Tab. 1 Prime potenze di 8

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1 Il sistema di numerazione ottale Anche il sistema di numerazione ottale è un sistema posizionale: ogni cifra componente un valore espresso in ottale pesa infatti di più o di meno, in base alla posizione occupata all'interno del numero. La base del sistema di numerazione ottale è 8, essendo proprio 8 le cifre dell'alfabeto usato (dallo O al 7). Il numero ottale viene indicato con il pedice 8, così come, ad esempio il valore: Il numero precedente si legge "cinque-quattro-uno" e non "cinquecentoquarantuno"! Esso rappresenta il risultato in decimale dell'espressione: 5 X X X 8 0 = 5 X X X 1 = Un numero rappresentato nel sistema di numerazione ottale si può pertanto esprimere come somma di potenze decrescenti di 8. Per interpretare in decimale un numero espresso in ottale, bisogna far caso alle potenze di 8, le prime delle quali, per comodità sono riportate in tabella 1. È chiaro che qui, a differenza che nel sistema di numerazione binario, si arriva velocemente a valori di una certa consistenza, essendo la base 8. Bisogna poi moltiplicare ciascuna cifra componente il numero perl opportuna potenza di 8, i n base al numero di cifre che si trovano alla sua destra. Tab. 1 Prime potenze di 8 Per completezza, si riporta nella tabella 2 l'associazione tra i primi 21 numeri decimali ed i corrispondenti in ottale. Operazioni ottali notevoli DECIMALE OTTALE DECIMALE OTTALE o o Tab. 2 Conversioni decimale ottale dei primi 21 numeri naturali

2 ADDIZIONE Per eseguire la somma tra due numeri ottali, occorre prestare attenzione alla tabella A.11. In essa ritroviamo qualsiasi combinazione di somma tra due cifre ottali. Ovviamente, per poter effettuare la somma tra due valori ottali, bisogna procedere ad incolonnare opportunamente le cifre costituenti gli addendi e eseguire le usuali regole del riporto. Ad esempio, la somma dei valori ottali 2458 (16510) e 3628 (24210) dà luogo alla seguente procedura: (1) = Infatti, partendo dalle cifre di destra, , consultando la tabella A.1, fa 78. Invece fa 128, per cui si scrive 2, ma si riporta 1. Alla fine, dà come somma 68. Notiamo che il risultato finale 6278, corrisponde al decimale 40710, che coincide proprio con la somma dei valori iniziali e SOTTRAZIONE Quanto abbiamo già visto e sottolineato per la sottrazione secondo il sistema di numerazione binario vale anche per il mondo ottale. Ci si avvale anche qui della regola del prestito, evidenziando però che il prestito vale 8, ovvero la base del sistema. È consigliabile usare la tabella 2 anche per le operazioni di sottrazione. Infatti, in ottale, alla domanda "quanto fa 7 4" pare ovvio rispondere 3, non altrettanto ovvio è rispondere all'altra "quanto fa 13 5": certamente il risultato non è 8! o Tab. 3 Somma di due cifre ottali Utilizzando la tabella 3 si opera in questa maniera: si trova sulla prima riga il sottraendo (nel nostro caso il 5) e sulla colonna trovata, si scende sino ad incrociare il minuendo (nel caso nostro il 13 che si trova alla penultima riga); il risultato si trova in alto alla prima colonna corrispondente (cioè 6): = 68 Lasciamo ora al lettore trovare le differenze tra i valori ottali 118 e 38, nonché tra 168 e 78. Passiamo ora ad un esempio di sottrazione a più cifre, mostrando come valga anche tra i numeri ottali la regola del prestito. Si immagini di voler operare la differenza tra i valori 4528 e 1248; si opera così:

3 Infatti, iniziando dalla cifra più a sinistra, non si può, per cui si ricorre al prestito dalla cifra di destra, così si esegue che fa 68. Ne frattempo, ritornando il prestito al sottraendo di destra (che era 28) si esegue: fa 2. Infine, pacificamente, fa 38. Il risultato (3268)equivale a che corrisponde proprio alla differenza tra i due omologhi decimali a cioè e SOTTRAZIONE PER COMPLEMENTO AD 8 Come già visto per il sistema di numerazione binario, si può procedere alla differenza tra due valori in ottale, anche con il metodo del complemento ad 8, che si traduce nel sommare al minuendo il complemento ad 8 del sottraendo. Per trovare il complemento ad 8 di un certo valore bisogna dapprima invertire le cifre, il che significa, per ciascuna cifra, ottenerne un'altra che "pareggi" ad 8, cioè che sommata dia il valore 78. Ad esempio, per il valore 4728 l'inversione determina per l'ultima cifra il valore 5 (infatti fa 78), per la penultima cifra il valore O (infatti fa 78), per la prima cifra il valore 3 (infatti fa 78). Una volta effettuata l'inversione, bisogna sommare 1: il risultato è il complemento ad 8. A questo punto, mostriamo come si ottenga il medesimo risultato operando la stessa differenza dell'esempio precedente, mediante il metodo del complemento ad 8. Il complemento di 1248 è uguale a: Si opera allora la somma Ricordiamo ancora una volta che nel caso in cui il risultato "trabocchi" (e si parla in questi casi di overflow o traboccamento), ovvero che nasca una nuova cifra alla sinistra, questa viene ignorata.

4 Nel nostro esempio, quindi, la cifra 1 tra parentesi viene ignorata ed il risultato 3268 coincide con quanto già determinato in precedenza, confermando la bontà del metodo seguito. MOLTIPLICAZIONE OTTALE Per eseguire la moltiplicazione tra due valori ottali, risulta molto comodo lo schema presentato nella tabella 4, in cui si sintetizzano i vari risultati dei prodotti tra due cifre ottali. X Tab. 4 Prodotto di cifre ottali La moltiplicazione di due numeri ottali avviene seguendo le stesse regole applicate per il sistema decimale e binario, effettuando il prodotto cifra per cifra e poi tirando le somme disposte opportunamente, spostando di una cifra più a sinistra i prodotti così ottenuti. Ad esempio, volendo fare il prodotto dei valori 1458 e 368, si opera nel modo seguente: Ricordiamo infatti che si trattava di moltiplicare i decimali e 3010, il cui prodotto, sempre in decimale, fa : equivale proprio al decimale DIVISIONE OTTALE L operazione di divisione nel sistema ottale si esegue applicando le medesime regole già esposte nel sistema binario. Ad esempio, volendo dividere il valore ottale per 368, si opera nel modo seguente:

5 Il risultato, come era da attendersi, è 145, con resto uguale a 0. Il sistema di numerazione esadecimale Il sistema di numerazione esadecimale è anch'esso un sistema posizionale, nel senso che ogni cifra vale in rapporto alla posizione da essa occupata all'interno della stringa numerica. Ricordiamo che la base del sistema di numerazione esadecimale è 16, coincidente con il numero delle lettere dell'alfabeto usato, uguali appunto alle 10 cifre numeriche, oltre che alle lettere A, B, C, D, E ed F. Nella tabella 5 sono riportati i primi 27 numeri naturali decimali, tradotti nel sistema di numerazione esadecimale. Tab. 5 Conversioni decimale-esadecimale dei primi 27 numeri naturali Il numero esadecimale deve essere indicato con pedice 16, come nel seguente esempio: A0816 Il numero precedente si legge "a - zero - otto" e rappresenta il risultato in decimale dell'espressione: Cioè, in definitiva: 10 x x x 16 = 10 x x x 1 = = A0816 = Un numero appartenente al sistema di numerazione esadecimale si può pertanto esprimere come somma di potenze decrescenti di 16.

6 Per interpretare in decimale un numero espresso in esadecimale, bisogna far caso alle potenze di 16, alcune delle quali riportiamo nella tabella 6. Come sempre, per ottenere la conversione del valore esadecimale in decimale, bisogna moltiplicare ciascuna cifra per la potenza di base 16, con esponente il numero di cifre che si trovano alla sua destra. 16 = = = = = = Tab. 6 Prime potenze di 16 Operazioni esadecimali notevoli ADDIZIONE La tabella da utilizzare per eseguire la somma tra due numeri esadecimali è la A.7, riportata più in basso, nella quale trovano posto tutte le possibili combinazioni tra cifre esadecimali. Il risultato della somma di due valori esadecimali si ottiene, come sempre, dapprima incolonnando opportunamente le cifre degli addendi e poi sommando ciascuna coppia di cifre e poi utilizzando la predetta tabella A.7. A titolo di esempio, riportando l'esempio della somma dei valori esadecimali 29A16 e (corrispondenti rispettivamente ai valori decimali e 80710): Il risultato (5C1)16 equivale al valore decimale (1473)10 che coincide proprio con il risultato della somma di e A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F

7 A A B C D E F B B C D E F A C C D E F A 1B D D E F A 1B 1C E E F A 1B 1C 1D F F A 1B 1C 1D 1E Tab. 7 Somma di due cifre esadecimali SOTTRAZIONE Per operare una sottrazione tra due valori numerici esadecimali, si può far uso della tabellaa.8, con alcuni accorgimenti. In particolare, bisogna tracciare una ideale linea diagonale che attraversi tutte le cifre uguali al minuendo della sottrazione. Ad esempio, se si vuole operare la differenza in esadecimale: (D -516) Occorre, partendo dalla colonna intitolata a D, dapprima tracciare una diagonale come evidenziato nella tabella 8. Successivamente, ci si sposta sulla diagonale in esame sino a giungere in corrispondenza di quella riga intitolata al sottraendo; nel caso dell'esempio precedente, bisogna spostarsi sulla riga con titolo corrispondente all'addendo 5, cioè sulla sesta riga. A quel punto bisogna solo leggere il titolo in testa alla colonna cui si è fermati. Nel nostro caso il risultato è appunto 8. La cosa, come avviene spesso è più facile a farsi che a dirsi. Esercitarsi in tal senso conviene! A questo scopo invitiamo il lettore a trovare, utilizzando la tabella 8 il risultato delle seguenti differenze:

8 Tab. 8 Uso della tabella di somma di due cifre esadecimale per ottenere risultati di sottrazioni Come esempio conclusivo dell'operazione di sottrazione, mostriamo ora una sottrazione tra due numeri esadecimali a più cifre: 3A56 e (corrispondenti ai decimali e 39110): La regola del prestito vale evidentemente anche nei confronti dei numeri esadecimali: nel nostro esempio, 516 meno 7 16 non si può, per cui si ricorre al prestito di una cifra alla sinistra; allora, il 5 diventa 15 e quindi si tratta di tracciare la diagonale nella tabella A.16 con tutti i valori 15 e di fermarsi sul valore presente nella riga intestata al 7: dato che la colonna trovata è intestata al valore E, il risultato di è E16. Bisogna però ricordarsi di restituire il prestito a sinistra: il sottraendo 816, diventa perciò 916; A16 meno 916 fa 116 ed infine 36 meno 116 dà come risultato 216. Notiamo che la sottrazione operata, in conclusione, fornisce il risultato 21E16 che equivale al valore decimale 5430 che altro non è che la differenza dei valori decimali e

9 SOTTRAZIONE PER COMPLEMENTO A 16 Anche se non ci sono molti vantaggi nell'uso di questo metodo, pure nel sistema di numerazione esadecimale, si può operare una sottrazione sommando al minuendo il complemento a 16 del sottraendo. Per trovare il complemento a 16 di un certo valore bisogna in sostanza sottrarre da F ciascuna cifra del valore e sommare 1 al risultato ottenuto. Ad esempio, il complemento a 16 di 48A16 è B7616, perché: Quindi, se si vuole sottrarre 48A16 da C9116, si farà: Si noti che nel caso in cui il risultato dia luogo ad un overflow o traboccamento, cioè che una cifra ecceda il numero di cifre presenti in ciascun valore, la cifra "in più" deve essere ignorata; nel nostro esempio, quindi, la cifra più a sinistra (1), viene tralasciata per questo motivo. Il risultato corrisponde al decimale che è proprio uguale alla differenza di C9116 e 48A16, operata secondo lo schema tradizionale: MOLTIPLICAZIONE ESADECIMALE Per eseguire la moltiplicazione tra due valori esadecimali, si utilizza la tabella 9. La moltiplicazione di due numeri ottali avviene seguendo le stesse regole applicate per gli altri sistemi di numerazione, effettuando il prodotto cifra per cifra e poi tirando le somme disposte opportunamente, spostando di una cifra più a sinistra i prodotti così ottenuti. Data la non immediatezza dei risultati delle singole moltiplicazioni, è buona norma effettuare ogni prodotto in maniera separata allo scopo di evitare errori nei calcoli.

10 X o A B C D E F o A B C D E F A C E la lc 1E C F B 1E A 2B C IC C C A F E D C B C E 24 2A C E 54 5A E 15 IC 23 2A F 46 4D 54 5B B B 24 2D 36 3F A 63 6C 75 7E 87 A 0 A 14 1E C A 64 6E C 96 B 0 B C D E F 9A A5 C 0 C C C C A8 B4 D 0 D!A E 5B F 9C A9 B6 C3 E 0 E IC 2A E 8C 9A A8 B6 C4 D2 F 0 F 1E 2D 3C 48 5A A5 B4 C3 D2 E1 Tab. 9 Prodotto di due cifre esadecimali Così, se si vuole eseguire il prodotto dei valori decimali A8616 e B316 (corrispondenti ai valori decimali e 17910), si opera nel modo seguente: Il prodotto tra i valori decimali e dà come risultato che corrisponde esattamente al risultato dell'operazione esadecimale 75BB216. DIVISIONE ESADECIMALE Per l'operazione di divisione nel sistema esadecimale valgono le medesime regole già esaminate a proposito degli altri sistemi di numerazione. Ad esempio, volendo dividere il valore esadecimale 75BBE16 per B316, si opera nel modo seguente:

11 Il risultato, come era da attendersi, è A8616, con resto uguale a C. Ricordiamo, infatti che l'operazione in esame corrisponde alla divisione dei valori decimali: : che fornisce come risultato , con resto Conversioni da un sistema all'altro Risulta molto importante, quando si dispone di una certa quantità numerica espressa secondo un determinato sistema di numerazione, conoscere l'equivalente valore secondo un altro sistema di numerazione: quanto vale il decimale in esadecimale? Ed in binario? E, ancora, quanto vale in binario il valore esadecimale A4C16?... In questi casi, occorre seguire un opportuno algoritmo di conversione da una base ad un'altra. A dire il vero, sino a questo punto della trattazione, abbiamo già preso in esame e spiegato i metodi di conversione dal sistema binario, ottale ed esadecimale in decimale. Infatti, quando si sosteneva che il valore binario corrisponde al decimale risultato dell'espressione: 1 X X X X 2 = 2710 ovvero che: = 2710 in qualche modo si è fornito un algoritmo di conversione per passare dal binario al decimale; lo stesso si è già detto per quanto concerne il passaggio dagli altri sistemi di numerazione a quello decimale. Comunque vale la pena di ribadire il metodo di conversione da ciascun sistema di numerazione a quello decimale. CONVERSIONE BINARIO - DECIMALE Per convertire un numero espresso dal sistema di numerazione binario al sistema di numerazione decimale, occorre eseguire la somma dei prodotti di ciascuna cifra componente il valore binario per la potenza di 2 elevata al numero di cifre che si trovano alla destra della cifra. Esempio di conversione del valore binario nel corrispondente valore decimale: = 1 x x2 3 +0x x2 1 +0x2 = =2610 CONVERSIONE OTTALE - DECIMALE

12 Per convertire un numero espresso dal sistema di numerazione ottale al sistema di numerazione decimale, occorre eseguire la somma dei prodotti di ciascuna cifra componente il valore ottale per la potenza di 8 elevata al numero di cifre che si trovano alla destra della cifra. Esempio di conversione del valore binario 2738 nel corrispondente valore decimale: 2738= 2 X X X 8 = = CONVERSIONE ESADECIMALE - DECIMALE Per convertire un numero espresso dal sistema esadecimale al sistema di numerazione decimale, occorre eseguire la somma dei prodotti di ciascuna cifra componente il valore esadecimale per la potenza di 16 elevata al numero di cifre che si trovano alla destra della cifra. Esempio di conversione del valore binario A5216 nel corrispondente valore decimale: A5216= 10 X X X 16 = = CONVERSIONI DAL SISTEMA DECIMALE AGLI ALTRI SISTEMI A questo punto, pertanto, passiamo in rassegna gli altri metodi di conversione dei valori numerici, quelli dalla base decimale alle altre basi. CONVERSIONE DECIMALE-BINARIA Per convertire un numero espresso dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione binario, si può seguire un semplice algoritmo, consistente nel dividere il valore decimale iniziale per 2 e poi, via via dividere per 2 i quoti ottenuti, sino a che non si pervenga al quoziente O. Prendendo in sequenza i resti ottenuti, dall'ultimo al primo, si ottiene il corrispondente valore binario del numero iniziale. Ad esempio, se si volesse effettuare la conversione del numero espresso in decimale 2710, si opererebbero le seguenti divisioni: Prendendo i resti delle divisioni, dall'ultimo al primo (secondo il verso della freccia), si ottiene il valore , corrispondente al decimale CONVERSIONE DECIMALE - OTTALE Per convertire un numero espresso dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione ottale, si può seguire un algoritmo analogo a quello precedente, consistente nel dividere il valore decimale iniziale per 8 e poi, via via dividere sempre per 8 i quoti ottenuti, sino a che non si pervenga al quoziente 0. Prendendo in sequenza i resti ottenuti, dall'ultimo al primo, si ottiene il corrispondente valore ottale del numero iniziale. Ad esempio, se si volesse effettuare la conversione del numero decimale in ottale, si opererebbero le seguenti divisioni:

13 Prendendo i resti delle divisioni, dall'ultimo al primo, si ottiene il valore 2738, corrispondente al decimale CONVERSIONE DECIMALE - ESADECIMALE Per convertire un numero espresso dal sistema di numerazione decimale al sistema di numerazione esadecimale, si può seguire un algoritmo analogo a quelli relativi alle conversioni decimale-binario e decimale-ottale, con l'unica differenza che le divisioni vanno effettuate per 16, costituente la base del sistema di numerazione esadecimale. Anche qui, la sequenza dei resti ottenuti, dall'ultimo al primo, costituisce il valore esadecimale desiderato. L'unica attenzione dell'algoritmo va riposta nell'eventualità che si ottenga un resto superiore al 9: l'eventuale resto 10 vale in esadecimale A, il resto 11 vale B,..., il resto 15 vale F. Ad esempio, se si volesse effettuare la conversione del numero decimale in esadecimale, si opererebbero le seguenti divisioni: Ricordando che il resto 10 va conteggiato come A, il risultato finale della conversione è A5316, corrispondente al decimale ALTRE CONVERSIONI In certe occasioni risulta utile passare da un sistema di numerazione non decimale ad un altro sistema non decimale: come operare? Si ritiene intuitivo, dapprima passare al sistema di numerazione decimale e poi sfruttare il relativo metodo di conversione come illustrato in precedenza. Ad esempio, se si volesse conoscere l'equivalente ottale del valore binario , si potrebbe operare tramite questo doppio passaggio: 1) = 5010

14 2) 5010 = 628, per concludere che: = 628 Analogamente, se si volesse conoscere l'equivalente esadecimale del valore binario , allora, seguendo il metodo indicato, si calcolerebbe prima il valore decimale e poi si convertirebbe quest'ultimo in esadecimale, così come già studiato in precedenza: 1) = ) = C316 In definitiva: = C316 Un criterio simile potrebbe aiutare allorché si volesse convertire un numero espresso in ottale in binario: prima si converte in decimale e poi in binario. Ad esempio, il valore ottale 628 verrebbe prima trasformato nel decimale 5010 e successivamente convertito secondo l'algoritmo descritto in A.6.1 nel binario Anche la conversione di un valore esadecimale nel corrispondente numero espresso secondo il sistema di numerazione binario, potrebbe seguire un medesimo criterio, determinando prima l'equivalente valore decimale e poi calcolando il corrispondente valore binario. Se ipotizziamo di voler convertire in binario il numero esadecimale C3116 allora si opererebbe come segue: 1) C3116 = ) = Allora: C316 = I metodi appena esposti sfruttano un passaggio intermedio per il sistema di numerazione decimale e pertanto vengono detti indiretti. Esistono però dei metodi diretti di conversione da una base all'altra, che non operano questo passaggio intermedio per la base 1 O e che risultano di gran lunga più efficaci. Li passiamo in rassegna nel seguito. CONVERSIONE DIRETTA BINARIO - OTTALE Disponendo di un valore binario, da voler convertire nel sistema di numerazione ottale, occorre, innanzitutto verificare che il numero di cifre componenti il valore binario sia un multiplo di 3 e, se non lo fosse, aggiungere uno o due zeri alla sinistra. Ad esempio, se si dispone del valore binario , occorre aggiungere uno zero alla sinistra per rendere multiplo di 3 il numero di cifre costituenti il valore binario: il valore ottenuto è allora: Fatto ciò, occorre dividere il numero binario in terzine, ovvero in gruppi di 3 cifre: Di ciascuna terzina, bisogna infine trovare il corrispondente valore decimale: = 318. Il metodo in esame è molto più facile a farsi che non a dirsi, in quanto è immediata la traduzione delle terzine in valori ottali. CONVERSIONE DIRETTA OTTALE - BINARIO In questo caso, il problema è contrario a quello precedentemente trattato: si dispone di valore ottale e si vuole trovare il corrispondente valore binario. Si può allora operare in questa maniera: di ogni

15 cifra ottale si determina la corrispondente terzina, così come visto in precedenza e dopo si elencano in sequenza le cifre binarie così ottenute. Ad esempio, se si vuole determinare il corrispondente binario del valore ottale 5478, si opera così: = = = CONVERSIONE DIRETTA BINARIO - ESADECIMALE Per convertire nel sistema di numerazione esadecimale un numero binario, bisogna innanzitutto operare in modo da far diventare multiplo di 4 il numero di cifre, eventualmente aggiungendo alla sinistra uno, due o tre zeri. Ad esempio, se si dispone del valore binario , occorre aggiungere due zeri alla sinistra per rendere multiplo di 4 il numero di cifre costituenti il valore binario; il valore ottenuto è allora: Fatto ciò, occorre dividere il valore binario in quartine, ovvero in gruppi di 4 cifre: Di ciascuna quartina, bisogna infine trovare il corrispondente valore decimale: = 2 C 8 CONVERSIONE DIRETTA ESADECIMALE - BINARIO Il metodo di conversione diretta dal sistema di numerazione esadecimale a quello binario è molto simile a quello ottale-binario: si tratta di "esplodere" ogni cifra esadecimale in una quartina opportuna e di mettere in sequenza i valori binari così ottenuti. Ad esempio, se si vuole determinare il corrispondente binario del valore esadecimale 5CF16 si opera così: 5 C F =