BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA

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1 BOLLETTINO UNIONE MATEMATICA ITALIANA Sezione A La Matematica nella Società e nella Cultura Fabio Paronetto G-convergenza per una classe di equazioni ellittiche e paraboliche degeneri Bollettino dell Unione Matematica Italiana, Serie 8, Vol. 2-A La Matematica nella Società e nella Cultura (1999), n.1s (Supplemento Tesi di Dottorato), p Unione Matematica Italiana < L utilizzo e la stampa di questo documento digitale è consentito liberamente per motivi di ricerca e studio. Non è consentito l utilizzo dello stesso per motivi commerciali. Tutte le copie di questo documento devono riportare questo avvertimento. Articolo digitalizzato nel quadro del programma bdim (Biblioteca Digitale Italiana di Matematica) SIMAI & UMI

2 Bollettino dell Unione Matematica Italiana, Unione Matematica Italiana, 1999.

3 La matematica nella Società e nella Cultura Bollettino U. M. I. (8) 2-A Suppl. (1999), pag G-convergenza per una classe di equazioni ellittiche e paraboliche degeneri. FABIO PARONETTO In questa tesi viene studiato il comportamento asintotico di alcune classi di operatori ellittici e parabolici noto in letteratura con il nome di G-convergenza. Si consideri una successione di operatori A h9 kn, ognuno dei quali definito in V h spazio di Banach riflessivo e separabile (o in un suo sottospazio), in modo tale che Ah- V h -^Vh isomorfismo per ogni h e si supponga che esista uno spazio V tale che V h cv con immersione continua. Data / scelta opportunamente (fé S con S denso in ogni V0 si considerino i problemi (M \ Ahu : f [uevh e si denotino con u h = A/" 1 /le soluzioni. Si supponga che la successione (u h ) h converga, rispetto alla topologia debole di V, ad un elemento u œ ev. Ciò che ci si chiede è se per caso u^ non sia soluzione di un problema (Leo) A œ u=f Uf=Vao con VooÇV, A,»: Foo *V isomorfismo, A M «della stessa forma» degli A h. Più precisamente, esiste un operatore tale che Aoo : V œ» Vi isomofismo, V^ e V, Ah l f->a~ l f in V- deb per ogni /e S? La lettera G viene appunto dal fatto che tale convergenza sugli operatori A h è data tramite una convergenza puntuale degli operatori di Green. Il problema che si vuole risolvere è quello di trovare delle classi X di operatori compatte rispetto a tale tipo di convergenza, o almeno delle coppie di classi (Z, 30 con X relativamente compatta in Y. Nella tesi viene studiato il comportamento delle soluzioni deboli %, feen, per

4 128 FABIO PARONETTO /?, > oo dei problemi di Dirichlet (Ek) e di Cauchy-Dirichlet f -div(a h (x)-dv) = f v = 0 su Q su BQ 3v div(a h -Dv) =f su Q x (0, T) 3t v = 0 su (fix {0})U(3 x(0, 7 1 )), dove 2 è un aperto limitato di R w, 7 1 > 0 e/una funzione data, e le matrici a h (x) = [a hfi j(x)]fj = 1 a h (x, t) = [a h>i j(x, t)]fj = 1 verificano rispettivamente le seguenti condizioni di ellitticità degeneri (1) oppure h(x)\ï\ 2^(a h (x)',ç)^la h (x)\ï\\ (a h (xh, ti)**m(a h (xh, ê) 1/2 (%(x)-//, rj) 1 ' 2 (2) X h (x)\c\ 2^(a h (x,ty,c)^lx h (x)\ \ 2, (a h (x, «), rj)^m(a h (x, t)-ç, Ç) 1/2 (a h (x, t)^, rç) 1/2 per ogni, rçer^, per ogni feen, per quasi ogni a?e oppure rispettivamente per quasi ogni (x, t) BQ X (0, T), per opportune costanti L, M e funzioni peso X h, cioè funzioni non negative, localmente sommabili e che possono degenerare a zero o ad infinito su insiemi di misura nulla. Il problema che ci poniamo è di studiare la compattezza rispetto alla G-convergenza delle successioni di problemi (EU e (P h ), cioè di vedere sotto quali ipotesi sulle funzioni peso X h (feen) le soluzioni u h dei problemi (E h ) (o dei problemi (P h )) convergono, in un opportuno spazio funzionale, ad una funzione u^ soluzione di un problema ellittico (E^) (rispettivamente di un problema parabolico (P œ )) in forma di divergenza per un'opportuna matrice a œ (x) (rispettivamente a œ (x r t)) verificante le coedizioni (1) (rispettivamente le condizioni (2)) per un'opportuna funzione peso limite X». La nozione di G-convergenza viene introdotta da S. Spagnolo in un lavoro del 1968 (si veda [8]) per una successione di problemi (E h ) e (P h ) con matrici dei coefficienti (a h ) h simmetriche, indipendenti dal tempo e verificanti un'ipotesi di uniforme ellitticità, cioè esistono due costanti positive X 0,A 0, tali che vale (1) con (3) X 0^X h (x)^a 0 e a h,ij = a hji per quasi ogni x e Q. In tale lavoro viene provata la compattezza rispetto alla G- convergenza delle successioni di tali problemi. Nel 1973 E. De Giorgi e S. Spagnolo in [4] danno anche una formula di rappre-

5 G-CONVERGENZA PER UNA CLASSE ECC. 129 sentazione per il G-limite nel caso dell'omogeneizzazione di problemi (E h ), cioè danno una formula di rappresentazione di a œ nel caso in cui le matrici a h siano della forma (4) a h (x) = a(hx), a?er w, kn, con a(x) = [a#(#)]?, j = i matrice simmetrica e uniformemente ellittica di funzioni 0$: R^-*R I-periodiche (i, j = 1,...n) su R\ Successivamente questo tipo di problemi furono ampiamente studiati, anche in connessione con la T-convergenza, (si veda [2] e i riferimenti bibliografici ivi contenuti) estendendo questi primi risultati al caso non simmmetrico, al caso non lineare, fino ad arrivare al caso degenere. I maggiori contributi, oltre alla scuola italiana, sono sicuramente dovuti alla scuola francese (si vedano, a titolo di esempio [1], [5]), ed anche alla scuola russa. Nella tesi sono contenuti risultati sia per operatori ellittici che per parabolici degeneri, anche se i risultati nuovi sono solo quelli riguardanti questi ultimi, operatori con una particolare tipo di degeneranza, quella soddisfacente la condizione di Muckenhuopt. Una funzione A si dice appartenere alla classe di Muckenhuopt A p (K) (p > 1, Kìz 1) se A > 0 q.o., A, X'T~i el^r*) e infine vp-i (A,) I I -= \xdx\( I Xdx\\ -^ JA'T I A" 1! dx) ^K VIQIQ }\\Q\Q per ogni cubo Q di W 1. Per quanto riguarda il caso ellittico (si veda [3]) si è studiato il problema quando le matrici soddisfano le condizioni (1) con la richiesta (X h ) h ca 2 (K) sui pesi, mentre nel caso parabolico (si veda [6]) quando le matrici soddisfano le condizioni (2) con i pesi tali che (X h ) h ça 1 + 2/n (K) per n^2 e (X h ) h ca 2 (K) per n = 1. Si è affrontato anche il caso dell'omogeneizzazione in una situazione più generale (si veda [7]), cioè per equazioni del tipo dove dv p h - div(a h 'Dv) =f su Q x (0, T) at v = 0 su (flx {0})U(Sflx(0, D), iu h (x)=ju(h y x) e a Kij (x,t)=a ij (h Y x,hh\ (y,/3^0) dove il peso /u è una funzione periodica su R^ e i coefficienti a# sono funzioni periodiche su R n x R localmente sommabili per i quali esiste un peso A e delle costanti

6 130 FABIO PARONETTO L,M, K x^\, K 2 >0, r>l e ae[0, 1) tali che X{x) 2 ^ (a(x, «), ) ^LA(ìB) 2, (o(«, *)-, 77) <M(a(x, «)-, f) 1/2 (a(x, t)rj, vf* per ogni, r;er n, per quasi ogni (x, <)er"x R, (5) A e ^ ^ ) e '^(wwlw/*"'*)""'* per ogni cubo QçQo dove Q 0 è un cubo fissato. La condizione (5) può essere indebolita ponendo r= 1, a patto che il peso // soddisfi un'ulteriore condizione, la proprietà reverse doubling, cioè che verifichi: esistono ô, se (0, 1) tali che /*((5Q) ^ /*(Q) per ogni cubo Q. BIBLIOGRAFIA [1] A. BENSOUSSAN, J. L. LIONS and G. PAPANICOLAOU, Asymptotic analysis for periodic structures, North-Holland, Amsterdam (1978). [2] G. DAL MASO, An introduction to T-convergence, Birkhâuser (1993). [3] R. DE ARCANGELIS and F. SERRA CASSANO, On the convergence of solutions of degenerate elliptic equations in divergence form, Ann. Mat. Pura Appi., 167 (IV) (1994), [4] E. DE GIORGI and S. SPAGNOLO, Sulla convergenza degli integrali dell'energia per operatori ellittici del secondo ordine, Boll. Un. Mat. Ital., 8 (4) (1973), [5] F. MURAT and L. TARTAR, H-Convergence, in Topics in the Mathematical Modelling of Composite Materials, Birkhâuser, Boston (1997). [6] F. PARONETTO and F. SERRA CASSANO, On the convergence of a class of degenerate parabolic equations, J. Math. Pur. Appi., 77 (1998), [7] F. PARONETTO, Homogenization of a class of degenerate parabolic equations, inviato ad Asymptotic Analysis. [8] S. SPAGNOLO, Sulla convergenza di soluzioni di equazioni paraboliche ed ellittiche, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci., 22 (III) (1968), Dipartimento di Matematica, Università di Trento paronettl30science.unitn.it Dottorato in Matematica (sede amministrativa: Trento) - Ciclo VIII Direttore di ricerca: Prof. Francesco Serra Cassano, Università di Trento