 1.9 Confronto tra curve caloriche del modello King con cutoff (linea blu: α 2 = 10 3, linea rossa: α 2 = 10 5 ) e standard (linea nera): il tratteggio nero indica la continuazione della legge viriale (1.14) per ε ε King min. o almeno ragionevolmente vincolato, tramite semplici considerazioni: il taglio non può essere più piccolo delle dimensioni delle singole stelle del sistema e come limite superiore si può ragionevolmente prendere la distanza media interstellare. Per esempio nell ammasso di stelle al centro della nostra galassia ho che la densità ϱ 10 6 M pc 3 per r 1 pc. Se le stelle hanno massa M M allora avrò una densità numerica stellare n 10 6 pc 3 per cui una distanza media interstellare d pc (1.34) n1/3 Quindi se il tidal radius è dell ordine di 1 kpc (dimensioni tipiche del bulge) allora α = d r t (1.35) Quindi per un bulge o una galassia ellittica possiamo stimare che α (1.36) L altro aspetto del modello che da spunti per un analisi approfondita deriva dal profilo di densità ai vari α e W 0 : infatti il comportamento di questi profili è qualitativamente molto simili al profilo di brillanza superficiale degli 16

18 ammassi globulari a nucleo collassato e di molte galassie ellittiche. Da quest ultima considerazione parte l analisi della tesi, il cui obbiettivo è fare un confronto quantitativo tra i profili osservati di un gruppo di galassie ellittiche e i profili di densità derivati dal modello di King con cutoff. Da questo confronto possono quindi derivare considerazioni utili per eventuali modifiche e/o miglioramenti ai modelli teorici esistenti in modo da descrivere al meglio sistemi auto-gravitanti come le Galassie Ellittiche e gli Ammassi Globulari. 17

19 Capitolo 2 Profili di brillanza di Galassie Ellittiche Le Galassie sono sistemi stellari composti da stelle e sono essenzialmente l unico posto dell universo dove si trovano le stelle: oltre che da queste, le galassie sono composte da gas, polvere e materia oscura. Sulla base della loro morfologia visuale, le galassie sono essenzialmente di tre tipi: Galassie Ellittiche, Galassie a Spirale e Galassie Peculiari (irregolari, lenticolari, ad anello etc.). 2.1 Galassie ellittiche e ammassi galattici Le Galassie Ellittiche (in inglese, Elliptical Galaxies) sono costituite principalmente da uno sferoide (che ricorda la parte centrale delle Galassie a Spirale), prive di disco ed hanno poco gas e polveri e nessuna formazione stellare in corso: infatti le stelle sono in gran parte di Popolazione II (popolazione più vecchia). La forma delle isofote, ovvero il luogo dei punti con la stessa brillanza superficiale, delle galassie ellittiche sul piano del cielo varia da perfettamente circolare a fortemente ellittica: in generale rispetto alle Galassie a Spirale mancano di tutto ciò che è collegato al disco. In particolare nelle galassie ellittiche (e negli sferoidi galattici) le stelle hanno la velocità dominata dalla componente caotica che non tende a generare orbite su un piano fissato, analogamente alle particelle di un gas auto-gravitante. Secondo la classificazione di Hubble, le galassie ellittiche sono indicate con En dove n = int[10(1 b/a)] (2.1) 18

20 dove 0 n 7 ed a e b sono i semiassi maggiore e minore delle isofote ellittiche. Nel caso si considerino galassie ellittiche nane, ovvero formate da qualche miliardo di stelle, si identificano con den e per distinguere tra quelle che presentano o meno il nucleo si aggiunge o meno un suffisso N, ottenendo den,n. Le galassie (sia quelle ellittiche che delle altre tipologie) tendono a essere raggruppate in Gruppi (contenenti qualche decina di galassie) o Ammassi (con 100 o più galassie). Gli ammassi hanno un raggio tipico di circa 1 Mpc ed hanno una percentuale di galassie ellittiche molto più elevata rispetto a quella delle regioni a minore densità galattica 1. Grazie allo spostamento Doppler delle righe si è visto che le galassie negli ammassi si muovono su orbite con inclinazioni ed eccentricità casuali, similmente alle stelle nelle galassie ellittiche o negli sferoidi galattici, con velocità tipica di dispersione σ 100 km/s. L ammasso ricco più vicino a noi è l Ammasso della Vergine 2 e, insieme all Ammasso della Fornace 3, sarà oggetto della nostra trattazione sperimentale. 2.2 Le osservazioni e scansioni dei profili Per il confronto con il modello teorico, facciamo riferimento ai profili di brillanza pubblicati nell articolo di Côté et al.(2007). Questo di basa sulle osservazioni ottenute allo Space Telescope Science Institute (STScI) con la Advanced Camera for Surveys (ACS) del NASA/ESA Hubble Space Telescope (HST). Nell articolo si analizzano i profili di brillanza di 143 Galassie Ellittiche, precisamente early-type galaxies, ovvero con morfologie E, S0, de, de,n e ds0, che popolano gli ammassi galattici della Vergine e della Fornace. Le immagini sono state ottenute con lo Wide Field Channel (WFC) e con una combinazione di filtri (F475W e F850LP) più o meno equivalente ai filtri g e z del sistema fotometrico dello Sloan Digital Sky Survey (SDSS). Le immagini coprono approssimativamente un campo di con campionamento di 0.05 pixel 1 e una risoluzione Nell Universo locale si ha la seguente suddivisione galattica: 68% spirali, 29% ellittiche e 3% peculiari; invece per gli ammassi galattici: 10% spirali, 89% ellittiche e 1% peculiari. 2 Distante circa 18 Mpc e formato da circa 1500 galassie. 3 Distante circa 19 Mpc e formato da 58 galassie. 4 Questo limite di risoluzione si traduce nelle scale fisiche di 8.0 e 9.5 pc rispettivamente per l Ammasso della Vergine e della Fornace. 19

21 Lo scopo dell analisi di Côté (et al.) è il confronto di questi profili con due diversi modelli derivati da modifiche del modello Sérsic (1968) { [( ) 1/n ]} R I S (R) = I e exp b n 1 R e (2.2) che generalmente fornisce descrizioni esatte dei profili di brillanza globali delle galassie considerate, in particolare descrive bene la curvatura verso il basso su larghe scale con l ausilio di soli tre parametri (I e brillanza effettiva, n indice di Sérsic e R e raggio effettivo della galassia). 5 Questo è però un profilo puramente empirico, noi invece andremo a confrontare le osservazioni con un profilo derivante da un modello fisico. La nostra analisi si baserà su alcuni dei 18 profili di brillanza di galassie rappresentative, 9 dall ACSVCS 6 e 9 dall ACSFCS 7, riportati come esempi nella trattazione dell articolo. Riferendoci alle Figure (2.1) e (2.2), per ogni galassia sono rappresentati gli andamenti g e z della brillanza superficiale in funzione del raggio e si riporta il numero identificativo 8, la magnitudine assoluta M B, la caratterizzazione morfologica e il paramentro n del modello di Sérsic che meglio si adatta ai profili g e z della galassia. Per estrarre le curva di luminosità superficiale dai grafici contenuti nell articolo di riferimento utilizziamo il software DataThief 9. Questo programma rielabora le immagini estratte dalla pubblicazione, identifica i punti della curva tramite puntatori sugli assi di riferimento e salva i dati ottenuti su file di testo utilizzabili per successive analisi. Per la nostra analisi estrarremo i dati dai profili g di brillanza superficiale delle galassie e a questi valori estratti assoceremo un errore di 0.1 magnitudini, stimato dalla regolarità dei profili. 5 Nell analisi di Côté et al.(2007) per parametrizzare meglio i profili di brillanza operano due diversi fit con due diverse modifiche al modello Sérsic: un modello core-sérsic, dove inseriscono un semplice profilo a legge di potenza a piccoli raggi che permette un miglior fit dei profili che presentano un difetto di luminosità, ed un modello double-sérsic, cioè la sovrapposizione di due modelli originali, che meglio si adatta ai profili con eccesso di luminosità. 6 The ACS Virgo Cluster Surveys 7 The ACS Fornax Cluster Surveys 8 Per le galassie dell ammasso della Vergine ci riferiamo al Virgo Cluster Catalog (VCC) di Biggel et al. (1985), per l ammasso della Fornace al Fornax Cluster Catalog (FCC) di Ferguson (1989)

22 Figura 2.1 Profili di brillanza superficiale per 9 galassie rappresentative dell ACSVCS, pubblicati nell articolo di Côté et al.(2007). 21

23 Figura 2.2 Profili di brillanza superficiale per 9 galassie rappresentative dell ACSFCS, pubblicati nell articolo di Côté et al.(2007). 22

24 Capitolo 3 Analisi dati Per la procedura di fit dei profili di densità derivati dal modello di King modificato con l introduzione della distanza di taglio e per il confronto di questi con i profili derivati dalle osservazioni oggetto di questa tesi, utilizziamo il linguaggio di programmazione IDL. IDL, ovvero Interactive Data Language, è specializzato nell analisi di dati scientifici, in particolare elaborazioni di immagini astronomiche e mediche, e commercializzato dalla ITT Visual Information Solutions 1 : la prima versione di IDL fu creata da David Stern, mentre lavorava alla NASA sull elaborazione di immagini provenienti dalle sonde Mariner, e commercializzata a partire dal Calcolo delle masse nel modello King modificato Prima di passare al confronto tra i modelli teorici e le osservazioni, analizziamo le caratteristiche dei profili di densità ottenuti dal modello di King modificato con il taglio a piccole distanze sulle interazioni 2. Come abbiamo già osservato, alle varie lunghezze di taglio adimensionali α, si nota che, con l aumentare del parametro W 0, emerge una doppia struttura nei profili: una struttura che chiamerò esterna, osservabile nella zona vicino alla superficie del sistema, il cui profilo è assimilabile al profilo del modello di King senza cutoff, ed una struttura interna (a core compatto) che si discosta dall andamento di King base raggiungendo valori di densità Queste curve provengono da una libreria di dati contenente i profili di densità ottenuti con il modello di King con tre diversi cutoff a piccole distanze (ed ognuno di questi con 450 diversi valori di W 0 ) e fornita da Lapo Casetti. 23

25 anche molto più elevati. In questa sezione stimerò il rapporto tra la massa della componente a core compatto e la massa totale. A seguito di queste considerazioni, per fare il fit dei profili con i vari α e W 0 userò una funzione somma data da due funzioni diverse per le due componenti. Per fittare la parte esterna (componente 1 del sistema) utilizzo una funzione data dall interpolazione del modello Casetti che più si avvicina al caso di modello di King, ovvero quello con taglio adimensionale α 2 = 10 5 e con W 0 = 0.1. Per la parte interna (componente 2 del sistema) utilizzo una funzione di densità di Plummer Ψ(η) descritta dalla formula Ψ(η) = [ 1 + Ψ 1 ( ) λ ] µ (3.1) η η 1 dove Ψ 1, η 1 e µ sono parametri liberi e λ = 2 fissato. Questa funzione è stata scelta dopo molti tentativi come quella che riproduce meglio la componente interna, ma non viene associato ad essa alcun significato fisico. Procediamo quindi al fit di tutti i profili ottenuti tramite il modello Casetti a tre diverse lunghezze di taglio adimensionali α 2 = 10 3, α 2 = 10 4 e α 2 = 10 5, associata ad ognuna delle quali 450 curve di densità 3 con diversi W 0 a partire da W 0 = 0.1 fino a W 0 = Per ogni procedura di fit salviamo i valori dei parametri liberi e calcoliamo le masse associate ai profili di densità 4 : in particolare la massa totale corrispondente alla curva numerica data dal modello M vera, la massa del fit della componente esterna m 1 e la massa del fit della componente interna m 2. Dal curve fitting vediamo che il profilo di riferimento di King ben si adatta alla componente esterna del sistema, mentre la parte interna non è ottimamente fittata dalla funzione di Plummer che abbiamo scelto per tutti i valori di W 0. Allora, per fare un analisi più precisa, come massa della componente a core compatto prenderemo m 2 tale che m 2 = M vera m 1. (3.2) In particolare, riferendoci alle Figure 3.1 e 3.2, ci soffermiamo sul valore del 3 In tutto quindi 1350 diversi profili di densità. 4 In particolare, IDL calcola la massa mediante una procedura di integrazione numerica, int tabulated, che utilizza le formule di Newton-Cotes. 24

26 Figura 3.1 Rapporto tra la massa della componente interna e la massa totale in funzione di W 0, con α 2 = Figura 3.2 Rapporto tra la massa della componente interna e la massa totale in funzione di W 0, con α 2 =

27 rapporto m 2 /M vera, e come cambia con l aumentare del parametro W 0, che abbiamo visto indicare l indice di collasso del sistema 5. Vediamo che solo per i W 0 5, ovvero per modelli quasi di King, la componente a core compatto non è la predominante nel sistema. 3.2 Confronto con le osservazioni Per poter confrontare i profili di densità 6 ricavati dal modello di King modificato con il cutoff e i profili di brillanza superficiale delle galassie 7 estratti con DataThief devo prima convertire i profili teorici in profili di brillanza. La brillanza superficiale osservata di una galassia può essere convertita in densità di luminosità J(r) facendo delle assunzioni sulla struttura tridimensionale della galassia stessa 8, che supporremo abbia simmetria sferica e raggio R. Avrò allora che la brillanza superficiale I(r) osservata in un punto P sul piano del cielo alla distanza proiettata r dal centro, è pari all integrale della densità di luminosità lungo la linea di vista, ovvero lungo la direzione perpendicolare al piano del cielo (indicata dalla coordinata s): I(r) = + + J(R)R J(s)ds = 2 dr (3.3) r R2 r2 5 Dove per W 0 = 0.1 non ho la struttura a core compatto, e il profilo di densità è indistinguibile dal profilo dato dal modello di King, e per W 0 = 45.0 ho un collasso estremo. 6 Si tratta di profili di densità adimensionali ψ(x). 7 Dove ho l andamento della brillanza superficiale in unità di magnitudini in funzione del raggio in arcsec ( ). 8 Questo approccio può essere generalizzato poi agli sferoidi assi-simmetrici oblati o prolati che sono una migliore approssimazione di una vera galassia. 26

28 con s = R 2 r 2. L eq. (3.3) è un equazione integrale di Abel con soluzione: J(r) = 1 π + R di(r) dr dr (3.4) r2 R 2 ottenendo quindi la densità di luminosità, che è collegata alla densità di massa tramite un certo rapporto massa/luminosità Γ ϱ(r) = ΓJ(r). (3.5) Nel nostro caso prenderemo come come rapporto massa/luminosità Γ = 1 e applicando l eq. (3.3) possiamo quindi ricavarci dai modelli teorici i corrispondenti profili di brillanza. Convertendo infine la brillanza superficiale I(r) estratta dalle osservazioni da unità di magnitudini in unità di luminosità (considerando che i dati che abbiamo estratto provengono dal profilo g della galassia 9 ) posso procedere al confronto. Nella procedura di fit si deve però considerare anche l effetto del seeing, ovvero la convoluzione della brillanza superficiale vera I 0 con la Point Spread Function (PSF) P, ovvero la risposta impulsiva nel campo dell elaborazione numerica delle immagini. Prendendo x e y coordinate sul piano del cielo avrò che la brillanza superficiale osservata sarà data da I(x, y) = + + I 0 (x, y )P (x x, y y )dx dy. (3.6) Se I 0 e P (PSF) sono circolarmente simmetriche, ed ho la PSF parametrizzata tramite una gaussiana 10 con una certa σ, avrò e si può dimostrare che I 0 = I 0 (r) e P = P (r) con P (d) = 1 r 2 2σ 2 I(r) = e 2πσ 2 0 d 2 2πσ 2 e 2σ 2 (3.7) ( ) rr I 0 (R) I 0 e r2 σ 2 2σ 2 RdR. (3.8) 9 I profili g sono stati ottenuti con lo Wide Field Channel (WFC) e il filtro F475W, più o meno equivalente al filtro g del sistema fotometrico dello Sloan Digital Sky Survey (SDSS). 10 Nel nostro caso i dati di HST hanno una risoluzione (e quindi un seeing) di 0.1, quindi avrò σ = 0.1/2.355 (il seeing è la FWHM della gaussiana). 27

29 dove I 0 è la funzione modificata di Bessel di ordine 0. Questa equazione finale è quindi quella che uso nella procedura per considerare il seeing. Arriviamo adesso al confronto vero e proprio: mediante IDL siamo in grado di scrivere programmi che eseguono fit dei dati e ci restituiscono la miglior stima per i parametri liberi, che nel nostro caso sono il raggio mareale r t e la massa totale M della galassia, ed il rispettivo χ 2 ridotto. La minimizzazione di questo si ottiene tramite la routine mpfit che fornisce anche gli errori sui parametri liberi calcolati con la matrice di covarianza. I modelli a noi disponibili con cutoff più vicino ai valori possibili per una galassia 11 sono con α 2 = 10 5, quindi rappresenteremo nel lavoro solo fit con modello con questo valore di α 2 e vari W Come esempio riporto ora, riferendomi alle figure 3.3, 3.4, 3.5 e la tabella 3.1, il confronto della galassia 1661 Virgo (de0,n) 13 con i profili derivati dal modello King modificato, con α 2 = 10 5 e tre W 0 diversi, e i risultati ottenuti. Tabella 3.1 Risultati fit 1661 Virgo con α 2 = 10 5 W 0 χ 2 ridotto log 10 (r t /pc) log 10 (M/M ) ± ± ± ± ± ± Come vediamo dai fit, i modelli teorici da soli non riescono a riprodurre i dati sperimentali. Proviamo quindi a migliorare il fit con l introduzione di una componente ulteriore, con un andamento a legge di potenza, da sommare al modello teorico. In particolare a questa legge di potenza diamo una pendenza fissata τ = 0.5 e una normalizzazione logaritmica log 10 (ν) come parametro libero in più nella procedura di fit. Con questa componente aggiuntiva si ottengono i fit rappresentati nelle figure 3.6, 3.7, 3.8 e i risultati corrispondenti nella tabella 3.2. Nell Appendice A e B vengono rappresentati inoltre i fit per altre due galassie contenute nell articolo di Côté. 11 Per una tipica galassia ellittica dovrei avere α 10 5, come precedentemente stimato. 12 Infatti se confrontiamo le osservazioni con i modelli con α 2 = 10 3 e α 2 = 10 4 non si riesce a riprodurre bene gli andamenti sperimentali. 13 Che è una galassia ellittica nana con nucleo dell Ammasso della Vergine. 28

30 Figura 3.3 Fit del profilo della galassia 1661 Virgo (dati e barre d errore nere) con il modello teorico con α 2 = 10 5 e W 0 = 14 (linea rossa). Figura 3.4 Come in Figura 3.3 con W 0 =

31 Figura 3.5 Come in Figura 3.3 con W 0 = 18. Tabella 3.2 Risultati fit modificato 1661 Virgo con α 2 = 10 5 W 0 χ 2 ridotto log 10 (r t /pc) log 10 (M/M ) log 10 (ν) ± ± ± ± ± ± ± ± , 244 ±

32 Figura 3.6 Fit del profilo della galassia 1661 Virgo (dati e barre d errore nere) con il modello teorico con α 2 = 10 5 e W 0 = 14 (linea rossa) modificato con l aggiunta della componente a legge di potenza. 31

33 Figura 3.7 Come in Figura 3.6 con W 0 = 16. Figura 3.8 Come in Figura 3.6 con W 0 =

34 Capitolo 4 Conclusioni In questo lavoro abbiamo presentato il confronto con le osservazioni di un modello di King per un sistema auto-gravitante modificato con l introduzione di cutoff sulle interazioni gravitazionali del sistema, sviluppato da Lapo Casetti e Cesare Nardini; il modello è stato in particolare confrontato con le osservazioni dei profili di brillanza superficiale di alcune Galassie Ellittiche dell Ammasso della Vergine e della Fornace. Dalla procedura di fit si conclude che i profili di densità ricavati dal modello attuale 1 da soli non riescono a riprodurre i dati sperimentali, e che quindi andrebbe migliorato con una più corretta formulazione che meglio si adatti alle osservazioni. In particolare si dovrebbe ottimizzare il modello per cutoff più piccoli più vicini ai valori fisici delle galassie, avvicinandosi almeno al limite massimo precedentemente stimato α 10 5 ovvero α Questo attualmente non è possibile poiché per lunghezze di taglio sempre più piccole (già considerando α , vedi [2]) non si riesce a determinare univocamente i profili di densità e la curva calorica a causa di una non convergenza della soluzione del sistema di equazioni in un determinato intervallo di W 0. Abbiamo inoltre visto che il curve fitting migliora e da risultati più ragionevoli se aggiungiamo al modello una componente ulteriore, in particolare un andamento a legge di potenza di background. Questa si può interpretare assumendo che il modello Casetti-Nardini descriva bene le parti centrali della galassia (vicino al nucleo): attorno a queste però c è il resto della galassia e integrando sulla linea di vista al contributo del nucleo si aggiunge quello delle parti esterne che appunto danno una legge di potenza. 1 Al momento disponibili solo per tre diverse lunghezze di taglio adimensionali α 2 = 10 3, α 2 = 10 4 e α 2 =

35 Quindi questa componente ulteriore richiesta dal fit potrebbe essere identificata con l emissione dovuta al resto della galassia. La motivazione per l aggiunta di questo nuovo contributo sommata alla ricerca della natura e delle implicazioni di questo sono buoni spunti per un approfondimento futuro dell argomento. 34

36 Appendice A Confronto con la galassia 1075 Virgo In questa appendice riporto il confronto della galassia 1075 Virgo (de4,n), galassia ellittica nana con nucleo dell Ammasso della Vergine, con i profili derivati dal modello King modificato, con α 2 = 10 5 e tre W 0 diversi. Figura A.1 Fit del profilo della galassia 1075 Virgo (dati e barre d errore nere) con il modello teorico con α 2 = 10 5 e W 0 = 13 (linea rossa). 35

37 Figura A.2 Come in Figura A.1 con W 0 = 14. Figura A.3 Come in Figura A.1 con W 0 =

38 Figura A.4 Fit del profilo della galassia 1075 Virgo (dati e barre d errore nere) con il modello teorico con α 2 = 10 5 e W 0 = 13 (linea rossa) modificato con l aggiunta della componente a legge di potenza. 37

39 Figura A.5 Come in Figura A.4 con W 0 = 14. Figura A.6 Come in Figura A.4 con W 0 =

40 Appendice B Confronto con la galassia 303 Fornax In questa appendice riporto il confronto della galassia 303 Fornax (de1,n), galassia ellittica nana con nucleo dell Ammasso della Fornace, con i profili derivati dal modello King modificato, con α 2 = 10 5 e tre W 0 diversi. Figura B.1 Fit del profilo della galassia 303 Fornax (dati e barre d errore nere) con il modello teorico con α 2 = 10 5 e W 0 = 13 (linea rossa). 39

41 Figura B.2 Come in Figura B.1 con W 0 = 14. Figura B.3 Come in Figura B.1 con W 0 =

42 Figura B.4 Fit del profilo della galassia 303 Fornax (dati e barre d errore nere) con il modello teorico con α 2 = 10 5 e W 0 = 13 (linea rossa) modificato con l aggiunta della componente a legge di potenza. 41

43 Figura B.5 Come in Figura B.4 con W 0 = 14. Figura B.6 Come in Figura B.4 con W 0 =

44 Bibliografia [1] Binney J., Tremaine S., Galactic Dynamics, Princeton University Press (2nd edition), 2008 [2] Casetti L., Nardini C., Caloric curve of star clusters, Phys. Rev. E 85, (2012) [3] Côté et al., The ACS Fornax Cluster Survey. II. The central brightness profiles of early-type galaxies: A characteristic radius on nuclear scales and the transition from central luminosity deficit to excess, The Astrophysical Journal (2007): 1456 [4] Maoz D., Astrophysics in a Nutshell, Princeton University Press,