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1 Capitolo 1 La Circonferenza Una versione aggiornata di queste dispense può essere rinvenuta presso l indirizzo: - Jacopo (Jack) D Aurizio, elianto84@gmail.com 1.1 Definizione e proprietà sintetiche Definizione 1.1. Chiamiamo circonferenza il luogo dei punti del piano equidistanti da un assegnato punto, detto centro. Ricordiamo che un insieme X si dice luogo dei punti che soddisfano una certa proprietà P ( ) se: ogni elemento di X soddisfa P, ossia x X, P (x); ogni x che soddisfa P appartiene a X. La determinazione di un luogo di punti comporta, perciò, la dimostrazione di due affermazioni. Riportiamo un esempio classico: Teorema 1.2. Dato un segmento AB nel piano, il luogo dei punti P per cui P A = P B è costituito dall asse di AB, ossia dalla perpendicolare ad AB per il suo punto medio. Dimostrazione. Verifichiamo dapprima che ogni elemento dell asse soddisfa la proprietà voluta: sia M il punto medio di AB e P un qualsiasi punto, distinto da M, sull asse di AB. I triangoli P MA e P MB hanno il lato P M in comune, sono retti in M e realizzano MA = MB: sono perciò congruenti e risulta P A = P B, come voluto. Proviamo ora che un qualunque punto P per cui vale P A = P B giace sull asse di AB. Da quanto abbiamo supposto, si ha immediatamente che il triangolo P AB è isoscele sulla base AB. In un triangolo isoscele, l altezza e la mediana relative alla base coincidono: da ciò segue che P appartiene necessariamente all asse di AB. Dalla definizione di asse seguono due importanti risultati sulla circonferenza. Teorema 1.3. Se A e B sono due punti distinti su una circonferenza Γ di centro O, l asse della corda AB passa per O. 1

2 1.1. DEFINIZIONE E PROPRIETÀ SINTETICHE Dimostrazione. In quanto raggi di una stessa circonferenza di centro O, i segmenti OA ed OB risultano congruenti: il triangolo OAB è allora isoscele sulla base AB ed O appartiene all asse di AB per definizione di asse. Teorema 1.4 (Esistenza del circocentro). Siano A, B, C tre punti del piano non allineati: si provi esiste un unica circonferenza Γ che passa per A, B e C. Si provi inoltre che gli assi di AB, AC e BC si intersecano nel centro di Γ, detto circocentro del triangolo ABC. Dimostrazione. Sia O l intersezione dell asse di AB con l asse di AC. Poiché O appartiene all asse di AB, vale OA = OB. Poiché O appartiene all asse di AC, vale OA = OC. Per transitività dell uguaglianza, vale allora OB = OC, da cui segue che O appartiene anche all asse di BC. La circonferenza di centro O e raggio OA = OB = OC passa allora per tutti e tre i punti assegnati. Dal risultato precedente, si ha che ogni circonferenza cui appartengano A, B, C ha centro in O, da cui segue l unicità della circonferenza circoscritta al triangolo ABC. Vediamo ora diversi risultati che coinvolgono circonferenze, angoli e similitudini. Pagina 2 di 14

3 CAPITOLO 1. LA CIRCONFERENZA Teorema 1.5 (dell angolo al centro). Siano A e B due punti distinti su una circonferenza Γ di centro O, e sia P un punto di Γ sull arco maggiore AB. In tali ipotesi si ha ÂOB = 2 ÂP B. Dimostrazione. Sia C l intersezione tra P O ed AB. OAP e OBP sono triangoli isosceli, dunque ÂP O = P AO e ÔP B = ÔBP. Per il teorema dell angolo esterno, si ha ÂOC = 2 ÂP O e ĈOB = 2 ÔP B, da cui segue: ) ÂOB = ÂOC + ĈOB = 2 (ÂP O + ÔP B = 2 ÂP B. Corollario 1.6. Se AB è un diametro di una circonferenza Γ (ossia una corda passante per il centro di Γ), per ogni punto P Γ distinto da A e da B vale ÂP B = π 2. Corollario 1.7. Se AB è corda di una circonferenza di centro O, e sia P che Q appartengono all arco maggiore AB, vale ÂP B = ÂQB, in quanto ambedue gli angoli hanno ampiezza pari alla metà dell ampiezza di ÂOB. Teorema 1.8. Se A, B, C, D sono, ordinatamente, quattro punti su una circonferenza, il quadrilatero ABCD è detto ciclico ed ha angoli opposti supplementari. Dimostrazione. Poiché la somma degli angoli interni di un quadrilatero convesso è pari a 2π, è sufficiente provare che l angolo in A è supplementare all angolo in C. Dal precedente corollario è semplice dedurre che si ha DCA = DBA e ÂCB = ÂDB, da cui segue: π BAD = DBA + ÂDB = DCA + ÂCB = DCB, come voluto. Pagina 3 di 14

4 1.1. DEFINIZIONE E PROPRIETÀ SINTETICHE Riassumendo quanto dimostrato, abbiamo che, con riferimento all ultima figura, gli angoli evidenziati in rosso sono tutti uguali tra loro, e supplementari ad ognuno degli angoli evidenziati in blu. Esercizio 1.9. Dato un segmento AB nel piano e un angolo θ < π, si provi che il luogo dei punti P per cui ÂP B = θ è dato dall unione di due archi di circonferenza con estremi in A e in B simmetrici rispetto alla retta determinata da AB. Esercizio Si provi che, se A, B, C, D sono ordinatamente i vertici di un quadrilatero convesso nel piano, ABCD è ciclico se è solo se ha angoli opposti supplementari. Esercizio (A) Si provi che, se A, B, C, D sono ordinatamente i vertici di un quadrilatero convesso nel piano, vale la disuguaglianza di Tolomeo: AB CD + BC AD AC BD, e che l uguaglianza è verificata se e solo se ABCD è ciclico. Vediamo ora tre risultati che coinvolgono una circonferenza e coppie di triangoli simili. Pagina 4 di 14

5 CAPITOLO 1. LA CIRCONFERENZA Teorema 1.12 (della corda). Siano AB e CD due corde di una circonferenza Γ che si intersecano in P. Vale: AP P B = CP P D. Dimostrazione. Con riferimento alla figura, notiamo che si ha P AD = BAD = BCD = BCP e ÂDP = ÂDC = ÂBC = P BC. Da ciò segue che i triangoli P AD e P CD hanno tre angoli ordinatamente congruenti, dunque sono simili e realizzano: da cui la tesi. AP P D = CP P B, Teorema 1.13 (delle due secanti). Nella configurazione in figura, vale: P A P B = P C P D. Dimostrazione. La dimostrazione di questo risultato è sostanzialmente analoga alla dimostrazione del teorema della corda: i triangoli ACP e DBP hanno l angolo in P in comune; inoltre risulta ÂBD = ÂCD in quanto entrambi gli angoli insistono sulla corda AD e giacciono dalla medesima parte. I triangoli ACP e DBP hanno allora tre angoli ordinatamente congruenti, e risultano perciò simili. Vale allora: da cui segue la tesi. P A P C = P D P B, Definizione Nel piano, una retta r si dice tangente a una circonferenza Γ nel punto P se r Γ = P }. Esercizio Sono dati, nel piano, una retta r che interseca in P una circonferenza Γ di centro O. Si provi che r è tangente a Γ se e solo se la retta r è ortogonale al segmento OP. Pagina 5 di 14

6 1.1. DEFINIZIONE E PROPRIETÀ SINTETICHE Teorema 1.16 (tangente-secante). Nella configurazione in figura, vale: P A P B = P C 2. Dimostrazione. È sufficiente considerare il triangolo ABC come un quadrilatero convesso degenere ABCC ed applicare il teorema delle due secanti. Corollario Da un punto P esterno ad una circonferenza Γ, le rette tangenti a Γ sono esattamente due e tangono Γ in punti equidistanti da P. Corollario Dato un punto P esterno ad una circonferenza Γ di centro O, chiamiamo A e B le intersezioni tra Γ e le rette tangenti a Γ passanti per P. Detto M il punto medio del segmento OP, la circonferenza di centro M e raggio MO interseca Γ in A e in B. Esercizio Nella configurazione in figura, la retta P T risulta tangente in T alla circonferenza per T, A, B. Sapendo che valgono P T = 15 e P A = 9, è possibile determinare la lunghezza di AB senza conoscere il raggio della circonferenza? Esercizio Sia ABC un triangolo acutangolo, e Γ la sua circonferenza circoscritta. Si provi che la bisettrice interna dell angolo BAC passa per il punto medio dell arco minore BC. Pagina 6 di 14

7 CAPITOLO 1. LA CIRCONFERENZA 1.2 La circonferenza in geometria analitica Dopo aver discusso di proprietà sintetiche della circonferenza, trattiamola ora dal punto di vista della geometria analitica, chiedendoci dapprima quale sia, in R 2, l equazione della circonferenza Γ di raggio r > 0 e centro nell origine. Ricordando che la distanza che figura nella definizione di circonferenza è l usuale distanza euclidea, ogni punto (x, y) di Γ deve soddisfare l equazione: d ((x, y), (0, 0)) = r > 0, che, per positività del membro destro, risulta equivalente a: d ((x, y), (0, 0)) 2 = r 2, ossia a: x 2 + y 2 r 2 = 0. In modo del tutto analogo, è semplice verificare che l equazione della circonferenza di centro (c x, c y ) e raggio r > 0 è: (x c x ) 2 + (y c y ) 2 = r 2, ossia: ( ) x 2 + y 2 2c x x 2c y y + (c 2 x + c 2 y r 2 ) = 0. Un primo problema inverso che è importante studiare è comprendere quali condizioni garantiscono che l equazione ax 2 + by 2 + cx + dy + e = 0 sia l equazione di una circonferenza. Certamente, deve aversi a = b 0, dunque è sufficiente studiare le equazioni della forma: ( ) x 2 + y 2 + cx + dy + e = 0. Per completamento dei quadrati, l ultima equazione risulta equivalente a: ( x + c ) ( 2 + y + d ) 2 = c2 + d 2 e Raffrontando ( ) e ( ) abbia dunque che, se ( ) è l equazione di una circonferenza, è l equazione di una circonferenza di centro ( c ) 2, d 2 e raggio c2 + d r = 2 e. 4 Affinché sia r > 0, deve valere c 2 + d 2 > 4e. In caso contrario: se c 2 + d 2 = 4e, esiste un unico punto che soddisfa ( ), ossia ( c 2, ) d 2 ; se c 2 + d 2 < 4e, non esiste alcun punto di R 2 che soddisfa ( ). Pagina 7 di 14

8 1.2. LA CIRCONFERENZA IN GEOMETRIA ANALITICA Studiamo ora il problema di intersezione tra un retta e una circonferenza. Ricordiamo che, dati nel piano una retta r e un punto P non appartenente ad essa, esiste un unico punto Q r, detto proiezione ortogonale di P su r, tale per cui P Q risulta ortogonale ad r. In tale contesto, la distanza di P da r, che scriviamo come d(p, r), è definita 1 come la distanza di P dalla sua proiezione ortogonale su r. Sia ora, nel piano, Γ una circonferenza di centro O e raggio R > 0, r una retta. Sono possibili tre configurazioni: se d(o, r) > R, la retta r non interseca la circonferenza Γ; se d(o, r) = R, la retta r risulta tangente alla circonferenza Γ; se d(o, r) < R, la retta r interseca Γ in due punti distinti, ed è detta secante. Sorge dunque immediata la necessità di saper calcolare la distanza dell origine O del piano da una retta r, di equazione ax + by + c = 0, non passante per l origine, ossia tale per cui c 0. Sia Q = (Q x, Q y ) la proiezione ortogonale di O su r. È immediato verificare che la retta OQ, in quanto perpendicolare ad r e passante per l origine, ha equazione bx ay = 0. Si ha perciò: a Q x + b Q y = c b Q x a Q y = 0, d(o, r) = d(o, Q) = (a 2 + b 2 ) Q x = ac (a 2 + b 2 ) Q y = bc, Q 2 x + Q 2 c y = a2 + b. 2 Nel caso generale, poiché le traslazioni sono isometrie, la distanza di un punto P = (P x, P y ) da una retta di equazione ax + by + c = 0 risulta uguale alla distanza dell origine da una retta di equazione a(x + P x ) + b(y + P y ) + c = 0. In virtù del risultato predente, si ha allora: Teorema La distanza di un punto P = (P x, P y ) da una retta di equazione ax + by + c = 0 è pari a: ap x + bp y + c a2 + b 2. Data l equazione di una circonferenza: Γ : x 2 + y 2 + cx + dy + e = 0, c 2 + d 2 > 4e e quella di una retta: r : Ax + By + C = 0 abbiamo allora tutti gli strumenti per discriminare se questi oggetti risultano secanti, tangenti o non intersecantisi: queste tre eventualità si verificano, rispettivamente, se e solo se: (2C Bd Ac) 2 < (A 2 + B 2 )(c 2 + d 2 4e), (2C Bd Ac) 2 = (A 2 + B 2 )(c 2 + d 2 4e), (2C Bd Ac) 2 > (A 2 + B 2 )(c 2 + d 2 4e). 1 Una definizione alternativa è la seguente: d(p, r) = min R r d(p, R). Per esercizio, si provi che tali definizioni sono equivalenti. Pagina 8 di 14

9 CAPITOLO 1. LA CIRCONFERENZA In diverse situazioni, è tuttavia possibile provare in modo più semplice che una retta taglia una circonferenza in due punti. Diciamo che un punto P del piano è interno a una circonferenza Γ di centro O e raggio R > 0 se realizza d(p, O) < R, esterno se realizza d(p, O) > R. In particolare, il centro di una circonferenza risulta sempre interno alla stessa. Teorema Nel piano, una retta r interseca in due punti distinti una circonferenza Γ di centro O e raggio R se e solo se passa per un punto interno a Γ. Dimostrazione. Supponiamo dapprima che r intersechi Γ in due punti distinti A e B. Detto M il punto del segmento AB, certamente si ha M r. Sia allora C l intersezione tra Γ e la semiretta avente origine in O passante per M. Poiché A B, si ha OM < OC = R, da cui segue che M è un punto interno a Γ. Viceversa, supponiamo che r passi per P, punto interno a Γ. Poiché: d(o, r) = min R r d(o, R), si ha: d(o, r) d(o, P ) < R, da cui segue che r è una retta secante per Γ. Esercizio Determinare il numero di punti di intersezione nel piano tra la retta r di equazione 2x + 3y 12 = 0 e la circonferenza Γ di equazione x 2 + y 2 25 = 0. Dimostrazione. È evidente che Γ è la circonferenza di raggio 5 centrata nell origine. È inoltre evidente che la retta r passa per il punto di coordinate (0, 4), interno a Γ. Segue, immediatamente: Γ r = 2. Supponiamo ora di voler determinare le coordinate dei punti di intersezione di Γ ed r, nel caso in cui questi oggetti risultino tangenti o secanti. P = (x, y) giace sia su Γ che su r se e solo se (x, y) R 2 è una soluzione del sistema: x 2 + y 2 + cx + dy + e = 0 Ax + By + C = 0. Le ascisse dei punti di intersezione possono allora essere calcolate eliminando la y e risolvendo l equazione di secondo grado: 0 = B 2 x 2 + (C + Ax) 2 + cb 2 x db(c + Ax) + B 2 e = (A 2 + B 2 )x 2 + (2AC + cb 2 dab)x + (C 2 dbc + B 2 e). Pagina 9 di 14

10 1.2. LA CIRCONFERENZA IN GEOMETRIA ANALITICA Esercizio Determinare le coordinate dei punti di intersezione tra la retta r di equazione 2x + 3y 12 = 0 e la circonferenza Γ di equazione x 2 + y 2 25 = 0. Dimostrazione. I punti (x, y) r Γ sono soluzioni del sistema: x 2 + y 2 = 25 2x + 3y = 12, Valgono perciò: alché, eliminando la y, si ha: ossia: 3y = 12 2x, 9x 2 + 9y 2 = 225, 9x 2 + (2x 12) 2 = 225, 13x 2 48x 81 = 0, che ammette come soluzioni: ossia: x 1 = , x 2 = , 26 x 1 = , x 2 = Poichè per ogni (x, y) r Γ vale 2x + 3y = 12, le corrispondenti ordinate sono: y 1 = , y 2 = , 13 e i punti di intersezione tra Γ ed r risultano avere le seguenti coordinate: ( ) ( 181 P 1 :, ) 181, P 2 :, Esercizio Dato un segmento AB nel piano, si provi che il luogo dei punti P per cui P A P B = 2 è una circonferenza (detta di Apollonio). Dimostrazione. Forniamo solo uno sketch della dimostrazione. Notiamo preliminarmente che esistono due punti sulla retta AB che appartengono al luogo, e che quest ultimo è certamente simmetrico rispetto alla retta AB. Inoltre, si verifica facilmente che l equazione descrittiva del luogo: è equivalente ad una equazione della forma: d(p, A) = 2 d(p, B), x 2 + y 2 + cx + dy + e = 0. Il luogo cercato è dunque una circonferenza, un singolo punto o l insieme vuoto, ma le ultime due eventualità sono escluse dal fatto che al luogo appartengono almeno due punti sulla retta AB. Tale circonferenza ha inoltre centro sulla retta AB, in quanto risulta simmetrica rispetto a tale retta. Pagina 10 di 14

11 CAPITOLO 1. LA CIRCONFERENZA Dibattiamo ora del problema di intersezione di due circonferenze: siano perciò, nel piano, Γ 1 una circonferenza di centro O 1 e raggio R 1 > 0, Γ 2 una circonferenza di centro O 2 e raggio R 2 > 0. Senza perdita di generalità, possiamo supporre R 1 R 2 e O 1 O 2 (in quanto due circonferenze concentriche si intersecano solo se hanno il medesimo raggio, e in tal caso coincidono). Teorema Γ 1 Γ 2 = 2 se e solo se le tre quantità d(o 1, O 2 ), R 1, R 2 sono le lunghezze dei lati di un triangolo, ossia se e solo se ognuna è minore della somma delle altre due. In questo caso, i due punti di intersezione sono simmetrici rispetto alla retta O 1 O 2. Teorema Γ 1 Γ 2 = 1 se e solo se le tre quantità d(o 1, O 2 ), R 1, R 2 sono le lunghezze dei lati di un triangolo degenere, ossia se e solo se si verifica: d(o 1, O 2 ) = R 1 + R 2, e in tal caso si dice che Γ 1 e Γ 2 sono tangenti esternamente; d(o 1, O 2 ) = R 1 R 2, e in tal caso si dice che Γ 2 tange internamente Γ 1. Teorema Γ 1 Γ 2 = se e solo se si verifica una delle seguenti eventualità: R 1 + R 2 < d(o 1, O 2 ), caso in cui Γ 1 e Γ 2 sono esterne l una rispetto all altra; d(o 1, O 2 ) + R 2 < R 1, caso in cui Γ 2 risulta interna a Γ 1. Supponiamo ora di avere le equazioni descrittive di Γ 1 e Γ 2, nella forma: Γ 1 : x 2 + y 2 + c 1 x + d 1 y + e 1 = 0, Γ 2 : x 2 + y 2 + c 2 x + d 2 y + e 2 = 0. Per quanto visto in precedenza, è semplice calcolare le tre quantità R 1, R 2, d(o 1, O 2 ): R 1 = 1 c d2 1 4e 1, R 2 = 1 c d2 2 4e 2, d(o 1, O 2 ) = 2 1 (c1 c 2 ) 2 + (d 1 d 2 ) 2, dunque dedurre in quale delle configurazioni precedentemente descritte si cade. Supponendo che si abbia Γ 1 Γ 2, le coordinate dei punti di intersezione sono date dalle soluzioni del sistema: x 2 + y 2 + c 1 x + d 1 y + e 1 = 0 x 2 + y 2 + c 2 x + d 2 y + e 2 = 0 Ricordiamo tuttavia che un sistema di equazioni in due incognite, della forma: f(x, y) = 0 g(x, y) = 0 risulta sempre equivalente al sistema: f(x, y) = 0 g(x, y) f(x, y) = 0, Pagina 11 di 14

12 1.2. LA CIRCONFERENZA IN GEOMETRIA ANALITICA in quanto ammette le stesse soluzioni. In virtù di questo fatto, il problema di determinare le coordinate delle intersezioni tra due circonferenze intersecantisi è equivalente al problema, già trattato, di determinare le intersezioni tra una circonferenza e una retta: x 2 + y 2 + c 1 x + d 1 y + e 1 = 0 (c 2 c 1 ) x + (d 2 d 1 ) y + (e 2 e 1 ) = 0. In questo contesto, la retta di equazione è detta asse radicale di Γ 1 e Γ 2, e si ha: (c 2 c 1 ) x + (d 2 d 1 ) y + (e 2 e 1 ) = 0 Teorema Nel piano, due circonferenze distinte e non concentriche Γ 1 e Γ 2 si intersecano laddove l asse radicale di Γ 1 e Γ 2 intercetta Γ 1 (o, equivalentemente, Γ 2 ). Invitiamo ora il lettore a provare i seguenti risultati notevoli: Esercizio Date nel piano due circonferenze distinte e non concentriche Γ 1 e Γ 2, l asse radicale di Γ 1 e Γ 2 risulta ortogonale alla congiungente dei centri O 1 O 2. Definizione Dati nel piano un punto P e una circonferenza Γ di centro O e raggio R, la potenza di P rispetto a Γ è definita come: Pow(P, Γ) = P O 2 R 2. Esercizio Nel piano, una retta r per un punto P intercetta una circonferenza Γ in due punti distinti, A e B, con A che giace tra P e B. Si provi che, in virtù del teorema secante-tangente, si ha: P A P B = Pow(P, Γ). Esercizio (A) Date nel piano due circonferenze distinte e non concentriche Γ 1 e Γ 2, si provi che l asse radicale di Γ 1 e Γ 2 è il luogo dei punti P per cui vale: Pow(P, Γ 1 ) = Pow(P, Γ 2 ). Esercizio Nel piano, i vertici di un triangolo ABC sono i centri di tre circonferenze Γ A, Γ B, Γ C. Si provi che esiste un punto P che appartiene all asse radicale di ogni coppia di circonferenze. Siano ora Γ una circonferenza nel piano, di centro O e raggio R, e P un punto esterno ad essa: vogliamo calcolare le equazioni delle tangenti a Γ passanti per P e le coordinate dei punti di tangenza, che denominiamo T 1 e T 2. Per definizione di retta tangente si ha: ÔT 1 P = ÔT 2 P = π 2, abbiamo tuttavia già visto che, in virtù dei teoremi sugli angoli al centro e alla circonferenza, dato un segmento AB nel piano, il luogo dei punti X per cui vale ÂXB = π 2 è costituito dalla circonferenza di diametro AB; sia allora Ξ la circonferenza di diametro OP. Si verifica: Teorema T 1, T 2 } = Γ Ξ. Pagina 12 di 14

13 CAPITOLO 1. LA CIRCONFERENZA Il problema di determinare i punti di tangenza è dunque analogo al problema di determinare l intersezione tra Γ e l asse radicale di Γ, Ξ, che è una retta ortogonale alla retta OP. Notiamo che nella configurazione in figura i triangoli OT 1 P e OT 2 P risultano congruenti; detta S l area di uno dei due, in virtù del teorema di Pitagora si verifica: da cui segue: T 1 T 2 OP = 4S = 2R P T 1 = 2R OP 2 R 2, T 1 T 2 = 2R 1 ( ) 2 R. OP Detto Z il punto di intersezione tra OP e l asse radicale di Γ, Ξ, notiamo che per il teorema di Euclide si ha: OZ ZP = OZ/ZT 1 = R/P T 1 ZP/ZT 1 P T 1 /R = R2 R 2 P T1 2 = OP 2 R 2, dunque: OP ZP = 1 + OZ ZP = OP 2 OP 2 R 2, ZP OP = 1 R2 OP 2, OZ OP = 1 ZP OP = R2 OP 2. L asse radicale di Γ, Ξ risulta perciò ortogonale alla retta OP e passante per il punto Z di coordinate: Z = O + R2 (P O). OP 2 Esercizio Sono dati nel piano una circonferenza Γ di equazione x 2 + y 2 2x 2y 23 = 0 e un punto P di coordinate (13, 6). Si determinino le equazioni delle tangenti da P a Γ e le coordinate dei punti di tangenza. Dimostrazione. Compatibilmente con la notazione utilizzata nell ultimo paragrafo, abbiamo che Γ è una circonferenza di centro O = (1, 1) e raggio R = 5. Vale perciò: OP 2 = (13 1) 2 + (6 1) 2 = 169 = 13 2, Pagina 13 di 14

14 1.2. LA CIRCONFERENZA IN GEOMETRIA ANALITICA e la retta per O e P ha equazione: 5x 12y + 7 = 0. Per perpendicolarità rispetto ad OP, l asse radicale r di Γ e della circonferenza avente diametro OP ha un equazione della forma: 12x + 5y + q = 0. Disponiamo inoltre delle coordinate del punto Z: Z = O + R2 25 (P O) = (1, 1) + (12, 5) = OP alché, imponendo che si abbia Z r, otteniamo l equazione di r: r : 12x + 5y 42 = 0. ( , 294 ), 169 Si ha a questo punto T 1, T 2 } = r Γ; le coordinate dei punti di tangenza sono perciò costituite dalle soluzioni del sistema: (x 1) 2 + (y 1) 2 = 25 12x + 5y = 42. Per semplicità, poniamo z = x 1 e w = y 1. L ultimo sistema risulta allora equivalente a: z 2 + w 2 = 25 12z + 5w = 25. Sostituendo w = z all interno della prima equazione, otteniamo: ( z ) 2 5 z = 25, 25 z 2 + (25 12z) 2 = 625, 169 z z = 0. Si ha perciò z = 0, da cui segue w = 5, oppure z = , da cui segue w = 169. Le coordinate dei punti di tangenza sono perciò: ( ) 769 T 1 = (1, 6), T 2 = 169, 426, 169 ed è immediato verificare che la retta per P e T 1 (ossia la tangente a Γ in T 1 ) ha equazione y = 6. Imponendo il passaggio per P e T 2, abbiamo che la tangente in T 2 ha equazione: ossia: y = /169 (x 13) + 6, /169 y = 1440 (x 13) + 6, y = 1440 (x 13) , 1440 x 1428 y = 0, 120 x 119 y 846 = 0. Pagina 14 di 14