Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti

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1 Introduzione al Metodo agli Elementi Finiti Finite Element Method, FEM Finite Element Analysis, FEA Finite Element, FE Applicazione all analisi strutturale Prof. Ciro Santus Dip. di Ingegneria Civile e Industriale (DICI), Università di Pisa Tel.:

2 Metodo agli Elementi Finiti E un metodo per risolvere numericamente equazioni alle derivate parziali, su un dominio complesso. E particolarmente adatto all implementazione su calcolatore. Esistono altri metodi alternativi (numerici): - Metodo alle Differenze Finite, - Metodo degli elementi al contorno BEM, tuttavia hanno delle limitazioni rispetto al FEM. E diventato il metodo standard per risolvere problemi strutturali, ma anche termici, fluidodinamici, elettromagnetici ecc. Evoluzione del metodo a partire dagli anni 50. Attualmente esistono importanti SW commerciali, es.: ANSYS, ABAQUS

3 Soluzione approssima "piecewise solution" y y f( x) f( x)?equazione differenziale x

4 Soluzione approssima "piecewise solution" y Si impongono equazioni di bilancio, si arriva ad un sistema di equazioni (lineare) lecuiincognitesono lealtezze h i h h 1 2 h i x

5 Soluzione approssima "piecewise solution" y Si ottienela miglioreapprossimazionedella funzione, con una certa discretizzazione h i h 2 h 1 x

6 Soluzione approssima "piecewise solution" y Migliore rappresentazione all'aumentare della discretizzazione x

7 Nodi & Elementi Geometria discretizzata Elemento, i-esimo Nodo, j-esimo Possibilità di gestire modelli da poche migliaia di elementi, fino a 10 6 elementi Calcolo deformazioni e tensioni, in ogni punto a partire dagli spost. nodali (Funzioni di Forma) Gradi di libertà del singolo nodo: Spostamenti nelle direzioni x,y,z

8 Funzioni di forma (Shape Functions) Funzioni di spostamento sul dominio dell elemento Spostamenti nodali

9 Vincoli e carichi Vincoli Forze esterne applicate, su alcuni nodi Soluzione: Calcolo degli spostamenti nodali: (deformata, prima incognita)

10 Soluzione del modello agli Elementi Finiti Il sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali, si riduce ad un sistema (lineare), in cui le incognite sono gli spostamenti nodali. K u f Numero molto elevato di incognite, comunque finito, ok per calcolatore La soluzione del modello consiste nella risoluzione di questo sistema. Tensioni e deformazioni vengono trovate, successivamente, mediante le funzioni di forma.

11 Problema reale Modello FEM Tipo di Elemento Analisi statica / dinamica: transitoria, armonica Modalità di applicazione vincoli/carichi Comportamento unilaterale/bilaterale del contatto Comportamento del materiale (modelli costitutivi) etc.

12 Scelta del tipo di elemento Elementi Trave (Beam) Il nodo rappresenta una sezione Elementi Guscio (Shell) Il nodo rappresenta uno spessore Elementi Solidi (Brick) Il nodo rappresenta un punto solido

13 Scelta del tipo di elemento Geometria 2D 3D Linee Elemento Elemento Trave 2D Trave 3D Aree Elemento solido piano Elemento (plane strain/stress) Guscio (shell) Volume --- Elem. solido (brick) ANSYS Wb

14 INTRODUZIONE AL CODICE ANSYS

15 ANSYS ANSYS APDL Classic ANSYS Workbench

16 BEGIN Level PREP7 SOLUTION POST1 Classic Workbench

17 ANSYS Classic definizione ELEMENT TYPE PREP7 definizione REAL CONSTANTS definizione MATERIAL PROPERTIES definizione GEOMETRIA MODELLO definizione MESH del modello applicazione VINCOLI E CARICHI SOLUTION Soluzione FEM POST1 PLOT visualizzazione grafica dei risultati LIST risultati in forma numerica

18 ANSYS Classic CREAZIONE DEL MODELLO Generazione diretta Modellazione solida Specificare direttamente la posizione dei nodi Definire gli elementi tramite le connessioni fra i nodi Uso di primitive geometriche (rettangoli, cerchi, poligoni, prismi, cilindri, sfere) Operazioni booleane sulle geometrie (somma, sottrazione, intersezione, ecc.) Ansys genera automaticamente i nodi e gli elementi

19 ANSYS Classic CREAZIONE DEL MODELLO modellazione solida Geometria Nodi ed elementi Mesh

20 Esempio: Modellazione solida con ANSYS Classic Anello elastico (plane stress) F b 4mm D 25mm s 2mm Rigidezza =? Stato di tensione =?

21 Definizione elementi Introduzione di un tipo di elemento Elemento solido piano es. Plane 182

22 Definizione elementi Definizione keyoptions es.: plane stress plane strain axisymmetric

23 Definizione elementi spessore, sezione, mom. inerzia, ecc. Eventuale spessore plane stress with thickness

24 Definizione proprietà di materiale Materiale: Elastico Lineare Isotropo Omogeneo Moduli di Young e Poisson

25 Modellazione solida, anello elastico, plane stress Y Z X

26 Definizione Mesh Preprocessor Meshing-Size Cntrls Global-Size Dimensione elemento N suddivisioni dei lati Free Meshing (elementi misti triangolari e quadrilateri) Mapped Meshing (solo elementi quadrilateri) È necessario rispettare opportune condizioni Meshing Clear: per cancellare elementi e nodi (non si può cancellare una geometria se contiene elementi)

27 Mesh : nodi ed elementi Y Z X Y Z X Infittimento della Mesh

28 Condizioni di vincolo e di carico Si possono applicare: 1) alle entità del modello solido (vengono trasferiti automaticamente ai nodi) 2) ai nodi o agli elementi del modello Loads-Apply Structural-Displacement on Keypoints Loads-Apply Structural-Pressures on lines (surfaces)

29 Condizioni di vincolo (1/2) Y Z X

30 Condizioni di vincolo (2/2) Spostamento imposto su tutti i gradi di libertà = incastro.

31 Condizioni di carico: pressione sulla linea Y Z X

32 Condizioni di carico: pressione sulla linea uniforme F pbs 16 N p 2MPa Alternativamente si può dare come input la forza F

33 Condizione di vincolo: incastro Condizioni di carico: pressione U PRES-NORM 2 Y Z X

34 Solution Calcola la soluzione

35 Postprocessing Rappresentazione deformata Listato numerico dei risultati Plot grafico dei risultati (tensioni eqv., tensioni principali, ecc.) Grafici dell andamento dei risultati su path definiti sul modello

36 Postprocessing: Plot results - Nodal Solution Componenti di spostamento Componenti di tensione

37 Postprocessing: Spostamento secondo Y MN Y Z X MX

38 Postprocessing: Tensione eq. von Mises Y MX Z X MN

39 Postprocessing: sigma_y Calcolo flessione, trave a forte curvatura (anello seeger) D_I, mm D_E, mm Spessore radiale, mm D_m, mm p, MPa Spessore assiale F, N M_f, Nmm A, mm^2 r_i, mm r_e, mm W, mm^ r_g, mm r_n, mm e, mm sigma_0, MPa c_i, mm c_e, mm sigma_i,b, MPa sigma_e,b, MPa sigma_t, MPa Th.travi curve: 97.8MPa E MN MX Z X Y sigma_i, MPa sigma_e, MPa Th.travi curve: 77.6 MPa I

40 Postprocessing: sigma_y, utilizzo del path Th.travi curve: 77.6 MPa I Th.travi curve: 97.8MPa E DIST

41 ANALISI DI CONVERGENZA Tensione Max MPa FEM Valore teorico N Nodi

42 Elementi strutturali Trave a doppio T - appoggiata agli estremi

43 Trave a doppio T - Modello con elementi trave Costanti reali da inserire: Area, Momento d inerzia, Altezza, Larghezza

44 Element Table (beam, shell) ETABLE, NX1, SMISC,1 ETABLE, TY1, SMISC,2 ETABLE, TZ1, SMISC,3 ETABLE, MX1, SMISC,4 ETABLE, MY1, SMISC,5 ETABLE, MZ1, SMISC,6 ETABLE, NX2, SMISC,7 ETABLE, TY2, SMISC,8 ETABLE, TZ2, SMISC,9 ETABLE, MX2, SMISC,10 ETABLE, MY2, SMISC,11 ETABLE, MZ2, SMISC,12 i Y Z j X

45 Trave ad doppio T - Modello con elementi trave ETABLE, MZ1, SMISC, 6! Memorizza il momento nel nodo I dell elemento ETABLE, MZ2, SMISC, 12! Memorizza il momento nel nodo J dell elemento PLLS,MZ1,MZ2! Visualizza l andamento del momento flettente

46 Trave a doppio T Modello con elementi Guscio (Shell 63 Shell 93)

47 Costanti reali: Spessore Trave a doppio T Modello con elementi Guscio (Shell 63 Shell 93)

48 Trave a doppio T Modello con elementi Guscio (Shell 63 Shell 93)

49 Tipi di elemento

50 Tipi di elemento

51 Tipi di elemento

52 Tipi di elemento

53 ANSYS Workbench Workbench, soluzione integrata CAD - FEM: - Possibilità di importare modelli 3D da tutti i CAD: Pro/E, OneSpace, SolidWorks, CATIA, Unigraphics - Applicazioni vincoli/carichi semplificata (alcune limitazioni) - Integrazione con altri moduli di calcolo (AUTODYN, CFX)

54 ANSYS Workbench Corpi diversi Superficie di interfaccia Atomatica identificazione delle interfacce di contatto Modellazione semplice/veloce alcune limitazioni

55 ANSYS Workbench Versione attuale 16.2

56 Tipi di analisi Statica strutturale: - La struttura deve essere equilibrata (schema di vincolo iso- o più frequentemente iper- statica). - In caso di soluzione labile => errore modello unconstrained. - Può tollerare modello labile ma carico non applicato secondo la direzione di labilità. - Analisi non lineari: - non linearità di contatto, - non linearità di materiale. - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell. - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello. - Input: materiali, geometria, vincoli e carichi. - Output: spostamenti, tensioni, forze, momenti di reazione.

57 Tipi di analisi Analisi modale: - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema. - Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale. - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell. - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma si introducono dei limiti sui modi possibili visualizzabili. - Input: materiali, geometria, vincoli (no carichi). - Output: - Lista della frequenze proprie (o naturali), si può scegliere se mostrare le prime o quelle all interno di un intervallo di frequenze; - Modo di oscillazione associato a ciascuna frequenza propria; - Lo stato di tensione e la distribuzione degli spostamenti è definita a meno di uno scalare.

58 Tipi di analisi Risposta armonica: - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema - Analisi lineare, non sono ammesse non linearità né di contatto né di materiale, in caso di non linearità di contatto, viene congelata la configurazione di contatto iniziale - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello, ma solo se i carichi hanno le stesse simmetrie della geometria. - Input: materiali, geometria, vincoli, carichi ma soltanto di natura armonica (frequenza ampiezza e fase) - Output: - risposta armonica alla frequenza di eccitazione dei carichi applicati (spostamenti, tensioni, reazioni vincolari)

59 Tipi di analisi Transitorio dinamico (solutore implicito): - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema. - Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale) - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello. - Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali. - Output: - evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia tensioni e reazioni vincolari. Implicito: transitori lenti (tempi dell ordine di 1 secondo o molto maggiore).

60 Tipi di analisi Transitorio dinamico (solutore esplicito): - La struttura può essere vincolata, parzialmente vincolata o completamente libera (a seconda delle condizioni di vincolo da riprodurre del sistema. - Analisi non lineare (es. di contatto o di materiale) - Utilizzo di elementi strutturali: es. elemeneti Shell - Utilizzo delle simmetrie per semplificare il modello. - Input: materiali, geometria, vincoli, carichi (legge oraria), spesso anche velocità iniziali. - Output: - evoluzione del transitorio sia spostamenti, sia tensioni e reazioni vincolari. Esplicito: transitori molto veloci (tempi inferiori o molto inferiori a 1 secondo). Tipicamente urti e analisi di crash.

61 Tipi di analisi Altre tipi di analisi: - Buckling (instabilità). - Fluidodinamica. - Termico (transiente / a regime). Analisi consecutive (one way coupling) Es.: (1) analisi termica, (2) analisi deformativa tensionale. Analisi accoppiate (two way coupling) Es.: accoppiamento fluido struttura. Analisi Euleriana: volume di controllo, prima incognita sono le velocità. Tutte le altre analisi meccaniche (anche problema termomeccanico) sono Lagrangiane: viene seguita la particella materiale, prima incognità gli spostamenti (anche nelle analisi dinamiche, es. di transitorio).

62 Analisi con fenomeni fisici accoppiati Es. one way coupling: (1) analisi termica, (2) analisi tensionale

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