Università degli Studi di Milano. Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

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1 Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna FISICA Lezione n. 11 (4 ore) Gianluca Colò Dipartimento di Fisica sede ia Celoria 16, 01 Milano web page: gianluca.colo@mi.infn.it Carlo Pagani Dipartimento di Fisica Laboratorio LASA ia F.lli Cervi 01, 0090 Segrate (Milano) web page: carlo.pagani@unimi.it

2 Trasformazioni Termodinamiche Limitandoci a considerare un sistema gassoso, in cui tipo e quantità di gas non cambiano (sistema chiuso), notiamo che: lo stato del sistema è determinato dalla conoscenza delle grandezze pressione, volume e temperatura. Queste grandezze: p, e T sono dette variabili di stato. Una trasformazione termodinamica rappresenta l evoluzione del sistema da uno stato iniziale ad uno stato finale, attraverso il passaggio da infiniti stati intermedi contigui. ari sono i modi di passare da uno stato iniziale ad uno stato finale Come in meccanica abbiamo definito il Diagramma Orario per mettere in forma di grafico le caratteristiche principali del moto di un corpo, così in termodinamica si usa generalmente il Diagramma p - con il volume del sistema,, in ascisse (asse delle x) e la pressione, p, in ordinate (asse delle y) - per mettere in forma grafica una trasformazione termodinamica, cioè l evoluzione degli stati da cui passa un sistema da uno stato iniziale a uno stato finale Gianluca Colò & Carlo Pagani Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

3 Esempi di trasformazioni Alcuni esempi di trasformazioni sono riportati qui sotto sul diagramma p, con l indicazione del lavoro compiuto dal sistema. dl r F d r s (pa)(ds) (p)(ads) p d L dl p d f i Nota: si suppone che le trasformazioni avvengano molto lentamente, passando per stati di equilibrio. Gianluca Colò & Carlo Pagani Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

4 Trasformazioni particolari Trasformazione adiabatica: il sistema è completamente isolato e non si verifica nessun trasferimento di calore con l ambiente esterno. ΔE Trasformazione a volume costante o isocora: durante la trasformazione il volume del sistema non cambia. int Δ int L E Q Trasformazione isoterma: durante la trasformazione la temperatura del sistema non cambia. Per trattarla non basta il 1 Principio. Trasformazione ciclica: sono trasformazioni nelle quali, dopo alcuni scambi di calore e lavoro si ripristina lo stato iniziale del sistema. Q L Trasformazione di espansione libera: è l espansione di un gas da un recipiente a un ambiente in cui ci sia il vuoto. E anomala perché non passa da stati di equilibrio però possiamo scrivere. Q L 0 ΔEint 0 ΔT 0 Gianluca Colò & Carlo Pagani 4 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

5 Espansione libera L espansione libera è un processo irreversibile, che non passa per stati di equilibrio. Risulta anche molto difficile da realizzare perché come il gas entra nella seconda camera la condizione di vuoto non è più rispettata. Questo processo ideale risulta però molto utile concettualmente perché, non cambiando la temperatura, le variabili termodinamiche che definiscono il sistema nel suo stato finale sono facilmente calcolabili. Gianluca Colò & Carlo Pagani 5 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

6 Legge dei gas perfetti (ideali) In tutti i gas, monoatomici o molecolari, le variabili di stato sono legate tra di loro da una legge fondamentale che, nel caso dei gas ideali, è: p nrt [J]. Questa legge, Legge dei gas perfetti, vale in ottima approssimazione se le densità non sono troppo elevate e si è lontani dalla transizione di fase. p [Pa] è la pressione [Pa] [N m - ] [kgms - ] [m - ] [kgm -1 s - ] [J m - ] [m ] è il suo volume n [mol] è il numero di moli di cui è composto R [Jmol -1 K -1 ] è la costante dei gas R 8.1 [J mol -1 K -1 ] T [K] è la temperatura di equilibrio del sistema p [J m - ] [m ] n [mol] R [Jmol -1 K -1 ] T [K] La costante dei gas R deriva da due costanti molto importanti nella fisica: R k N A N A numero di Avogadro [mol-1] k costante di Boltzmann [J/K] Gianluca Colò & Carlo Pagani 6 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

7 Note sulla legge dei gas perfetti Si può esprimere utilizzando k e Nn N A (N è quindi il numero di molecole di cui è composto il sistema termodinamico in oggetto) e si ottiene p N k T In una trasformazione isoterma (Tcostante) si ha, quindi: p n R T cost p cost Notiamo che in una trasformazione isoterma è necessario uno scambio di energia con l ambiente esterno. Infatti se il sistema si espande da i a f > i, esso compie un lavoro che, a T cost, deve essere compensato da un apporto esterno di energia: ΔE int 0 Q ΔL In una trasformazione isocora (costante) si ha (nrt)/p cost (nrt)/p cost In una trasformazione isobara (pcostante) si ha p (nrt)/ cost (nrt)/ cost Gianluca Colò & Carlo Pagani 7 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

8 Esercizio: Lavoro isoterma Una mole di ossigeno O (supposto gas ideale) si espande a temperatura ambiente di 10 K da un volume i di 1 litri a un volume f di 19 litri. Determinare il lavoro svolto dal gas e la quantità di energia termica che l ambiente deve fornire al sistema perché la trasformazione risulti isoterma. Ricordiamo che la trasformazione deve essere sufficientemente lenta! Il lavoro si ottiene integrando la pressione rispetto al volume del gas: L 1 1 p n R T costante f 1 f d L ( nrt ) d nrt i i f f L nrt [ ln ] nrt ln i i 1 i f p d ma p n R T costante [ mol] 8.1[ J mol K ] 10[ K ] ln 1180 J Nella Figura la linea verde rappresenta nel diagramma p la trasformazione isoterma. Il lavoro compiuto dal gas durante l espansione è rappresentato dall area colorata sottesa dall isoterma tra i punti i e f : Il calore apportato dal mondo esterno al sistema durante la trasformazione deve compensare il lavoro svolto. ΔE int 0 Q L Q L 1180 J 0.8 Cal Gianluca Colò & Carlo Pagani 8 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

9 Teoria cinetica dei gas - I Supponiamo che un gas ideale sia confinato entro un recipiente cubico di lato L. Dato il gran numero di molecole possiamo supporre che il loro comportamento sia puramente statistico: 1/ si muovono lungo x, 1/ lungo y e 1/ lungo z. Inoltre la loro velocità media sarà la stessa nelle tre direzioni: v x v y v z v Consideriamo una molecola in moto lungo l asse x con velocità media v. Se la molecola parte a t0 da una parete, urta quella opposta dopo un tempo L/v e ritorna alla partenza dopo Δt L/v. Supponiamo l urto elastico. L impulso ceduto è Δp (-mv)+(-mv) - mv. La forza esercitata dalla parete sulla molecola è F Δp Δt mv L / v mv L Quella della molecola sulla parete è uguale e opposta! Gianluca Colò & Carlo Pagani 9 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

10 Teoria cinetica dei gas - II p La forza che ogni molecola esercita sulla parete è quindi: F mv L Mentre la forza esercitata dalle N/ molecole in moto lungo l asse x, è data da: Passando alla pressione si ha: 1 F N m v m v N N K L L elocità quadratica media N m v F x L Energia cinetica media P nrt N N A kn A T NkT Usando la legge dei gas si trova: p n RT N k T N K dove K k T Gianluca Colò & Carlo Pagani 10 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

11 P e T dalla teoria cinetica Abbiamo quindi visto che la temperatura è una variabile termodinamica (statistica) legata all energia cinetica media delle molecole del sistema, cioè in ultima analisi alla loro velocità quadratica media. Anche la pressione di un gas è una variabile termodinamica conseguenza della velocità media delle molecole in quanto è determinata dalle forze impulsive sulle pareti. Abbiamo infine capito il significato dell importantissima costante di Boltzmann, k [J/K] che rappresenta proprio un unità elementare di energia per grado di temperatura dato che l energia cinetica media delle molecole è: K kt Questa è, nel caso del gas ideale, l energia interna per molecola! Le relazioni che abbiamo ottenuto permettono di stimare la velocità quadratica media, nota la temperatura T 1 qm Mvqm RT vqm mv k T R T M v qm velocità quadratica media M massa molare (massa di 1 mol) Gianluca Colò & Carlo Pagani 11 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

12 Esempio L aria è una miscela di azoto (N (M(N ) 8.0 u)) ossigeno (O, (M(O ).0 u)) ed argon (Ar, (M(Ar) 9.9 u)). Alla temperatura di 0 C (9 K) la velocità quadratica media di ciascun gas sarà: v qm kt m v qm ( N ) kt m * *9 7 8* m / s v qm ( O ) kt m * *9 7 * m / s v qm ( Ar) kt m * * * m / s Ci vogliono argomenti più sofisticati per mostrare che la distribuzione di velocità è la cosiddetta distribuzione di Maxwell Gianluca Colò & Carlo Pagani 1 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

13 Calori specifici molari dei gas - 1 Per quello che abbiamo visto risulta chiaro che, nel caso dei gas, il calore specifico si definirà per mole invece che per unità di massa. Da cui il nome di calore specifico molare. Un altra cosa che succede con i gas è che il calore specifico molare, cioè la quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura di una mole di gas di un grado kelvin, dipende dalle condizioni in cui facciamo variare la temperatura: a volume costante o a pressione costante. Ricordando che l espressione dell energia cinetica media delle molecole è proporzionale alla temperatura e che l energia interna è la somma delle energie cinetiche medie delle molecole che lo compongono, possiamo scrivere: K k T E int ( n N ) K ( n N )( k T ) n R T A Fornendo calore al sistema a volume costante, il sistema non compie lavoro: ΔEint Q L Q ΔEint n C ΔT Q ΔEint C ma ΔEint n R ΔT C 1.5 [J/(mol K)] R n ΔT n ΔT Il C ottenuto è il calore specifico molare a volume costante di un gas monoatomico. Nel caso dei gas biatomici (N, O, H, aria. Ecc.) si ha: 5 5 ΔE n R ΔT C R 0.8 [J/(mol K)] gas biatomico int A Gianluca Colò & Carlo Pagani 1 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

14 Calori specifici molari dei gas - In tabella sono riportati i calori specifici molari a volume costante di alcuni gas, monoatomici, biatomici e poliatomici. Si noti come per i gas monoatomici reali il valore sia molto simile a quello ottenuto per i gas ideali. Lo stesso vale per i biatomici. Per quanto riguarda il calore specifico molare a pressione costante, C p, notiamo che, se si mantiene la pressione costante al variare della temperatura, il volume del sistema deve variare, poiché p T e p costante. Ne consegue che il lavoro compiuto dal sistema è diverso da zero: L 0. In sostanza, dalla solita formula si ha: QΔE int +L. Dalle formule già ricavate: Q n C ΔE C int C p p ΔT n R ΔT R ΔE C int C p Q L C R + R L ΔE int p n C n R ΔT ΔT Nota: questa previsione teorica concorda molto bene con i dati sperimentali gas mono- e poli-atomici C C + p R Gianluca Colò & Carlo Pagani 14 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

15 Trasformazioni adiabatiche - I Grazie alla legge del gas ideale possiamo rappresentare le principali trasformazioni subite dal gas sul piano p-: Trasformazione isoterma: p costante, iperbole Trasformazione isobara: p costante, tratto orizzontale Trasformazione isocora: costante, tratto verticale Possiamo rappresentare sul piano p- anche le trasformazioni adiabatiche, ovvero quelle caratterizzate da uno scambio nullo di energia con l esterno: ΔQ 0. Questo è tipicamente verificato nel caso di trasformazioni sufficientemente rapide (propagazione delle onde sonore) oppure eseguite in un ambiente ben isolato. Per le trasformazioni adiabatiche vale che: p γ costante p i γ i p f γ f ; γ C p C Gianluca Colò & Carlo Pagani 15 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

16 Trasformazioni adiabatiche - II Il fatto che nelle trasformazioni adiabatiche valga la relazione: si dimostra facilmente dalla proprietà dq 0 e dall espressione che abbiamo ricavato per la variazione dell Energia interna. Infatti si ha: dq 0 gas mono - atomico (He, Ar...) gas bi - atomico (H dt T γ p d de (1 costante int dl p d,o 5 ), N d de int lnt (1 γ )ln + cost. γ n RT de C p C int T d n R dt 5,aria...) deint deint d dt (1 γ ) ovvero T quindi in entrambi i casi γ 1 cost. 5/ 1.67 per gas mono-atomico 7/ per gas bi-atomico n R dt γ d 5 abbiamo : 5 p (1 γ γ ) d costante (1 γ ) d Gianluca Colò & Carlo Pagani 16 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

17 Esercizi Lezione 11 Un bollitore viene riempito con un litro d acqua a 0 C. Supponendo che non ci sia scambio termico con l ambiente esterno, sapendo che la resistenza R che riscalda l acqua consuma 100 W e che la tensione fornita dalla rete elettrica è 0, determinare: a) il valore della resistenza R, b) il tempo necessario per portare l acqua alla temperatura di ebollizione, c) il tempo che sarebbe necessario per far evaporare tutta l acqua contenuta nel bollitore, una volta raggiunta la temperatura di ebollizione, lasciando accesa la resistenza riscaldante. L 56 kj/kg. [ a) R 40. Ω, b) t ebol. 79 s, c) t evap s ] In un bicchiere viene versata una lattina di CocaCola (0 cc) alla temperatura ambiente di 7 C. Determinare la temperatura alla quale si porta la bibita se vengono versati nel bicchiere 100 g di cubetti di giaccio a 0 C. [ T fin.0 C ] Esercizi da: John R. Gordon, Ralph. McGrew, Raymond A. Serway, John W. Jewett Jr. Esercizi di Fisica. Guida ragionata alla soluzione (EdiSES). 17-8: Un sistema formato da una mole di gas idrogeno è riscaldato a pressione costante da 00 K a 40 K. Calcolare: a) l energia trasferita al gas come calore, b) l incremento dell energia interna del gas, c) il lavoro svolto sul gas. [a) QnC p ΔT.46 kj, b) ΔE int nc ΔT.45 kj, c) L sul gas - L dal gas ΔE int Q -1.01kJ] Gianluca Colò & Carlo Pagani 17 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11

18 Esercizi Lezione 11 - segue 17-7: Due moli di elio gassoso, inizialmente alla temperatura di 00 K e alla pressione di atm, subiscono una compressione isoterma fino alla pressione di 1. atm. Assumendo che il gas si comporti come un gas ideale, determinare: a) il volume finale del gas, b) il lavoro compiuto dal gas, c) la variazione dell energia interna del gas, d) il calore che il gas riceve dall ambiente. 1 atm 1.01 x 10 5 Pa. [ a) m, b) L kj, c) ΔE int 0, d) Q kj ] 17-4: Un gas ideale si espande al doppio del suo volume iniziale di 1.00 m, seguendo una trasformazione quasi-statica data dalla relazione pα, dove α 5.00 atm/m 6. Determinare il lavoro che il gas compie durante la trasformazione. [ L 1.18 x 10 6 J] 16-8: Dato un sistema termodinamico formato dal gas elio contenuto in un pallone del diametro di 0.0 cm, alla temperatura di 0 C e alla pressione di 1 atm, determinare: a) da quante moli di gas elio è composto il sistema, b) da quanti atomi, c) la massa dell elio, d) la massa di un atomo di elio, e) il valore dell energia cinetica media degli atomi. f) il valore della velocità quadratica media degli atomi. Il valore della massa atomica dell elio è M 4.00 g/mol. [ 1.41 x 10 - m, a) n mol, b) N.54 x 10, c).5 g, d) 6.65 x 10-7 kg, e) 6.07 x 10-1 J, f) 1.5 x 10 m/s ] Gianluca Colò & Carlo Pagani 18 Fisica x Informatica -Lez11 -a.a. 010/11