Introduzione alla binomiale

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1 Introduzione alla binomiale Supponiamo che tre persone (Francesca, Luigi e Tiziano) escono ciascuno dalla loro casa per andare a prendere il medesimo autobus e che ciascuno di essi abbia probabilità pari a p di riuscire ad arrivare in tempo alla fermata (e ovviamente probabilità 1-p di perdere l'autobus): ci si chiede quale sia la probabilità che due dei tre personaggi in questione riesca nell'intento. Cominciamo col notare che si richiede la probabilità che due prendano l'autobus, senza specificare quali: in questo modo l'evento due persone prendono l'autobus si può verificare in tre modi diversi ossia 1) Francesca e Luigi lo prendono, ma Tiziano no 2) Francesca e Tiziano lo prendono, ma Luigi no 3) Il terzo caso è facilmente intuibile...

2 l'evento almeno in due prendono l'autobus, che denoteremo B2, sarà rappresentabile come B2=FLT + FLT + FLT

3 dove F, L e T sono rispettivamente Francesca, Luigi e Tiziano che prendono l'autobus, mentre F, L e T corrispondono ognuno al rispettivo personaggio deluso per aver perso l'autobus.

4 Potendo inoltre considerare i tre personaggi (eventi) indipendenti, per i teoremi della somma e del prodotto delle probabilità, la probabilità dell'evento B2 sarà: P(B2)= pp(1-p)+ p(1-p)p + (1-p)pp Ponendo 1 - p = q otteniamo in definitiva P(B2 ) = 3 p 2 q

5 La distribuzione binomiale Supponiamo di fare un esperimento con appena 2 risultati possibili. La variabile deve assumere uno di due possibili valori; questi risultati mutuamente esclusivi possono essere, ad esempio, vita o morte, maschio o femmina, salute o malattia. Per semplicità, vengono spesso indicati come insuccesso e successo. Gli esempi comuni sono: passare/fallire un esame vincere/perdere al gioco testa/croce lanciando una moneta includere una persona in un campione di fumatori/non fumatori vivere/morire a causa di un ricovero in ospedale Una variabile di questo tipo si chiama variabile casuale dicotomica ed è nota come variabile casuale di Bernoulli.

6 La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta. Il valore della variabile casuale corrisponde al numero di successi in serie di esperimenti indipendenti, dove ogni esperimento consiste di lanciare una singola moneta una volta. Per esempio, sia X = il numero di teste che deriva da un numero n=10 lanci della moneta. Allora la variabile casuale X seguirà una distribuzione binomiale. La distribuzione descrive la probabilità che accada ogni risultato possibile della variabile X. La distribuzione binomiale più semplice deriva da un singola lancio di una moneta. Un tal esperimento è denominato una prova di Bernoulli. La variabile casuale che corrisponde al numero di successi è denominata una variabile casuale di Bernoulli.

7 Le prove di Bernoulli e la distribuzione binomiale Un esperimento che consiste di singolo lancio di una moneta, o una singola classificazione è denominato una prova di Bernoulli. Se l'esperimento è ripetuto (che denominiamo una prova) e le ripetizioni sono indipendenti, quindi la distribuzione di probabilità della variabile casuale X= # dei successi in n prove indipendenti di Bernoulli è denominata distribuzione binomiale.

8 Una distribuzione è binomiale quando: 1. Il risultato di ogni prova è uno di 2 risultati, riferito spesso come un successo fallimento (prove ripetute) 2. La probabilità P di successo è la stessa in ogni prova (omogeneità) 3. Le prove sono indipendenti: il risultato di una prova non ha influenza sul risultato di un'altra prova (indipendenza)

9 Studiamo la distribuzione binomiale La distribuzione binomiale è una distribuzione discreta di probabilità. Possiamo studiare la distribuzione scrivendo i risultati possibili nello spazio dei campioni e determinando la loro probabilità. Cominciamo con un esempio semplice nel quale una moneta è lanciata due volte. Poi studiamo la possibilità di lanciare la moneta n=3 volte. Ciò induce a provare a generalizzare la probabilità di quale risultato avremmo se la moneta fosse lanciata n=4 volte, o persino di più volte.

10 Esempio 1 Un esperimento consiste nel lanciare moneta n=2 volte, ed assumiamo che i lanci siano indipendenti. Assumiamo la moneta è non truccata, di modo che P(H)=0.5 = probabilità di una testa in un lancio. Rappresentiamo il risultato dei 2 lanci come {esito 1 lancio, esito 2 lancio}. Spazio dei Campioni: ({ HH }, { HT }, { TH }, { TT }). Poiché i lanci sono indipendenti: P({HH})=P(H nel 1 lancio)p(h nel 2 lancio) =0.25. Definiamo la variabile casuale X pari al numero di teste osservate. Allora: X risultati P(X=x) P(X <=x). 0 {TT} 0,25 0,25. 1 {HT, TH} 0,50 0,75. 2 {HH} 0,25 1,00. somma 1. Questa è una distribuzione binomiale con n=2, P=0.5. L'ultima colonna detta distribuzione cumulativa.

11 Esempio 2: Un esperimento consiste nel selezionare due allievi di una classe (n=2) ed osservare quanti di loro hanno ricevuto A in un esame. Sia che il secondo allievo selezionato abbia o non abbia ricevuto A questo evento non dipende dal risultato del primo allievo (i risultati sono indipendenti). Inoltre si supponga che la probabilità di ricevere A sia P(A)=0.2. Determiniamo la distribuzione binomiale per il numero di A. Rappresentiamo il risultato delle due selezioni come {1 alunno, 2 alunno }. Rappresentiamo il grado A con la lettera A ed il not A con la lettera B.

12 Esempio 2: Spazio dei campioni: ({AA}, {AB}, {BA}, {BB}). Poichè i lanci sono indipendenti : P({AA}) = P(A 1 alunno ) P(A 2 alunno) = P({AB}) = P(A 1 alunno ) P(B 2 alunno) = P({BA}) = P(B 1 alunno ) P(A 2 alunno) = P({BB}) = P(B 1 alunno ) P(B 2 alunno) = Definiamo una variabile casuale X pari allo score A osservato. Allora: Evento. x Risultati P(X=x) P(X x). 0 {BB} {AB, BA} {AA}

13 Esempio 3 Un esperimento consiste nel selezionare a caso n=3 annotazioni in un pronto soccorso d'ospedale e vedere se il paziente ha una polizza di assicurazione contro le malattie. Poniamo che le selezioni siano prove di Bernoulli con la probabilità P=0.6 di avere una polizza di assicurazione contro le malattie. Inoltre Q=0.4 = probabilità che un paziente non ha assicurazione contro le malattie. Rappresentiamo il risultato delle tre selezioni come {1 risultato di selezione, 2 risultato di selezione, 3 risultato di selezione }. In fine, sia: X= numero di pazienti con polizza di assicurazione, e rappresentiamo gli eventi: Y= il paziente con polizza di assicurazione. N= il paziente senza polizza di assicurazione.

14 Determiniamo la distribuzione binomiale di X Poiché le prove sono indipendenti : P(YYY)=P(Y) P(Y) P(Y) =PPP=(0.6)(0.6)(0.6)=0.216 P(YYN)=P(Y) P(Y) P(N) =PPQ=(0.6)(0.6)(0.4)=0.144 P(YNY)=P(Y) P(N) P(Y) =PQP=(0.6)(0.4)(0.6)=0.144 P(NYY)=P(N) P(Y) P(Y) =QPP=(0.4)(0.6)(0.6)=0.144 P(YNN)=PQQ=(0.6)(0.4)(0.4)=0.096 etc. Lista di tutti i possibili esiti dello spazio dei campioni, ed il corrispondente numero di pazienti con polizza. x Risultato P(X=x) 0 {NNN} {YNN} {NYN} {NNY} {YYN} {YNY} {NYY} {YYY} x Risultato P(X=x) P(X x) 0 {NNN} {YNN},{NYN},{NNY} 3(0.096)= {YYN},{YNY},{NYY} 3(0.144)= {NNY}

15 Esempio 4a. Supponiamo che un gelo assassino capiti prima del 10 settembre circa una volta ogni 10 anni. Durante i prossimi 5 anni, quante volte si verificherà un gelo assassino prima del 10 settembre? Sia X=# di annate con un gelo assassino durante prossimi 5 anni. Assumiamo per X una Distribuzione Binomiale, con n=5, P=0.10, Q=0.9. Qual è la distribuzione di X? Possiamo generalizzare i risultati? (Sia Y= gelo assassino, N= gelo assente.). Ci sono due fattori che agiscono sulle probabilità. A. Un fattore è la probabilità di un risultato. B. L'altro fattore è il numero di risultati differenti che risulteranno nel caso.

16 Esempio 4a. A. La probabilità dei risultati : {YNYNN} allora X=2, P(YNYNN)=PQPQQ=(PP)(QQQ)= P 2 Q 3 {NNYYN} allora X=2, P(NNYYN)=QQPPQ=(PP)(QQQ))= P 2 Q 3 In generale, con n prove, la probabilità di un risultato è : P x Q (n-x) =P x (1-P) (n-x) B. Quanti risultati differenti possono verificarsi? Ogni tipo di evento x può accadere un numero di volte = n C x n C x n n! ( ) x x!( n x)! Combinando queste idee, la distribuzione binomiale è data da x ( n x) n n! x ( n x) P( X x) n Cx{ P (1 P) } ( ) { P (1 P) } x x!( n x)!

17 In generale, con n prove, la probabilità di un risultato è : p x q (n-x) =p x (1-p) (n-x) Quanti risultati differenti possono verificarsi? Ogni tipo di evento x può accadere un numero di volte = n C x (combinazioni semplici) n C x n n! ( ) x x!( n x)! La distribuzione binomiale è data da: n n! P X x C P P P P x x!( n x)! x ( n x) x ( n x) ( ) n x{ (1 ) } ( ) { (1 ) }

18 Il valor medio della binomiale è np e la varianza npq La distribuzione binomiale dipende dai parametri p ed n Se p=q la distribuzione è simmetrica. È tanto più asimmetrica quanto più p differisce da q

19 Teminologia Permutazione: Il numero di modi differenti nei quali n oggetti di un gruppo possono essere ordinati. Questo numero è uguale a n fattoriale, n!. Notazione Fattoriale: N! si legge: N fattoriale ed è uguale a: N! = N(N-1)(N-2)(N-3) (4)(3)(2)(1). Ad esempio, 3!=3(2)(1)=6. Nota: Per definizione 0!=1. Combinazioni: Il numero di modi differenti nei quali gli oggetti di un gruppo possono essere ordinati, ignorando l'ordinamento degli oggetti nel gruppo. Notazione per la Combinazione: Il numero di combinazioni costituite da due gruppi di oggetti è rappresentato come: n C x n n! ( ) x x!( n x)!, dove ci sono x oggetti di un tipo fra gli n oggetti del gruppo.

20 esempio La probabilità che un soggetto contragga l influenza in gennaio è p=0.10. Preso a caso un campione di 100 soggetti determinare la probabilità che non più di 4 di essi contraggano l influenza. p=0.10 n=100 x=n soggetti che contraggono influenza

21 P(x 4)=p(x=0)+p(x=1)+p(x=2)+p(x=3)+p(x=4) P(x=0)= (1-0.1) 100 = P(x=1)= (1-0.1) 99 = P(x=0)= (1-0.1) 98 = P(x=0)= (1-0.1) 97 = P(x=0)= (1-0.1) 96 = P(x 4)=

22 Esempio 4a. Si suppone che un gelo assassino si presenti circa una volta prima del 10 settembre ogni 10 anni. Durante i 5 anni futuri, quante volte si verificherà un gelo assassino prima del 10 settembre? Sia X = # di annate con un gelo assassino durante prossimi 5 anni. Assumiamo per X una Distribuzione Binomiale, con n=5, P=0.10, Q=0.9. Qual è la distribuzione di X? (Sia Y= gelo assassino, N= gelo assente.). Le probabilità binomiali sono date da n! x ( n x) P( X x) { P (1 P) } x!( n x)! 5! 0 5 5! 5 PX ( 0) (0.1) (0.9) (0.9) !(5 0)! 5! 5! 1 4 5! 1 4 PX ( 1) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) !(5 1)! 1!4! 5! 2 3 5! 2 3 PX ( 2) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) !(5 2)! 2!3! 5! 3 2 5! 3 2 PX ( 3) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) !(5 3)! 3!2! 5! 4 1 5! 4 1 PX ( 4) (0.1) (0.9) (0.1) (0.9) !(5 4)! 4!1! 5! 5 0 5! 5 PX ( 5) (0.1) (0.9) (0.1) !(5 0)! 5! # freddo cane (P(x) P(X<=x)

23 la fluttuazione casuale in un campione e la distribuzione binomiale 1- Quale caratteristica di una popolazione in un campionamento ci farà ipotizzare un modello binomiale? 2- Che cosa si può indurre in merito alla popolazione di origine? Supponiamo di avere una popolazione con un numero infinitamente grande di individui, di cui una certa proporzione presenta un certo carattere (A) Indicheremo con P la proporzione della popolazione di origine Se si estraggono a caso un campione contenente n individui, indicheremo con p la proporzione osservata nel campione.

24 la fluttuazione casuale in un campione e la distribuzione binomiale Ora ci poniamo la domanda: conoscendo P, cioè la proporzione effettiva della popolazione di origine, che cosa possiamo prevedere circa la proporzione p che incontreremo in un campione estratto a caso? Supponiamo una popolazione nella quale la proporzione P degli individui portatori di un certo carattere sia pari al 30% (P A = 0,30) e supponiamo di estrarre a caso da questa popolazione un campione di 10 individui. Indichiamo con A gli individui portatori del carattere e con B (Non A) gli altri individui

25 In un estrazione di 10 individui sono possibili 11 risultati: A B (non A) non sappiamo quale tra questi risultati effettivamente si presenterà - tutte i risultati sono possibili, ma non tutti sono egualmente probabili

26 Binom(x,p=0.3;n=10) La probabilità che un risultato ha di presentarsi può essere calcolata La probabilità p x di una risultato nel quale il carattere A si presenti x volte su un totale di n è data dall espressione: p x = n! P x * Q n-x x! (n - x)! dove: P è la proporzione della popolazione di origine e Q = 1 - P

27 Binom(x,p=0.3;n=10) Nel caso utilizzato da esempio: P = 0,3; abbiamo un campione di 10 individui La probabilità p 0 di incontrare un campione che non contenga individui del tipo A (cioè x = 0) è pari a: 10! (0,3 0 ) (0,7 10 ) = 0,0282 0! * 10! cioè a 2,82% La probabilità p 1 di incontrare un campione che contenga un individuo di tipo A {cioè x=1} è pari a: 10! (0,3 1 ) (0,7 9 ) = 0,1211 1! 9! e così di seguito per le altre 9 combinazioni

28 Binom(x,p=0.3;n=10) x. Numero di A in un campione di 10 n! x! (n x)! P x Q n-x 0,3 x 0,7 n-x P x 100*Probabilità di incontrare il campione , , , , , , , , , , ,0006 Probabilità di incontrare individui di tipo A in un campione di 10 individui, estratto da una popolazione in cui la proporzione di individui di tipo A sia P = 0,3

29 Somma[Binom(x,p=0.3;n=10)] per {7 x 10} Potremo ragionevolmente tener conto di escludere l ipotesi di estrarre un campione contenente più di 6 individui di tipo A In effetti la probabilità di più di 6 individui è la somma delle probabilità di ottenere 7, 8, 9 e 10 individui, cioè: 0,9 + 0, , ,0006 = 1,06% Questi 4 valori costituiscono quello che si chiama una regione critica o regione di significatività o regione di respinta. La probabilità di 1,06%, che è quella di ottenere un valore qualunque nella regione di significatività, è chiamata il livello di significatività o livello critico I valori situati al di fuori della regione critica sono la regione di accettazione o regione di non significatività

30 Somma[Binom(x,p=0.3;n=10)] per {0 x 6} E chiaro che nel caso presente avremo una probabilità di: 100,00-1,06 = % che una estrazione fornisca un campione comprendente fra 0 e 6 individui A Si dice che i valori 0-6 sono la regione di non significatività per il livello critico dell 1,06 % Negli esperimenti biologici si utilizzano in genere 2 livelli critici: - il livello del 5 % considerato come frontiera della regione significativa - il livello dell 1 % considerato come frontiera della regione altamente significativa

31 probabilità % ,12 % 1,06 % numero degli individui di tipo A in un campione - Distribuzione delle probabilità di estrarre, da una popolazione contenente il 30 % di individui A, un campione di 10 individui comprendente 0, 1,, 9, 10 individui A - Sono state indicate in giallo e tratteggiate le regioni di rifiuto, per il livello critico massimo del 5 %

32 Regione critica di rifiuto Nell esempio citato abbiamo stabilito la regione critica al livello di probabilità di 1,06%. Se accettiamo qualche rischio supplementare, possiamo includere nella regione di rifiuto il campione contenente 0 individui di tipo A, campione che ha 2,82% probabilità di presentarsi. In questo caso, la regione di non significatività sarà rappresentata dai campioni comprendenti fra 1 e 6 individui di tipo A. La regione di significatività sarà rappresentata dalle 2 code della distribuzione, l una a sinistra (0 di tipo A) e l altra a destra (da 7 a 10 di tipo A).