Formulazione quantitativa del secondo principio della termodinamica: R macchina di Carnot che lavora tra due sorgenti a temperature T 1 e T 2

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1 Formulazione quaniaiva del secondo principio della ermodinamica: EOREMA DI CARNO R macchina di Carno che lavora ra due sorgeni a emperaure e X macchina ermica che lavora ra le sesse sorgeni Dimosrazione η R η X Per ipoesi W R = W X = W

2 η = W η X X η R = W R X R > X W R W X R Per il I principio R + R = W = X + X

3 Dimosriamo il eorema per assurdo, supponendo η X >η R W > W X R < X R X R < X R = R X > R reversibile: uilizziamo il lavoro W prodoo da X per far funzionare R come frigorifero

4 X X X W R R R Macchina complessiva X+R: ) assorbe > a emperaura X R > ) cede a emperaura X R < 3) non scambia lavoro con l eserno

5 X + R viola l enunciao di Clausius quindi deve essere necessariamene η R η X Se X reversibile, scambiando il ruolo di R e X η X η R η X η R η X η R sono compaibili solo se η X = η R

6 emperaura assolua η =+ Dl Dal eorema dicarno si idd deduce che per un ciclo reversibile il rendimeno è funzione solo delle emperaure delle sorgeni, indipendenemene dal sisema che lavora quindi = f (, ) A macchina reversibile che lavora ra e ( ) < = f,

7 B macchina reversibile che lavora ra e = f (, ) < A W B A W B < Macchina complessiva A + B: non scambia calore con la sorgene non scambia calore con la sorgene a emperaura

8 ( ) f = ( ) f, = = ( ) ( ) ( ) g f f = = =,, ( ) ( ) ( ) g f f,, g() emperaura ermodinamica assolua

9 Definizione della scala Kelvin Macchina reversibile che lavora ra g() e g( P ) g( P ) emperaura del puno riplo dell acqua ( ) g( ) g ( ) ( ) = = P g P ( ) g = P Caraerisica i ermomerica = modulo del calore scambiao lungo un isoerma di una macchina di Carno alla emperaura g()

10 Per una macchina di Carno = = P P = P La emperaura assolua è la emperaura misuraa con il ermomero a gas ideale Zero assoluo è la emperaura a cui un sisema compie una rasformazione isoerma reversibile senza scambio di calore

11 EOREMA DI CLAUSIUS M macchina qualsiasi che lavora con N sorgeni Wl lavoro compiuo W M N N,,. N calori scambiai da M con le sorgeni a emperaure,, N Dimosriamo che i N i= i

12 Inroduciamo R, R,.R N macchine reversibili che lavorano ra due sorgeni W R M R i i i N N N N R N N calore scambiao da M con la sorgene a emperaura i calore scambiao da R i con la sorgene a emperaure i calore scambiao da R i con la sorgene a emperaure

13 Per le macchine R : + = = + R : = = R N : N + N = N N = Sommando sulle N macchine R i N N = i i i= i= i N N

14 Consideriamo il sisema cosiuio dalla macchina M e dalle N macchine Ri Dopo un ciclo il sisema non ha scambiao complessivamene calore con le sorgeni a emperaura,, N Il sisema compie un ciclo monoermo scambiando calore solo con la sorgene a emperaura

15 Per l enunciao di Kelvin Planck del II principio deve essere N i= i N e quindi, essendo > i (*) i= Se M scambia calore con infinie sorgeni, indicando con d il calore scambiao con la generica sorgene a emperaura, si ha i d

16 Se M è reversibile, inverendo i cicli risula N N ( ) i i i= i= i (**) Le disuguaglianze (*) e(**) possono sussisere solo se N i d = oppure = = i i

17 ENROPIA A, B sai di un sisema ermodinamico A R R, R rasformazioni reversibili B RR Percorriamo R in senso inverso ( R ) R + ( R ) ciclo reversibile d = A B d d + A B R R =

18 Percorrendo una rasformazione reversibile in senso inverso cambia il segno del calore scambiao d e quindi possiamo scrivere B d B d A R A R A R = B d A R = B d A R B d A REV indipendene dalla rasformazione, dipende solo dagli sai iniziale e finale

19 Possiamo quindi inrodurre una funzione di sao S ENROPIA così definia ENROPIA DEL GAS IDEALE n moli di un gas ideale compiono una rasformazione reversibile dallo sao A allo sao B d = du + dw ( I principio)

20 Per una rasformazione reversibile dv pv = nr dw = nr V dv d = nc d + nr V V d nc d nrdv = V + V B d B nc V B S B SA = = Vd nrdv + = V A REV A B V = nc B Vln + nrln (*) V A A V A

21 Se si deve calcolare la variazione di enropia relaiva li ad una rasformazione irreversibileibil AB, si congiungono lo sao iniziale A e lo sao finale B mediane un percorso reversibile lungo il quale è possibile deerminare la variazione di enropia, applicando la (*)

22 PRINCIPIO DI AUMENO DELL ENROPIA A, B sai di un sisema ermodinamico A R R R B R rasformazione irreversibile ibil R rasformazione reversibile Percorriamo R in senso inverso ( R ) R + ( R ) ciclo irreversibile

23 d Per il eorema di Clausius B A d R + A B d R B A d R B A d R B A d irr Δ S

24 Per un sisema isolao dq irr = ΔSS Per una rasformazione adiabaica ΔS = se reversibile Δ S > i ibil se irreversibile UNIVERSO = sisema + ambiene = sisema isolao Δ S = Δ S + Δ S U SIS AMB

25 ΔS U = se la rasformazione è reversibile ΔS U > se la rasformazione è irreversibile

26 Variazione di enropia dell universo in un ciclo Δ S UCICLO = Δ S CICLO + Δ S AMB essendo ΔS CICLO = ΔS SUCICLO = ΔS S AMB Oppure per un ciclo ABCDA ΔS UCICLO = UCICLO = ΔSAB + ΔSBC + ΔSCD + ΔSDA + + ΔS AMBAB + ΔSAMBBC + + ΔSAMBCD + ΔS AMBDA

27 uindi ΔS UCICLO = UC C O Δ S UAB + Δ S UBC + Δ S UCD + Δ S UDA ΔS S UCICLO = Somma delle variazioni i i di enropia dell universo di ogni rasformazione del ciclo ΔS UCICLO = ΔS UCICLO ΔSS UCICLO > se il ciclo è reversibile se il ciclo è irreversibile